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第22章　一元二次方程
测素质 一元二次方程的应用
B
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1．
雾霾天气越来越破坏环境和危害人民的身体健康，某市2024年全年雾霾天气是36天，为了改善环境，减少雾霾天气，该市计划到2026年全年雾霾天气降到25天，若设这两年雾霾天气天数的平均下降率为x，根据题意，所列方程为(　　)
A．36(1＋x)2＝25 B．36(1－x)2＝25
C．25(1＋x)2＝36 D．36(1－2x)＝25
一、选择题(每小题4分，共32分)
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2．
在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，一共碰杯55次，若设参加酒会的人数为x，则可列方程为(　　)
C
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3．
[教材P40练习T3] 一种药品原价每盒48元，经过两次降价后每盒27元，两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为(　　)
A．20%
B．22%
C．25%
D．28%
C
4．
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平行四边形ABCD的边长如图所示，则四边形ABCD的周长为(　　)
A．22
B．42
C．33
D．54
B
5．
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C
6．
一个两位数的个位数字比十位数字大1，个位数字的平方与十位数字的平方的和为13，则这个两位数是(　　)
A．12
B．14
C．23
D．34
【点拨】
【答案】C
设这个两位数的十位数字为x，则个位数字为(x＋1)，由题意得x2＋(x＋1)2＝13，解得x1＝2，x2＝－3(舍去)，则x＋1＝3，故这个两位数是23.
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7．
如图，小程的爸爸用一段10 m长的铁丝网围成一个一边靠墙(墙长5.5 m)的矩形鸭舍，其面积为15 m2，在鸭舍侧面中间位置留一个1 m宽的门(由其他材料制成)，则BC的长为(　　)
A．5 m或6 m B．2.5 m或3 m
C．5 m D．3 m
【点拨】
【答案】C
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8．
如图，正方形被分割成四部分，其中Ⅰ，Ⅱ为正方形，Ⅲ，Ⅳ为长方形，Ⅰ，Ⅱ的面积之和等于Ⅲ，Ⅳ面积和的2倍．若Ⅱ的边长为2，且Ⅰ的面积小于Ⅱ的面积，则Ⅰ的边长为(　　)
【点拨】
【答案】A
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9．
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已知两个负数的差是4，这两个数的积是96，则这两个数中较小的一个数是________．
－12
二、填空题(每小题6分，共24分)
【点拨】
设这两个负数中较小的一个数是x，则较大的一个数为(x＋4)，由题意，得x(x＋4)＝96，解得x1＝8，x2＝－12.∵x＜0，∴x＝－12.故答案为－12.
10．
一根长64 cm的铁丝被剪成两段，每段均折成正方形．若两个正方形的面积和等于160 cm2，则大正方形的边长为________．
12 cm
【点拨】
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11．
某学校校园内有如图的一块长方形空地ABCD，已知BC＝20 m，AB＝10 m，学校准备在这块空地的中间
一块四边形EFGH内种花，其余部分铺设草坪，并要求AE＝AH＝CF＝CG，种花的面积为88 m2，则AE的长是________m.
4
【点拨】
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12．
返回
3
－3
13．
(12分)欣赏下面改编自《念奴娇·赤壁怀古》的诗歌，“大江东去浪淘尽，千古风流数人物．而立之年督东吴，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿符．”求这位风流人物去世的年龄．
三、解答题(共44分)
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【解】设十位数字为x，则个位数字为x＋3，
则根据题意，得10x＋(x＋3)＝(x＋3)2，
整理，得x2－5x＋6＝0，解得x1＝2，x2＝3，
由题意知，x＝2舍去，∴x＋3＝6.
∴这位风流人物去世的年龄为36岁．
14．
(16分)[2025重庆万州期中]某校为增强学生们的实践能力，新颖社团对学生的学习效率与学习时间的关系进行了研究和调查，研究发现学习行为开始后学习效率逐渐升高，但长时间学习容易造成的疲劳使得学习效率达到高峰后逐渐下降，下表是社团研究团队记录的研究数据：(备注：学习效率用0至1的数字表示)
记录学习效率时，每10分钟为一个记录单元．
(1)若40分钟到60分钟每10分钟的增长率相同，求m的值；
【解】设40分钟到50分钟的增长率为x，
根据题意得0.64(1＋x)2＝1，
解得x1＝0.25＝25%，x2＝－2.25(不符合题意，舍去)，
∴40分钟到50分钟的增长率为25%.
∴m＝0.64(1＋x)＝0.64×(1＋25%)＝0.8.
学习时间(分钟) … 40 50 60 …
学习效率 … 0.64 m 1 …
(2)研究发现，学习时间1小时，学习效率达到顶峰，1小时后学习效率逐渐下降，而且学习时间每增加10分钟，学习效率值下降0.2.若将学习时间(分钟)与学习效率值的乘积叫做学习效能，当学习效能低于20的时候为无效学习，此时必须停止学习．恰逢我校调整每晚作业时间，规定作业时间不少于1小时，根据以上研究成果计算每晚作业时间的合理范围．
设每晚作业的时间为(60＋10y)分钟，
根据题意得(60＋10y)(1－0.2y)＝20，
解得y1＝－5(不符合题意，舍去)，y2＝4，
∴60＋10y＝60＋10×4＝100.
∴超过100分钟为无效学习．
∴每晚作业时间的合理范围是60至100分钟．
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15．
(16分)新定义：如果一个矩形，它的周长和面积分别是另外一个矩形的周长和面积的一半，则这个矩形是另一个矩形的“减半”矩形．
(1)【验证】矩形EFGH是矩形ABCD的“减半”矩形，其中矩形ABCD的长为12、宽为2，矩形EFGH的长为4、宽为3.
(2)【探索】当一个矩形的长为2、宽为1时，它是否存在“减半”矩形？请作出判断，并说明理由．
【解】它不存在“减半”矩形．理由如下：
若题中矩形存在“减半”矩形，则设该“减半”
矩形的长和宽分别为m，n(m＞n)，
∵原矩形的长和宽分别为2和1，
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第22章　一元二次方程
22．2 一元二次方程的解法
3.公式法
A
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1．
如果一元二次方程x2＋px＋q＝0能用公式法求解，那么必须满足的条件是(　　)
A．p2－4q≥0
B．p2－4q≤0
C．p2－4q＞0
D．p2－4q＜0
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2．
A．2x2＋3x＋1＝0
B．2x2－3x＋1＝0
C．2x2＋3x－1＝0
D．2x2－3x－1＝0
B
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3．
[2025邯郸月考]利用公式法解一元二次方程2x2＋5x－1＝0可得两根分别为x1，x2，且x1D
4．
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B
5．
[2025石家庄桥西区期中]有一个正数x，x与1的和乘x与1的差仍得x，则x＝(　　)
【点拨】
【答案】B
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6．
返回
D
7．
用公式法解下列方程：
(1)2x2＋x－2＝0；　　
(3)－3x＝1－x2；
(4)4y2－3＝(y＋2)2.
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8．
已知m是方程ax2＋c＝0和方程cx2＋a＝0的一个实数根(其中ac≠0，且a≠c)，则方程ax2＋2ax＋c＝0一定有实数根(　　)
【点拨】
【答案】B
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9．
欧几里得在《几何原本》中记载了用图解法解方程x2＋ax＝b2的方法．类似地，我们可以用折纸的方法求方程x2＋x－1＝0的一个正根．如图，边长为1的正方形纸片ABCD，先对折得到边AD、边BC的中点E，F，再沿过点A的直线折叠使AD落在线段AF上，折痕为AG，点G在边CD上，点D对应点H，连结GF，下列四条线段的长度，其中恰好是方程x2＋x－1＝0的一个正根的线段为(　　)
A．线段BF
B．线段GD
C．线段CG
D．线段GF
【点拨】
【答案】B
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10．
对于两个不同的实数a，b，用max(a，b)表示其中较大的数，若x·max(x，－x)＝2x＋1，则x的值为(　　)
【点拨】
【答案】C
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11．
有一电脑程序，每按一次按键，屏幕的A区就会自动减去a2，同时B区就会自动加上3a，已知A，B两区初始显示的分别是25和－15，第一次按键后，A，B两区分别显示25－a2和－15＋3a，如图．问：
(1)第一次按键后A区代数式与B区代数式的值相等，请通过计算求a的值；
【解】根据题意得25－a2＝－15＋3a，
整理得a2＋3a－40＝0，即(a＋8)(a－5)＝0，
∴a＋8＝0或a－5＝0，
∴a1＝－8，a2＝5，即a的值为－8或5.
(2)从初始状态按3次后，A，B两区显示的代数式的和为1，请通过计算求a的值．
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12．
定义：如果关于x的方程a1x2＋b1x＋c1＝0(a1≠0，a1，b1，c1是常数)与a2x2＋b2x＋c2＝0(a2≠0，a2，b2，c2是常数)，其中方程中的二次项系数、一次项系数、常数项分别满足a1＋a2＝0，b1＝b2，c1＋c2＝0，则称这两个方程互为“对称方程”．例如：方程2x2－3x＋1＝0的“对称方程”是－2x2－3x－1＝0.若关于x的方程3x2＋(m－1)x－n＝0与－3x2－x＝－1互为“对称方程”，求3x2＋(m－1)x－n＝0的解．
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13．
阅读与思考：
观察下列方程及其关联方程的系数特征及其根的关系特征，解决问题：
方程及其根 方程及其根 方程及其 关联方程 方程的根 方程及其 关联方程 方程的根
①2x2－ 3x＋1＝0 ①x2＋ 2x－3＝0 x1＝－3，
x2＝1
②2x2＋ 3x＋1＝0 ②x2－ 2x－3＝0 x1＝3，
x2＝－1
… … (1)请描述一元二次方程和关联方程的系数特征及它们根的关系特征．
【解】一元二次方程和关联方程的系数特征是二次项系数、
常数项相同，一次项系数互为相反数，
一元二次方程和关联方程根的关系特征是它们的两个
对应根互为相反数．
(2)方程x2－2x－4＝0和x2＋2x－4＝0是不是关联方程？求解两个方程并判断两个方程的根是否符合根的关系特征．
(3)请以一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，b2－4ac≥0)为例证明关联方程根的关系特征．
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第22章　一元二次方程
22．2 一元二次方程的解法
1.直接开平方法和因式分解法
直接开平方法
D
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1．
老师出示问题：解方程x2－4＝0.四名同学给出了以下答案：甲：x＝2；乙：x1＝x2＝2；丙：x1＝x2＝－2；丁：x1＝2，x2＝－2.下列判断正确的是(　　)
A．甲正确
B．乙正确
C．丙正确
D．丁正确
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2．
如果关于x的方程(x－4)2＝m－1可以用直接开平方法求解，那么m的取值范围是(　　)
A．m≥1
B．m＞1
C．m＞－1
D．m≥－1
A
3．
【点拨】
【答案】B
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4．
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[2025蚌埠期末]x1，x2是一元二次方程(x－1)2＝5的两个解，且x1＜x2，下列说法正确的是(　　)
A．x1小于－1，x2大于3
B．x1小于－2，x2大于3
C．x1，x2在－1和3之间
D．x1，x2都小于3
A
5．
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在等式(□－6)2＝64中，□内的数为________．
14或－2
6．
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运用直接开平方法解下列方程：
(1)16x2－8x＋1＝2;
(2)(2y－1)2＝(3y＋4)2.
7．
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若(a2＋b2－2)(a2＋b2)＋1＝0，则a2＋b2的值为(　　)
A．－2
B．5
C．2
D．1
D
【点拨】
∵(a2＋b2－2)(a2＋b2)＋1＝0，∴(a2＋b2)2－2(a2＋b2)＋1＝0.∴(a2＋b2－1)2＝0.∴a2＋b2＝1.
8．
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已知一元二次方程(x－3)2＝1.
