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(共27张PPT)
第23章　图形的相似
23．1 成比例线段
1.成比例线段
C
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1．
下面几对图形中，相似的是(　　)
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2．
下列长度的四组线段中，是成比例线段的是(　　)
A．5 cm，15 cm，2 cm，6 cm
B．4 cm，6 cm，3 cm，5 cm
C．1 cm，2 cm，3 cm，4 cm
D．3 cm，4 cm，2 cm，5 cm
A
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3．
D
4．
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5．
某校设有三个校区，杨老师欲从槐北路校区步行去槐安路校区，用手机上的地图软件搜索时，显示两个校区间的实际路程为1.2 km，当地图上比例尺由1：1 000变为1：500时，地图上两个校区的路程增加了________cm.
120
【点拨】
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6．
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小慧同学在学习“图形的相似”一章时，发现学习内容是一个逐步特殊化的过程，请在横线上填写适当的数值，感受这种特殊化的学习过程．
2
7．
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黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字“晋”端庄稳重、舒展美观．已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边MN，PQ上，且AB∥NP，“晋”字的笔画“丶”的位置在
8．
(2)在AB，BC，AC，DE，EF，DF这六条线段中，哪些线段是成比例的线段？
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9．
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有三个不同的弹簧A，B，C放在水平面上，分别被一个大小和方向均相同的力拉长，它们的弹性形变之比是3?8?9，这三个弹簧的劲度系数分别为k1，k2，k3(胡克定律公式：F＝k·x，其中k是劲度系数，x是弹性形变)，则k1：k2 ： k3＝(　　)
A．24 ： 9 ： 8 B．8 ： 9 ： 24
C．9 ： 8 ： 3 D．3 ： 8 ： 9
A
10．
【点拨】
【答案】A
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11．
－1或8
【点拨】
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12．
8或20
【点拨】
返回
13．
比例
分式
2
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14．
(1)填空：一个矩形的周长和面积分别为10和6，则它的2倍矩形的周长为________，面积为________．
20
12
(2)已知矩形ABCD的长和宽分别为2和1，那么是否存在它的k倍矩形A′B′C′D′，且A′B′：AB＝B′C′：BC？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．
【解】不存在．理由如下：
∵A′B′：AB＝B′C′：BC，且矩形ABCD的长和宽分别为
2和1，∴A′B′：B′C′＝AB：BC＝2：1，
即A′B′＝2B′C′，AB＝2BC.
由k倍矩形的定义得2(A′B′＋B′C′)＝k·2(AB＋BC)，
A′B′·B′C′＝k·AB·BC，
∴2(2B′C′＋B′C′)＝k·2(2BC＋BC)，2B′C′·B′C′＝k·2BC·BC，
即B′C′＝kBC，B′C′2＝k·BC2，∴(kBC)2＝k·BC2，
∴k2＝k，解得k＝1或k＝0.
∵k≥2，且k是整数，∴不存在满足条件的k.
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第23章　图形的相似
23．3 相似三角形
2.相似三角形的判定
2 相似三角形的判定定理2
C
1．
如图，判定△ACD∽△ABC需具备的条件是(　　)
【点易错】
如果两个三角形两边对应成比例，但相等的角不是两条对应边的夹角，那么两个三角形不一定相似，相等的角一定要是两条对应边的夹角．
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2．
[2025西安陕师大附中期中]如图，在三角形纸片ABC中，AB＝6，BC＝8，AC＝4，沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC相似的是(　　)
B
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3．
如图，在△ABC中，AB>AC，D，E分别为边AB，AC上的一点，AC＝3AD，AB＝3AE，点F为BC边上一点，添加一个条件使△FDB与△ADE相似，则添加的一个条件是______________．
∠BFD＝∠A
(答案不唯一)
4．
[2025泰州期中]如图，△ACD的三个顶点均在1×3网格的格点上，请选三个格点组成一个格点三角形，它与△ACD有一条公共边且相似(不全等)，则这个格点三角形是________．
△ECA
【点拨】
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5．
(－1，0)或(1，0)或(－4，0)
【点拨】
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6．
(2)若BD＝3，BF＝2，求AB的长．
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7．
如图，在等边三角形ABC中，点E是AB的中点，点D在AC上，且DC＝2DA，则(　　)
A．△AED∽△BED
B．△AED∽△CBD
C．△AED∽△ABD
D．△BAD∽△BCD
【点拨】
【答案】B
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8．
[2024烟台]如图，在正方形ABCD中，点E，F分别为对角线BD，AC的三等分点，连结AE并延长交CD于点G，连结EF，FG，若∠AGF＝α，则∠FAG用含α的代数式表示为(　　)
【点拨】
【答案】B
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9．
已知在△ABC与△A′B′C′中，点D，D′分别在边BC，B′C′上(点D不与点B，C重合，点D′不与点B′，C′重合)．如果△ADC与△A′D′C′相似，点A，D分别对应点A′，D′，那么添加下列条件可以证明△ABC与△A′B′C′相似的是(　　)
①AD，A′D′分别是△ABC与△A′B′C′的角平分线；
②AD，A′D′分别是△ABC与△A′B′C′的中线；
③AD，A′D′分别是△ABC与△A′B′C′的高．
A．①②　 B．②③　 C．①③　 D．①②③
【点拨】
【答案】A
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10．
[2025郑州实验中学期中]如图，已知等腰三角形ABC中，AB＝AC＝20 cm，BC＝30 cm，点P从点B出发沿BA以
4 cm/s的速度向点A运动；同时点Q从点C出发沿CB以
3 cm/s的速度向点B运动，在运动过程中，当△BPQ与△AQC相似时，BP＝________cm.
【点拨】
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11．
如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝m(m＞2)，点E在AD边上，DE＝1，过点E作EF∥AB交BC于点F.若线段EF上存在三个不同的点P，使得△EDP与△BPF相似，则m的取值范围为_______________．
2＜m＜5且m≠4
【点拨】
当m＝4时，线段EF上存在两个不同的点P，使△EDP与△BPF相似，∴当2＜m＜5且m≠4时，线段EF上存在三个不同的点P，使得△EDP与△BPF相似．
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12．
(2)求线段DE长的取值范围．
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13．
有这样一道题：如图①，在正方形ABCD中，E是AD的中点，F是CD上一点，且CF＝3DF.图中有哪几对相似三角形？把它们表示出来，并说明理由．
(1)复习时，小明、小亮与数学老师交流了自己的两个见解，并得到了老师的认可：
①设正方形的边长AB＝4a，则AE＝DE＝2a，DF＝a，利用“两边分别成比例且夹角相等的两个三角形相似”可以证明△ABE∽△DEF.请结合提示写出证明过程；
②图中的相似三角形共三对，而且可以借助△ABE与△DEF中的比例线段来证明△EBF与它们相似．
(2)交流之后，小亮尝试对问题进行了变化，在老师的帮助下，提出了新的问题，请你解答：
如图②，在矩形ABCD中，E为AD的中点，EF⊥EC交AB于点F，连结FC．(AB＞AE)
①求证：△AEF∽△ECF.
②设BC＝2，AB＝a，是否存在a值，使得△AEF与△BFC相似？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由．
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第23章　图形的相似
第23章综合素质评价
B
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1．
如果a和b都不为零，且3a＝4b，那么下列比例中正确的是(　　)
一、选择题(每小题4分，共32分)
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2．
如图，在矩形、三角形、正五边形、菱形的外边加一个宽度一样的外框，保证外框的边界与原图形对应边平行，则外框与原图一定相似的有(　　)
A．1个　　
B．2个　　
C．3个　　
D．4个
C
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3．
矩形相邻的两边长分别为25和x(x＜25)，把它按如图所示的方式分割成五个全等的小矩形，每一个小矩形均与原矩形相似，则x的值为(　　)
B
4．
在初中物理中我们学过凸透镜的成像规律．如图，MN为一凸透镜，F是凸透镜的焦点．在焦点外的主光轴上垂直放置一小蜡烛AB，透过凸透镜后成的像为CD．光路图如图所示，经过焦点的光线AE通过凸透镜折射后平行于主光轴，并与经过凸透镜光心的光线AO汇聚于C点．若焦距OF＝4，物距OB＝6，小蜡烛的高度AB＝1，则蜡烛的像CD与凸透镜MN之间的距离为(　　)
A．9　
B．12　　
C．15　　
D．18
【点拨】
【答案】B
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5．
如图，点A1(1，1)向上平移1个单位，再向右平移2个单位，得到点A2；点A2向上平移2个单位，再向右平移4个单位，得到点A3；点A3向上平移4个单位，再向右平移
8个单位，得到点A4；….按这个规律平移得到点A100，则点A100的坐标为(　　)
A．(2100－1，2100) B．(299，2100)
C．(2100－1，299) D．(299＋1，2100)
【点拨】
【答案】C
由题知，点A1的坐标为(1，1)，点A2的坐标为(3，2)，点A3的坐标为(7，4)，点A4的坐标为(15，8)，…，由此可见，点An的横坐标可表示为2n－1，纵坐标可表示为2n－1(n为正整数)，当n＝100时，点A100的坐标为(2100－1，299)．故选C.
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6．
如图，菱形ABCD的面积是24，E，F分别是菱形ABCD的边BC，CD的中点，连结AE，BF，AE与BF交于点G，则△BEG的面积为(　　)
【点拨】
如图，延长BF交AD的延长线于点M.∵点F是边CD的中点，∴DF＝CF.∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴∠M＝∠FBC，∠FDM＝∠C，∴△DMF≌△CBF，∴DM＝BC＝AD.
∴AM＝2AD＝2BC.∵点E是BC的中点，∴BC＝2BE，∴AM＝4BE.∵AD∥BC，∴△BEG∽△MAG，∴GE：AG＝BE：AM＝1：4，∴S△BEG：S△ABE＝EG：AE＝1：5.
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【答案】A
7．
A．没有最大值和最小值
B．最小值为1，没有最大值
C．最大值为2，没有最小值
D．最小值为1，最大值为2
【点拨】
【答案】D
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8．
[2024南通]在△ABC中，∠B＝∠C＝α(0°<α<45°)，AH⊥BC，垂足为H，D是线段HC上的动点(不与点H，C重合)，将线段DH绕点D顺时针旋转2α得到线段DE.两名同学经过深入研究，小明发现：当点E落在边AC上时，点D为HC的中点；小丽发现：连结AE，当AE的长最小时，AH2＝AB·AE.请对两名同学的发现作出评判(　　)
A．小明正确，小丽错误
B．小明错误，小丽正确
C．小明、小丽都正确
D．小明、小丽都错误
【点拨】
∵将线段DH绕点D顺时针旋转2α得到线段DE，∴DH＝DE，∠HDE＝2α.当点E落在边AC上时，如图①.∵∠HDE＝∠C＋∠CED，∠C＝α，∴∠CED＝α＝∠C，∴DE＝CD，∴DH＝CD，∴D为CH的中点，故小明的发现是正确的；连结HE，如图②.
【答案】C
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9．
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50
二、填空题(每小题5分，共20分)
10．
如图①是装了液体的长方体容器的主视图(数据如图)，将该容器绕地面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好接触到容器口边缘，如图②所示，此时液面宽度AB＝________.
