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(共18张PPT)
拔尖专训 9
解直角三角形的常见类型
1．
在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，则cos A的值为________.
2．
[2025常德期中]如图，∠ACB＝90°，AB＝13，AC＝12，∠BCM＝∠BAC.
(1)求sin∠BAC的值；
(2)求点B到直线MC的距离.
3．
如图，在△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°，AB＝3.
(1)求AC的长；
(2)求BC的长.
4．
[2025长沙模拟]如图，彩旗旗杆AB用AC，AD两根钢丝固定在地面上，点A，B，C，D在同一平面内，AB⊥CD，BC＝2 m，∠ACB＝45°，∠ADB＝30°.
(1)求旗杆AB部分的长；
(2)求钢丝的总长度．(结果保留根号)
5．
如果等腰三角形的底角为30°，腰长为6 cm，那么这个等腰三角形的面积为(　　)
【点拨】
【答案】B
6．
7．
(2)求sin ∠BAE的值.
8．
【点方法】
9．
已知a，b，c分别是△ABC中∠A，∠B，∠C的对边，关于x的一元二次方程a(1－x2)＋2bx＋c(1＋x2)＝0有两个相等的实数根，且3c＝a＋3b.
(1)判断△ABC的形状；
【解】将方程整理，得(c－a)x2＋2bx＋a＋c＝0，
则Δ＝(2b)2－4(c－a)(a＋c)＝4(b2＋a2－c2)．
∵方程有两个相等的实数根，
∴Δ＝0，即b2＋a2＝c2. ∴△ABC为直角三角形，且∠C＝90°.
(2)求sin A＋sin B的值.(共19张PPT)
拔尖专训 10
锐角三角函数的跨学科应用
1．
【新知学习】如图①，两个力作用于点A，线段AB，AD的长度分别表示力的大小，箭头方向为力的方向，则两个力可以产生一个效果相同的合力，此合力的大小可用以AB，AD为邻边的平行四边形ABCD的对角线AC的长度表示，合力方向为AC箭头方向.
【数学实践】现有两个同规格的滑轮、若干个同质量的砝码和一条无弹性绳子，如图②，将两个滑轮固定在同一水平高度的A，B两点，在绳子的固定位置点C处挂5个砝码，绳子分别绕过两个滑轮，两端分别挂4个和3个砝码，平衡静止时，量得夹角∠ACB＝90°，根据“新知学习”进行受力分析，如图③，作 CDEF，此时，CE＝CG，即CD：CF：CE＝3：4：5，从而验证了∠ACB是直角.
【问题解决】(1)若将挂中间的5个砝码中取出1个挂在右边，使三处所挂砝码均为4个，平衡静止时，∠ACB的度数为________°.
(2)若将挂中间的5个砝码中取走1个，使从左到右三处所挂砝码个数分别为4个、4个、3个，平衡静止时，sin∠ABC的值为________.
120
【点拨】
(1)由题意得，在 CDEF中，CD：CF：CE＝1：1：1，易知CF＝EF＝CE，∴△CEF是等边三角形，∴∠FCE＝60°，同理可得∠ECD＝60°，∴∠ACB＝∠ACE＋∠BCE＝120°.
2．
【观察实验】为了观察光线的折射现象，设计了如图所示的实验，矩形ABFE为水槽的截面，利用激光笔在点P处发射一束红光，容器中不装水时，光斑恰好落在B处，加水至EF处时，光斑左移至C处．测得BF＝12 cm，
DF＝16 cm.
(1)求入射角α的度数；
3．
(1)求酒精灯与铁架台的水平距离CD的长度(结果精确到0.1 cm)；
(2)实验时，导气管紧贴水槽MN，延长BM交CN的延长线于点F，且MN⊥CF(点C，D，N，F在一条直线上)，测得DE＝27.36 cm，MN＝8 cm，∠ABM＝145°，求线段DN的长度(结果精确到0.1 cm)．(参考数据：sin 10°≈0.17，cos 10°≈0.98，tan 10°≈0.18)
【解】如图，过点B分别作BH⊥DE，BP⊥FC，垂足分别为H，P.∴易知∠EBH＝∠AEG＝10°，四边形BHDP是矩形，
∴BH＝DP，HD＝BP.在Rt△BEH中，BE＝8 cm，∠EBH＝10°，∴HE＝sin 10°·EB≈1.36 cm，BH＝cos 10°·EB≈7.84 cm＝DP，
∴HD＝DE－HE≈27.36－1.36≈26(cm)＝BP.