(1)若方程的两个根恰好分别是等腰三角形ABC的底边长和腰长，则△ABC的周长为________；
(2)若方程的两个根恰好分别是Rt△DEF的两边长，则Rt△DEF的面积为____________．
10
9．
【点拨】
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10．
对任意实数a，b，规定一种新运算“△”：a△b＝a2－b2.
(1)求4△3；
【解】由题意，得4△3＝42－32＝7.
(2)求(x＋2)△5＝0中x的值；
由题意，得(x＋2)△5＝(x＋2)2－52＝0，
即(x＋2)2＝25.两边直接开平方，得x＋2＝±5，
解得x1＝3，x2＝－7.
(3)已知直角三角形的两边长是方程3△(x－8)＝0的两根，求该直角三角形的第三条边长．
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第22章　一元二次方程
22．2 一元二次方程的解法
4.一元二次方程根的判别式
C
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1．
下列方程中，没有实数根的是(　　)
A．x2＝x
B．x2＋2x＋1＝0
C．x2＝2x－4
D．x2－x－6＝0
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2．
[2024潍坊]已知关于x的一元二次方程
x2－mx－n2＋mn＋1＝0，其中m，n满足m－2n＝3，关于该方程根的情况，下列判断正确的是(　　)
A．无实数根
B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根
D．无法确定
C
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3．
D
4．
小华和小麦对关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)展开讨论，小华说：若c＝0，则此方程一定有实数根；小麦说：若a，c异号，则此方程一定有实数根．下列判断正确的是(　　)
A．小华正确，小麦错误
B．小华错误，小麦正确
C．小华、小麦都正确
D．小华、小麦都错误
【点拨】
【答案】C
小华：若c＝0，则Δ＝b2－4ac＝b2≥0，所以此方程一定有实数根；小麦：若a，c异号，则Δ＝b2－4ac>0，所以此方程一定有实数根．所以小华、小麦的说法都正确．故选C.
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5．
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请写出一个关于x的一元二次方程，并满足以下两个条件：①二次项系数为k；②方程必须有两个不相等的实数根．这个一元二次方程可以是__________________________________．
kx2＋4kx－k＝0(k≠0)(答案不唯一)
6．
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[2025阜阳月考]已知关于x的一元二次方程
c(1－x2)－2bx＝a(1＋x2)，其中a，b，c分别为△ABC三边的长，若方程有两个相等的实数根，则△ABC的形状为______________．
直角三角形
【点拨】
原方程可以化为(a＋c)x2＋2bx＋a－c＝0.∵方程有两个相等的实数根，∴Δ＝(2b)2－4(a＋c)(a－c)＝0，∴a2＝b2＋c2，∴△ABC为直角三角形．
7．
[教材P32例7] 已知一元二次方程x2＋bx＋c＝0.在下面的四组条件中选择其中一组b，c的值，使这个方程有两个不相等的实数根，并解这个方程．
①b＝2，c＝1; ②b＝3，c＝1；
③b＝3，c＝－1; ④b＝2，c＝2.
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8．
【点拨】
【答案】A
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9．
规定：对于任意实数a，b，c，有【a，b】★c＝ac＋b，其中等式右边是通常的乘法和加法运算，如【2，3】★1＝2×1＋3＝5.若关于x的方程【x，x＋1】★(mx)＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围为(　　)
【点拨】
【答案】D
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10．
【点拨】
【答案】D
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11．
已知m，n，3分别是等腰三角形三边的长，且m，n是关于x的一元二次方程x2－8x＋21－k＝0的两个实数根，则k的值为________．
5或6
【点拨】
①当m，n为腰时，m＝n，∵m，n是关于x的一元二次方程x2－8x＋21－k＝0的两个实数根，∴方程有两个相等的实数根，∴Δ＝(－8)2－4×1×(21－k)＝0，解得k＝5；②当m和3(或n和3)是腰时，m＝3(或n＝3)，把x＝3代入方程，得9－24＋21－k＝0，解得k＝6.
综上可知，k＝5或6.
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12．
[2025淄博模拟]已知关于x的一元二次方程
(x－1)(x－2k)＋k(k－1)＝0.
(1)求证：该一元二次方程总有两个不相等的实数根；
【证明】(x－1)(x－2k)＋k(k－1)＝0，
整理，得x2－(2k＋1)x＋k2＋k＝0.
∵a＝1，b＝－(2k＋1)，c＝k2＋k，
∴Δ＝b2－4ac＝[－(2k＋1)]2－4×1×(k2＋k)＝1＞0，
∴该一元二次方程总有两个不相等的实数根．
(2)若该方程的两个根x1，x2是一个矩形的一边长和对角线的长，且矩形的另一边长为3，试求k的值．
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13．
已知关于x的一元二次方程x2－2mx＋m2－n＋1＝0有
两个不相等的实数根．
(1)求n的取值范围；
【解】由题意，知a＝1，b＝－2m，c＝m2－n＋1.
∵方程有两个不相等的实数根，
∴b2－4ac＝(－2m)2－4×1×(m2－n＋1)>0.
即4m2－4m2＋4n－4>0，解得n>1.
(2)若n为符合条件的最小整数，且该方程的较大根是较小根的5倍，求m的值．
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14．
定义：若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式b2－4ac是一个完全平方数(式)，则此方程叫做“完美方程”．
(1)下列方程中一定是“完美方程”的是________．(填序号)
①x2－4x－3＝0；②x2＋mx＋m－2＝0；
③x2＋(b＋1)x＋b＝0.
③
(2)已知关于x的一元二次方程x2－2(m－1)x＋m2－2m＝0.
①求证：此方程一定是“完美方程”．
【证明】∵b2－4ac＝[－2(m－1)]2－4(m2－2m)
＝4m2－8m＋4－4m2＋8m＝4，且4是完全平方数，
∴此方程一定是“完美方程”．
②设此方程的两个实数根分别为x1，x2(x1＜x2)，是否存在实数k，使得点P(x1，x2)始终在函数y＝kx－k＋3的图象上？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
【解】存在．将x2－2(m－1)x＋m2－2m＝0变形为
(x－m)[x－(m－2)]＝0，
∴x－m＝0或x－(m－2)＝0，∴x＝m或x＝m－2.
∵方程x2－2(m－1)x＋m2－2m＝0的两个实数根分别为x1，x2(x1＜x2)，∴x1＝m－2，x2＝m.
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第22章　一元二次方程
专题6 一元二次方程中的动点问题
1．
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2．
如图，AO＝BO＝6 cm，OC是一条射线，OC⊥AB． 一动点P从点A以1 cm/s的速度向点B运动，另一动点Q从点O以2 cm/s的速度沿射线OC的方向运动，它们同时出发，当点P到达点B时，点Q也停止运动．设运动时间为t s，求经过几秒，△POQ的面积为8 cm2.
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3．
[2025扬州月考]如图，在矩形ABCD中，AB＝16 cm，BC＝6 cm，点P从点A出发沿AB以3 cm/s的速度向点B移动，一直到达点B为止；同时，点Q从点C出发沿CD以 2 cm/s的速度向点D移动．设运动时间为t s，当PQ＝10 cm时，求t的值．
【解】根据题意知AP＝3t cm，CQ＝2t cm.
当AP＜DQ时，过点P作PH⊥CD于点H，
则易得四边形APHD是矩形．
∴PH＝AD，AP＝DH＝3t cm.
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝16 cm，PH＝BC＝AD＝6 cm.
∴HQ＝CD－DH－CQ＝(16－5t)cm，DQ＝(16－2t)cm.
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4．
[2025茂名月考]如图，在矩形ABCD中，AB＝7 cm，
AD＝5 cm，点P从点B开始沿BC边向点C以1 cm/s的速度移动，点Q从点C开始沿CD边向点D以2 cm/s的速度移动，两点同时出发，当一个点运动到终点时，另一个点也停止运动，设运动时间为t s(t＞0)．
(1)填空：CQ＝________cm，CP＝
________cm(用含t的代数式表示)；
2t
(5－t)
(2)当t为何值时，PQ＝5 cm；
【解】由题易知0∵四边形ABCD是矩形，∴∠C＝90°.
∴CP2＋CQ2＝PQ2.∴(5－t)2＋(2t)2＝52，
解得t1＝2，t2＝0(不合题意，舍去)．
∴当t＝2时，PQ＝5 cm.
(3)当t为何值时，△APQ的面积为16 cm2.
【解】 ∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠D＝90°.
由题意得BP＝t cm，DQ＝(7－2t)cm.
∵S△APQ＝S矩形ABCD－S△ABP－S△ADQ－S，
S矩形ABCD＝AB·AD＝7×5＝35(cm2)，
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5．
如图①，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(50，0)，点B的坐标为(0，6)，过点B在第一象限内作x轴的平行线BC，动点M从点B出发以2个单位/秒的速度沿射线BC方向运动，M出发1秒后，动点P从点O出发，以固定的速度沿x轴向点A运动，点P到达A点后停止运动．如图②是△POM的面积随P点运动时间t(秒)变化的函数图象．
(1)其中a＝________；
(2)点P的运动速度是________个单位/秒；
150
5
(3)求点P到达A点前，△PMO是等腰三角形时相应的t值．
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6．
我们约定：在平面直角坐标系中，若点P(x，y)满足
x＋y＝9，我们就说P点是该平面直角坐标系内的“大九中”点，若函数图象上存在一个或以上的“大九中”点的函数我们称之为“幸福函数”．根据约定，请解决以下问题：
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第22章　一元二次方程
测素质 一元二次方程及其解法
C
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1．
下列方程中，是关于x的一元二次方程的是(　　)
一、选择题(每小题4分，共32分)
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2．
[2025成都武侯区月考]把一元二次方程
(x＋1)·(x－1)＝3x化成一般形式，正确的是(　　)
A．x2－3x－1＝0
B．x2－3x＋1＝0
C．x2＋3x－1＝0
D．x2＋3x＋1＝0
A
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3．
把关于x的一元二次方程x2－8x＋c＝0配方，得(x＋m)2＝11，则c＋m的值为(　　)
A．1
B．3
C．5
D．10
A
4．
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若△ABC的两边长分别为2和3，第三边的长是方程
x2－9x＋20＝0的根，则△ABC的周长是(　　)
A．9
B．10
C．9或10
D．7或10
A
5．
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如图是一个简单的程序计算器，如果输出的数值
为－10，那么输入的x的值为(　　)
C
6．
返回
现在定义一种运算，其规则为a*b＝a2－b2，根据此规则，如果x满足2(x＋2)*5＝－1，那么x的值为(　　)
C
7．
返回
[2025邯郸模拟]问题“解方程x2－3x＋3＝0.”嘉嘉说：“其中一个解是x＝1.”琪琪说：“方程有两个实数根，这两个实数根的和为3.”珍珍说：“b2－4ac＜0，此方程无实数根．”下列正确的是(　　)
A．嘉嘉说得对 B．琪琪说得对
C．珍珍说得对 D．三名同学说得都不对
C
8．
【点拨】
【答案】A
返回
9．
返回
已知m是方程x2＋4x－1＝0的一个根，则(m＋5)(m－1)的值为________．
－4
二、填空题(每小题5分，共20分)
10．
返回
已知y2－x＝0，x2＋2y2－x－6＝0，则x的值为________．
2
11．
返回
已知a和b是方程x2＋2 025x－4＝0的两个解，则
a2＋2 024a－b的值为________．
2 029
【点拨】
∵a和b是方程x2＋2 025x－4＝0的两个解，∴a2＋2 025a－4＝0①，a＋b＝－2 025②，①－②，得a2＋2 025a－4－a－b＝2 025，∴a2＋2 024a－4－b＝2 025，∴a2＋2 024a－b＝2 029.
12．
返回
如果一元二次方程的两根相差1，那么该方程称为“差1方程”．例如x2＋x＝0是“差1方程”．已知关于x的方程x2－(m－1)x－m＝0(m是常数)是“差1方程”，则m的值为________．
－2或0
【点拨】
设方程的两个根为x1，x2(x1＜x2)，由题意，得x1＋x2＝m－1，x1x2＝－m，x2－x1＝1，∴(x2－x1)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝(m－1)2＋4m＝1，解得m＝－2或m＝0，故答案为－2或0.
