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广西壮族自治区柳州地区民族高级中学 2026届高三上学期综合测试
数学试卷（三）
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1.设集合 = { ∣ 3 ≤ ≤ 1}, = { ∣ 2 ≤ ≤ 2}，则集合 ∩ 中所含整数的个数为( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
2.已知单位向量 ， 满足 ⊥ (√ 3 + 2 )，则向量 与 夹角的大小为( )
π π 2π 5π
A. B. C. D.
6 3 3 6
3.“2026 > 2026 ≥ 1”是“ 2 > 2”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.已知函数 ( )是周期为2的偶函数，且当 ∈ (0,1)时， ( ) = 2 1，则 (log23)的值为( )
1 1 1
A. B. C. D. 2
4 3 3
π π 3π
5.已知函数 ( ) = sin ( ) ( > 0)的最小正周期为 ，且 < < ，函数 = ( + )为奇函数，则
3 2 2 6
π
( ) =( )
4
1 1 √ 3 3
A. B. C. 1 D.
2 2 2 2
2 2
6.设双曲线 : 2 2 = 1( > 0, > 0)的右焦点为 ，过 作 的一条渐近线的垂线，垂足为 .若| | =
| |( 为原点)，则 的离心率为( )
A. √ 2 B. √ 3 C. 2 D. √ 5
7.1471年米勒向诺德尔教授提出了一个有趣的问题：在地球表面的什么部位，一根竖直的悬杆呈现最长？
我们把地球表面视为平面 ，悬杆视为直线 上两点 ， 间的连线，则上述问题可以转化为以下的数学问
题：如图1所示，直线 垂直于平面 ，直线 上有两点 ， 位于平面 的同侧，求平面上一点 ，使得∠
最大．建立如图2所示的平面直角坐标系．若 ， 两点的坐标分别为(0,8)，(0,4)，点 的坐标为( , 0)，则
当∠ 最大时， 的值为( )
A. 64 B. 32 C. 8√ 2 D. 4√ 2
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e 1 ln
8.若不等式( 2 ) ( 2 ) < 0对任意 ∈ (0, +∞)恒成立，则实数 的取值范围是( )
e 1 e ln2 e
A. (0, e) B. ( ∞, ) C. ( , ) D. ( , )
4 2e 4 4 4
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且 = 2, = ( + 2 )cos ，则( )
A. cos = 2cos
√ 3
B. 若cos = ，则 = √ 13
4
1
C. 若 2 2 = 2，则 cos =
2
D. 若sin = 2sin ，则 的面积为4
10.已知抛物线 : 2 = 8 的焦点为 ，点 关于原点 的对称点为 ，第一象限内的点 ， 在 上，且 =
1
，则( )
2
1
A. 点 的坐标为( 4,0) B. | | = | |
2
√ 2
C. 直线 的斜率为 D. 直线 , 关于 轴对称
3
11.在棱长为1的正方体 1 1 1 1中，点 是线段 1(含端点)上的一个动点，则下列结论正确的是
( )
A. 1 ⊥
π
B. 若点 在正方形 1 1 1 1内(含边界)，且| | = √ 2，则点 的轨迹长为 2
2
C. 三棱锥 1 的体积的最大值为 3
D. 存在点 ，使得异面直线 1 1与 所成的角为30°
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.已知 ( )为 上的奇函数，当 < 0时， ( ) = 2 + ，则 ( )的图象在 = 1处的切线方程为 ．
13.已知各项均不为零的数列{ }满足： 1 = 2,

+ = ( , ∈ ).若 = ( 1) ，则数列{ }的
前 项和 = ．
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14.如图，某停车场有2行4列共8个停车位，现有2辆红色汽车和2辆黑色汽车要停车，则相同颜色的车辆不
停在同一行也不停在同一列的概率为 ．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
1
设正项数列{ }的前 项和 ，满足√ = ( + 1)． 2
(1)求数列{ }的通项公式；
(2)设 = 2 +1