∵∠ABF＝145°，∴∠PBF＝145°－90°－10°＝45°，
∴易知PF＝BP≈26 cm.
∵MN⊥CF，∴易知∠NMF＝45°.
∴NF＝MN＝8 cm，
∴DN＝DP＋PF－NF≈7.84＋26－8≈25.8(cm)．
答：线段DN的长度约为25.8 cm.
4．
地理兴趣小组想计算某市所在纬度的纬线圈的长度，下面是该小组成员查阅资料，得到的相关信息： (1)如图，在地球仪表面，与地轴垂直并环绕地球一周的圆圈叫纬线圈．赤道是最大的纬线圈，纬线圈长短不相同．地球表面任意一点到地心的距离叫做地球的半径，地球半径约为6 400 km；
(2)该市的纬度约为北纬38°. 请你帮助该小组成员完成求解过程．(参考数据：π取3，sin 38°≈0.62，cos 38°≈0.79，tan 38°≈0.78)(共18张PPT)
拔尖专训 5
相似三角形中证明等积式的方法
1．
[2025青岛校级月考]如图，在△ABC中，∠B＝∠C，点P从点B运动到点C，且∠APD＝∠C.
(1)求证：AB·CD＝CP·BP；
(2)若AB＝6，BC＝10，求当BP长为多少时，PD∥AB.
2．
已知：如图，在 ABCD中，点E，F分别在边BC，AB上，AE2＝BE·AD，EF＝EB.求证：AF·DE＝AE·EC.
3．
[2025上海虹桥区模拟]如图，在△ABC中，点D在边BC上，点G在边AB上，点E，F在边AC上，GD∥AC，∠DGF＝∠DEF，∠B＝∠GFE.
求证：AC·GF＝AB·CD.
4．
如图，D是△ABC的边BC上一点，点E在△ABC外部，且∠BAE＝∠CAD，∠ACD＝∠ADC＝∠ADE，DE交AB于点F.如果AD＝AF，求证：EF2＝BF·AB.
【证明】∵∠ACD＝∠ADC，
∴AC＝AD，∠CAD＝180°－2∠ADC.
∵∠BAE＝∠CAD，∴∠BAC＝∠EAD.
∵∠ACB＝∠ADE，∴△ABC≌△AED，∴AB＝AE.
∵AD＝AF，∴∠ADF＝∠AFD，
∴∠DAF＝180°－2∠ADF.
∵∠ADC＝∠ADE，∴∠CAD＝∠DAF.
∵∠BAE＝∠CAD，∴∠DAF＝∠BAE.
5．
如图，在△ABC中，D为BC的中点，点P在AD上，过点P分别作PM∥AC交AB于点M，PN∥AB交AC于点N.
求证：AB·AN＝AC·AM.
6．
如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC，BD交于点E，点F在边AB上，连结CF交线段BE于点G，
CG2＝GE·GD.
(1)求证：∠ACF＝∠ABD；
(2)连结EF，求证：BC·FG＝EF·BG.
7．
如图，CE是Rt△ABC的斜边AB上的高，延长CE至点P，连结AP，过B作BG⊥AP于点G，交CP于点D.
求证：CE2＝ED·EP.
8．
[2025济南槐荫区期末] 如图，CE是Rt△ABC斜边AB上的高，在EC的延长线上任取一点P，连结AP，过B作BG⊥AP，垂足为G，交CE于点D.求证：CE2＝PE·DE.(共20张PPT)
拔尖专训 11
锐角三角函数中的新定义题
1．
规定：sin (－x)＝－sin x，cos (－x)＝cos x，cos (x＋y)＝cos xcos y－sin xsin y，则下列结论正确的是(　　)
【点拨】
【答案】C
2．
3．
【点拨】
4．
阅读理解：通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小，与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似地，可以在等腰三角形中，建立边角之间的联系．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角正对(sad)．
(1)计算：sad 60°＝________；
(2)对于0°<∠A<90°，∠A的正对值sad A的取值范围是____________；
1
5．
我们知道，图①中四个比值的大小与∠A的大小有关，而与直角三角形的大小无关，同样图②中四个比值的大小也仅与角α的大小有关，而与点P在角α的终边上的位置无关．比较图①与图②，可以看出一个角的三角函数的意义的两种规定实际上是一样的，根据第二种规定回答下列问题.