13．
(10分)[2025连云港期中]解下列方程：
(1)4x2－1＝0;
(2)x2－4x＋3＝0；
方程整理得x2－4x＝－3，配方得(x－2)2＝1，
∴x－2＝1或x－2＝－1，∴x1＝3，x2＝1.
三、解答题(共48分)
(3)2x2＋x－1＝0;
返回
14．
(12分)[2024南充]已知x1，x2是关于x的方程
x2－2kx＋k2－k＋1＝0的两个不相等的实数根．
(1)求k的取值范围；
【解】∵原方程有两个不相等的实数根，
∴Δ＝(－2k)2－4×1×(k2－k＋1)＝
4k2－4k2＋4k－4＝4k－4＞0，解得k＞1.
(2)若k＜5，且k，x1，x2都是整数，求k的值．
∵1＜k＜5，∴整数k的值为2，3，4，
当k＝2时，方程为x2－4x＋3＝0，解得x1＝1，x2＝3；
当k＝3或4时，此时方程的解不为整数，不符合题意．
综上所述，k的值为2.
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15．
(12分)小亮是一名刻苦学习的同学．一天他在解方程
x2＝－1时，突发奇想：x2＝－1在实数范围内无解，如果存在一个数i，使 i2＝－1，那么当x2＝－1时，有x＝±i，从而x＝±i是方程x2＝－1的两个根．据此可知：
(1)i可以运算，例如：i3＝i2·i＝－1×i＝－i，则i4＝________；
1
(2)求方程x2－4x＋5＝0的两根(根用i表示)．
【解】方程整理得x2－4x＝－5，配方得(x－2)2＝－1，
∴x－2＝±i，解得x1＝2＋i，x2＝2－i.
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16．
(2)求△ABC的面积(结果允许保留双重根号)．
返回(共24张PPT)
第22章　一元二次方程
22．3 实践与探索
1 几何问题
A
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1．
[教材P40练习T1] 在一幅长为70 cm，宽为40 cm的矩形风景画的四周镶一条宽度相同的边框，制成一幅面积是4 000 cm2的挂图，设边框的宽为x cm，下列方程符合题意的是(　　)
A．(70＋2x)(40＋2x)＝4 000
B．(70－2x)(40－2x)＝4 000
C．(70＋x)(40＋x)＝4 000
D．(70－x)(40－x)＝4 000
返回
2．
我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除捷法》中记录了这样一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔与长共六十步，问阔及长各几步？”其大意是：矩形面积是864平方步，其中宽与长的和为60步，问宽和长各几步？若设长为x步，则下列符合题意的方程是(　　)
C
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3．
已知一个直角三角形的面积为10，两直角边长的和为9，则两直角边长分别为(　　)
A．3，6
B．2，7
C．1，8
D．4，5
D
4．
返回
如图，某市世纪广场有一块长方形绿地长18 m，宽15 m，在绿地中开辟三条道路后剩余绿地的面积为224 m2，则图中x的值为(　　)
A．1
B．2
C．3
D．4
A
5．
如图，一块长和宽分别为60厘米和40厘米的长方形铁皮，要在它的四角截去四个相等的小正方形，折成一个无盖的长方体水槽，使它的底面积为800平方厘米，则截去小正方形的边长为________．
10厘米
【点拨】
设截去小正方形的边长为x厘米，由题意得，无盖长方体底面的长和宽分别是(60－2x)厘米和(40－2x)厘米，∴(60－2x)(40－2x)＝800，即x2－50x＋400＝0，解得x1＝10，x2＝40(不合题意，舍去)．∴截去小正方形的边长为10厘米．
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6．
[2025南京外国语学校期中]如图，若准备利用一处墙角EAF和长度为28 m的篱笆围建一个矩形花圃ABCD，花圃的一边AD由墙AF和篱笆DF构成，另一边AB由墙AE和篱笆BE构成，其他两边BC，CD由剩下的篱笆围成．若AF＝8 m，AE＝4 m，矩形花圃的面积为75 m2，求花圃边BC的长度．
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【解】设边BC的长度为x m，
∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝x m，AB＝CD.
∴FD＝AD－AF＝(x－8) m.
∵矩形周长为28＋8＋4＝40(m)，∴CD＝(20－x) m.
由题意知，x(20－x)＝75，整理，得x2－20x＋75＝0，
解得x1＝5，x2＝15.
∵当x＝5时，x－8＝5－8<0，不符合题意，∴x＝15.
答：花圃边BC的长度为15 m.
7．
如图是一块长方形菜地，AB＝a m，AD＝b m，面积为S m2.现将边AB增加1 m.
(1)如图①，若a＝5，边AD减少1 m，得到的长方形面积不变，则b的值是________．
(2)如图②，若边AD增加2 m，有且只有一个a的值，使得到的长方形面积为2S m2，则S的值是________．
6
【点拨】
(1)根据题意，得原长方形的面积为ab m2，变化后长方形的面积为[(a＋1)(b－1)]m2.∵a＝5，边AD减少1 m，得到的长方形面积不变，∴(5＋1)(b－1)＝5b，解得b＝6.
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8．
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8 cm，BC＝
6 cm，现有动点P从点A出发，沿线段AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB向点B方向运动，如果点P的速度是1 cm/s，点Q的速度是2 cm/s，P，Q两点同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，另一点停止运动，设运动时间为t s，
当t＝______时，PQ平分△ABC的面积．
2
【点拨】
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9．
燕几(即宴几)是世界上最早的一套组合桌，设计者是北宋进士黄伯思．全套燕几一共有七张桌子，每张桌子高度相同．其桌面共有三种尺寸，包括2张长桌、2张中桌和3张小桌，它们的宽都相同．七张桌面可以拼成一个大的长方形，或者分开组合成不同的图形，其组合方式丰富多样，燕几也被认为是现代七巧板的前身．如图给出了《燕几图》中列出的名称为
“函三”和“回文”的两种桌面
拼合方式．若全套七张桌子桌面
的总面积为61.25平方尺，则长桌的长为________尺．
7
【点拨】
返回
10．
[2025泰安模拟]社区利用一块矩形空地ABCD建了一个小型停车场，其布局如图所示．已知AD＝52 m，AB＝28 m，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为x m的道路．已知铺花砖的面积为640 m2.
(1)求道路的宽是多少米．
【解】根据题意得，(52－2x)(28－2x)＝640，
整理得x2－40x＋204＝0，
解得x1＝34(不合题意，舍去)，x2＝6.
答：道路的宽为6 m.
(2)该停车场共有车位50个，据调查分析，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位．当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入为10 125元？
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11．
新高考采用“3＋1＋2”的模式，对生物学科提出了更高的要求．某学校生物组为培养同学们观察、归纳的能力，组建了生物课外活动小组．在一次野外实践时，同学们发现一种水果黄瓜的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是21.
(1)这种水果黄瓜每个支干长出多少个小分支？
【解】设这种水果黄瓜每个支干长出x个小分支，
由题意得x2＋x＋1＝21，
解得x1＝4，x2＝－5(不合题意，舍去)．
答：这种水果黄瓜每个支干长出4个小分支．
(2)学校打算建立一块矩形的生物种植田来种植这种水果黄瓜，一面利用学校的墙(墙的最大可用长度为10米)，其余部分需要用总长为22米的栅栏围成，且矩形中间需用栅栏隔开，因实验需要，留有两个宽为1米的门(门无需栅栏，如图所示)．设种植田的宽AB为m米．若该种植田的面积为36平方米(栅栏的占地面积忽略不计)，求m的值．
【解】∵种植田的宽AB为m米，∴长BC为(22－3m＋2)米，
由题意得m·(22－3m＋2)＝36，
整理得m2－8m＋12＝0，解得m1＝2，m2＝6，
当m＝2时，BC＝22－3×2＋2＝18(米)>10米，
不合题意，舍去；
当m＝6时，BC＝22－3×6＋2＝6(米)<10米，符合题意．
综上可知，m的值为6.
返回(共17张PPT)
第22章　一元二次方程
专题4 一元二次方程的特殊解法
1．
(1)按规律在下面的横线上写出第4个一元二次方程及它的两个实数根：
_________________________________________．
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2．
【阅读材料】解方程x2＋2x－35＝0我们可以按下面的方法解答：
①竖分二次项与常数项：x2＝x·x，－35＝(－5)×(＋7)，如图①；
②交叉相乘，验中项：如图②；
③横向写出两因式：x2＋2x－35＝(x＋7)(x－5)．
根据上述方法，方程x2＋2x－35＝0可变形为
(x＋7)(x－5)＝0.
根据乘法原理：若ab＝0，则a＝0或b＝0，
得x＋7＝0或x－5＝0，∴x1＝5，x2＝－7.
即原方程的解为x1＝5，x2＝－7.
试用上述方法和原理解下列方程：
(1)x2＋5x＋4＝0；　　
(2)x2－6x－7＝0；
【解】∵x2＋5x＋4＝0，∴(x＋1)(x＋4)＝0，
∴x＋1＝0或x＋4＝0，∴x1＝－1，x2＝－4.
∵x2－6x－7＝0，∴(x＋1)(x－7)＝0，
∴x＋1＝0或x－7＝0，∴x1＝－1，x2＝7.
(3)x2－6x＋8＝0;
(4)2x2＋x－6＝0.
【解】∵x2－6x＋8＝0，∴(x－2)(x－4)＝0，
∴x－2＝0或x－4＝0，∴x1＝2，x2＝4.
∵2x2＋x－6＝0，∴(2x－3)(x＋2)＝0，
∴2x－3＝0或x＋2＝0，∴x1＝1.5，x2＝－2.
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3．
用上述方法解下列方程：
(1)(2x＋5)2－4(2x＋5)＋3＝0；
【解】设2x＋5＝y，则原方程化为y2－4y＋3＝0，
解此方程得y1＝1，y2＝3，
当y＝1时，2x＋5＝1，解得x＝－2；
当y＝3时，2x＋5＝3，解得x＝－1.
∴原方程的解为x1＝－2，x2＝－1.
(2)x4－8x2＋7＝0；
(3)x2－3|x|＋2＝0.
x2－3|x|＋2＝0可变形为|x|2－3|x|＋2＝0，
设|x|＝t，则t≥0，∴t2－3t＋2＝0，∴(t－1)(t－2)＝0，
∴t－1＝0或t－2＝0，∴t1＝1，t2＝2，
∴|x|＝1或|x|＝2，∴x1＝－1，x2＝1，x3＝－2，x4＝2.
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4．
[2025厦门月考]已知关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根为x1＝α，x2＝β，求关于x的一元二次方程p2ax2＋pbx＋c＝0(ap≠0)的两根．
解：∵p2ax2＋pbx＋c＝0(ap≠0)，
∴a(px)2＋b·px＋c＝0，令px＝t，得新方程at2＋bt＋c＝0.
∴新方程的解为t1＝α，t2＝β，∴px＝α或px＝β，
这种解一元二次方程的方法叫做“缩根法”．
举例：用缩根法解方程49x2＋35x－24＝0.
解：∵49＝72，35＝5×7，∴(7x)2＋5×7x－24＝0，
令7x＝t，得新方程t2＋5t－24＝0.
解新方程得t1＝3，t2＝－8，∴7x＝3或7x＝－8，
请利用上面的方法解决下列问题，并写出具体步骤：
(1)36x2－6x－1＝0；
(2)3x2－160x＋1 600＝0.
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5．
阿拉伯数学家阿尔·花剌子米用正方形巧妙地解出了一元二次方程x2＋2x－35＝0的一个解，就是阿尔·花剌子米解法．如图，将边长为x的正方形和边长为1的正方形，外加两个长为x，宽为1的长方形，拼合在一起的面积就是x2＋2·x·1＋1×1，而由x2＋2x－35＝0变形得x2＋2x＋1＝35＋1，即边长为x＋1的正方形的面积为36.