【点拨】
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11．
【点拨】
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12．
P是△ABC边上的任一点(P不与A，B，C重合)，过点P的一条直线截△ABC，如果截得的三角形与△ABC相似，那么我们称这条直线为过点P的△ABC的“相似线”．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，当点P是边BC上一个三等分点时(PB>PC)，过点P的△ABC的“相似线”最多有________条．
4
【点拨】
①当公共角为∠A时，不存在；②当公共角为∠B时，过点P作PD⊥BC，交AB于点D，如图①.∵∠DPB＝∠C＝90°，∠B＝∠B，∴△BPD∽△BCA；过点P作PD⊥AB于点D，如图②.∵∠PDB＝∠C＝90°，∠B＝∠B，∴△BPD∽△BAC；③当公共角为∠C时，连结AP，如图③.
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13．
(8分)如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点坐标分别是O(0，0)，A(2，4)，B(6，0)．
(1)以原点O为位似中心，请在第一象限内画出△OAB的位似图形△OA1B1，使它
与△OAB的相似比是1：2；
【解】如图，△OA1B1即为所求．
三、解答题(共48分)
(2)直接写出点A1，B1的坐标；
A1(1，2)，B1(3，0)．
(3)若△OAB关于点O的位似图形△OA2B2中，点A的对应点A2的坐标为(－3，－6)，则△OA2B2与△OAB的相似比为________，△OA2B2的面积为________．
3：2
27
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14．
(12分)如图，在△ABC中，AB＝AC＝5 cm，BC＝8 cm，AD⊥BC于点D．点E以2 cm/s的速度从点B出发，沿BC向终点C运动，同时，点F以2 cm/s的速度从点C出发，沿CA向终点A运动，连结EF.设它们的运动时间为t s，当t为何值时，以点E，F，C为顶点的三角形与△ACD相似？
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15．
(12分)如图①是屹立于河南省新郑市南关双洎河南岸的北宋古塔——凤台寺塔，距今已有900余年，为仓颉造字之地．如图②，数学综合实践小组用自制的菱形测角仪ABCD测量塔高，其边长为50 cm，较长的对角线DB的长为80 cm，O为对角线AC，BD的交点，当测角仪的顶点D，A与塔顶避雷装置顶端的点E在同一条直线上时，系在顶点A处的铅垂线AG过点O和顶点C，交地平线FG于点G，经测量得到FG＝26 m，OG＝1.5 m.
(1)求凤台寺塔EF的高(包括顶部高为2 m的避雷装置)；
(2)据凤台寺塔的简介知，该塔不包括避雷装置的高度为19.1 m，结合计算结果，提出一条改进测量方法的合理化建议．
【解】多次测量求平均值，可以减少误差(答案不唯一)．
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16．
(16分)[2024武汉]【问题背景】如图①，在矩形ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，连结BD，EF，求证：△BCD∽△FBE；
【问题探究】如图②，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠BCD＝90°，点E是AB的中点，点F在边BC上，AD＝2CF，EF与BD交于点G，求证：BG＝FG；
【点拨】
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第23章　图形的相似
23．6 图形与坐标
1.用坐标确定位置
A
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1．
沈阳是国家历史文化名城，清朝发祥地，素有“一朝发祥地，两代帝王都”之称．沈阳还是以装备制造业为主的重工业基地，被誉为“共和国装备部”，有“共和国长子”和“东方鲁尔”的美誉．能够准确表示沈阳这个地点的是(　　)
A．北纬41°11′～43°2′，东经122°25′～123°48′
B．北纬41°11′～43°2′
C．东经122°25′～123°48′
D．本溪的西北方向
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2．
[2025西安铁一中月考]如图，在某一时刻，一艘货轮与导航灯相距10 km，我们用有序数对(北偏东60°，10 km)来描述货轮相对于导航灯的位置，那么导航灯相对于货轮的位置可描述为(　　)
A．(北偏东10°，20 km)
B．(南偏东20°，10 km)
C．(北偏西60°，5 km)
D．(南偏西60°，10 km)
D
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3．
2025年哈尔滨亚洲冬季运动会是继北京冬奥会后中国举办的又一重大国际综合性冰雪盛会，于2025年2月7日在哈尔滨市举行．如图，将本次运动会的会徽放入正方形网格中，若点A的坐标为(－1，2)，点B的坐标为(2，2)，则点C的坐标为________．
(3，－1)
4．
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雷达探测器是探测各个波段雷达波并使用声、光进行提示使用者的探测器．如图，在一个平面区域内，一台雷达探测器测得在点A，B，C处有目标出现．按某种规则，点A，B的位置可以分别表示为(1，90°)，(2，240°)，则点C的位置可以表示为________．
(3，30°)
5．
如图，我们把杜甫的《绝句》
整齐排列放在平面直角坐标系中．
(1)“岭”和“船”的坐标依次是________，________；
(2)将第2行与第3行对调，再将第3列与第7列对调，“雪”由开始的坐标________依次变换为________和________；
(4，2)
(7，1)　
(7，2)
(7，3)
(3，3)
(3)“泊”开始的坐标是(2，1)，使它的坐标变换到(5，3)，应该哪两行对调，同时哪两列对调？
【解】“泊”开始的坐标是(2，1)，使它的坐标变换到
(5，3)，应该第1行与第3行对调，同时第2列与第5列对调．
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6．
盲道方便了盲人的通行，保持盲道畅通是我们每个人的义务．盲道一般由带有凸起的方形地砖铺设而成(如图①)，在部分盲道建立平面直角坐标系，如图②，每个正方形的边长都为相同的整数个单位，则图中点P的坐标为(　　)
A．(10，1) B．(11，1)
C．(10，2) D．(11，3)
【点拨】
【答案】B
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7．
七年级某班有48名学生，所在教室有6行8列座位，用(m，n)表示第m行第n列的座位，新学期准备调整座位．设某个学生原来的座位为(m，n)，若调整后的座位为(i，j)，则称该生作了平移[a，b]＝[m－i，n－j]，并称a＋b为该生的位置数．某生的位置数为8，当m＋n取最小值时，则mn的最大值为(　　)
A．25 B．30 C．36 D．48
【点拨】
【答案】A
∵[a，b]＝[m－i，n－j]，∴a＋b＝m－i＋n－j＝m＋n－(i＋j)．又∵a＋b＝8，∴m＋n－(i＋j)＝8，即m＋n＝i＋j＋8.∵1≤i≤6，1≤j≤8，且i，j都是整数，∴m＋n的最小值为10.当m＝2，n＝8时，mn＝16；当m＝3，n＝7时，mn＝21；当m＝4，n＝6时，mn＝24；当m＝5，n＝5时，mn＝25；当m＝6，n＝4时，mn＝24，即mn的最大值为25.
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8．
如图，在某游乐园的平面示意图上建立平面直角坐标系，游乐园的入口位于坐标原点O，观鱼台位于点A(600，－800)，从观鱼台出发沿射线OA方向前行800 m到达民俗园B，从民俗园B向右转90°后直行600 m到达动物园C，则点C的坐标是____________．
(600，－1 800)
【点拨】
∴∠CAB＝∠OAD，AC＝OA＝1 000 m.
∵B，O在一条直线上，∴C，A，D也在一条直线上．
∴CD＝AC＋AD＝1 800 m，
∴点C的坐标为(600，－1 800)．
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9．
中国象棋棋盘在方形的平面上，由九条平行的竖线和十条平行的横线相交组成，共有九十个交叉点，棋子就摆在交叉点上．如图是中国象棋棋盘的一半，棋子“马”走的规则是沿“日”形的对角线走．例如：图中“马”所在的位置可以直接走到点A，B处．图中蕴含着平面直角坐标系．
(1)如果“帅”位于点(0，0)，“车”位于点(4，2)，则“马”所在的点的坐标为________，点C的坐标为________，点D的坐标为________；
(2)若“马”的位置在C点，为了到达D点，请按“马”走的规则，写出一种你认为合理的行走路线，并用坐标表示．
(－3，0)
(1，3)
(3，1)
【解】若“马”的位置在C点，为了到达D点，则所走路线为
(1，3)→(2，1)→(3，3)→(1，2)→D(3，1)．(答案不唯一)
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10．
如图①，将射线OX按逆时针方向旋转β(0°≤β<360°)，得到射线OY，如果P为射线OY上的一点，且OP＝m，那么我们规定用(m，β)表示点P在平面内的位置，并记为P(m，β)．例如，图②中，如果OM＝5，∠XOM＝110°，那么点M在平面内的位置记为M(5，110°)，根据图形，解答下列问题：
(1)若点N在平面内的位置记为N(6，30°)，则ON＝________，∠XON＝________°.
(2)已知点A在平面内的位置记为A(5，40°)，如图③.
①若点B在平面内的位置记为B(3，220°)，则A，B两点间的距离为________；
6
30
8
②若点B在平面内的位置记为B(m，85°)，且AB＝5，在图③中画出图形，并求m的值；
③若点B在平面内的位置记为B(12，α)，且AB＝13，求α的值．
【解】如图②，∵B(12，α)，
∴∠XOB＝α，OB＝12.
∵AB＝13，OA＝5，∴OA2＋OB2＝AB2.
∴∠AOB＝90°.∴α＝∠XOA＋∠AOB＝130°；
如图③，∵B(12，α)，∴OB＝12.
∵AB＝13，OA＝5，∴OA2＋OB2＝AB2.
∴∠AOB＝90°.∴∠XOB＝90°－∠XOA＝50°.
∴α＝360°－50°＝310°.
综上，α的值为130°或310°.
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第23章　图形的相似
测素质 相似三角形的应用及图形变换
D
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1．
如图，在正方形网格图中，△ABC与△A′B′C′是位似图形，则位似中心是(　　)
A．点R
B．点P
C．点Q
D．点O
一、选择题(每小题4分，共32分)
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2．
如图，为了测绘护城河宽度，在河对岸选定点A，在近岸取点B，C，D，E，使得A，B与D共线，A，C与E共线，且直线AB与河岸垂直，直线BC，DE均与直线AB垂直．设AD的长为x，则下列等式成立的是(　　)
C
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3．
[2025深圳期中]如图①是装满了液体的高脚杯示意图，倒去一部分液体后如图②所示，此时液面AB的宽度为(　　)
A．3 cm
B．2.5 cm
C．3.2 cm
D．2.8 cm
A
4．
【点拨】
【答案】C
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5．
如图，一只箱子沿着斜面向上运动，箱高AB＝1.3 m，当BC＝2.6 m时，点B离地面的距离BE＝1 m，则此时点A离地面的距离AD是(　　)
A．2.2 m
B．2 m
C．1.8 m
D．1.6 m
【点拨】
【答案】A
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6．
【点拨】
【答案】A
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7．
如图，学校为举办文艺汇演搭建了舞台及登台的台阶，台阶总高度AB＝60 cm，台阶部分铺红地毯，地毯长度为140 cm，支撑钢梁DE⊥AC，且D为BC的中点，则钢梁DE的长为(　　)
A．20 cm
B．24 cm
C．32 cm
D．40 cm
【点拨】
【答案】B
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8．
如图，在平面直角坐标系上有点A(1，0)，点A第一次跳动至点A1(－1，1)，第二次向右跳动3个单位至点
A2(2，1)，第三次跳动至点A3(－2，2)，第四次向右跳动5个单位至点A4(3，2)，…，依此规律跳动下去，点A第2 025次跳动至点A2 025的坐标是(　　)
A．(－1 012，1 012)
B．(1 013，1 012)
C．(－1 013，1 013)
D．(1 014，1 013)
【点拨】
【答案】C
∵A1(－1，1)，A2(2，1)，A3(－2，2)，A4(3，2)，A5(－3，3)，A6(4，3)，A7(－4，4)，A8(5，4)，…，∴A2n－1(－n，n)(n为正整数)，∴2n－1＝2 025，解得n＝1 013，∴A2 025(－1 013，1 013)．
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9．
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在平面直角坐标系中，点A的坐标为(a，2)，点B的坐标是(3，b)，若点A与点B关于原点O对称，则ab＝________.