(1)若90°<α<180°，则在角α的三角函数值sin α，cos α，tan α，cot α中，它们的相反数取负值的是________；
(2)若角α的终边与直线y＝3x重合，则sin α＋cos α＝
____________；
sin α
【点拨】
【点拨】
(4)若180°≤α≤270°，求sin α＋cos α的取值范围.(共14张PPT)
拔尖专训 2
配方法的应用
1．
【阅读材料】若x2＋y2＋8x－6y＋25＝0，求x，y的值. 解：∵x2＋y2＋8x－6y＋25＝0，
∴(x2＋8x＋16)＋(y2－6y＋9)＝0，
∴(x＋4)2＋(y－3)2＝0，
∴x＋4＝0，y－3＝0，∴x＝－4，y＝3.
【解决问题】已知a，b，c是△ABC的三边长，且b，c满足b2＋c2＝8b＋4c－20，a是△ABC中最长的边，求a的取值范围.
【解】∵b2＋c2＝8b＋4c－20，∴b2＋c2－8b－4c＋20＝0，
∴(b2－8b＋16)＋(c2－4c＋4)＝0，∴(b－4)2＋(c－2)2＝0，
∴b－4＝0，c－2＝0，∴b＝4，c＝2.
∵a是△ABC中最长的边，∴4≤a＜4＋2，即4≤a<6.
2．
[2025重庆丰都区月考]【项目学习】我们把多项式
a2＋2ab＋b2及a2－2ab＋b2叫做完全平方式.
如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个多项式的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法．例如：当a取何值时，代数式a2＋6a＋8有最小值？最小值是多少
解：a2＋6a＋8＝a2＋6a＋32－32＋8＝(a＋3)2－1.
因为(a＋3)2≥0，所以a2＋6a＋8≥－1，
因此，当a＝－3时，代数式a2＋6a＋8有最小值，最小值是－1.
【问题解决】(1)当x＝________时，代数式x2－2x－1有最小值，最小值为________.
1
－2
(2)当x取何值时，代数式2x2＋8x＋12有最小值？最小值是多少？
【解】2x2＋8x＋12＝2(x2＋4x＋6)
＝2(x2＋4x＋4＋2)＝2(x＋2)2＋4.
因为(x＋2)2≥0，所以2x2＋8x＋12≥4，
因此，当x＝－2时，代数式2x2＋8x＋12有最小值，
最小值是4.
【拓展提高】
(3)当x，y取何值时，代数式5x2－4xy＋y2＋6x＋25有最小值，最小值为多少？
【解】5x2－4xy＋y2＋6x＋25＝4x2－4xy＋y2＋x2＋
6x＋9＋16＝(2x－y)2＋(x＋3)2＋16.
因为(2x－y)2≥0，(x＋3)2≥0，所以5x2－4xy＋y2＋6x＋25≥16，
因此，当2x－y＝0，x＋3＝0，即x＝－3，y＝－6时，
代数式5x2－4xy＋y2＋6x＋25有最小值，最小值是16.
3．
小明在学习配方法时，将关于x的多项式x2－2x＋3配方成(x－1)2＋2，发现当x－1取任意一对互为相反数的数时，多项式x2－2x＋3的值是相等的．例如：当x－1＝±2，即x＝3或－1时，x2－2x＋3的值均为6；当x－1＝±3，即x＝4或－2时，x2－2x＋3的值均为11.
于是小明给出一个定义：对于关于x的多项式，若当x－t取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于x＝t对偶，例如x2－2x＋3关于x＝1对偶.
请你结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题：
(1)多项式x2－8x＋10关于________对偶；
x＝4
【点拨】
∵ x2－8x＋10＝(x－4)2－6，∴当x－4取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，∴多项式x2－8x＋10关于x＝4对偶．
(2)当x＝m或9－m时，关于x的多项式x2＋2bx＋c的值相等，求b的值；
【解】x2＋2bx＋c＝(x＋b)2－b2＋c.