∴(x＋1)2＝36，∴x＝5(负值已舍去)．
你能运用上述方法求出方程x2＋8x－9＝0的一个正根吗？
【解】如图，大正方形的边长为x＋4，
则其面积为x2＋4x＋4x＋16＝x2＋8x＋16.
∵x2＋8x－9＝0可化为x2＋8x＋16－25＝0.
∴x2＋8x＋16＝25，
即(x＋4)2＝25，∴x＝1(负值已舍去)．
返回(共33张PPT)
第22章　一元二次方程
22．2 一元二次方程的解法
*5.一元二次方程的根与系数的关系
A
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1．
[教材P36习题T11(2)] 已知关于x的一元二次方程
x2－5x＋2m＝0有一个根为－2，则另一个根为(　　)
A．7　
B．3　
C．－7　
D．－3
2．
[教材P35练习T2] 方程x2＋3x－6＝0与x2－6x＋10＝0的所有实数根的乘积等于(　　)
A．－60
B．3
C．－6
D．10
【点拨】
【答案】C
易得方程x2＋3x－6＝0的两根之积等于－6，方程x2－6x＋10＝0没有实数根，∴两方程的所有实数根的乘积等于－6，故选C.
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3．
关于x的方程(x－1)(x＋2)－p2＝0(p为常数)的根的情况，下列结论中正确的是(　　)
A．两个正根
B．两个负根
C．一个正根，一个负根
D．无实数根
【点拨】
【答案】C
化简关于x的方程(x－1)(x＋2)－p2＝0(p为常数)，得x2＋x－2－p2＝0，∴Δ＝1＋8＋4p2＝9＋4p2>0，∴方程有两个不相等的实数根．根据根与系数的关系，得方程的两个根的积为－2－p2<0，∴方程的两个实数根异号．
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4．
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[2025揭阳期中]小明和小红一起做作业，在解一个一元二次方程时，小明在化简过程中写错了常数项，得到两个根分别是2和5；小红在化简过程中写错了一次项系数，得到两个根分别是2和6，则此方程正确的解可以为(　　)
A．x1＝x2＝2 B．x1＝5，x2＝6
C．x1＝3，x2＝4 D．此方程无解
C
5．
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若一元二次方程x2－4x－3＝0的两个实数根分别是a，b，则一次函数y＝abx＋a＋b的图象一定不经过(　　)
A．第一象限　
B．第二象限
C．第三象限　
D．第四象限
C
6．
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已知x1，x2是一元二次方程x2－3x－5＝0的两个实数根，则(x1－x2)2＋3x1x2的值是________．
14
7．
[2024内江]已知关于x的一元二次方程x2－px＋1＝0(p为常数)有两个不相等的实数根x1和x2.
(1)填空：x1＋x2＝________，x1x2＝________；
p
1
(3)已知x12＋x22＝2p＋1，求p的值．
【解】∵ x12＋x22 ＝2p＋1，∴(x1＋x2)2－2x1x2＝2p＋1，
∴p2－2＝2p＋1，解得p1＝3，p2＝－1.
∵该方程有两个不相等的实数根，∴Δ>0.
当p＝3时，Δ＝p2－4＝9－4＝5＞0；
当 p＝－1 时，Δ＝p2－4＝－3＜0.∴p＝3.
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8．
【点拨】
【答案】B
返回
9．
【点拨】
【答案】A
返回
10．
10x2＋3x－1＝0
【点拨】
返回
11．
已知实数m，n满足m2－am＋1＝0，n2－an＋1＝0，且m≠n.若a≥3，则代数式(m－1)2＋(n－1)2的最小值是________．
3
【点拨】
由题意知，m2＋1＝am，n2＋1＝an，∴(m－1)2＋(n－1)2＝m2－2m＋1＋n2－2n＋1＝am＋an－2m－2n＝a(m＋n)－2(m＋n)＝(a－2)(m＋n)．∵实数m，n满足m2－am＋1＝0，n2－an＋1＝0，且m≠n，∴m，n可看作关于x的一元二次方程x2－ax＋1＝0的两根，∴m＋n＝a，∴(m－1)2＋(n－1)2＝a(a－2)＝a2－2a＝(a－1)2－1.∵a≥3，∴当a＝3时，(m－1)2＋(n－1)2有最小值，最小值为(3－1)2－1＝3.
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12．
已知△ABC的两边AB，AC的长是关于x的一元二次方程x2－2(n－1)x＋n2－2n＝0的两个根，第三边BC的长是10.当△ABC为等腰三角形时，△ABC的周长为________．
32或28
【点拨】
∵Δ＝[－2(n－1)]2－4(n2－2n)＝4＞0，∴无论x取何值，此方程总有两个不相等的实数根，即AB≠AC.∵第三边BC的长是10，∴当△ABC为等腰三角形时，AB＝BC＝10或AC＝BC＝10，∴x＝10为一元二次方程的一个根，∴100－20(n－1)＋n2－2n＝0，解得n＝12或n＝10.设等腰三角形ABC的底边长为m.①当n＝12时，方程为x2－22x＋120＝0，根据根与系数的关系，得m＋10＝22，∴m＝12，∴△ABC的周长为10＋10＋12＝32；②当n＝10时，方程为x2－18x＋80＝0，根据根与系数的关系，得10＋m＝18，解得m＝8，∴△ABC的周长为10＋10＋8＝28.综上，当△ABC是等腰三角形时，△ABC的周长为32或28.
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13．
[2024遂宁]已知关于x的一元二次方程x2－(m＋2)x＋m－1＝0.
(1)求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根；
【解】∵Δ＝[－(m＋2)]2－4×1×(m－1)
＝m2＋4m＋4－4m＋4＝m2＋8>0，
∴无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根．
(2)如果方程的两个实数根为x1，x2，且x12＋x22－x1x2＝9，求m的值．
∵方程x2－(m＋2)x＋m－1＝0的两个实数根为x1，x2，
∴x1＋x2＝m＋2，x1x2＝m－1.
∵x12＋x22－x1x2＝9，即(x1＋x2)2－3x1x2＝9，
∴(m＋2)2－3(m－1)＝9.
整理，得m2＋m－2＝0，解得m1＝－2，m2＝1.
∴m的值为－2或1.
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14．
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15．
请先说明μ＋2α＝1，再直接(不必书写过程)写一个三次方程且使得该三次方程的三个根分别为－α＋β＋γ，α－β＋γ，α＋β－γ.
【解】由根与系数的关系，可得α＋β＋γ＝1，
αβ＋αγ＋βγ＝－3，αβγ＝10，
∴μ＋2α＝(－α＋β＋γ)＋2α＝α＋β＋γ＝1.
新方程为x3－x2－13x－93＝0.
【点拨】
由题意可设新方程为x3＋mx2＋nx＋p＝0，∵α＋β＋γ＝1，∴新的三次方程的三个根分别可化为1－2α，1－2β，1－2γ，∴(1－2α)＋(1－2β)＋(1－2γ)＝－m，(1－2α)(1－2β)＋(1－2α)(1－2γ)＋(1－2β)(1－2γ)＝n，(1－2α)(1－2β)(1－2γ)＝p，∴m＝－[3－2(α＋β＋γ)]＝－(3－2)＝－1，n＝3－4(α＋β＋γ)＋4(αβ＋αγ＋βγ)＝3－4×1＋4×(－3)＝－13，p＝1－2(α＋β＋γ)＋4(αβ＋αγ＋βγ)－8αβγ＝1－2×1＋4×(－3)－8×10＝－93，∴新方程为x3－x2－13x－93＝0.
返回(共23张PPT)
第22章　一元二次方程
22．3 实践与探索
2 百分率(利润)问题
B
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1．
两年前生产1千克甲种药品的成本为80元，随着生产技术的进步，现在生产1千克甲种药品的成本为60元．设甲种药品成本的年平均下降率为x，根据题意，下列方程正确的是(　　)
A．80(1－x2)＝60 B．80(1－x)2＝60
C．80(1－x)＝60　 D．80(1－2x)＝60
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2．
[教材P40练习T3] 李师傅家的超市今年1月盈利3 000元，3月盈利3 630元．若从1月到3月，每月盈利的增长率都相同，则这个增长率是(　　)
A．10.5%
B．10%
C．20%
D．21%
B
3．
[教材P42练习T2] 某超市销售一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润12元，为扩大销量，增加利润，超市准备适当降价，据测算，每箱每降价1元，平均每天可多售出20箱，若要使每天销售饮料获利1 440元，则每箱应降价________元．
3或4
【点拨】
设每箱应降价x元，则每箱的销售利润为(12－x)元，平均每天可售出(100＋20x)箱，根据题意，得(12－x)(100＋20x)＝1 440，整理得x2－7x＋12＝0，解得x1＝3，x2＝4，∴每箱应降价3或4元．
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4．
香云纱作为广东省佛山市特产，被纺织界誉为“软黄金”，在某网店，香云纱连衣裙平均每月可以销售
120件，每件盈利200元，为了尽快减少库存，决定降价促销，通过市场调研发现，每件每降价20元，则每月可多售出30件，如果每月要盈利2.88万元，则每件应降价________元．
80
【点拨】
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5．
某商场响应国家消费品以旧换新的号召，开展了家电惠民补贴活动．四月份投入资金20万元，六月份投入资金24.2万元，现假定每月投入资金的增长率相同．
(1)求该商场投入资金的月平均增长率．
【解】设该商场投入资金的月平均增长率为x，
依题意，得20(1＋x)2＝24.2，
解得x1＝0.1＝10%，x2＝－2.1(不合题意，舍去)，
∴该商场投入资金的月平均增长率为10%.
(2)按照这个增长率，预计该商场七月份投入资金将达到多少万元？
由题意，得24.2×(1＋10%)＝26.62(万元)．
答：预计该商场七月份投入资金将达到26.62万元．
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6．
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C
7．
山西平遥民谣有“平遥三件宝：熟肉、碗脱儿、案案糕”．为开拓全国市场，某案案糕生产厂家采用线下线上两种销售方式销售产品，店长统计了2024年6月份和
8月份线上销售量占总量的比例，根据比例绘制成如图所示的两幅扇形统计图，由统计图可知，线上销售占比的月平均增长率为________．
10%
【点拨】
设线上销售占比的月平均增长率为x.根据题意，得25%(1＋x)2＝30.25%，解得x1＝0.1＝10%，x2＝ －2.1(不合题意，舍去)．∴线上销售占比的月平均增长率为10%.
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8．
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超市销售某种礼盒，该礼盒的原价为500元．因销量持续攀升，商家在3月份提价20%，后发现销量锐减，于是经过核算决定在3月份售价的基础上，4，5月份按照相同的降价率r连续降价．已知5月份礼盒的售价为
486元，则r＝________.
10%
9．
某批发商以70元/千克的成本价购入了某畅销产品
1 000千克，该产品每天的保存费用为300元，而且平均每天将损耗15千克．根据市场预测，该产品的销售价格y(元/千克)与时间x(天)之间函数关系的图象如图中的折线段ABC所示．当批发商在
进货后第________天将这批
产品一次性卖出，将获得
37 500元的利润．
4或32
【点拨】
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10．
“我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高，某市参加健身运动的人数逐年增多，从2022年的32万人增加到2024年的50万人．
(1)求该市参加健身运动人数的年均增长率；
【解】设该市参加健身运动人数的年均增长率为x，
由题意，得32(1＋x)2＝50，
解得x1＝0.25＝25%，x2＝－2.25(不符合题意，舍去)．
答：该市参加健身运动人数的年均增长率为25%.