6
二、填空题(每小题6分，共24分)
10．
如图，小明利用相似图形的知识测量旗杆高度，已知小明的眼睛B离地面AE的距离为1.5米，他将3米长的标杆竖直放置在身前3米的C处，此时小明的眼睛B、标杆的顶端D、旗杆的顶端F在一条直线上，通过计算测得旗杆高度EF为15米，则旗杆和标杆之间的距离CE的长为________米．
24
【点拨】
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11．
[2025石家庄新华区月考]如图，点A(0，2)，B(－1，0)，将线段AB平移得到线段DC，若∠BAD＝90°，BC＝2AB，则点C的坐标是________．
(－5，2)
【点拨】
过点C作CE⊥x轴于点E，则∠BEC＝90°，∠BCE＋∠CBE＝90°，∴∠BEC＝∠AOB＝90°.∵将线段AB平移得到线段DC，∴AB∥DC，AB＝DC，∴四边形ABCD为平行四边形．∵∠BAD＝90°，∴四边形ABCD为矩形，∴∠ABC＝90°，∴∠ABO＋∠CBE＝90°，∴∠BCE＝∠ABO，∴△AOB∽△BEC，
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12．
有五本侧面为长方形的书放置在长方形书架中，如图所示，其中四本竖放，第五本斜放，点G正好在书架边框上．若每本书的厚度为5 cm，高度为20 cm，书架宽为40 cm，则FI的长为________．
【点拨】
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13．
(12分)在平面直角坐标系中，已知点A(x－3，y＋2)与点B(5，3y－2)．
(1)若点A与点B关于x轴对称，求x＋y的值；
【解】∵点A(x－3，y＋2)与点B(5，3y－2)关于x轴对称，
∴x－3＝5，y＋2＝－3y＋2，
∴x＝8，y＝0，∴x＋y＝8＋0＝8.
三、解答题(共44分)
(2)若AB∥x轴，且AB＝2，求A点的坐标．
当点A在点B的左侧时，∵AB∥x轴，且AB＝2，
∴A点的横坐标是5－2＝3，y＋2＝3y－2，
∴y＝2，∴A(3，4)；当点A在点B的右侧时，
同理可得点A的横坐标是5＋2＝7，纵坐标是4，
∴A(7，4)．综上所述，A点的坐标为(3，4)或(7，4)．
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14．
(14分)如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点A在y轴上，点B在x轴上，AB＝10，BC＝5，点C(m，3)．
(1)分别求点A，B的坐标及m的值；
(2)在第一象限中，画出以原点O为位似中心，将△ABC缩小后所得到的△DEF，使△DEF与△ABC的对应边之比为1：2.
【解】如图，△DEF即为所求．
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15．
(18分)大雁塔建于唐长安城晋昌坊(今陕西省西安市南)的大慈恩寺内，又名“慈恩寺塔”，是现存最早、规模最大的唐代四方楼阁式砖塔，造型简洁、气势雄伟，是西安市的标志性建筑和著名古迹，是古城西安的象征．小华拿着一部长为16 cm的手机站在广场上离大雁塔121 m的点F处(即FB＝121 m)，他把手机竖直放置并将手臂向前伸(即CD∥AB)，手机上下两端恰好挡住他
观察大雁塔的视线(即点A，C，E在一条直线上，点B，D，E在一条直线上)，已知点E到手机CD的距离为
30 cm，则大雁塔的高度AB为多少米？(精确到0.1 m)
【解】过点E作EW⊥AB于点W，交CD于点J.
∵AB⊥BF，EF⊥BF，EW⊥AB，
∴∠EWB＝∠WBF＝∠BFE＝90°，
∴四边形BFEW是矩形，∴EW＝BF＝121 m.
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第23章　图形的相似
23．5 位似图形
D
1．
[2025日照月考]下列相似图形不是位似图形的是(　　)
【点方法】
判断两个图形是不是位似图形，需要从两方面去考察：(1)这两个图形是否相似；(2)是否有特殊的位置关系，即每组对应顶点的连线是否都经过同一点．
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2．
如图，在正方形网格图中，以O为位似中心，作线段AB的位似图形，若点D是点B的对应点，则点A的对应点是(　　)
A．点C
B．点F
C．点E
D．点G
D
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3．
[2025沈阳期中]如图，△ABC与△DEF位似，点O是位似中心，若OA：AD＝1：2，DF－AC＝8，则DF＋AC为(　　)
A．8
B．12
C．16
D．18
C
4．
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如图，六边形ABCDEF和六边形A1B1C1D1 E1F1是以点O为位似中心的位似图形，OA：AA1＝2：1.若六边形ABCDEF的周长为14 cm，则六边形A1B1C1D1E1F1的周长为________cm.
21
5．
《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，正方形ABCD的边长为2.以它的对角线的交点O为位似中心，作它的位似图形A′B′C′D′，若A′B′：AB＝2：1，则过四边形A′B′C′D′的顶点的圆的半径为________．
【点拨】
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6．
如图，在正方形网格中，△A1B1C1与△ABC的顶点都在格点上，并且这两个三角形是以点O为位似中心的位似图形．
(1)在正方形网格中画出点O；(不写作法，保留作图痕迹)
【解】如图，点O即为所求．
(2)以点A为位似中心，在点A的左侧画出与△ABC位似的△AB2C2，使△ABC与△AB2C2的相似比为1：2.
【解】如图，△AB2C2即为所求．
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7．
在研究相似问题时，嘉嘉和淇淇两名同学的观点如下：嘉嘉：将边长为1的正方形按图①的方式向外扩张，得到新正方形，它们的对应边间距为1，则新正方形与原正方形相似，同时也位似；淇淇：将边长为1的正方形按图②的方式向外扩张，得到新正方形，每条对角线向其延长线两个方向各延伸1，则新正方形与原正方形相似，同时也位似．
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对于两人的观点，下列说法正确的是(　　)
A．两人都对
B．两人都不对
C．嘉嘉对，淇淇不对
D．嘉嘉不对，淇淇对
A
8．
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如图是幻灯机的原理图，放映幻灯片时，通过光源和镜头，把幻灯片上的图形AB放大到屏幕上．若幻灯片中图形AB到镜头O的距离为15 cm，到屏幕的距离为
240 cm，且幻灯片中图形AB的高度为6 cm.
(1)△ABO与△CDO________位似图形；
(填“是”或“不是”)
(2)屏幕图形CD的高度为________ cm.
是　
90
9．
如图，在平行四边形ABCD中，以点C为位似中心，作平行四边形ABCD的位似平行四边形PECF，且与原图形的位似比为2：3，连结BP，DP，若平行四边形ABCD的面积为20，则△PBE与△PDF的面积之和为________．
【点拨】
如图，连结AC，∵平行四边形PECF与平行四边形ABCD是以点C为位似中心的位似图形，位似比为2：3，∴A，P，C三点在同一条直线上，PF∥AD，PE∥AB，CF：CD＝2：3.∵平行四边形ABCD的面积为20，∴△ABC和△ADC的面积都是10.
∵PF∥AD，∴△CFP∽△CDA.
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10．
如图是由位似的正三角形A1B1C1，正三角形A2B2C2，正三角形A3B3C3，…，正三角形AnBnCn组成的图形，其中△A1B1C1的边长为1，O是B1C1的中点，A2是OA1的中点，A3是OA2的中点，…，An是OAn－1的中点，顶点B2，B3，…，Bn，C2，C3，…，Cn都在边B1C1上．
(1)试写出△A10B10C10和△A7B7C7的相似比和位似中心；
(2)求△AnBnCn(n≥2)的周长．
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11．
如图①，给定锐角三角形ABC，小明希望画正方形DEFG，使D，E位于边BC上，F，G分别位于边AC，AB上，他发现直接画图比较困难，于是他先画了一个正方形HIJK，使得点H，I位于射线BC上，K位于射线BA上，而不要求J必须位于AC上．这时他发现可以将正方形HIJK通过放大或缩小得到满足要求的正方形DEFG.
阅读以上材料，回答以下问题：
(1)如图②，给定锐角三角形ABC，画出所有长宽比为2?：1的长方形DEFG，使D，E位于边BC上，F，G分别位于边AC，AB上；
【解】如图①②，长方形
DEFG即为所求作的图形．
(2)已知△ABC的面积为36，BC＝12，在第(1)题的条件下，求长方形DEFG的面积．
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第23章　图形的相似
23．2 相似图形
D
1．
[2024连云港]下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的为(　　)
A．甲和乙　
B．乙和丁
C．甲和丙　
D．甲和丁
【点方法】
(1)在相似多边形中，“对应边成比例”“对应角相等”这两个条件必须同时成立，才能说明这两个多边形是相似多边形．(2)相似比和两个多边形的前后顺序有关．(3)全等多边形的相似比等于1，反之相似比等于1的相似多边形是全等多边形．
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2．
[教材P59例题] 如图所示的两个四边形相似，则下列结论不正确的是(　　)
B
3．
甲说：“将矩形各边向内平移1个单位长度并适当缩短，得到如图①所示的图形，变化前后的两个矩形相似．”乙说：“将菱形各边向内平移1个单位长度并适当缩短，得到如图②所示的图形，变化前后的两个菱形相似．”对于两人的观点，下列说法正确的是(　　)
A．两人都对
B．两人都不对
C．甲对，乙不对
D．甲不对，乙对
【点拨】
【答案】D
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4．
[2025宁波校级月考]如图，矩形ABCD被分割为3个面积相等的小矩形，已知矩形AFED与原矩形ABCD相似，则原矩形的较长边与较短边的比值是________．
【点拨】
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5．
[教材P96复习题T13] 如果一个图形能分割成若干个彼此全等而又与原图形相似的小图形，那么我们把这个图形称为“可缩图形”．可缩图形分割的方法是：从面积相等和形状相似出发，根据等分的份数对原图进行等分切割，再各取一份构建基本图形，运用基本图形来分割．例如：图①为一个“可缩图形”，将它按图②方式分割，可以得到4个彼此全等且与原图形相似的小图形．如图③是一个正方形被剪去四分之一后所得的图形，这个图形是“可缩图形”吗？如果是，请你尝试分割，并在图中画出来．
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【解】这个图形是“可缩图形”．如图．
6．
如图，矩形ABCD与矩形DEFG相似，连结AF，CG，DF，要求出△CDG的面积，只需要知道下面哪个图形的面积(　　)
A．矩形ABCD　
B．四边形ABCG
C．△DEF
D．△ADF
【点拨】
【答案】D
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7．
将一张 ABCD(AD【点拨】
【答案】C
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8．
如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝2，连结AC，以对角线AC为边，按逆时针方向作矩形ACC1B1，使矩形ACC1B1与矩形ADCB相似；再连结AC1，以对角线AC1为边，按逆时针方向作矩形AC1C2B2，使矩形AC1C2B2与矩形ACC1B1相似，…，按照此规律作下去，则边AC2 026的长为(　　)
【点拨】
【答案】A
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9．
[2025广州越秀区期中]如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝a，点E，F是对角线BD上的点(点E，F不与B，D重合)，分别连结AE，EC，AF，CF，若四边形AECF是菱形，且与菱形ABCD是相似图形，那么菱形AECF的边长是____________．
(用含a的代数式表示)
【点拨】
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10．
如图①，将一张A4纸2次折叠，发现第一次的折痕与A4纸较长的边重合．如图②，将一张A4纸对折，使其较长的边一分为二，沿折痕剪开，可得两张A5纸．
(1)A4纸较长边与较短边的比为_________；
【点拨】
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(2)A4纸与A5纸是否为相似图形？请说明理由．
∴A4纸与A5纸的对应边成比例．
又∵A4纸与A5纸的四个角均为直角，∴A4纸与A5纸相似．
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11．
某中学有一块正方形的空地，边长为40 m，学校计划将空地分为五部分，种植不同的花束．白老师利用课后延时时间将设计任务交给小明和小芳两位同学，并给两位同学每人一张边长为20 cm的正方形硬纸板模型用来设计，下面是小明和小芳的设计方案．
小明：如图①，它是由四个全等的直角三角
形以及一个小正方形组成的，其中小正方形
EFGH与大正方形ABCD的边长比为1：5.