∵当x＝m或9－m时，关于x的多项式x2＋2bx＋c的值相等，
∴(m＋b)＋(9－m＋b)＝0，解得b＝－4.5.
(3)若整式(x2＋8x＋16)(x2－4x＋4)关于x＝n对偶，求n的值.
【解】(x2＋8x＋16)(x2－4x＋4)
＝(x＋4)2(x－2)2＝[(x＋4)×(x－2)]2
＝(x2＋2x－8)2＝[(x＋1)2－9]2.
∵整式(x2＋8x＋16)(x2－4x＋4)关于x＝n对偶，
∴n＝－1.
4．
已知代数式A＝2x2＋5x－3，B＝x2＋x－8.
(1)当x为何值时，代数式A比B的值大2？
【解】根据题意，得(2x2＋5x－3)－(x2＋x－8)＝2，
整理，得x2＋4x＋3＝0，
∴(x＋2)2＝1，∴x1＝－1，x2＝－3，
即当x为－1或－3时，代数式A比B的值大2.
(2)求证：对于任意x的值，代数式A－B的值恒为正数.
【证明】A－B＝(2x2＋5x－3)－(x2＋x－8)
＝2x2＋5x－3－x2－x＋8＝x2＋4x＋5＝(x＋2)2＋1.
∵对于任意x的值，总有(x＋2)2≥0，
∴(x＋2)2＋1＞0，即A－B＞0.
∴对于任意x的值，代数式A－B的值恒为正数．(共21张PPT)
拔尖专训 12
概率与其他知识的综合运用
A
1．
在盒子里放有分别写有整式2，π，x，x＋1的四张卡片，从中随机抽取两张，把卡片上的整式分别作为分子和分母，则能组成分式的概率是(　　)
2．
将号码分别为1，2，3，…，9的九个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同，甲从袋中摸出一个球，号码为a，放回后摇匀，乙再摸出一个球，号码为b，则使不等式a－2b＋10>0成立的事件发生的概率为(　　)
【点拨】
【答案】D
3．
有四张完全相同且不透明的卡片，正面分别标有数－3，－2，－1，1，将四张卡片背面朝上，随机抽取一张，所得卡片上的数记为m，不放回，再随机抽取一张，所得卡片上的数记为n，则方程mx2＋nx＋3＝0没有实数根的概率为 ________.
【点拨】
画树状图如图：
4．
A
5．
[2025重庆江北区月考]有四张完全相同且不透明的卡片，正面分别标有数字－1，－2，1，2，将四张卡片背面朝上，任抽一张卡片，卡片上的数字记为a，放回后洗匀，再抽一张，卡片上的数字记为b，则函数y＝ax＋b的图象不经过第二象限的概率是________.
【点拨】
画树状图如图：
6．
已知四边形ABCD的对角线为AC，BD，有下列四个条件：①AD∥BC，AB∥CD；②AD∥BC，AD＝BC；③AC＝BD；④AC⊥BD.
(1)从中任选一个作为条件，能判定四边形ABCD是平行四边形的概率是________；
(2)从中任选两个作为条件，能判定四边形ABCD是矩形的概率是________.
7．
随着快递行业在农村的深入发展，全国各地的特色农产品有了更广阔的销售空间．不同的快递公司在配送、服务、收费和投递范围等方面各具优势．某农产品种植户经过前期调研，打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作．为此，该种植户收集了10家农产品种植户对两家公司的相关评价，并整理、描述、分析如下：
配送速度和服务质量得分统计表
项目统计量 快递公司 配送速度得分 服务质量得分 平均数/分 中位数/分 平均数/分 方差
甲 7.8 m 7 s2甲
乙 8 8 7 s2乙
(1)补全频数分布直方图，扇形统计图中圆心角α的度数是________；
(2)表格中的m＝________；s2甲______s2乙(填“>”“＝”或“<”)；
【解】补全频数直方图如图①.　