(2)为支持市民的健身运动，市政府决定从A公司购买某种套装健身器材．该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1 600元；若超过100套，每增加10套，售价每套可降低40元．但最低售价不得少于1 000元．已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种健身器材的套数．
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11．
机械加工需用油进行润滑以减小摩擦，某企业加工一台大型机械设备润滑用油量为90千克，用油的重复利用率为60%，按此计算，加工一台大型机械设备的实际耗油量为36千克．为了建设节约型社会，减少油耗，该企业的甲、乙两个车间都组织了人员为减少实际油耗量进行攻关．
(1)甲车间通过技术革新后，加工一台大型机械设备润滑用油量下降到70千克，用油的重复利用率仍为60%，问甲车间技术革新后，加工一台大型机械设备的实际耗油量是多少千克？
【解】由题意，得70×(1－60%)＝70×40%＝28(千克)，
∴甲车间技术革新后，加工一台大型机械设备的
实际耗油量是28千克．
(2)乙车间通过技术革新后，不仅降低了润滑用油量，同时也提高了重复利用率，并且发现在技术革新前的基础上，润滑用油量每减少1千克，用油的重复利用率将增加1.6%，这样乙车间加工一台大型机械设备的实际耗油量下降到12千克．问乙车间技术革新后，加工一台大型机械设备的润滑用油量是多少千克？用油的重复利用率是多少？
设乙车间加工一台大型机械设备润滑用油量为x千克，
由题意，得x×[1－(90－x)×1.6%－60%]＝12，
整理，得x2－65x－750＝0，解得x1＝75，x2＝－10(舍去)，
∴(90－75)×1.6%＋60%＝84%.
∴乙车间技术革新后，加工一台大型机械设备润滑
用油量是75千克，用油的重复利用率是84%.
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第22章　一元二次方程
全章热门考点整合应用
C
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1．
[教材P20习题T1] 已知(m－3)xm －7＋2 026x－2 026＝0是关于x的一元二次方程，则m的值为(　　)
A．3
B．0
C．－3
D．±3
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2．
把一元二次方程x(x＋1)＝3x－2化为一般形式，正确的是(　　)
A．x2－2x－2＝0
B．x2－2x＋2＝0
C．x2－3x－1＝0
D．x2＋4x＋3＝0
B
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3．
如果关于x的一元二次方程ax2＋bx－1＝0的一个解是
x＝1，则2 025－a－b＝________.
2 024
4．
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已知菱形ABCD的两条对角线交于点O，且AO，BO的长分别为方程x2－7x＋12＝0的两个根，则这个菱形的边长为(　　)
A．5
B．4
C．3
D．6
A
5．
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用配方法解一元二次方程ax2＋bx－c＝0(a≠0，c＞0)，得到(x－c)2＝4c2，从而解得方程的一根为1，则
a－3b＝________.
3
【点拨】
6．
用适当的方法解方程：
(1)(x－5)2＝16; 　　
(2)x2－4x＋1＝0；
【解】直接开平方，得x－5＝±4，x＝5±4，
∴x1＝1，x2＝9.
(4)(2x＋1)2＋3(2x＋1)＝0.
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7．
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[2024绵阳]已知关于x的一元二次方程x2－2(k－1)x＋k2＋2＝0有实数根，则k的取值范围为(　　)
D
8．
定义：如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)满足
a＋b＋c＝0，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知x2＋mx＋n＝0是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则mn＝________.
－2
【点拨】
∵x2＋mx＋n＝0是“凤凰”方程，∴1＋m＋n＝0，即n＝－m－1.又∵方程x2＋mx＋n＝0有两个相等的实数根，∴b2－4ac＝m2－4n＝0.将n＝－m－1代入，得m2－4(－m－1)＝0，解得m1＝m2＝－2，∴n＝1.
∴mn＝－2×1＝－2.
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9．
[2025上海张江集团学校期中]以关于x的方程x2－px＋q＝0(p2>4q)的两根的相反数为根的一元二次方程为(　　)
A．x2＋px＋q＝0
B．x2－px＋q＝0
C．x2＋px－q＝0
D．x2－px－q＝0
【点拨】
【答案】A
设x2－px＋q＝0(p2>4q)的两根为x1，x2，则x1＋x2＝p，x1x2＝q，∴(－x1)＋(－x2)＝－p，(－x1)·(－x2)＝q，∴以关于x的方程x2－px＋q＝0(p2>4q)的两根的相反数为根的一元二次方程为x2＋px＋q＝0.
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10．
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已知x1，x2是方程x2－x－2 025＝0的两个实数根，则代数式x23－2 025x2＋x12的值是________．
4 051
【点拨】
∵x1，x2是方程x2－x－2 025＝0的两个实数根，∴x1＋x2＝1，x1x2＝－2 025.将x2代入方程，得x22－x2－2 025＝0，即x22－2 025＝x2，∴原式＝x2(x22－2 025)＋x12＝x22＋x12＝(x1＋x2)2－2x1x2 ＝1＋4 050＝4 051.
11．
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一个两位数个位数字与十位数字的和为5，把这个两位数的个位数字与十位数字互换得到一个新的两位数，它与原两位数的积为736，则原两位数是________．
23或32
【点拨】
设原两位数的十位数字为x，则个位数字为(5－x)，根据题意得(10x＋5－x)[10(5－x)＋x]＝736，整理得 x2－5x＋6＝0，解得x1＝2，x2＝3，∴5－x＝3或2，∴原两位数是23或32.
12．
如图，利用两面夹角为135°且足够长的墙，围成梯形围栏ABCD，∠C＝90°，新建墙BCD总长为15 m，则当CD＝________m时，梯形围栏的面积为36 m2.
4或6
【点拨】
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13．
2025年成都世界运动会是由国际世界运动会协会主办的一项国际性体育盛会，于2025年8月7日至8月17日在成都举行，以大熊猫和川金丝猴为原型的吉祥物“蜀宝”和“锦仔”深受群众喜爱．某商场以每件25元的进价购进一批“蜀宝”和“锦仔”玩偶．当玩偶的售价为每件 40元时，2月份可销售256件.3，4月该玩偶十分畅销，销售量持续走高．在售价不变的基础上，4月底的销售量达到400件．设3，4月这两个月的月平均增长率不变．
(1)求3，4月这两个月的月平均增长率．
【解】设3，4月这两个月的月平均增长率为x，
根据题意得256(1＋x)2＝400，
解得x1＝0.25＝25%，x2＝－2.25(不符合题意，舍去)，
∴3，4月这两个月的月平均增长率为25%.
(2)从5月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客．经调查发现，销售单价与月平均销售量的关系如下表：
若要使5月份利润达到6 240元，且尽可能多地提升月平均销售量，则该玩偶应降价多少元？
销售单价(元) 35 36 37 38 39 40
月平均销售量(件) 600 560 520 480 440 400
【解】由销售单价与月平均销售量的关系可知，
该玩偶的售价每降低1元，销售量就会增加40件．
设该玩偶应降价y元，则每件的销售利润为(40－y－25)元，
月销售量为(400＋40y)件，
根据题意得(40－y－25)(400＋40y)＝6 240，
整理得y2－5y＋6＝0，
解得y1＝3，y2＝2(不符合题意，舍去)．
答：该玩偶应降价3元．
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14．
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一元二次方程(x＋1)2＝16用直接开平方法可转化为
两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x＋1＝4，则另一个一元一次方程是(　　)
A．x－1＝－4
B．x－1＝4
C．x＋1＝－4
D．x＋1＝4
C
15．
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若x＝3是关于x的方程ax2－bx＝6的解，则2 025－6a＋2b的值为________．
2 021
16．
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[2024烟台]若一元二次方程2x2－4x－1＝0的两根为m，n，则3m2－4m＋n2的值为________．
6
【点拨】
17．
[2025焦作月考]已知x＝5是方程x2＋(m＋1)x－2m＝0的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰三角形的两条边长，则该等腰三角形的周长为________．
13或14
【点拨】
把x＝5代入原方程得25＋5(m＋1)－2m＝0，解得m＝－10，∴原方程为x2－9x＋20＝0，∴(x－4)(x－5)＝0，解得x1＝4，x2＝5，当腰长为4，底边长为5时，4＋4＞5，∴该等腰三角形的周长为4＋4＋5＝13；当腰长为5，底边长为4时，4＋5＞5，∴该等腰三角形的周长为4＋5＋5＝14.综上所述，该等腰三角形的周长为13或14.
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18．
【点拨】
返回
19．
【点拨】
【答案】A
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20．
如图，菱形ABCD的顶点A在y轴的正半轴上，坐标原点O在边BC上，OA，OB的长分别是关于x的一元二次方程x2－7x＋12＝0的两个根，且OA＞OB，则点C的坐标为________，点D的坐标为________．
(2，0)
(5，4)
【点拨】
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第22章　一元二次方程
专题5 根的判别式和根与系数的关系的应用
B
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1．
[2025太原迎泽区期末]课堂上，同学们围绕一元二次方程2x2＋▲x－5＝0的根的情况展开讨论，其中一次项系数被遮挡，下面四名同学的观点中正确的是(　　)
A．无论“▲”为何值，该方程都有两个相等的实数根
B．无论“▲”为何值，该方程都有两个不相等的实数根
C．无论“▲”为何值，该方程都只有一个实数根
D．因为“▲”的值不确定，所以无法判定该方程有没有实数根
2．
在平面直角坐标系中，若一次函数y＝－1.5x＋t的图象如图所示，则关于x的方程tx2＋x＋2＝0的根的情况是(　　)
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根
D．没有实数根
【点拨】
【答案】A
∵一次函数y＝－1.5x＋t的图象与y轴的交点位于负半轴，∴t<0，∴关于x的方程tx2＋x＋2＝0是一元二次方程，且Δ＝1－4×2t＝1－8t>0，∴这个方程有两个不相等的实数根．
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3．
[2025广州越秀区开学考试]关于x的方程x2－2x＋a－2＝0有两个不相等的实数根，则实数a可取的最大整数为(　　)
A．2　
B．3　
C．4　
D．5
【点拨】
【答案】A
∵关于x的方程x2－2x＋a－2＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝(－2)2－4×(a－2)>0，解得a<3，∴a可取的最大整数为2.
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4．
【点拨】
【答案】C
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5．
【点拨】
【答案】B
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6．
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k>1
【点拨】
7．
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8．
已知x1，x2是一元二次方程x2－6x＋3＝0的两根，不解方程求下列各式的值：
(1)x12＋x22;
(2)(x1－1)(x2－1)；
(x1－1)(x2－1)＝x1x2－(x1＋x2)＋1＝3－6＋1＝－2.
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9．
【点拨】
【答案】B
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10．
[2025三明期中]阅读材料：如果a，b是一元二次方程
x2＋x－1＝0的两个实数根，则有a2＋a－1＝0，b2＋b－1＝0.创新应用：如果m，n是两个不相等的实数，且满足m2－m＝3，n2－n＝3，那么代数式2n2－mn＋2m＋2 026的值为(　　)
A．2 026　 B．2 029　 C．2 035　 D．2 037
【点拨】
【答案】D
∵m，n是两个不相等的实数，且满足m2－m＝3，n2－n＝3，∴m，n是一元二次方程x2－x－3＝0的两个实数根，n2＝n＋3，∴m＋n＝1，mn＝－3，∴2n2－mn＋2m＋2 026＝2(n＋3)－(－3)＋2m＋2 026＝2(m＋n)＋2 035＝2×1＋2 035＝2 037.
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11．
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12．
2
【点拨】
经检验，k＝2和k＝5都是分式方程的解．当k＝2时，关于x的方程为x2－2x＋1＝0，此时Δ＝0，符合题意；当k＝5时，关于x的方程为x2－2x＋4＝0，此时Δ<0，不符合题意．∴k＝2.
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13．
已知关于x的一元二次方程x2＋(2k－3)x＋k2－1＝0的
两个实数根分别为x1，x2.
(1)求k的取值范围；
(2)若x1，x2满足x12＋x22＝1－x1x2，求实数k的值．
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14．
[2025泉州月考]已知方程x2＋bx＋c＝0(x为实数)，请解答下列问题：
(1)若b－c＝1，求证：此方程总有两个实数根；
【证明】∵b－c＝1，∴c＝b－1，
∴Δ＝b2－4c＝b2－4b＋4＝(b－2)2≥0，
∴此方程一定有两个实数根．
(2)若此方程有两个不相等的实数根，分别为x1，x2，c＝2，求证：x12＋x22＞4.