小芳：如图②，它是由四个矩形和中间一个小正方形组成的，在该图案中矩形MNPQ与矩形RSTH相似，且对应边的比为1：3，中间小正方形的边长为4 cm.
(1)结合小明设计的方案，解决下列问题：
①求出图中AE的长．
【解】∵小正方形与大正方形的边长比为1：5，
且大正方形边长为20 cm，∴正方形EFGH的边长为4 cm.
设BE＝a cm，AE＝b cm，∴a2＋b2＝400，a－b＝4，
∴a2＋(a－4)2＝400，整理可得(a－2)2＝196，
解得a1＝16，a2＝－12 (舍去)，∴b＝12，即AE＝12 cm.
【解】由①知AE＝12 cm，BE＝16 cm，
∴小直角三角形的周长是16＋12＋20＝48(cm)．
∴每个小三角形的实际周长为0.48×(40÷0.2)＝96(m)．
(2)求小芳的方案中矩形MNPQ的面积．
设矩形MNPQ的长为x cm，宽为y cm.
∵矩形MNPQ与矩形RSTH相似，对应边的比为1：3，
∴矩形RSTH的长为3x cm，宽为3y cm，
由题图可知x＋3x－4＝20，y＋3y＋4＝20，
解得x＝6，y＝4，∴矩形MNPQ的面积为4×6＝24(cm2)．
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第23章　图形的相似
23．3 相似三角形
2.相似三角形的判定
1 相似三角形的判定定理1
D
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1．
如图，△ABC是等边三角形，∠DAE＝120°，则下列结论不正确的是(　　)
A．△ABD∽△ECA
B．△ECA∽△EAD
C．△ABD∽△EAD　
D．△ACD∽△ABE
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2．
[2025保定期中]在△ABC中，∠ABC＝90°，用直尺和圆规在AC上确定点D，使△BAD∽△CBD，根据作图痕迹判断，正确的是(　　)
B
3．
如图，E，G，F，H分别是矩形ABCD四条边上的点，EF⊥GH，若AB＝2，BC＝3，则EF：GH＝(　　)
A．2：3
B．3：2
C．4：9
D．无法确定
【点拨】
过点F作FM⊥AB于点M，过点H作HN⊥BC于点N，则∠4＝∠5＝90°＝∠AMF.∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AB∥CD，∠A＝∠D＝90°＝∠AMF，∴四边形AMFD是矩形，∴FM∥AD，FM＝AD＝BC＝3，同理HN＝AB＝2，HN∥AB，∴∠1＝∠2.∵HG⊥EF，∴∠HOE＝90°，∴∠1＋∠GHN＝90°.
【答案】B
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4．
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如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上．添加一个条件使△ADE∽△ACB，则这个条件可以是____________．(写出一种情况即可)
∠ADE＝∠C
(答案不唯一)
5．
[2024宜宾]如图，正五边形ABCDE的边长为4，则这个正五边形的对角线AC的长是________．
【点拨】
如图，连结BE，交AC于点O.∵五边形ABCDE是正五边形，且它的边长为4，∴∠CBA＝∠BAE＝(5－2)×180°÷5＝108°，BC＝AB＝AE＝4.∴∠BCA＝∠BAC＝∠ABE＝∠AEB＝(180°－108°)÷2＝36°.∴∠CBO＝∠ABC－∠ABE＝108°－36°＝72°.∴∠BOC＝180°－∠CBO－∠BCA＝180°－72°－36°＝72°.
∴∠CBO＝∠BOC.∴CO＝BC＝4.
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6．
[教材P67练习T2] 如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高，BD＝9，AD＝4，求CD和AC的长．
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7．
如图，一束光线从y轴上点A(0，1)发出，经过x轴上的点C反射后，经过点B(6，2)，则光线从A点到B点经过的路线长度为(　　)
【点拨】
【答案】C
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8．
题目：“如图，Rt△ABC纸片的直角边AC＝6，BC＝8.P是Rt△ABC纸片边上不与A，B，C重合的一点，欲过点P剪下一个与Rt△ABC相似的三角形．问有几种不同的剪法．”对于其答案，甲答：当点P在斜边AB上时有三种不同的剪法；乙答：当点P在直角边BC上时有三种不同剪法；丙答：当点P在直角边AC上时有四种
不同的剪法．回答正确的人是________．
甲、丙
【点拨】
当点P在斜边AB上时有三种不同的剪法：如图①，沿过点P且垂直于AC，BC，AB的垂线剪，故甲对；当点P在直角边BC上时有四种不同剪法：如图②，过P作PD∥AB交AC于点D，则△PCD∽△BCA；过P作PE∥AC交AB于点E，则△BPE∽△BCA；作PF⊥AB交AB于点F，则∠PFB＝∠C＝90°.∵∠B＝∠B，则△PBF∽△ABC；作∠CPG＝∠A交AC于点G，则△CPG∽△CAB.同理点P在直角边AC上时有四种不同剪法，故乙错，丙对．
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9．
【点拨】
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10．
四边形的一条对角线把这个四边形分成两个三角形，如果这两个三角形相似，我们就把这条对角线称为这个四边形的“理想对角线”．
(1)如图①，在四边形ABCD中，∠ABC＝70°，AB＝AD，AD∥BC，当∠ADC＝145°时．求证：对角线BD是四边形ABCD的“理想对角线”；
(2)如图②，在四边形ABCD中，CA平分∠BCD，当∠BCD与∠BAD满足什么关系时，对角线AC是四边形ABCD的“理想对角线”，请说明理由．
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11．
如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，BC＝12，点P，Q分别在AB，BC边上，且∠AQP＝∠B．
(1)求证：△BQP∽△CAQ；
【证明】∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.
∵∠AQP＝∠B.∴∠AQP＝∠C.
又∵∠AQB＝∠AQP＋∠PQB，
∠AQB＝∠CAQ＋∠C，
∴∠PQB＝∠CAQ.∴△BQP∽△CAQ.
(2)若BP＝4.5，求∠BPQ的度数；
(3)若在BC边上存在两个点Q，满足∠AQP＝∠B，求BP长的取值范围．
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12．
如图，在△ABC中，AC＝8，BC＝12，∠BAC＝2∠B．点P是BC边上一点，点C关于AP的对称点恰好落在AB边上的点D处．
(1)求证：△PAC∽△ABC；
【证明】∵C点与D点关于AP对称，
∴∠CAP＝∠DAP.又∵∠BAC＝2∠B，
∴∠B＝∠CAP＝∠BAP.
∵∠C＝∠C，∴△PAC∽△ABC.
(2)求线段AB的长；
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第23章　图形的相似
专题12 相似三角形与其他知识的综合应用
1．
(1)求点A，B的坐标；
(2)当以A，C，D为顶点的三角形与△AOB相似时，求满足条件的n的值．
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2．
(2)若点D在x轴的正半轴上，是否存在以点D，C，B构成的三角形与△OAB相似？若存在，求出D点的坐标；若不存在，请说明理由．
【解】存在．如图，过点A作
AM⊥y轴，垂足为点M，
由题易得B(0，－4)．∴OB＝4.
∵A(－1，－5) ，∴AM＝1，OM＝5，∴BM＝1，
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3．
[2025咸阳期中]如图，四边形ABCD为平行四边形，E为边AD上一点，连结AC，BE相交于点F，且∠ACB＝∠ABE.
(1)求证：AE2＝EF·BE；
(2)若AF＝3，CF＝4，求AB的长．
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4．
[2025沈阳沈北新区期中]如图，在菱形ABCD中，点E是边DC上的任意一点(不与点D，C重合)，AE交对角线BD于点F，过点E作EG∥BC交BD于点G.
(1)求证：DF2＝FG·BF；
(2)当AE⊥DC时，求证：BD·DF＝2AD·DE.
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5．
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6．
如图①，由四个全等的直角三角形的直角边拼接成
一个正方形ABCD，我们称这样的图形为“弦图”，“弦图”是中国古代数学的瑰宝，在如图②的“弦图”中，连结AC，EG交于点O，设AC与EH，FG的交点分别为M，N.吴老师和学生们对此“弦图”进行研究性学习时，有如下交流：
吴老师：利用弦图中的三角形全等关系可证明四边形EFGH是正方形，O是AC和EG的中点；
小聪：这两个结论都能证明，我还发现△AOE∽△EOM；
小颖：我发现已知AE，BE的长度，就能确定MN的长度，如：已知AE＝3，BE＝1，求MN的长度．
(1)请你证明小聪发现的结论；
【解】由吴老师与小聪的交流可知四边形EFGH是正方形．
∵四边形ABCD是正方形，四边形EFGH是正方形，
∴∠OAE＝∠OEM＝45°.
∵∠AOE＝∠EOM，∴△AOE∽△EOM.
(2)请你解答小颖提出的问题“已知AE＝3，BE＝1，求MN的长度．”
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第23章　图形的相似
专题8 平行线分线段成比例的常见应用
1．
【点方法】
证明比例式时用等线段去代换是常用的方法，如果没有平行线，要作平行线．
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. . . . . .
2．
返回
返回
3．
4．
如图，已知B，C，E三点在同一条直线上，△ABC与△DCE都是等边三角形，其中线段BD交AC于点G，线段AE交CD于点F，连结GF.求证：
(1)△ACE≌△BCD；
【证明】∵△ABC与△DCE都是等边三角形，
∴AC＝BC，CE＝CD，∠ACB＝∠DCE＝60°.