72°
7.5
<
(3)如果A，B，C三家农产品种植户分别从甲、乙两家快递公司中任选一家合作，求三家种植户选择同一家快递公司的概率．
8．
如图，电路图有4个未闭合的开关，一个电源和一个小灯泡，已知电路图上的每个部分都能正常工作，任意闭合其中两个开关，使得小灯泡发光的概率为(　　)
B
9．
人的单双眼皮在遗传学上被称为一对相对性状，具体形态主要和遗传因素有关，双眼皮为显性基因控制，单眼皮为隐性基因控制，决定双眼皮的基因R是显性的，单眼皮的基因r是隐性的，因此决定眼皮为单双的基因有RR，Rr，rr三种，其中基因为RR和Rr的人为双眼皮，基因为rr的人为单眼皮，父母分别将他们一对基因中的一个基因等可能地遗传给子女．若父母的基因都是Rr，则他们的子女是双眼皮的概率为(　　)
D
10．
[2025重庆八中期中]有5个外观完全相同且密封不透明的试剂瓶，分别装有稀硫酸、稀盐酸、氯化钠、碳酸钠和氢氧化钠五种溶液，小星从这5个试剂瓶中任意抽取
2个，则抽到的2个都是酸性溶液(稀硫酸溶液、稀盐酸溶液)的概率是________.
【点拨】
氯化钠、碳酸钠、氢氧化钠、稀硫酸、稀盐酸5个试剂瓶分别用A1，A2，A3，B1，B2表示，列表如下：
A1 A2 A3 B1 B2
A1 (A2，A1) (A3，A1) (B1，A1) (B2，A1)
A2 (A1，A2) (A3，A2) (B1，A2) (B2，A2)
A3 (A1，A3) (A2，A3) (B1，A3) (B2，A3)
B1 (A1，B1) (A2，B1) (A3，B1) (B2，B1)
B2 (A1，B2) (A2，B2) (A3，B2) (B1，B2) (共26张PPT)
拔尖专训 6
相似中的最值问题
1．
【点拨】
2．
【点拨】
3．
如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝6，点O是矩形ABCD的对称中心，点E在AD边上，且AE＝2，点F是BC边上的动点，连结EF，OF，求EF－OF的最大值.
【解】如图，连结BD，EO，延长EO交BC于点G，过点O作OH⊥AD于点H，易知当点F与点G重合时，EF－OF取得最大值，最大值为线段OE的长．∵点O是矩形ABCD的对称中心，∴OB＝OD.
4．
[2025成都郫都区期末]如图，△ABC，△ADE共顶点A，且△ABC∽△ADE.
(1)如图①，连结BD，CE，求证：△ABD∽△ACE；
(2)如图②，已知∠BAC＝90°，AC＝3，BC＝5.连结CD，CE，若CD＝2，求CE的最大值；
(3)如图③，已知∠AED＝90°，∠ADE＝30°，点C在DE上．若AE＝2，连结BD，求BD的最小值.
【解】如图，延长DE至点F，使FE＝DE，连结AF，作直线FB.
∵∠AED＝90°，
∴∠AEF＝∠AED＝90°.
又∵FE＝DE，AE＝AE，
∴△AFE≌△ADE.
∵△ABC∽△ADE，
∴△ABC∽△AFE，
5．
(1)当E为AC的中点时，求点F的坐标，并直接写出EF与对角线BC的关系；
(2)连结CD.
①△AFE与△ABC是否相似？请说明理由；
②△CDE的周长是否有最小值，若有，请求出最小值；若没有，请说明理由.
【解】∵△AFE∽△ABC，∴∠AFE＝∠ABC，∴EF∥BC.
连结AD，易知点A，D关于直线EF对称，∴AD⊥EF，∴AD⊥BC，
∴点D在过点A且与BC垂直的直线上．
易知C△CDE＝CD＋CE＋DE＝CD＋CE＋AE＝CD＋AC＝CD＋4，
6．
[2025济南天桥区月考]材料：对于一个关于x的二次三项式ax2＋bx＋c(a≠0)，除了可以利用配方法求该多项式的取值范围外，爱思考的小宁同学还想到了利用根的判别式的方法，如下：
例：求x2＋2x＋5的最小值.
解：令x2＋2x＋5＝y，∴x2＋2x＋(5－y)＝0，
∴Δ＝4－4×(5－y)≥0，∴y≥4，∴x2＋2x＋5的最小值为4.