,

= ，求数列{ }的前 项和 ． ( +1)( +1+1)
16.(本小题15分)
某罐中装有除颜色外完全相同的4个红球和3个绿球，每次随机摸出1个球．
(1)若每次都是不放回地摸球，连续摸两次，求在第二次摸球时摸得红球的条件下，第一次摸球时摸得红
球的概率；
(2)若每次都是有放回地摸球，连续摸四次，摸得红球记1分，摸得绿球记0分，设四次摸球总得分为 ，求
的分布列与数学期望．
17.(本小题15分)
如图，在四棱锥 中，平面 ⊥平面 ，底面 为梯形， // , = 2 =
2√ 3, = , ∩ = 且 为正三角形， ， 分别为 , 的中点， ∩ = ．
(1)证明： //平面 ．
√ 3
(2)若三棱锥 的体积为 ，求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值．
2
18.(本小题17分)
1
已知函数 ( ) = 2ln + 2．
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(1)若 = 5，求曲线 = ( )在点(1, (1))处的切线方程．
(2)若 ( )有两个极值点．
( )求实数 的取值范围；
( )设 0是 ( )的极小值点，证明： ( 0) > 3．
19.(本小题17分)
2 2 √ 6
已知椭圆 : 2 + 2 = 1( > > 0)的右焦点为 (1,0)，且椭圆 过点 (√ 2, )． 2
(1)求椭圆 的标准方程．
(2)若直线 与椭圆 交于 ， 两点，直线 = 1交线段 于点 ，且 : = | |: | |，证明：直线
过定点．
(3)在(2)的条件下，求 的最大值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.3 1 = 0
+1
2 ( 2)
13.
3
1
14. /0.2
5
1
15.解：1)由√ = ( + 1)得
2
+ 2 + 1 = 4 ，可知
2
+1 + 2 2 +1 + 1 = 4 +1，
两式相减得 2 2 +1 + 2( +1 ) = 4 +1，
即2( + 2 2 +1 ) = +1 = ( +1 + )( +1 )，
∵ > 0, ∴ +1 = 2，
∵当 = 1时， 21 + 2 1 + 1 = 4 1, ∴ 1 = 1，
则{ }是首项为1，公差 = 2的等差数列，
∴ { }的通项公式为 = 1 + 2( 1) = 2 1；
(2) = 2
+1 = 22 1+1 = 4 ，
4 1 1 1
= = ( )，
(4 +1 4 +1)( +1) 3 4
+1 4 +1+1
1 1 1 1 1 1 1
= 1 + 2 + 3 + + = [( ) + ( ) + + ( )] =3 41+1 42+1 42+1 43+1 4
+1 4 +1+1
1 1 1
(
3 5 4 +1
)．
+1
16.解：(1)记第一次摸到红球为事件 ，第二次摸到红球为事件 B.
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4 3 3 4 4
( ) = ( ) + ( ) = ( ) ( | ) + ( ) ( | ) = × + × = ．
7 6 7 6 7
4×3
( ) 1
所以 ( | ) = = 7×6 = ．
( ) 4 2
7
1
故在第二次摸球时摸得红球的条件下，第一次摸球时摸得红球的概率为 ．
2
4 3
(2)由题可知，每次摸球，摸到红球的概率为 ，摸到绿球的概率为 ．
7 7
4
记四次摸球活动中，摸到红球的次数为 ，则 ～ (4, )．
7
4
因为四次摸球总得分为 ，所以 = .所以 ～ (4, )．
7
3 4 81
所以 ( = 0) = ( ) = ，
7 2401
4 1 3 3 432
( = 1) = C14 ( ) ( ) = ， 7 7 2401
2 2
( = 2) = C2
4 3 864
4 ( ) ( ) = ， 7 7 2401
3 1
( = 3) = C3
4 3 768
4 ( ) ( ) = ， 7 7 2401
4 4 256
( = 4) = ( ) = ．
7 2401
所以 的分布列为

0 1 2 3 4
81 432 864 768 256
( )
2401 2401 2401 2401 2401
4 16
所以 的数学期望是 ( ) = 4 × = ．
7 7
17.解：(1)设 的中点为 ，连接 , ．