∴∠ACB＋∠ACD＝∠DCE＋∠ACD，
即∠BCD＝∠ACE.∴△ACE≌△BCD.
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5．
如图，在△ABC中，D为边AB的中点，DE∥BC，DE交AC于点E，CF∥BA，CF交DE的延长线于点F.求证：DE＝EF.
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A
D
E
F
B
C(共21张PPT)
第23章　图形的相似
专题11 构造中位线的常用方法
1．
如图，在边长为4的等边三角形ABC中，D，E分别为AB，BC的中点，EF⊥AC于点F，G为EF的中点，连结DG，求DG的长．
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2．
如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠BCD的平分线CE交边AB于点E，BF⊥CE于点F.
(1)求证：CF＝EF；
【证明】∵四边形ABCD为
平行四边形，∴AB∥CD.
∴∠DCE＝∠BEC. ∵CE平分∠BCD，∴∠DCE＝∠BCE.
∴∠BEC＝∠BCE.∴BC＝BE.
又∵BF⊥CE，∴CF＝EF.
(2)连结OF，若CD＝9，AD＝6，求OF的长．
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3．
如图，在△ABC中，AD是中线，AE是∠BAC的平分线，CF⊥AE于点F，连结DF，若AB＝10，AC＝6.求DF的长．
【解】延长CF交AB于点G.
∵AE是∠BAC的平分线，
∴∠GAF＝∠CAF.
∵AF⊥CG，∴∠AFG＝∠AFC＝90°.
又∵AF＝AF，∴△AFG≌△AFC. ∴AG＝AC，GF＝CF.
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4．
如图，在△ABC中，M为BC的中点，AD为△ABC的外角∠EAB的平分线，且AD⊥BD．若AB＝12，AC＝18，连结DM，求DM的长．
【解】如图，延长BD交AE于点N.
∵AD为∠EAB的平分线，
∴∠NAD＝∠BAD.
∵AD⊥BD，∴∠ADN＝∠ADB＝90°.
返回
5．
返回
6．
如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，BD⊥AC于点D，CE平分∠ACB，交AB于点E，交BD于点F.求证：
(1)△BEF是等腰三角形；
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7．
如图，在四边形ABCD中，AB与CD不平行，M，N分别是AD，BC的中点．若AB＝10，CD＝8，求MN长度的取值范围．
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8．
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第23章　图形的相似
23．6 图形与坐标
2.图形的变换与坐标
D
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1．
点P(－4，4)先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得点P′的坐标是(　　)
A．(－2，－3)
B．(－2，1)
C．(－6，7)
D．(－6，1)
返回
2．
剪纸，又叫刻纸，是一种镂空艺术，是中国汉族最古老的民间艺术之一．如图是一张蕴含着轴对称变换的蝴蝶剪纸，点A与点B对称，点C与点D对称，将其放置在直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为(3，0)，(5，0)，(1，4)，则点D的坐标为(　　)
A．(7，4) B．(6，4)　
C．(5，4) D．(4，4)
A
返回
3．
[2024浙江]如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A′B′C′是位似图形，位似中心为点O.若点A(－3，1)的对应点为A′(－6，2)，则点B(－2，4)的对应点B′的坐标为(　　)
A．(－4，8) B．(8，－4)
C．(－8，4) D．(4，－8)
A
4．
[2025福州一中月考]如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(6，8)，过点A作AD⊥y轴于点D，将△OAD绕点O顺时针旋转得到△OA′D′，使得点D的对应点D′落在边OA上，延长D′A′交x轴于点B，则点B的坐标为(　　)
【点拨】
【答案】C
返回
5．
[2025济南市中区期中]如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A(2，6)，B(6，2)，C(10，2)．
【解】如图，
△A1B1C1即为所求．
(2)在(1)的条件下，求点A1的坐标．
【解】由图可得，点A1的坐标为(1，3)．
返回
6．
【点拨】
【答案】B
返回
7．
[2024青岛]如图，将正方形ABCD先向右平移，使点B与原点O重合，再将所得正方形绕原点O顺时针方向旋转90°，得到四边形A′B′C′D′，则点A的对应点A′的坐标是(　　)
A．(－1，－2)
B．(－2，－1)
C．(2，1)
D．(1，2)
A
8．
返回
如图，矩形OABC的顶点O为坐标原点，AC＝4，对角线OB在第一象限的角平分线上．若矩形从图示位置开始绕点O以每秒45°的速度顺时针旋转，则当第2 026秒时，矩形的对角线交点G的坐标为(　　)
【点拨】
【答案】C
返回
9．
②③④
【点拨】
返回
10．
如图，在平面直角坐标系中，A，C两点分别在x轴、y轴上，点A的坐标为(8，0)，点C的坐标为(0，6)，点P为线段OA上一动点，点O关于直线PC的对称点为点B，当△ABP为直角三角形时，
OP的长为________．
3或6
【点拨】
由题意可得OC＝6，OA＝8.
设P(m，0)，则OP＝m.∵点O关于直线PC的对称点为点B，∴△CBP≌△COP.∴CB＝CO＝6，∠CBP＝∠COP＝90°，∠CPB＝∠CPO，PB＝PO＝m.∴AP＝8－m.分情况讨论：当△ABP为直角三角形时，∠ABP＝90°或∠APB＝90°或∠PAB＝90°.①若∠ABP＝90°，如图①，∵∠ABP＋∠CBP＝180°，∴A，B，C三点共线．
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11．
如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位，在方格纸中建立平面直角坐标系，△ABC的顶点都在格点上．
(1)将△ABC向下平移2个单位，再向右平移3个单位得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
【解】如图，△A1B1C1即为所求．
(2)以O为位似中心，画出△A1B1C1的位似图形△A2B2C2，使放大后的位似比为1：2；
如图，△A2B2C2即为所求(答案不唯一)．
(3)点P是y轴上一动点，则PB＋PC的最小值是________．
【点拨】
返回
12．
在平面直角坐标系中，经过点M(0，m)且平行于x轴的直线记作直线y＝m.给出如下定义：将点P(x，y)关于y轴的对称点记作点P1，再将点P1关于直线y＝m的对称点记作点P2，则称点P2为点P(x，y)关于y轴和直线y＝m的“青一对称点”．例如：点P(3，1)关于y轴和直线y＝3的“青一对称点”为点P2(－3，5)．
(1)点A(3，4)关于y轴和直线y＝1的“青一对称点”A2的坐标是___________；
(2)点B(3m＋n，m－n)关于y轴和直线y＝m的“青一对称点”B2的坐标是(－9，5)，求m和n的值；
(－3，－2)
(3)若点C(6x－5，2x＋1)关于y轴和直线y＝m的“青一对称点”C2在第二象限，且满足条件的x的整数解有且只有一个，求m的取值范围．
【解】∵点C(6x－5，2x＋1)关于y轴的对称点的坐标为
(－6x＋5，2x＋1)，点(－6x＋5，2x＋1)关于直线y＝m的
对称点的坐标为(－6x＋5，2m－(2x＋1))，
∴点C2的坐标为(－6x＋5，2m－2x－1)．
返回(共31张PPT)
第23章　图形的相似
测素质 相似三角形的判定和性质
C
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1．
如图，△ABC中，点D，G在AB边上，点E，H在AC边上，DE∥GH∥BC，则图中的相似三角形有(　　)
A．1对
B．2对
C．3对
D．4对
一、选择题(每小题4分，共24分)
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2．
已知一个直角三角形的两条直角边长分别为3和4，另一个直角三角形一条直角边与斜边的长分别为9和15，则这两个三角形(　　)
A．一定相似
B．不一定相似
C．一定不相似
D．是否相似无法判定
A
3．
返回
A
4．
返回
如图，在正方形网格上有5个三角形(三角形的顶点均在格点上)：①△ABC；②△ADE；③△AEF；④△AFH；⑤△AHG.在②至⑤中，与①相似的三角形是(　　)
A．②④
B．②⑤
C．③④
D．④⑤
A
5．
【点拨】
【答案】C
返回
6．
如图，在边长为6的正方形ABCD的边上取E，F两点，使AF＝3，CE＝2，连结BE，BF，EF，AC与BF，BE交于点M，N，则以下结论，其中正确的个数为(　　)
①EF＝AF＋CE；②∠EBF＝45°；③∠ABF与∠BFE互余；④△BMN与△BFE相似．
A．1 B．2
C．3 D．4
【点拨】
【答案】D
返回
又∵∠AMB＋∠NMB＝180°，∴∠NMB＝∠G.∴∠NMB＝∠BEF.又∵∠MBN＝∠EBF，∴△BMN∽△BEF，故④正确．故选D.
7．
返回
如图，已知点B，E，C，F在同一条直线上，∠A＝∠D，要使△ABC∽△DEF，还需添加一个条件，你添加的条件是_________________________．(只需写一个条件，不添加辅助线和字母)
∠B＝∠DEF(答案不唯一)
二、填空题(每小题6分，共24分)
8．
返回
如图，将△ABC沿BC边上的中线AD平移到△A′B′C′的位置．已知△ABC的面积为16，阴影部分三角形的面积为9.若AA′＝1，则A′D等于________．
3
9．
如图，在△ACD中，AD＝6，BC＝5，AC2＝AB(AB＋BC)，且△DAB∽△DCA，若AD＝3AP，点Q是线段AB上的动点，则PQ的最小值是________．
【点拨】
返回
10．
3或4
【点拨】
返回
11．
(10分)如图，已知矩形ABCD中，AB＝BE＝EF＝FC＝1，分别求出AE，AF，AC的长，并判断△AEF与△CEA是否相似？
三、解答题(共52分)
返回
12．
返回
13．
(14分)图①②均是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留适当的作图痕迹．
【解】如图①，线段EF即为所求．
(2)在图②中的线段AB上找一点O，使AO∶ BO＝2∶5.
【解】如图②，点O即为所求．
返回
14．
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第23章　图形的相似
专题10 相似三角形的基本模型
模型1 “A”字型
【模型展示】
图示
条件 DE∥BC ∠C＝∠ADE
结论 △ADE∽△ABC △ADE∽△ACB
返回
1．
如图，在△ABC中，DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E，若AD＝3，DB＝2，BC＝6，求DE的长．
返回
2．
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，E是AC上一点，AE＝5，ED⊥AB，垂足为D，求AD的长．
模型2 “8”字型
【模型展示】
图示
条件 AB∥CD ∠A＝∠D
结论 △AOB∽△COD △AOB∽△DOC
返回
3．
(2)若AC＝8，BC＝6，BE＝3，求DE的长．
4．
[2025上海静安区月考]如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，CD是AB边上的高，点E为线段CD上一点(不与点C，D重合)，连结BE，作EF⊥BE与AC的延长线交于点F，与BC交于点G，连结BF.
(1)求证：△CFG∽△EBG；
(2)求证：∠CEF＝∠CBF.