请利用上述方法解决下列问题：
如图，在△ABC中，BC＝10，高AD＝8，矩形EFPQ的边QP在边BC上，E，F两点分别在边AB，AC上，AD交EF于点H.
(1)若EF＝2EQ，求矩形EFPQ的面积；
(2)设EQ＝x，求矩形EFPQ的面积S的最大值.(共23张PPT)
拔尖专训 3
与一元二次方程有关的新定义题
－3＜t＜－2
1．
【点拨】
2．
定义新运算：对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号Max{a，b}表示a，b中的较大数，如：Max{1，2}＝2.
(1)填空：Max{－1，－3}＝________；
－1
3．
定义：若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的
两个实数根分别为x1，x2(x1(1)直接写出方程x2＋2x＝0的衍生点M的坐标：________；
(－2，0)
(2)已知关于x的方程x2－2(m＋1)x＋m2＋2m＝0.
①求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根；
【证明】∵Δ＝[－2(m＋1)]2－4(m2＋2m)＝4>0，
∴不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根．
②求该方程的衍生点M的坐标；
【解】解x2－2(m＋1)x＋m2＋2m＝0，
得x1＝m，x2＝m＋2.
∵m＋2>m，∴方程x2－2(m＋1)x＋m2＋2m＝0
的衍生点M的坐标为(m，m＋2)．
③已知不论k(k≠0)为何值，关于x的方程x2＋bx＋c＝0的衍生点M始终在直线y＝kx＋3(2－k)上，求b，c的值.
【解】∵y＝kx＋3(2－k)＝k(x－3)＋6，
∴直线过定点M(3，6)，
∴方程x2＋bx＋c＝0的两个实数根为x1＝3，x2＝6，
∴x1＋x2＝－b＝3＋6＝9，x1x2＝c＝3×6＝18，
∴b＝－9，c＝18.
4．
读完这段文字，请你解答以下问题：
(1)填空：i3＝________，i4＝________，i2＋i3＋i4＋…＋ i2 025＝________；
(2)已知(a＋i)(b＋i)＝1－3i，写出一个以a，b的值为解的一元二次方程：__________________________；
－i
1
0
x2＋3x＋2＝0(答案不唯一)
(3)在复数范围内，解一元二次方程x2－4x＋8＝0.
【解】∵x2－4x＋8＝0，
∴x2－4x＋4＝－4.∴(x－2)2＝4i2.
∴x－2＝±2i.
∴x1＝2＋2i，x2＝2－2i.
5．
古希腊数学家丢番图在《算术》中就提到了一元二次方程的问题，不过当时古希腊人还没有寻求到它的求根公式，只能用图解等方法来求解．在欧几里得的《几何原本》中，形如x2＋ax＝b2(a＞0，b＞0)的方程的图解法是：
【点拨】
【答案】C
∴25m2＝9(m2＋64)，解得m＝6或m＝－6.
根据题意，得m＞0，∴m＝6.经检验，m＝6是原分式方程的解．
故选C.
6．
华裔数学家罗博深在2019年提出了一种全新的一元二次方程解法，对于x2＋bx＋c＝0，将等式左边进行因式分解，得到以下形式：
x2＋bx＋c＝(x－m)·(x－n)(从这里可以看出方程的解为
x1＝m，x2＝n)，
即x2＋bx＋c＝x2－(m＋n)x＋mn.(共21张PPT)
拔尖专训 7
相似三角形中的变换问题
1．
【问题情境】在数学活动课上，奋飞组的同学用两张矩形纸片进行探究活动．该小组同学准备了两张矩形纸片ABCD和EBGF(共顶点B)，其中AB＝8，BC＝6，将它们按如图①所示的方式放置，点E，G分别落在AB，BC边上时，点E，G恰好为边AB，BC的中点．然后将矩形纸片EBGF绕点B按顺时针方向旋转，旋转角为α，连结AE，CG.
【观察发现】(1)如图②所示，当α＝90°时，小组成员发现AE与CG存在的数量关系为________，位置关系为________；
AE⊥CG
【探索猜想】(2)如图③所示，当90°＜α＜180°时，(1)中发现的结论是否仍然成立？请说明理由；
【解】当90°＜α＜180°时，(1)中发现的结论仍然成立．
理由：设AE与BC，CG分别交于点P，O.