证明：∵方程有两个不相等的实数根，分别为x1，x2，c＝2，
∴x1＋x2＝－b，x1x2＝2，Δ＝b2－8＞0.
∴x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝b2－4＝b2－8＋4＞0＋4＞4.
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15．
关于x的方程(n－1)x2＋2nx＋n＋3＝0.
(1)方程有实数根，求n的取值范围．
(2)是否存在n的值使得方程有两个根x1，x2且满足(x1－1)(x2－1)＝10？若存在，请求出n的值；若不存在，请说明理由．
返回(共23张PPT)
第22章　一元二次方程
22．3 实践与探索
3 传播、循环赛、数字问题
B
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1．
某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，则每个支干长出小分支的个数为(　　)
A．8 B．9
C．2 D．8或2
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2．
某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后共有196台电脑被感染，则每轮感染中平均每一台电脑感染的电脑数为(　　)
A．12 B．13
C．14 D．15
B
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3．
[2025邯郸月考]美术绘画小组在中秋节这一天人人相互送一个月饼，共送出72个月饼，则美术绘画小组的人数是(　　)
A．7 B．8
C．9 D．10
C
4．
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[2025沈阳和平区月考]已知一个两位数的十位数字比个位数字大2，两个数字的积比这个两位数小34，则这个两位数为________．
42或97
5．
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有一种“微信点名”活动，需要回答一系列问题，并将问题和自己的答案在朋友圈中发布，同时还规定“@”一定数量的其他人，邀请他们也参与活动．小明被邀请参加一次“微信点名”活动，他决定参与并按规定“@”其他人，如果收到小明邀请的人也同样参与了活动并按规定“@”其他人，且从小明开始算起，转发两轮后共有91人被邀请参与该活动．设参与该活动后规定“@”x人，则可列出的方程为______________．
1＋x＋x2＝91
6．
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若两个相邻奇数的积是143，则这两个奇数为_____________________．
11和13或－11和－13
【点拨】
设较小的奇数为x，根据题意，得x(2＋x)＝143，∴x2＋2x－143＝0，(x＋13)(x－11)＝0，解得x1＝－13，x2＝11，当x＝11时，x＋2＝11＋2＝13，当x＝－13时，x＋2＝－11，故这两个奇数为 11和13或－11和－13.
7．
某生物实验室需培育一群有益菌，现有60个活体样本，经过两轮培育后，总数达24 000个，其中每个有益菌每一轮可分裂出若干个相同数目的有益菌．
(1)每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出多少个有益菌？
【解】设每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出x个有益菌，由题意，得60(1＋x)2＝24 000，解得x1＝19，x2＝－21.
∵x>0，∴x＝19.故每轮分裂中平均每个有益菌可分裂
出19个有益菌．
(2)按照这样的分裂速度，经过三轮培育后有多少个有益菌？
由题意，得60×(1＋19)3＝480 000(个)．
故经过三轮培育后有480 000个有益菌．
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8．
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[2025张家口月考]若一个两位数比它的十位数字与个位数字和的平方少2，且个位数字比十位数字大1，则这个两位数是(　　)
A．23 B．34
C．23或34 D．－23或－34
A
9．
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中秋节当天，小明将收到的一条短信发送给若干人，每个收到小明短信的人又给相同数量的人转发了这条短信，此时包括小明在内收到这条短信的共有133人，那么小明发短信的人数为(　　)
A．8 B．9
C．10 D．11
D
10．
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[教材P45复习题T6] 有三个连续的自然数，已知其中最大的一个数比另外两个数的积还大1，那么这个最大的数是________．
3
【点拨】
设这个最大的数为n＋2，则另外两个数为n＋1，n，由题意得n(n＋1)＋1＝n＋2，解得n＝±1.∵自然数为非负数，∴n＝1.∴n＋2＝3，即这个最大的数为3.
11．
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某新开业的商场地下共有三层停车库，已知最底层开了80盏灯，每层开灯的数量都是下一层开灯数量的x倍，三层停车库共开了380盏灯，则x的值为________．
【点拨】
12．
如图是2025年9月的月历表，用虚线方框按如图所示的
方式任意圈出四个数，请解答下列问题．
(1)若虚线方框中最大数与最小数的乘积为180，求最小数．
【解】设最小数为x，则最大数为x＋8，
由题意得(x＋8)x＝180，整理得x2＋8x－180＝0，
解得x1＝－18(不符合题意，舍去)，x2＝10，
∴最小数为10.
(2)虚线方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为124吗？若能，请求出最小数；若不能，请说明理由．
虚线方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为124.
理由如下：设最小数为y，则另外三个数分别是y＋1，y＋7，
y＋8，由题意得y(y＋8)＋y＋(y＋1)＋(y＋7)＋(y＋8)＝124，
整理得y2＋12y－108＝0，
解得y1＝－18(不符合题意，舍去)，y2＝6，
∵y＝6在最后一列，∴假设不成立，
即虚线方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为124.
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13．
第十四届国际数学教育大会(ICME 14)会徽的主题图案(如图)有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3 745.八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0～7共8个基本数字，八进制数3 745换算成十进制数是3×83＋7×82＋4×81＋5×80＝2 021，
表示ICME 14的举办年份．
(1)请把八进制数3 752换算成十进制数；
【解】将八进制数3 752换算成十进制数是
3×83＋7×82＋5×81＋2×80 ＝1 536＋448＋40＋2 ＝2 026.
(2)小华设计了一个n进制数265，换算成十进制数是145，求n的值(n为正整数)．
依题意有2n2＋6n＋5＝145，
解得n1＝7，n2＝－10(舍去)．故n的值是7.
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14．
阅读材料：两百多年前，数学家高斯用他独特的方法快速计算出1＋2＋3＋…＋100的值．我们从这个算法中受到启发，用下面的方法计算数列1，2，3，…，n的前n项和：
由 ，
应用以上材料，解决下面问题：
(1)有一个三角点阵(如图)，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，…，第n行有n个点．若该三角点阵前n行的点数和为325，求n的值．
(2)在第(1)问的三角点阵中，前n行的点数和能是900吗？如果能，求出n；如果不能，说明理由．
(3)如果把上图中的三角点阵中各行的点数依次换为3，6，9，…，3n，前n行的点数和能是900吗？如果能，求出n；如果不能，说明理由．
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第22章　一元二次方程
第22章综合素质评价
D
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1．
下列方程一定是一元二次方程的是(　　)
A．3x2＋y＝0
B．ax2＋bx＋c＝0
C．(x－3)(x－2)＝x2
D．(3x－1)(3x＋1)＝3
一、选择题(每小题4分，共32分)
返回
2．
已知方程x2－bx＋a＝0有一个根是a(a≠0)，则下列代数式的值恒为常数的是(　　)
D
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3．
[2025镇江月考]若关于x的方程m(x＋h)2＋k＝0(m，h，k均为常数，m≠0)的解是x1＝－3，x2＝2，则方程
m(4x＋h－3)2＋k＝0的解是(　　)
B
4．
返回
常数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则关于x的
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的情况是(　　)
A．有两个相等的实数根
B．有两个不相等的实数根
C．无实数根
D．无法确定
B
5．
【点拨】
【答案】B
返回
6．
【点拨】
【答案】B
返回
7．
如图，在矩形ABCD中，AB＝a，BC＝b，点E是AB上一点，将△BCE沿EC翻折，使点B落在AD上，得到△FCE.下列哪条线段的长度是方程x2－2bx＋a2＝0的
一个根？(　　)
A．AF B．AE
C．DF D．BE
【点拨】
【答案】A
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8．
[2025无锡月考]对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，下列说法：①若x＝0是方程的一个根，则c＝0；②若a－b＋c＝0且4a＋2b＋c＝0，则x1＋x2＝1，x1x2＝－2；③若方程a(x－1)2＋b(x－1)＋c＝0存在两个根x1＝2，x2＝5，则方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根为x1＝1，x2＝4；④若c是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根，则一定有ac＋b＋1＝0成立．其中一定正确的是(　　)
A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．①②③④
【点拨】
【答案】C
①当x＝0时，c＝0，故符合题意；②∵a－b＋c＝0且4a＋2b＋c＝0，∴方程的两个根为x1＝－1，x2＝2，∴x1＋x2＝1，x1x2＝－2，故符合题意；③∵方程a(x－1)2＋b(x－1)＋c＝0存在两个根x1＝2，x2＝5，∴x－1＝1或4，∴方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根为x1＝1，x2＝4，故符合题意；④∵ c是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根，∴ac2＋bc＋c＝0，即c(ac＋b＋1)＝0，∴c＝0或ac＋b＋1＝0，故不符合题意．综上所述，一定正确的是①②③，故选C.
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9．
返回
我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“圆中方形”问题：“今有圆田一段，中间有个方池，丈量田地待耕犁，恰好三分在记，池面至周有数，每边三步无疑，内方圆径若能知，堪作算中第一．”其大意为：如图，有一块圆形的田，中间有一个正方形水池，测量出除水池外圆内可耕地的面积恰好72平方步，从水池边到圆周，每边相距3步远．如果你能求出正方形的
边长和圆的直径，那么你的运算能力就
数第一了．设正方形的边长是x步，则
列出的方程是
________________．
二、填空题(每小题4分，共16分)
10．
【点拨】
返回
11．
对于任意一个四位数，若千位上的数字与个位上的数字之积是百位上的数字与十位上的数字之和的2倍，则称这个四位数为“共生数”．例如：四位数2 156，因为2×6＝2×(1＋5)，所以2 156是“共生数”．有一个四位数为“共生数”，它的千位上的数字与个位上的数字相等，百位上的数字比千位上的数字多3，十位上的数字比个位上数字的一半少1，则这个“共生数”的个位数字为________．
4
【点拨】
返回
12．
如图，等边三角形ABC中，D在射线BA上，连结CD．若BC，CD的长为方程x2－15x＋7m＝0的两根，且m为符合题意的最大的整数，则不同位置的D点共有________个．
3
【点拨】
返回
13．
(8分)请选择适当的方法解下列方程．
(1)x2＋2x－1＝0;
(2)x2－3x＝0；
利用因式分解法：x2－3x＝0，∴x(x－3)＝0.
∴x1＝0，x2＝3.
三、解答题(共52分)
(3)x2－4x＝4;
(4)x2－4＝0.
利用因式分解法：x2－4＝0，∴(x＋2)(x－2)＝0.
∴x1＝－2，x2＝2.
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14．
(8分)[2025泉州期中]已知关于x的一元二次方程
x2－4x＋m＋1＝0有实根．
(1)求实数m的取值范围；
【解】根据题意得Δ＝(－4)2－4(m＋1)≥0，解得m≤3.
(2)若方程的两根x1，x2都为正整数，且x1，x2，m是某个三角形的三边长，求m的值．
返回
15．
(8分)随着生活条件的改善，某小区停车场不能满足业主的需求，现计划对小区停车场进行扩建．原停车场的长AB为35 m，宽AD为15 m．扩建后的长AE最大为48 m，宽AG最大为20 m.
(1)如图①，若将原停车场的长、宽增加
相同的长度后，得到一个面积为800 m2的新停车场，求新停车场的长与宽．
【解】设将原停车场的长、宽各增加x m．根据题意，得
(35＋x)(15＋x)＝800，整理，得x2＋50x－275＝0，
解得x1＝5，x2＝－55(不符合题意，舍去)．
∴35＋x＝35＋5＝40，15＋x＝15＋5＝20.
答：新停车场的长为40 m，宽为20 m.
(2)如图②，当BE＝3DG时，新停车场的面积可以为 1 000 m2吗？请说明理由．
返回
16．
小王同学把哪个多边形对角线的条数数错了？请你通过计算或者画图来说明．
返回
17．
(10分)如图，在矩形ABCD中，AB＝10 cm，AD＝8 cm，动点P从点D出发，沿DA向终点A以1 cm/s的速度移动，动点Q从点A出发沿AB－BC向终点C以3 cm/s的速度移动，如果P，Q分别从点D，A同时出发，其中一个动点到达终点，另一个动点也随之
停止移动．若点P移动的时间为t s.