因为 ，所以 = = 2．


又因为 为 的重心，所以 = 2，所以 = ，所以 ．

又因为 平面 , 平面 ，
所以 平面 ．
(2)因为 = , 为 的中点，所以 ⊥ ，
又平面 ⊥平面 ，平面 ∩平面 = , 平面 ，
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所以 ⊥平面 ，
√ 3 3√ 3
因为三棱锥 的体积为 ，所以三棱锥 的体积为 ，
2 2
1 1 1 1 1 √ 3
= = = ( sin120°) = × ( × 2√ 3 × √ 3 × ) =3 3 2 3 2 2
√ 3 3√ 3
= ，所以 = 3
2 2
以 为坐标原点， , , 所在直线分别为 轴、 轴、 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则平面 的一个法向量为 = (0,1,0)
3√ 3 3
(0,0,3), (0,3,0), ( , , 0)，
2 2
3√ 3 3
则 = (0, 3,3), = ( , , 0)．
2 2
设平面 的法向量为 = ( , , )，
3 + 3 = 0, = 0,
{ 即{ 3√ 3 3 令 = 1，
= 0, = 0,2 2
则 = ( 1, √ 3, √ 3)，
√ 3 √ 21
cos , = = = ．
| || | √ 7 7
√ 21
设平面 与平面 所成锐二面角的平面角为 ，则cos = |cos , | = ，
7
√ 21
所以平面 与平面 所成锐二面角的余弦值为
7
5 1 2 5 2
18.解：(1)若 = 5，则 ( ) = 2ln + , ′( ) = + ，
2 2 3
所以 ′(1) = 1, (1) = 4，
故所求的切线方程为 = + 5．
2 2 2 2 +2
(2)( ) ′( ) = + = , > 0．
2 3 3
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设 1, 2( 1 < 2)为 ( )的两个极值点，则 1, 2是方程
′( ) = 0的两个实数根，即方程2 2 + 2 = 0
的两个正实数根．
Δ = 2 16 > 0,

所以{ 1 + 2 = > 0,解得 > 4， 2
1 2 = 1 > 0,
即 的取值范围是(4, +∞)．
( )根据( )可知，当 ∈ (0, 1)或 ∈ ( , +∞)时，
′
2 ( ) > 0， ( )单调递增，当 ∈ ( 1, 2)时，
′( ) <
0, ( )单调递减，
所以 1是 ( )的极大值点， 2是 ( )的极小值点，即 0 = 2．

又 1 + 2 = , 2 1
2 = 1，
1 2 2( + )
所以 ( 2) = 2ln 2 + 2 = ln
2 + 1 2 1 2 = ln 2 + 1 + 2．
2 2 1 2 2
2
2 1 2

设 = 2，由0 < 1 < 2可知 =
2 > 1．
1 1
1 1
令 ( ) = ln + + 2，则 ′( ) = 2 , > 0，
当 ∈ (0,1)时， ′( ) < 0, ( )单调递减，
当 ∈ (1, +∞)时， ′( ) > 0, ( )单调递增，
所以当 > 1时， ( ) > (1) = 3，即 ( 0) = ( 2) > 3．
√ 6
19.解：(1)由题可知， = 1，所以 2 = 1 = 2 2，又点 (√ 2, )在 上，
2
2 3
所以 2 + 2 = 1，解得
2 = 4．
2( 1)
2 2
所以椭圆 的标准方程为 + = 1；
4 3
1
| || |sin∠ 2 | |(2)因为 = 1 = ， | || |sin∠ | |
2
所以sin∠ = sin∠ ，所以 + = 0，
显然直线 的斜率存在且不为0.设直线 的方程为 = + ，
( 1, 1), ( 2, 2)且 1 ≠ 3, 1 ≠ 3．
2 2
由{ + = 1,4 3 得(3 + 4 2) 2 + 8 + 4 2 12 = 0，
= + ,
8 4 2 12
所以 1 + 2 = 2 , 1 2 = 2 ，①
3+4 3+4
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+ +
所以 + =
1 + 2 = 1 2 + = 0， 1 1 2 1 1 1 2 1
整理得2 1 2 + ( )( 1 + 2) 2 = 0，
4 2 12 8km
将①式代入得2 ( 2 ) + ( ) ( 2) 2 = 0，化简得 = 4 ，
3+4 3+4
所以直线 的方程为 = 4 = ( 4)，直线 过定点(4,0)
(3)由(2)得(3 + 4 2) 2 32 2 + 4(16 2 3) = 0，
由 = 16(9 36 2
1
) > 0，解得0 ≤ 2 < ，
4
2 2
32 4(16 3)
且 1 + 2 = 2 , 1 2 = 2 ，②
3+4 3+4
1 1
所以 = | || 1 2| = |3 |√ ( + )21 2 4 1 2， 2 2
2 2
4 (1 4 )
代入②式得 = 9√ 2 ，令3 + 4
2 = ∈ (3,4)，
2
(3+4 )
( 3)(4 ) 12 7
所以 = 9√ 2 = 9√ 2
+ 1，

1 7 √ 21 3√ 3
所以当 = ，即 = ± 时，(
24 14
)max = ． 4
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