∵四边形ABCD和四边形EBGF都是矩形，
∴∠ABC＝∠EBG＝90°.∴∠ABC＋∠CBE＝∠EBG＋∠CBE，即∠ABE＝∠CBG.
【拓展延伸】(3)如图③所示，在矩形EBGF的旋转过程中，连结AG，CE，得AG2＋CE2为定值，请直接写出此定值.
AG2＋CE2的定值为125.
2．
【问题情境】在课外小组活动中，创新小组以“菱形纸片中的图形变换”为主题开展数学活动．如图①，边长为 12 cm的菱形纸片ABCD(∠BAD>90°)，对角线AC＝8 cm. 【实践探究】(1)成员甲：将图①中的△ABC折叠，使点B落在线段BC的延长线上的点G处，得到折痕AH，如图②，求折痕AH的长；
(2)成员乙：将图①中菱形纸片ABCD(∠BAD>90°)沿对角线AC剪开，得到△ABC和△ACD.再将△ACD以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转角α，使α＝2∠BAC，得到如图③所示的△AEF，点C，D的对应点分别为点E，F，连结FB，EC，得到四边形BCEF，请判断四边形BCEF的形状，并证明；
【拓展提高】(3)小组组长根据图③，在成员乙发现结论的基础上，提出一个平移问题：将△AEF沿着射线FB方向平移a cm，得到△A′E′F′，连结BF′，CE′，使四边形BCE′F′恰好为正方形，请求出a的值.
3．
【探索发现】在一次折纸活动中，小亮同学选用了矩形纸张，即如图①所示的矩形ABCD.他先通过对折找到AB边的中点E，再将△AED沿着直线DE翻折得到△A′ED，连结A′B，小亮猜想A′B∥DE.
【问题解决】小亮对上面A′B∥DE的猜想进行了证明，下面是部分证明过程：
证明：∵E为AB边的中点，∴AE＝EB.∵将△AED沿着直线DE翻折得到△A′ED，∴AE＝A′E，
∠DEA＝∠DEA′，∴A′E＝BE，
∴∠EA′B＝∠EBA′.
请你补全余下的证明过程.
【解】∵2∠DEA＝∠AEA′＝∠EA′B＋∠EBA′＝2∠EBA′，∴∠DEA＝∠EBA′，∴A′B∥DE.
【结论应用】(1)如图①，在【探索发现】的基础上，若A′B：DE＝3：5，△A′EB的面积为6，求矩形ABCD的面积；
【点拨】(共21张PPT)
拔尖专训 4
添加辅助线构造三角形相似的方法
1．
[2025济南历下区月考]在△ABC中，∠ACB＝90°，BE是AC边上的中线，点D在射线BC上.
2．
[2025石家庄新华区月考]已知：如图，在 ABCD中，AB＝3 cm，BC＝5 cm，AC⊥AB，△ACD沿AC方向以1 cm/s的速度平移得到△PNM时，同时，点Q从点C出发，沿CB方向以1 cm/s的速度运动．当△PNM停止平移时，点Q也停止运动，设运动时间为t s(0(1)当t为何值时PQ⊥AC？
(2)当S△PQC：S四边形ABQP＝1：35时，求t的值.
3．
【点拨】
4．
(2)如图②，已知AD＝AE＝1，点M在边BC上，连结EM，DM，EC，DM与EC交于点N.若BC＝4，CD2＝DN·DM，∠DMC＝∠CEM，求边CD的长.
F
A
E
P
C
B
D
①
A
P
2
E
3
D
1
B
C
E
F
A
D
B
C
①
F
A
E
B
3
F
H
A
E
B
2
A
D
E
F
B
C
①
A
E
F
G
B
C
①
A
D
E
N
B
M
C
2
E
N
B
Q
M
C
2(共18张PPT)
拔尖专训 1
与二次根式有关的阅读理解题
1．
【点拨】
2．
3．
15
【点拨】
4．
小乐是一个善于思考的学生，他发现有多种方法求三角形的面积，以下是他的数学笔记，请认真阅读并解决下列问题.
思路2：可以利用勾股定理在正方形网格中构造三角形，求△ABC的面积.
思路2：可以利用勾股定理在正方形网格中构造三角形，求△ABC的面积.
