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山东省德州市禹城市综合实验高中2026届高三上学期期中模拟
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知数列的前项之积是首项为，公差为的等差数列，则( )
A. B. C. D.
3.已知函数若，则( )
A. B. C. D.
4.若函数的最小正周期为，则正实数( )
A. B. C. D.
5.记向量，设甲：向量与向量的夹角为锐角，乙：，则甲是乙的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6.已知函数的定义域为，且满足，当时，，则当时，函数的最大值为( )
A. B. C. D.
7.已知圆锥的顶点为，母线，所成角的余弦值为，与圆锥底面所成角为，若的面积为，则该圆锥的侧面积为( )
A. B. C. D.
8.定义在上的函数的导函数为，满足，且当时，，则不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数在复平面内的对应点为，复数在复平面内的对应点为，且，则下列结论正确的是( )
A.
B. 的共轭复数是
C.
D. 复数在复平面上的对应点位于第二象限
10.在正四棱柱中，，是的中点，则( )
A. 平面
B. 平面
C. 对角线与底面所成的角为
D. 四面体的体积是
11.已知函数，则下列说法正确的是( )
A. 当时，有两个零点
B. 当时，曲线关于点对称
C. 当时，若过点可以作曲线的三条切线，则
D. 存在使得方程有三个不等的实根，且
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，则的最小值为 ．
13.在中，边上的两条中线分别为，若，则 ．
14.若函数有且仅有两个零点，则实数的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知向量与是夹角为的单位向量，且向量．
求；
若，求实数的值．
16.本小题分
已知分别为内角的对边，，且．
求；
若，的面积为，求的周长．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面底面，且．
若点为线段的中点，求证：平面；
若，则线段上是否存在一点，使得平面，若存在，请确定点的位置，并求三棱锥的体积．
18.本小题分
已知数列满足，且对任意正整数有，数列满足
证明：数列是等比数列；
设，数列的前项和；
求；
若不等式对任意的正整数恒成立，求实数的取值范围．
19.本小题分
已知函数．
当时，求函数的极值；
当时，，求的取值范围；
求证：．
参考答案
1.
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8.
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10.
11.
12.
13.
14.
15.解：由题意可得，
，
根据题意，则有，
即，
所以，．

16.解：
即
或
在中，
故
，即，
的面积为，且由第一问可知：
由面积公式得：
由余弦定理得：
解得：
的周长为

17.解：因为四边形为正方形，所以，
因为侧面底面，平面平面，平面，
所以平面，
又平面，所以．
又因为，且为中点，所以，
又因为，所以平面；
如图分别取的三等分点，
结合题意可得：，．
又因为平面，平面，所以平面，同理平面．
因为平面，平面，平面，
所以平面平面，又因为平面，所以平面，
此时为靠近点的三等分点，
所以．

18.解：证明：因为，
所以．
因为，所以．
又，所以，即证得是首项为，公比为的等比数列．
由可得，则，
，
，
两式相减得：，
即，
所以，则．
因为不等式对任意的正整数恒成立，
即对任意的正整数恒成立，
当为偶数时，因为在为增函数，
所以；
当为奇数时，对任意的正整数恒成立，
所以，解得．
综上，实数的取值范围为．

19.解：当时，，定义域为，
，
由，得；由，得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以函数有极大值，无极小值．
由题意得，．
当时，，
令，则，
当时，，则在上单调递增，
所以，所以当时，，
所以，所以在上单调递增，
所以，所以满足题意．
当时，令，
所以当时，，所以在上单调递减，
又，所以当时，，所以在上单调递减，
所以，所以不符合题意．
当时，，所以在上单调递减，
所以，所以不符合题意．
综上，实数的取值范围是．
由得，当时，，所以．
当时，，所以．
令，得，即．
所以，
即．
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