(1)当点P移动时，AP的长为________(用含t的式子表示)cm， t的取值范围是________；
(2)当以A，P，Q为顶点的三角形的面积为6 cm2时，求t的值．
(8－t)
0＜t≤6
返回
18．
(10分)[2025成都武侯区期中]某大学为迎接运动会开幕式，准备购买甲、乙两款运动服，经市场调研，甲款运动服单价y(元)与购买件数x(件)之间的函数关系如图所示，乙款运动服的单价为50元．
(1)直接写出当0≤x≤400和x＞400时，y与x之间的函数关系式．
【解】当0≤x≤400时，y与x之间的
函数关系式为y＝－0.1x＋100，
当x＞400时，y与x之间的函数关系式为y＝60.
(2)该学校预计购买甲、乙两款运动服共1 000件，最终花费56 000元，请问有哪几种购买方案？
【解】设甲款运动服购买x件，则乙款运动服购买(1 000－x)件，
分两种情况：当0≤x≤400时，由题意得
x(－0.1x＋100)＋50(1 000－x)＝56 000，
整理得x2－500x＋60 000＝0，解得x1＝200，x2＝300.
当x＝200时，1 000－x＝800；
当x＝300时，1 000－x＝700.
∴甲款运动服购买200件，乙款运动服购买800件或
甲款运动服购买300件，乙款运动服购买700件．
当x＞400时，由题意得60x＋50(1 000－x)＝56 000，
解得x＝600，∴1 000－x＝400，
∴甲款运动服购买600件，乙款运动服购买400件．
综上所述，有三种购买方案，分别是：
①甲款运动服购买200件，乙款运动服购买800件；
②甲款运动服购买300件，乙款运动服购买700件；
③甲款运动服购买600件，乙款运动服购买400件．
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第22章　一元二次方程
22．1 一元二次方程
C
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1．
返回
2．
将关于x的一元二次方程x2＋x＝2(x－3)化成一般形式后，一次项系数和常数项分别为(　　)
A．1，－4
B．－1，6
C．－1，－6
D．1，－6
B
返回
3．
我国的乒乓球“梦之队”在2024年巴黎奥运赛场上大放异彩，奥运会乒乓球比赛的第一阶段是团体赛，赛制为单循环赛(每两队之间都赛一场)．计划分为4组，每组安排28场比赛，设每组邀请x个球队参加比赛，可列方程为(　　)
A．x(x＋1)＝28 B．x(x－1)＝28
D
4．
返回
已知x＝－1是一元二次方程ax2＋bx－3＝0的解，则a，b的大小关系是(　　)
A．a＞b
B．a＝b
C．a＜b
D．无法确定
A
5．
返回
若m是关于x的方程x2－2x－1＝0的解，则代数式
6m－3m2＋2的值是________．
－1
6．
返回
已知一个一元二次方程有一个根是1，且它的一次项系数是－3，写出一个符合要求的方程：____________________________.
2x2－3x＋1＝0(答案不唯一)
7．
已知关于x的方程(m＋1)·xm －1－x＝2，试问：
(1)m为何值时，该方程是关于x的一元一次方程？
(2)m为何值时，该方程是关于x的一元二次方程？
返回
8．
返回
《算法统宗》一书中记载了一道“荡秋千”问题，译文如下：“秋千静止的时候，踏板离地1尺，将它往前推送两步(两步＝10尺)时，踏板升高离地5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问秋千绳索有多长？”若设秋千绳索长为x尺，则可列方程为(　　)
A．x2＋102＝(x＋1)2 B．(x＋1)2＋102＝x2
C．x2＋102＝(x－4)2 D．(x－4)2＋102＝x2
D
9．
返回
下表是代数式ax2＋bx的值的情况，根据表格数据，可知方程ax2＋bx＝6的根是(　　)
A．x1＝0，x2＝1
B．x1＝－1，x2＝2
C．x1＝－2，x2＝3
D．x1＝－3，x2＝4
C
x －3 －2 －1 0 1 2 3 4
ax2＋bx 12 6 2 0 0 2 6 12
10．
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【点拨】
返回
【答案】D
11．
返回
若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)中a，b，c 满足4a＋2b＋c＝0和4a－2b＋c＝0，则该方程的根是(　　)
A．x1＝1，x2＝0
B．x1＝1，x2＝－1
C．x1＝－1，x2＝0
D．x1＝2，x2＝－2
D
12．
返回
若关于x的一元二次方程ax2＋bx－2＝0(a≠0)有一根为
x＝2 025，则一元二次方程a(x－1)2＋b(x－1)＝2必有
一根为(　　)
A．2 024
B．2 025
C．2 026
D．2 027
C
13．
x2＋2x＋3＝0
【点拨】
返回
14．
返回
已知关于x的一元二次方程(a＋c)x2＋2bx＋(a－c)＝0，其中a，b，c分别是△ABC三边的长，若x＝－1是方程的根，则△ABC是________三角形．
等腰
【点拨】
把x＝－1代入(a＋c)x2＋2bx＋(a－c)＝0，得a＋c＋(－2b)＋a－c＝0，∴a＝b，∴△ABC为等腰三角形．
15．
若两个不同的方程x2＋mx＋1＝0和x2＋x＋m＝0有公共根，则常数m的值是________．
－2
返回
【点拨】
16．
如图，点O为数轴原点，点A与点C表示的数分别为1和3，宸宸在数轴上以C为直角顶点作Rt△ABC，BC＝1，再以A为圆心，AB长为半径画弧，交数轴于D，E
两点．莲莲说：“若D，E分别表示m和n，我发现x＝m是一元二次方程x2＋bx－4＝0的一个根．”琮琮说：“x＝n一定不是此方程的根．”
(1)写出m与n表示的数．
(2)求出b的值．
(3)你认为琮琮说得对吗？为什么？
返回
17．
《代数学》中记载，形如x2＋8x＝33的方程，求正数解的几何方法如下：“先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为2x的矩形(如图①)，得到大正方形的面积为33＋16＝49，则该方程的正数解为7－4＝3.”
(1)这个方法运用的数学思想方法是(　　)
A．数形结合　　 B．分类讨论　　
C．类比推理　　 D．方程思想
A
(2)小明按此方法解关于x的方程x2＋12x＝28时，构造出如图②所示的图形，请利用该图形求出方程的正数解．
【解】同理：先构造一个面积为x2的正方形，
再以正方形的边为一边向外构造四个面积为3x的矩形，
得到大正方形的面积为28＋32×4＝28＋36＝64，
则该方程的正数解为8－6＝2.
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第22章　一元二次方程
22．2 一元二次方程的解法
1.直接开平方法和因式分解法
因式分解法
A
返回
1．
下列方程最适合用因式分解法来解的是(　　)
A．x2－4x＋4＝0
B．x2＋5x－1＝0
C．(x＋1)(x＋2)＝4
D．(x－2)2＝3
返回
2．
D
返回
3．
若x1＝2，x2＝－3是一元二次方程x2－px＋q＝0的两个根，则x2－px＋q可因式分解为(　　)
A．(x－2)(x－3)
B．(x＋2)(x＋3)
C．(x－2)(x＋3)
D．(x＋2)(x－3)
C
4．
已知一元二次方程(x＋1)2＝3x＋3的两个根分别是点P的横坐标、纵坐标，则点P在(　　)
A．第一象限　　　
B．第二象限
C．第一象限或第三象限
D．第二象限或第四象限
【点拨】
【答案】D
(x＋1)2＝3x＋3，(x＋1)2＝3(x＋1)，(x＋1)2－3(x＋1)＝0，(x＋1)(x＋1－3)＝0，(x＋1)(x－2)＝0，∴x＋1＝0或x－2＝0，∴x1＝－1，x2＝2.∴点P的坐标是(－1，2)或(2，－1)．∴点P在第二象限或第四象限．
返回
5．
返回
某矩形的长为a，宽为b，且(a＋b)·(a＋b＋2)＝24，则矩形的周长为________．
8
【点拨】
设a＋b＝x，x＞0，根据已知得x(x＋2)＝24，化为一般形式得x2＋2x－24＝0，∴(x－4)(x＋6)＝0，∴x－4＝0或x＋6＝0，解得x＝4或x＝－6(舍去)，∴矩形的周长为2(a＋b)＝2x＝8.
6．
如图，数轴上点A代表的数为3x＋1，点B代表的数为
x2＋2x，已知AB＝5，且点A在数轴的负半轴上，则x的值为________．
－2
【点拨】
返回
7．
解方程：
(1)2x(2x＋1)－4(2x＋1)＝0；

(2)x(x－2)＝3x－6；
整理得x(x－2)＝3(x－2)，移项，得x(x－2)－3(x－2)＝0，
因式分解，得(x－2)(x－3)＝0，
∴x－2＝0或x－3＝0.∴x1＝2，x2＝3.
(3)(x＋4)2＝(5－2x)2.
返回
8．
小敏与小霞两名同学解方程3(x－3)＝(x－3)2的过程如下：请你分别判断她们的解法是否正确，若都不正确，请写出你的解答过程．
小敏： 两边同除以(x－3)，得3＝x－3，则x＝6. 小霞：
移项，得3(x－3)－(x－3)2＝0，提取公因式，得(x－3)(3－x－3)＝0.则x－3＝0或3－x－3＝0，解得x1＝3，x2＝0.
【解】小敏：错误；小霞：错误．
正确的解答过程：移项，得3(x－3)－(x－3)2＝0，
提取公因式，得(x－3)(3－x＋3)＝0.
则x－3＝0或3－x＋3＝0，
解得x1＝3，x2＝6.
返回
9．
[2025武汉汉阳区月考]菱形ABCD的一条对角线长为5，边AB的长是方程x2－5x＋6＝0的一个根，则菱形ABCD的周长为(　　)
A．8
B．11
C．12
D．12或8
【点拨】
【答案】C
x2－5x＋6＝0，(x－3)(x－2)＝0，∴x－3＝0或x－2＝0，解得x1＝3，x2＝2.当AB＝2时，2＋2＜5，不能构成三角形，不符合题意，舍去；当AB＝3时，3＋3＞5，符合题意，∴菱形ABCD的周长为3×4＝12.
返回
10．
已知实数x 满足(x2－2x＋1)2＋2(x2－2x＋1)－3＝0，那么x2－2x＋1的值为(　　)
A．－1或3
B．－3或1
C．3
D．1
【点拨】
【答案】D
设x2－2x＋1＝a.∵(x2－2x＋1)2＋2(x2－2x＋1)－3＝0，∴a2＋2a－3＝0，解得a＝－3或1.当a＝－3 时，x2－2x＋1＝－3，即(x－1)2＝－3，此方程无解；当a＝1时，x2－2x＋1＝1，此时方程有解．∴x2－2x＋1＝1.
返回
11．
勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图①，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两个正方形按图②的方式放置在最大的正方形内．若图②中阴影部分的面积为2，且AB＋AC＝8，则下列数值中可为BC长的是(　　)
【点拨】
【答案】B
返回
12．
返回
－6
【点拨】
13．
返回
－1
【点拨】
14．
对于两个不同的实数p，q，我们用符号max{p，q}表示p，q两数中较大的数，如max{1，2}＝2，若
max{(x－1)2，x2＋6x}＝16，则x＝________.