(1)请根据思路1的公式，求△ABC的面积；
(2)请你结合思路2，在如图所示的网格中(正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点)，完成下列任务.
①画出△ABC，要求三个顶点都在格点上；
【解】如图，△ABC即为所求．
②结合图形，写出△ABC面积的计算过程，以及AC边上的高.
Ci D(共26张PPT)
拔尖专训 8
相似中的动点探究问题
1．
如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝12，E是BC的中点，连结AE，P是边AD上一动点，沿过点P的直线将矩形折叠，使点D落在AE上的点D′处，当△APD′是直角三角形时，PD＝________.
【点拨】
2．
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6 cm，BC＝8 cm，动点P从点B出发，在BA边上以5 cm/s的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以4 cm/s的速度向点B匀速运动，运动时间为t s(0＜t＜2). (1)如图①，连结PQ.
若△BPQ与△ABC相似，求t的值；
(2)直接写出△BPQ是等腰三角形时t的值；
【点拨】
(3)如图②，连结AQ，CP，若AQ⊥CP，求t的值.
3．
综合与实践
(1)【问题发现】在学习了“特殊平行四边形”后，兴趣小组的同学发现了这样一个问题：如图①，已知正方形ABCD，E为对角线AC上一动点，过点C作垂直于AC的射线CG，点F在射线CG上，且∠EBF＝90°，连结EF.通过观察图形，直接写出BE与
BF的数量关系：__________.
BE＝BF
(2)【类比探究】该兴趣小组的同学在探究了正方形中的结论后，将正方形换成矩形继续探究．如图②，已知矩形ABCD，AB＝8，AD＝4，E为对角线AC上一动点，过点C作垂直于AC的射线CG，点F在射线CG上，且∠EBF＝90°，连结EF.请判断线段AE与CF的数量关系，并说明理由.
(3)【拓展应用】在(2)的条件下，当四边形BECF为轴对称图形时，请直接写出线段BF的长.
【点拨】
4．
如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，且AB＝2CD，E是AB的中点，F是边BC上的动点(F不与B，C重合)，EF与BD相交于点M，连结DE.
(1)求证：△EDM∽△FBM；
【证明】∵AB＝2CD，
E是AB的中点，∴DC＝EB.
又∵AB∥CD，∴四边形BCDE为平行四边形，∴ED∥BC，
∴△EDM∽△FBM.
(2)若F是BC的中点，BD＝18，求BM的长；
(3)若AD＝BC，BD平分∠ABC，点P是线段BD上的动点，是否存在点P使DP·BP＝BF·CD，若存在，求出∠CPF的度数；若不存在，请说明理由.
∴△PDC∽△FBP，∴∠BPF＝∠PCD.
∵∠DPC＋∠CPF＋∠BPF＝180°，
∠DPC＋∠PDC＋∠PCD＝180°，
∴∠PDC＝∠CPF.
易知AD＝BC＝DE＝DC＝BE＝AE，
∴△ADE是等边三角形，∴∠AED＝60°，
∴易得∠EDB＝∠PDC＝30°，∴∠CPF＝30°.
5．
[2025深圳福田区期中]定义：在△ABC内有一点P，连结PA，PB，PC.在所得的△ACP，△ABP，△BCP中，若有且只有两个三角形相似，则称点P为△ABC的相似心.
(1)如图①，在5×5的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的顶点均在格点上，点P为△ABC内一点，请判断点P是否为△ABC的相似心．若是，请直接写出相似的两个三角形；若不是，请说明理由.
【解】点P是△ABC的相似心，
△ABP∽△CAP.
(2)如图②，在平面直角坐标系中，点A与点B分别为x轴负半轴、y轴正半轴上的两个动点，连结AB，设△OAB的外角平分线AM，BM交于点M，延长MB，MA分别交x轴于点G，交y轴于点H，连结GH.
①∠BMA的度数是________.
45°
②求证：点O为△MHG的相似心.
【证明】如图，过点M分别作MQ⊥x轴，
MP⊥y轴，MN⊥AB，垂足分别为Q，P，N，连结OM.
∵△OAB的外角平分线AM，BM交于点M，
∴MQ＝MN，MP＝MN，
∴MQ＝MP，∴OM平分∠AOB，

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