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模型3 母子型
【模型展示】
图示 条件 结论
∠C＝∠ABD(或∠ADB＝∠ABC) △ABC∽△ADB
5．
[2025成都武侯区月考]如图，在△ABC中，∠ABC的平分线BD交AC边于点D，已知∠ADB＝2∠ABD．
(1)求证：△ABD∽△ACB；
【证明】∵BD平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠ABD.
又∵∠ADB＝2∠ABD，∴∠ADB＝∠ABC.
又∵∠A＝∠A，∴△ABD∽△ACB.
(2)若DC＝2AD＝2，求∠A的度数．
返回
模型4 旋转型(手拉手模型)
【模型展示】
图示
条件 图①中DE∥BC，△ADE绕点A旋转得到图②
结论 图①②中△ADE∽△ABC，
图②中△ABD∽△ACE
6．
如图，在等腰直角三角形ABC中，AC＝BC，过点C作射线CP∥AB，D为射线CP上一点，E在边BC上(不与点B，C重合)，且∠DAE＝45°，连结DE交AC于点O.
(1)求证：△ADE∽△ACB；
(2)如果△COD与△BEA相似，求CE：BE的值．
【解】在△COD与△BEA中，易得∠DCO＝∠B＝45°.
又∵∠DOC与∠AEB均为钝角，
∴如果△COD与△BEA相似，只能是△COD∽△BEA.
∴∠CDO＝∠BAE. 由(1)易知∠AED＝45°，
∴∠AEC＝∠AED＋∠DEC＝45°＋∠DEC.
又∵∠AEC＝∠B＋∠BAE＝45°＋∠BAE，
∴∠DEC＝∠BAE.∴∠CDO＝∠BAE＝∠DEC.
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模型5 双垂直模型
【模型展示】
图示
条件 ∠BAC＝90°，AD⊥BC BD⊥AC，CE⊥AB
结论 △ABC∽△DBA∽ △DAC △ACE∽△ABD，
△ADE∽△ABC
7．
(2)求证：BC2＝BD·AB．
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8．
如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的中线，过点D作DF⊥AB，交BC于点E，交AC的延长线于点F.求证：
(1)△ADF∽△EDB；
【证明】∵△ABC是直角三角形，
AB是斜边，
∴∠ACB＝90°.∴∠A＋∠B＝90°.
∵DF⊥AB，∴∠ADF＝∠EDB＝90°.
∴∠F＋∠A＝90°.∴∠F＝∠B. ∴△ADF∽△EDB.
(2)CD2＝DE·DF.
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模型6 一线三等角模型
【模型展示】
图示
条件 ∠1＝∠2＝∠3 结论 ①△CAP∽△PBD；②当点P为AB的中点时，△CAP∽△PBD∽△CPD 图示
条件 ∠1＝∠2＝∠3 结论 △CAP∽△PBD 9．
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如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，E，F是CD上的两点，且∠ACB＝∠AED＝∠BFD．若AD＝8，DE＝4，BD＝12，则CD的长为(　　)
A．14
B．16
C．18
D．20
B
10．
[2025南京秦淮区模拟]【感知】如图①，在正方形ABCD中，E为AB边上一点，连结DE，过点E作EF⊥DE交BC于点F.易证：△AED∽△BFE.(不需要证明)
【探究】如图②，矩形ABCD中，E为AB边上一点，连结DE，过点E作EF⊥DE交BC于点F.
(1)求证：△AED∽△BFE；
【证明】∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠B＝90°.
∴∠ADE＋∠AED＝90°.∵DE⊥EF，∴∠DEF＝90°.
∴∠BEF＋∠AED＝90°.∴∠ADE＝∠BEF.
又∵∠A＝∠B，∴△AED∽△BFE.
(2)若AB＝10，AD＝6，E为AB的中点，求BF的长．
【应用】(3)如图③，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AB＝4.E为AB边上一点(点E不与点A，B重合)，连结CE，过点E作∠CEF＝45°，交BC于点F.当△CEF为等腰三角形时，BE的长为________．
【点拨】
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模型7 对角互补模型
【模型展示】
图示 条件 结论
∠AOB＋∠DCE＝180°.过点C作CM⊥AO于点M，CN⊥OB于点N △CDM∽△CEN
11．
在数学探究活动中，某同学进行了如下操作：如图，在直角三角形纸片ABC(∠C＝90°)内剪取一个直角三角形DEF(∠EDF＝90°)，点 D，E，F 分别在AB，AC，BC 边上．当AC＝3，BC＝4，DE＝2DF时 ，求AD的长．
【解】如图，过点D分别作DP⊥AC于点P，
作DQ⊥BC于点 Q，则∠EPD＝∠FQD＝90°.易得∠PDQ＝90°.
∴∠ADP＋∠QDF＋∠FDB＝90°.
又∵∠EDF＝90°，∴∠ADP＋∠PDE＋∠FDB＝90°，
∴∠QDF＝∠PDE.
∴△DPE∽△DQF.
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第23章　图形的相似
测素质 成比例线段
D
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1．
下列选项中的两个图形，不是相似图形的是(　　)
一、选择题(每小题5分，共35分)
返回
2．
[教材P55练习T1] 如图，AD∥BC，点E在AB上，EF∥AD交CD于点F，若AE：BE＝1：2，DF＝3，则FC的长为(　　)
A．6
B．3
C．5
D．9
A
3．
【点拨】
【答案】C
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4．
【点拨】
【答案】A
返回
5．
[2025深圳龙岗区期中]如图，已知过点B和表示数8的点的两条线段(两条线段的另一端在刻度尺上分别对应3和5)相互平行，若点A在数轴上表示的数是－2且点A与刻度尺上的0刻度重合，则AB的长度是(　　)
A．3　 B．4　
C．5　 D．6
【点拨】
【答案】B
返回
6．
D
返回
7．
【点拨】
【答案】D
返回
8．
返回
6
二、填空题(每小题6分，共24分)
9．
返回
2
10．
如图，在△ABC中，D是边BC的“黄金分割”点，若AB＝AD＝CD＝2，且BD＜DC，则AC的长度是________．
【点拨】
返回
11．
【点拨】
返回
12．
(14分)[2025西安西咸新区期中]如图，直线l1∥l2∥l3，分别交直线a，b，c于点A，B，C，D，E，F.若AD＝3，DE＝6.
(1)若AB＝4.5，求BC的长；
三、解答题(共41分)
(2)若EF＝10，求BE的长．
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13．
(11分)书画装裱是指为书画配上衬纸、卷轴以便张贴、欣赏和收藏，是我国具有民族传统的一门特殊艺术．如图，一幅书画在装裱前的大小是1.2 m×0.8 m．装裱后，上、下、左、右边衬的宽度分别是a m、b m、c m、d m．若装裱后AB与AD的比是16：10，且a＝b，c＝d，c＝2a，求四周边衬的宽度．
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【解】由题意得，AB＝(1.2＋c＋d)m，AD＝(0.8＋a＋b)m.
∵a＝b，c＝d，c＝2a，
∴AB＝(1.2＋4a)m，AD＝(0.8＋2a)m.
∵AB与AD的比是16?10，
∴(1.2＋4a)：(0.8＋2a)＝16：10，∴a＝0.1，
∴b＝0.1，c＝d＝0.2.
答：上、下、左、右边衬的宽度分别是
0.1 m、0.1 m、0.2 m、0.2 m.
14．
(16分)[2025合肥调研]在△ABC中，点D在BC边上，点E在AC边上，AD与BE交于点F.
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第23章　图形的相似
23．4 中位线
A
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1．
三角形的重心是(　　)
A．三角形三条边上中线的交点
B．三角形三条边上高线的交点
C．三角形三条边垂直平分线的交点
D．三角形三条内角平分线的交点
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2．
2025年世界运动会于8月7日至8月17日在中国四川成都举行，是中国大陆第一次举办世界运动会．本次运动会有部分项目在兴隆湖湖滨赛场进行．如图，贝贝想测量兴隆湖A，B两点间的距离，他在兴隆湖的一侧选取一点O，分别取OA，OB的中点M，N，但M，N之间被障碍物遮挡，故无法测量线段MN的长，于是贝贝在AO，BO延长线上分别选取Q，P两点，且满足OP＝ON，OQ＝OM，贝贝测得线段PQ＝90米，则A，B两点间的距离是(　　)
A．120米　　 B．140米　　
C．160米　 D．180米
D
3．
【点拨】
【答案】D
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4．
[2025杭州上城区月考]如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，点E为此三角形的重心，连结BE并延长交AC于点D，过点E作EF⊥AB于点F，则EF的长为(　　)
【点拨】
【答案】B
返回
5．
返回
6．
如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6.将△ABC绕点B旋转得△A′BC′，分别取AA′，BC′的中点E，F，则EF的取值范围是(　　)
【点拨】
【答案】A
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7．
[2025湖州月考]如图，点P是△ABC的重心，D是边AC的中点，PE∥AC交BC于点E，DF∥BC交EP于点F.若四边形CDFE的面积为3，则△ABC的面积为(　　)
A．6　　
B．7　　
C．9　　
D．12
【点拨】
【答案】C
返回
8．
返回
【点拨】
【答案】C
返回
9．
如图，在△ABC中，点A1，B1，C1分别是BC，AC，AB的中点，A2，B2，C2分别是B1C1，A1C1，A1B1的中点，依次类推．若△ABC的周长为1，则△AnBnCn的周长为________________．
【点拨】
返回
10．
如图，四边形ABCD中，∠A＝60°，AD＝2，AB＝3，点M，N分别为线段BC，AB上的动点(含端点，但点M不与点B重合)，连结DM，DN，MN，E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为________．
【点拨】
返回
11．
[2025武汉江汉区月考]如图，四边形ABCD的边DA和CB的延长线相交于点E，H和G分别是BD和AC的中点，已知四边形ABCD的面积为33，则△EHG的面积为________．
【点拨】
连结AH，CH，BG，如图，设S△AHG＝S△HGC＝m，S△ABG＝S△BGC＝n.∵S△ADH＝S△AHB，S△DHC＝S△BHC，∴S△ADH＋S△DHC＝S△AHB＋S△BHC＝2m＋2n.∴S四边形ABCD＝2(S△ADH＋S△DHC)＝4m＋4n.
返回
12．
(1)如图①，在四边形ABCD中，AB＝CD，E，F分别是AD，BC的中点，连结FE并延长，分别与BA，CD的延长线交于点M，N.求证：∠BME＝∠CNE；(提示：连结BD，取BD的中点H，连结FH，HE作辅助线)
(2)如图②，在△ABC中，F是BC边的中点，D是AC边上一点，E是AD的中点，直线FE交BA的延长线于点G，若AB＝DC＝2，∠FEC＝45°，求FE的长度．
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13．
定义：至少有一组对边相等的凸四边形为等对边四边形．如图，已知四边形ABCD，E，F是对角线AC，BD的中点，G为BC的中点，连结EF，FG，EG，△EFG为等边三角形．
(1)求证：四边形ABCD是“等对边四边形”；
【证明】∵△EFG为等边三角形，∴EG＝FG.
∵E，F是对角线AC，BD的中点，G为BC的中点，
∴CD＝2FG，AB＝2EG.
∴CD＝AB.∴四边形ABCD是“等对边四边形”．
(2)若∠BAC＋∠BDC＝180°，求∠DBC的度数．
【解】如图，过B作BM⊥CA交CA的延长线于点M，
过C作CN⊥BD于点N.