－3或2
【点拨】
①当(x－1)2>x2＋6x时，(x－1)2＝16，解得x1＝5，x2＝－3.当x＝5时，x2＋6x＝52＋6×5＝55，∵16＜55，∴x＝5不符合题意；当x＝－3时，x2＋6x＝(－3)2＋6×(－3)＝－9，∵16＞－9，∴x＝－3符合题意．②当(x－1)2返回
15．
如图，用两段等长的铁丝恰好可以分别围成一个正
三角形和一个正方形，其中正三角形的边长为
(x2＋15) cm，正方形的边长为(x2＋x) cm(其中x＞0)，则这两段铁丝的总长为________．
240 cm
【点拨】
根据题意得(x2＋x)×4＝(x2＋15)×3，整理得x2＋4x－45＝0，解得x1＝－9(不合题意，舍去)，x2＝5，所以铁丝的总长是(x2＋x)×4＋(x2＋15)×3＝(25＋5)×4＋(25＋15)×3＝120＋120＝240(cm)．
返回
16．
阅读后解答问题．
解方程：2x2－3x－2＝0.
解：拆项、分组得2x2－4x＋x－2＝0，
即2x(x－2)＋(x－2)＝0，
提公因式，得(x－2)(2x＋1)＝0，
∴x－2＝0或2x＋1＝0.
运用以上方法解方程6x2＋7x－3＝0.
返回
17．
定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．
例如x2＝4和(x－2)(x＋3)＝0有且只有一个相同的实数根x＝2，故这两个方程为“同伴方程”．
(1)根据所给定义，下列方程属于“同伴方程”的有________；(填序号)
①(x－1)2＝9；②x2＋4x＋4＝0；③x2＋2x－8＝0.
①②
(2)关于x的一元二次方程x2－2x＝0与x2＋x＋m－1＝0为“同伴方程”，求m的值；
【解】一元二次方程x2－2x＝0的解为x1＝0，x2＝2.
当相同的根是x＝0时，m－1＝0，解得m＝1；
当相同的根是x＝2时，4＋2＋m－1＝0，
解得m＝－5.
综上，m的值为1或－5.
(3)若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)同时满足 a－b＋c＝0和9a＋3b＋c＝0，且与(x－n)(x＋3)＝0互为“同伴方程”，求n的值．
【解】 ∵关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)同时满足a－b＋c＝0和9a＋3b＋c＝0，
∴关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根是
x1＝－1，x2＝3.
∵(x－n)(x＋3)＝0的两个根是x1＝n，x2＝－3，关于x的
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)与(x－n)(x＋3)＝0互为“同伴方程”，∴n＝－1或3.
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第22章　一元二次方程
专题7 一元二次方程在学科内的应用
【解】b2－4ac＝4m2－4(m－1)(m＋2)＝－4m＋8.
∵一元二次方程有实数根，
∴b2－4ac≥0且m－1≠0.
∴－4m＋8≥0且m≠1，解得m≤2且m≠1.
1．
已知关于x的一元二次方程(m－1)x2－2mx＋m＋2＝0.
(1)若方程有实数根，求m的取值范围；
(2)在等腰三角形ABC中，一腰长为3，其中两边长为方程的两个根，求m的值．
返回
2．
某节社团课上，老师给每名学生发了一张腰长为20 cm的等腰直角三角形硬卡片(如图①，图②中，AB＝AC＝20 cm，∠A＝90°)，要求学生们利用它裁出一块长方形卡片制作明信片，要求裁出的长方形卡片的四个顶点都在三角形硬卡片的边上，并且裁出的长方形卡片的面积为75 cm2.
(1)方方同学很快完成了自己的设计(如图①)，并完成计算，请你求出他裁出的长方形卡片DEFG的长和宽；
(2)圆圆同学看了方方同学的设计后提出了不同的设计方案，请利用图②大致画出草图，并求出圆圆同学裁出的长方形卡片的长和宽．
【解】根据题意画图如图．
设长方形ADEF的边AF＝a cm，
则易知EF为(20－a) cm，
由题意，得a(20－a)＝75，
化简，得a2－20a＋75＝0，解得a1＝15，a2＝5.
经检验，a1＝15，a2＝5都符合题意．
∴长方形卡片的长和宽分别为15 cm和5 cm.
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3．
如图，E为矩形ABCD对角线AC上的一点，AE＝AB＝3，AD＝4，则方程x2＋6x－16＝0的正数解是图中哪条线段的长？请说明理由．
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4．
[2025枣庄期中]已知：平行四边形ABCD的两边AB，BC的长是关于x的方程x2－(m＋3)x＋2m＋2＝0的两个实数根．
(1)试证明：无论m取何值，方程总有两个实数根．
【证明】∵x2－(m＋3)x＋2m＋2＝0，
∴b2－4ac＝(m＋3)2－4(2m＋2)＝(m－1)2≥0.
∴无论m取何值，方程总有两个实数根．
(2)当m为何值时，四边形ABCD是菱形？求出这时菱形的边长．
【解】当m为1时，四边形ABCD是菱形，
由题意可知关于x的方程x2－(m＋3)x＋2m＋2＝0的
两个实数根相等，
∴b2－4ac＝(m－1)2＝0.∴m1＝m2＝1.
∴方程为x2－4x＋4＝0.∴x1＝x2＝2，即菱形的边长为2.
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5．
定义：若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个实数根为x1，x2(x1＜x2)，以x1，x2为横坐标和纵坐标得到点M(x1，x2)，则称点M为该一元二次方程的衍生点．
(1)若一元二次方程为x2＝4，请直接写出该方程的衍生点M的坐标为________；
(－2，2)
(2)若点M是关于x的一元二次方程x2－2(m＋1)x＋m2＋2m＝0的衍生点，若点M在直线y＝－x上，求m的值；
【解】x2－2(m＋1)x＋m2＋2m＝0，
解得x1＝m，x2＝m＋2. ∴M(m，m＋2)．
又∵点M在直线y＝－x上，
∴m＋2＝－m，解得m＝－1.∴m的值为－1.
(3)是否存在b，c，使得不论k(k≠0)为何值，关于x的方程 x2＋bx＋c＝0的衍生点M始终在直线y＝－kx＋2(4＋k)的图象上．若存在，请求出b，c的值；若不存在，请说明理由．
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6．
在一元二次方程中，根的判别式Δ＝b2－4ac通常用来判断方程实数根的个数，在实际应用中，我们也可以用根的判别式来解决部分函数的最值问题．例如：已知函数
y＝x2－6x＋6，当x取何值时，y取最小值，最小值为多少？
解：∵y＝x2－6x＋6，∴x2－6x＋(6－y)＝0.
∵b2－4ac≥0，即36－4(6－y)≥0，∴y≥－3.
因此y的最小值为－3，此时x2－6x＋6＝－3，
解得x1＝x2＝3，符合题意，∴当x＝3时，ymin＝－3.
(1)已知函数y＝－4x2＋6x－3，求y的最大值．
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第22章　一元二次方程
22．2 一元二次方程的解法
2.配方法
C
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1．
用配方法解一元二次方程2x2－2x－1＝0时，下列配方正确的是(　　)
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2．
某数学兴趣小组的四人以接龙的方式用配方法解一元二次方程，每人只负责完成一个步骤(如图)，老师看后，发现最后结果是错误的，并说：“错误是从某名同学负责的步骤开始出现的．”则这名同学是(　　)
A．甲 B．乙
C．丙 D．丁
B
3．
[2025厦门月考]用配方法解一元二次方程x2－2x－2 024＝0，将它转化为(x＋a)2＝b的形式，则ab的值为(　　)
A．2 024　
B．2 025　
C．－1　
D．1
【点拨】
【答案】C
∵x2－2x－2 024＝0，∴x2－2x＝2 024.∴x2－2x＋1＝2 024＋1.∴(x－1)2＝2 025.
∴a＝－1，b＝2 025.∴ab＝(－1)2 025＝－1.
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4．
若方程x2－6x－5＝0用配方法可配成(x＋p)2＝q的形式，则直线y＝px＋q不经过(　　)
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【点拨】
【答案】C
x2－6x－5＝0，x2－6x＝5，x2－6x＋9＝5＋9，∴(x－3)2＝14.∴p＝－3＜0，q＝14＞0，∴直线y＝px＋q经过第一、二、四象限，不经过第三象限．
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5．
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已知线段AB＝10，点C是AB上的一点，且AC2＝AB·BC，那么AC＝________.
【点拨】
6．
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将关于x的二次三项式x2＋4x＋9进行配方得
x2＋4x＋9＝(x＋m)2＋n.
(1)m＝________，n＝________；
(2)当x为_________________时，此二次三项式的值为7.
2
5
7．
[教材P27练习T2] 请用配方法解方程：
(1)x2－4x－12＝0;
【解】移项，得x2－4x＝12，
配方，得x2－4x＋4＝16，
即(x－2)2＝16，∴x－2＝±4.∴x1＝－2，x2＝6.
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8．
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已知多项式q＝－x2－3y2＋2xy－4y，求证：q≤2.
【证明】q＝－x2－3y2＋2xy－4y＝－x2＋2xy－y2－2y2－4y
＝－(x－y)2－2(y2＋2y＋1－1)＝－(x－y)2－2(y＋1)2＋2.
∵(x－y)2≥0，2(y＋1)2≥0，
∴－(x－y)2－2(y＋1)2＋2≤0＋0＋2＝2，即q≤2.
9．
【点拨】
【答案】A
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10．
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P＜Q
【点拨】
11．
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[2025无锡模拟]已知方程x2－4 100 625＝0的两根为
x1＝2 025，x2＝－2 025，则方程x2－2x－4 100 624＝0的两根为______________________．
x1＝2 026，x2＝－2 024
【点拨】
x2－2x－4 100 624＝0，则x2－2x＝4 100 624，∴x2－2x＋1＝4 100 624＋1.∴(x－1)2＝4 100 625.
∴x－1＝±2 025.∴x1＝2 026，x2＝－2 024.
12．
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【点拨】
13．
有n个方程：x2＋2x－8＝0；x2＋2×2x－8×22＝0；…；x2＋2nx－8n2＝0.小静同学解第一个方程x2＋2x－8＝0的步骤为：①x2＋2x＝8；②x2＋2x＋1＝8＋1；③(x＋1)2＝9；④x＋1＝±3；⑤x＝1±3；⑥x1＝4，x2＝－2.
(1)小静的解法是从步骤________开始出现错误的；
⑤
(2)用配方法解第n个方程x2＋2nx－8n2＝0.(用含有n的式子表示方程的根)
【解】x2＋2nx－8n2＝0，x2＋2nx＝8n2，
x2＋2nx＋n2＝8n2＋n2，
(x＋n)2＝9n2，x＋n＝±3n，∴x1＝2n ，x2＝－4n.
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14．
“配方法”在数学中非常有用，有时我们可以将代数式配成完全平方式求其最值，如：x2＋4x＋5＝x2＋4x＋4＋1＝(x＋2)2＋1，∵(x＋2)2≥0，∴(x＋2)2＋1≥1，∴当x＝－2时，x2＋4x＋5的最小值为1；有时我们也可以用配方法解一元二次方程．
请利用“配方法”解决下列问题：
(1)填空：当x＝________时，代数式x2－4x＋7有最________(填“大”或“小”)值，这个最值为________；
2
小
3
(2)如图，在矩形ABCD中，AB＝a(a＜2)，BC＝2.以点D为圆心，CD的长为半径画弧，交AD于点E，交BD于点F.请指出图中哪条线段的长度是方程x2＋2ax＝4的一个根，并说明理由．
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15．
阅读理解题：定义：如果一个数的平方等于－1，记为i2＝－1①，这个数i叫做虚数单位．我们把与实数相对应的数叫做复数，表示为a＋bi(a，b为实数)，a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部．
如果只把i当成代数，那么i将符合一切实数的运算规则，但要根据①式变通来简便运算．(不要把复数当成高等数学，它只是一个小学就学过的代数而已！它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似)
也可以得方程x2＝－1的解为x1＝i，x2＝－i.
读完这段文字，请你解答以下问题：
(1)填空：i6＝________，i7＝________；
－1
－i
【点拨】
i6＝(i2)3＝(－1)3＝－1，i7＝(i2)3·i＝(－1)3·i＝－1·i＝－i.
(2)计算：(3＋i)2；
【解】 (3＋i)2＝9＋6i＋i2＝9＋6i－1＝8＋6i.
(3)在复数范围内解方程：x2－x＋1＝0.
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