∵∠BAC＋∠BDC＝180°，∠BAC＋∠BAM＝180°，
∴∠BAM＝∠CDN.
∵∠AMB＝∠DNC＝90°，AB＝DC，
∴△BAM≌△CDN.∴BM＝CN.
∵BC＝CB，∴Rt△BCM≌Rt△CBN.
∴∠DBC＝∠ACB.
∵E，F是对角线AC，BD的中点，G为BC的中点，
∴EG∥AB，FG∥CD.
∴∠CEG＝∠BAC，∠BFG＝∠BDC.
∵∠BAC＋∠BDC＝180°，∴∠CEG＋∠BFG＝180°.
∵△EFG是等边三角形，∴∠EFG＝∠FEG＝60°.
∵∠BFG＋∠EFG＋∠EFD＋∠CEG＋∠FEG＋∠FEA
＝180°＋180°＝360°，
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第23章　图形的相似
23．3 相似三角形
2.相似三角形的判定
3 相似三角形的判定定理3
D
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1．
A．△ABC与△A1B1C1不一定相似
B．△ABC与△A1B1C1的相似比为1∶3
C．△ABC与△A1B1C1各对应角不相等
D．△ABC与△A1B1C1的相似比为3∶1
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2．
A．一定相似　　　 B．一定不相似
C．不一定相似　　 D．无法判断
A
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3．
在如图所示的象棋盘(各个小正方形的边长均相等)中，要使“马”“车”“炮”所在位置的格点构成的三角形与“帅”“相”“兵”所在位置的格点构成的三角形相似，根据“马走日”的规则，“马”应落在(　　)
A．①处 B．②处
C．③处 D．④处
B
4．
返回
如图，八个完全相同的小长方形拼成一个正方形网格，小妍、小凤、小蕾、小强四位同学用无刻度的直尺在网格中各画了一个钝角三角形，其中相似的三角形是________．
①④
5．
如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AC上．
(1)已知AC＝4，BC＝2，∠CBD＝∠A，求BD的长；
(2)取AB，BD的中点E，F，连结CE，EF，FC，求证：△CEF∽△BAD．
返回
6．
一个三角形木架的三边长分别是75 cm，100 cm，
120 cm，现要再做一个与其相似的三角形木架，而只有长为60 cm和120 cm的两根木条．要求以其中一根为一边，从另一根截下两段作为另两边(允许有余料)，则不同的截法有(　　)
A．一种 B．两种
C．三种 D．四种
【点拨】
返回
【答案】B
7．
如图，在△ABC中，AC＝4，BC＝2，点D是边AB上一点，CD将△ABC分成△ACD和△BCD，若△ACD是以AC为底的等腰三角形，且△BCD与△BAC相似，则CD的长为(　　)
【点拨】
【答案】D
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8．
如图，四边形ABCD、四边形CDEF、四边形EFGH是三个相连的正方形，连结AC，AF，AG，则∠BFA＋∠BGA的度数为________．
45°
【点拨】
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9．
[2025上海徐汇区期中]在每个小正方形的边长都为1的网格图中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都是格点的三角形称为格点三角形．如图，已知△ABC是4×6的网格图中的格点三角形，则该图中所有与△ABC相似的格点三角形中，最大的三角形面积是________．
4.5
【点拨】
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10．
【点拨】
返回
11．
如图，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，△ABC和△DEF的顶点都在方格纸的格点上．
(1)判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由；
(2)点P1，P2，P3，P4，P5，D，F是△DEF边上的7个格点，请在这7个格点中选取3个点作为三角形的顶点，使构成的三角形与△ABC相似(在图中连结相应线段，写出所有符合条件的三角形，并说明理由)．
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12．
返回(共30张PPT)
第23章　图形的相似
23．3 相似三角形
1.相似三角形
C
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1．
如图，在正方形网格中，△ABC∽△EDF，则△EDF与△ABC的相似比为(　　)
A．2∶5
B．5∶2
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2．
如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E为OC的中点，EF∥AB交BC于点F.若AB＝4，则EF的长为(　　)
B
3．
小明要制作两个相似的三角形框架，其中一个三角形框架的三边长分别为4，6，9，已知另一个三角形一条边的长度为3，则余下的那两条边的长度不可能为 (　　)
【点拨】
【答案】D
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4．
[2025杭州钱塘区月考]如图，A，B均在方格纸的格点上．在方格纸内另取格点C，D，连结CD，交线段AB于点P.若要使点P把线段AB分成1?2的两条线段，则(　　)
A．只有方法1对
B．只有方法2对
C．方法1，2都对
D．方法1，2都错
【点拨】
【答案】C
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5．
已知：如图，在△PAB中，M，N是AB上两点，且△PMN是等边三角形，△BPM∽△PAN，则∠APB的度数是________．
120°
【点拨】
∵△BPM∽△PAN，∴∠BPM＝∠A.∵△PMN是等边三角形，∴∠MPN＝∠MNP＝60°，∴∠A＋∠APN＝60°，即∠APN＋∠BPM＝60°，∴∠APB＝∠BPM＋∠MPN＋∠APN＝60°＋60°＝120°.
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6．
(2)若CD＝2，求EF的长．
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7．
[2025西安长安区月考]如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝8，AC＝6，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，过点D作直线PQ，分别交AB，AC于点P，Q，若△APQ∽△ABC，则线段PQ的长是(　　)
【点拨】
【答案】B
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8．
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将一张以AB为边的矩形纸片，先沿一条直线剪掉一个直角三角形，在剩下的纸片中，再沿一条直线剪掉一个直角三角形，且剪掉的两个直角三角形相似，剩下的是如图所示的四边形纸片ABCD，其中∠A＝90°，AB＝9，BC＝7，CD＝6，AD＝2，则剪掉的两个直角三角形的斜边长不可能是(　　)
【点拨】
【答案】A
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9．
[2025扬州模拟]如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝3，D为直线AC左侧一点．若△ABC∽△CAD，则BC＋CD的最大值为________．
【点拨】
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10．
我们定义：四个顶点都在三角形边上的正方形是三角形的内接正方形．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝3，四边形CDEF是△ABC的内接正方形；四边形DGHI是△EDA的内接正方形；继续在△HGA中作第3个内接正方形GQSP，依此类推，第n个内接正方形的边长an＝______________.(n为正整数)
【点拨】
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11．
(1)求△BDE的面积；
(2)若点F是OC边上一点，且△FBC∽△DEB，求点F的坐标．
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12．
小波遇到这样一个问题：如图①，在△ABC中，BE是AC边上的中线，点D在BC边上，AD与BE相交于点P.
【点拨】
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第23章　图形的相似
23．1 成比例线段
2.平行线分线段成比例
A
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1．
如图，已知l1∥l2∥l3，直线l1，l2，l3分别交直线l4于点A，B，C，交直线l5于点D，E，F，那么下列比例式正确的是(　　)
2．
如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段AB＝3，则线段BC的长是(　　)
【点拨】
【答案】C
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3．
A
4．
折叠花架因设计巧妙、充分利用空间、灵活收纳等功能受到人们的喜爱．如图是一个三层折叠花架，已知AB∥CD∥EF，AC＝30 cm，CE＝50 cm，BD＝45 cm，则BF的长为________．
120 cm
【点拨】
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5．
[2025合肥期中]如图，DE∥BC，EF∥CG，AD：AB＝1：3，AE＝4.
(1)求EC的值；
【解】∵DE∥BC，
∴AE ： AC＝AD ： AB.
∵AD ： AB＝1：3，AE＝4，∴4 ： AC＝1 ： 3，
∴AC＝12，∴EC＝AC－AE＝12－4＝8.
(2)求证：AD·AG＝AF·AB．
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6．
如图，矩形ABCD的四个顶点分别在直线l1，l3，l4，l2上，若直线l1∥l2∥l3∥l4且相邻两直线间距离相等．若AB＝6，BC＝4，则l2，l3之间的距离为(　　)
【点拨】
【答案】C
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7．
【点拨】
【答案】B
返回
8．
2
【点拨】
返回
9．
【点拨】
返回
10．
8
【点拨】
返回
11．
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CA＝8 cm，BC＝
6 cm，点E由点B向点A以2 cm/s的速度运动，点D由点A向点C以2 cm/s的速度运动，E，D同时出发，设运动的时间为t s.
(1)当t为何值时，ED∥BC
(2)当t为何值时，△AED的面积能达到7.2 cm2
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12．
[2025漳州龙海区期中]请阅读以下材料，完成相应的任务．
证明：如图①，过C作CE∥DA，
交BA的延长线于点E.
(1)【思路说明】请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；
(2)【直接应用】如图②，△ABC中，E是BC的中点，AD是∠BAC的平分线，EF∥AD交AC于F.若AB＝5，AC＝7，求线段CF的长；
(3)【拓展延伸】如图③，△ABC中，AD平分∠BAC，BC的延长线交△ABC外角角平分线AF于点F.若BD＝3，CF＝6，求CD的长．
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第23章　图形的相似
全章热门考点整合应用
B
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1．
下列四组线段是成比例线段的是(　　)
A．1 cm，2 cm，3 cm，4 cm
B．2 cm，3 cm，4 cm，6 cm
C．5 cm，6 cm，7 cm，8 cm
D．7 cm，8 cm，9 cm，10 cm
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2．
D
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3．
B
4．
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如图是某景区大门部分建筑，已知AD∥BE∥CF，
AC＝16 m，当DF：DE＝4：3时，AB的长是(　　)
A．10 m
B．11 m
C．12 m
D．13 m
C
5．
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下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的为(　　)
A．甲和乙　　　　
B．乙和丁　
C．甲和丙
D．甲和丁
D
6．
书籍开本指书刊幅面的规格大小．如图，将一张矩形印刷用纸对折后可以得到2开纸，再对折得到4开纸，以此类推，可以得到8开纸，16开纸，…，这些开本都是相似图形，这些相似的矩形的长与宽的比为________．
【点拨】
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7．
【点拨】
【答案】C
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8．
如图，四边形ABCD是边长为5的正方形，点P是BD上一动点，以AP为斜边在AP边的右侧作等腰直角三角形APQ，∠AQP＝90°，连接DQ，CQ，则DQ的最小值为________．
【点拨】
如图，作AE⊥BD于点E，交PQ于点F，连结EQ并延长交AD于点H，则∠AED＝∠AEB＝90°.∵四边形ABCD是边长为5的正方形，∴AD＝AB＝5，∠BAD＝90°，∴DE＝BE，∠DAE＝45°.∵等腰直角三角形APQ中，∠AQP＝90°，
∴AQ＝PQ，∴∠APQ＝∠PAQ＝45°.
∵∠FEB＝∠FQA＝90°，
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9．
在平面直角坐标系中，Rt△OAB的位置如图所示，在射线OA上依次取点A1，A2，A3，…，An，使AA1＝2OA，A1A2＝3OA，A2A3＝4OA，…，An－1An＝(n＋1)OA，分别过点A1，A2，A3，…，An作OA的垂线，交x轴于点B1，B2，B3，…，Bn，依次连结AB1，A1B2，A2B3，…，An－1Bn.若△OAB的面积为1，
则△An－1AnBn的面积为___________．
【点拨】
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10．
我国非物质文化遗产“皮影戏”又称“影子戏”，射灯发出的光线沿直线传播照在不透明的皮影人上，在皮影人后面的屏幕上形成中心投影，通过操纵皮影人来完成各种造型和场景的表演．如图，已知皮影人BC与屏幕EF相距1 m，射灯A与皮影人BC相距2 m．若保持皮影人BC的位置不变，要使屏幕上的影子的像DE增大一倍至FE，则射灯A应向皮影人靠近至G的距离AG为(　　)
【点拨】
【答案】A
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11．
某数学兴趣小组计划测量校园内一棵树的高度，采用以下方法：如图，把支架EF放在离树AB适当距离的水平地面上的点F处，再把镜子水平放在支架EF上的点E处，然后沿着直线BF后退至点D处，这时恰好在镜子里看到树的顶端A，再用皮尺分别测量BF，DF，EF，观测者目高CD的长，利用测得的数据可以求出这棵树的高度．已知CD⊥BD于点D，EF⊥BD于点F，AB⊥BD于点B，BF＝6米，DF＝2米，
EF＝0.5米，CD＝1.7米，
则这棵树的高度AB是________米．
4.1
【点拨】
如图，过点E作HG∥DB交AB于点G，交CD于点H，由题易知DH＝EF＝GB＝0.5米，EH＝DF＝2米，EG＝FB＝6米，∴CH＝CD－DH＝1.7－0.5＝1.2(米)．根据题意，得∠CHE＝∠AGE＝90°，易知∠CEH＝∠AEG，
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12．
如图，在等边三角形ABC中，AB＝6，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为点D，E.G为AD的中点，H为BE的中点．连结GH，则GH的长为(　　)
A．1
B．1.5
C．2
D．3
【点拨】
【答案】B
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13．
[2025深圳期中]如图，在△ABC中，BA＝BC＝5，AC＝6，点D，E分别是BC，AB边上的动点，连结DE，点F，M分别是CD，DE的中点，则FM的最小值为(　　)
【点拨】
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【答案】A
14．
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如图，在平面直角坐标系中，以A(0，2)为位似中心，在y轴右侧作△ABC放大2倍后的位似图形△AB′C′，若C的对应点C′的坐标为(m，n)，则点C的坐标为(　　)
【点拨】
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【答案】A
15．
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如图，把Rt△ABC放置在平面直角坐标系中，∠C＝90°，已知点A是x轴上的定点，点B的坐标为(0，2)．将Rt△ABC绕点A逆时针旋转60°，旋转后点C恰好与点O重合，则旋转前点C的坐标是(　　)
【点拨】
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【答案】C
16．
如图，在平面直角坐标系中，对△ABC进行循环往复的轴对称变换，若原来点A的坐标是(a，b)，经过第1次变换后所得的点A1的坐标是(a，－b)，…，经过第2 026次变换后所得的点A2 026的坐标是___________．
(－a，－b)
【点拨】
第1次变换后的点A1在第四象限，第2次变换后的点A2在第三象限，第3次变换后的点A3在第二象限，第4次变换后的点A4在第一象限，此时点A回到原始位置，∴每4次变换为一个循环．∵2 026÷4＝506……2，∴经过第2 026次变换后所得的点A与第2次变换后所得的点A2的位置相同，在第三象限，故点A2 026的坐标为(－a，－b)．
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17．
【点拨】
【答案】A
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18．
4
【点拨】
返回
19．
如图，在平面直角坐标系中，M(－3，0)，N(0，3)，一束光线从点O射出，照在镜面MN上的点P处，经过镜面MN反射后，反射光线射到镜面ON上的点Q处，经过镜面ON反射后的光线恰好经过点M，则点P的坐标为________．
(－1，2)
【点拨】
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20．
如图①，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6 cm，BC＝
8 cm，动点P从点B出发，在BA边上以5 cm/s的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以4 cm/s的速度向点B匀速运动，运动时间为t s(0(1)线段BP＝________cm，
线段BQ＝________cm
(用含有t的代数式表示)；
5t
(8－4t)
(2)当△BPQ与△ABC相似时，求t的值；
(3)如图②，连结AQ，CP交于点D，若点D是线段AQ的中点，求t的值．
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第23章　图形的相似
23．3 相似三角形
3.相似三角形的性质
A
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1．
[2025秦皇岛期中]若两个相似三角形对应中线的比为2：3，则它们对应高的比为(　　)
A．2 ： 3　　
B．3 ： 2　
C．4 ： 9　　
D．9 ： 4
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2．
已知两个三角形相似，若它们的对应高之比为5：3，则它们的周长比为(　　)
A．5：3
B．3：5
C．25：9
A
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3．
[教材P72练习T1] 已知△ABC∽△A′B′C′，BD和B′D′分别是两个三角形对应角的平分线，且AC：A′C′＝2：3.若BD＝4 cm，则B′D′的长是(　　)
A．3 cm
B．4 cm
C．6 cm
D．8 cm
C
4．
返回
[2025周口模拟]如图，在平行四边形ABCD中，F为BC的中点，延长AD至点E，使DE：AD＝1：3，连结EF交DC于点G，则S△DEG：S△CFG等于(　　)
A．4：9
B．2：3
C．9：4
D．3：2
A
5．
如图，一架投影机插入胶片后像可投到屏幕上，已知胶片与屏幕平行，A点为光源，与胶片BC的距离为
0.1 m，胶片的高BC为0.038 m，若需要投影后的像DE的高为2.28 m，则投影机光源A到屏幕DE的距离为________m.
6
【点拨】
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6．
(2)若△ADE的面积为2，求平行四边形BFED的面积．
∴△EFC的面积是18.
∴平行四边形BFED的面积＝32－18－2＝12.
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7．
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如图，在△ABC中，直尺的一边与BC重合，另一边分别交AB，AC于点D，E.其中点B，C，D，E处的读数分别为8，16，10.5，14.5，已知直尺宽为3，则△ABC中BC边上的高为(　　)
A．2 B．3
C．4 D．6
D
8．
两对相似的直角三角形按如图所示的方式拼得矩形ABCD，其中△ADH∽△BAE，△ADH≌△CBF，△ABE≌△CDG.若EF：FG＝1：2，AB：BC＝2：3，则矩形EFGH与矩形ABCD的面积之比为(　　)
【点拨】
【答案】D
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9．
在△ABC中，AC＝6，P是AB边上的一点，Q为AC边上一点，直线PQ把△ABC分成面积相等的两部分，且△APQ和△ABC相似，如果这样的直线PQ有两条，那么边AB长度的取值范围是______________________．
【点拨】
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10．
[2024河北]如图，△ABC的面积为2，AD为BC边上的中线，点A，C1，C2，C3是线段CC4的五等分点，点A，D1，D2是线段DD3的四等分点，A是线段BB1的中点．
(1)△AC1D1的面积为________；
(2)△B1C4D3的面积为________．
1
7
【点拨】
(2)连结B1D1，C3D3.∵A是线段BB1的中点，∴AB＝AB1.∵∠B1AD1＝∠BAD，AD1＝AD，∴△AB1D1≌△ABD.∴S△AB1D1＝S△ABD＝1，∠B1D1A＝∠BDA.由(1)知，△AC1D1≌△ACD，∴∠C1D1A＝∠CDA.又∵∠BDA＋∠CDA＝180°，∴∠B1D1A＋∠C1D1A＝180°.∴C1，D1，B1三点共线．∴S△AB1C1＝S△AB1D1＋S△AC1D1＝1＋1＝2.∵AC1＝C1C2＝C2C3＝C3C4，∴S△AB1C4＝4S△AB1C1＝4×2＝8.∵AD1＝D1D2＝D2D3，S△AB1D1＝1，∴S△AB1D3＝3S△AB1D1＝3×1＝3.
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11．
(2)如图③，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是边BC上一点，连结AD，将△ACD沿AD所在直线折叠，点C恰好落在边AB上的E点处，若AC＝1，AB＝2，求DE的长．
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12．
为了加强视力保护意识，欢欢想在书房里挂一张测试距离为5 m的视力表，但两面墙的距离只有3 m．在一次课题学习课上，欢欢向全班同学征集“解决空间过小，如何放置视力表问题”的方案，其中甲、乙两名同学设计的方案如下：
甲：如图甲，①是测试距离为5 m的大视力表，可以用硬纸板制作一个测试距离为3 m的小视力表②.通过测量大视力表中“E”的高度(BC的长)，
即可求出小视力表中相应的
“E”的高度(DF的长)．
乙：如图乙，在相距3 m的两面墙上分别悬挂视力表(AB)与平面镜(MN)，由平面镜成像原理，作出了光路图，通过调整人的位置，使得视力表AB的上、下边沿A，B发出的光线经平面镜MN的上下边沿反射后射入人眼C处，通过测量视力表的全长(AB)就可以计算出镜高MN.
(1)甲同学的方案中如果大视力表中“E”的高度是3.5 cm，那么小视力表中相应“E”的高度是多少？
(2)乙同学的方案中如果视力表的全长(AB)为0.8 m，请计算出镜长至少为多少米？
返回(共12张PPT)
第23章　图形的相似
专题9 相似中的作图问题
【解】如图，点D，E即为所求．
1．
在△ABC中，∠BAC为钝角，D，E是BC边上不重合的两点．
(1)如图，用不含刻度的直尺和圆规在BC边上找两点D，E，其中点D在点E的左侧，使得△ABD∽△CAE；(保留作图痕迹，不写作法)
(2)在(1)的条件下，探索∠BAC与∠DAE之间的数量关系，并说明理由．
【解】∠DAE＝2∠BAC－180°.理由如下：
设∠B＝x°，∠C＝y°，∵△ABD∽△CAE，
∴∠B＝∠CAE＝x°，∠BAD＝∠C＝y°.
∵∠ADE＝∠AED＝x°＋y°，∴∠DAE＝180°－2(x°＋y°)．
又∵x°＋y°＝180°－∠BAC，∴∠DAE＝180°－2(180°－∠BAC)．
∴∠DAE＝2∠BAC－180°.
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2．
如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(6，0)，B是y轴上一点．
(1)在线段AB上求作点M，使得△AMO∽△AOB；(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)
【解】如图，点M即为所求．
(2)在(1)的条件下，AB＝4AM，OC是△AOB的中线，过点M的直线交OC于点D，交x轴于点F，当MO＝MF时，求点D的坐标．
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3．
[2025合肥三十八中期中]以下各图均是由边长为1的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫格点，图中的点A，B，C，D均在格点上．
【解】如图①，点P即为所作．
(3)图③是4×4的正方形网格，△ABC的顶点均在格点上，利用网格和无刻度的直尺作图，分别在边AB，BC上画出点M，N，连结MN，使得△BMN∽△BAC，且相似比为1：3.
【解】如图②，△BMN即为所作．
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4．
如图，在网格图中，有△ABC与线段DE，在线段AG上是否存在点M，使得△MEC与△ADE相似？若存在，请在图中确定出点M，并证明；若不存在，请说明理由．(图中各点均在格点上)
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