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第24章　解直角三角形
专题14 三角函数在学科内的综合应用
D
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1．
2．
在△ABC中，已知∠A＝60°，∠B为锐角，且tan A，
cos B恰为一元二次方程2x2－3mx＋3＝0的两个实数根．求m的值并判断△ABC的形状．
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3．
在平面直角坐标系xOy中，已知一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过点P(1，1)，与x轴交于点A，与y轴交于点B，且tan∠ABO＝2，那么点A的坐标是________________．
(－1，0)或(3，0)
【点拨】
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4．
(2)若点C在x轴上方的直线AB上，△AOC的面积为15，求tan∠BOC．
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5．
【点拨】
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6．
(1)若OC＝5，求反比例函数的表达式；
(2)若四边形ABOC为菱形，△COD的面积为6，求OC的长和点A的坐标．
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7．
如图，在△ABC中，∠A＝90°，∠ABC＝30°.将△ABC沿直线BC平移得到△A1B1C1，B1为BC的中点，连结BA1，则tan∠A1BC的值为(　　)
【点拨】
【答案】D
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8．
如图，点P在等边三角形ABC的内部，且PC＝6，PA＝8，PB＝10，将线段PC绕点C按顺时针方向旋转60° 得到P′C，连结AP′，则sin∠PAP′的值为________．
【点拨】
连结PP′，如图，∵线段PC绕点C顺时针旋转60°得到P′C，∴CP＝CP′＝6，∠PCP′＝60°，∴△CPP′为等边三角形，∴PP′＝PC＝6.∵△ABC为等边三角形，∴CB＝CA，∠ACB＝60°，∴∠PCB＝∠P′CA，∴△PCB≌△P′CA，∴PB＝P′A＝10.∵62＋82＝102，∴PP′2＋AP2＝P′A2，∴△APP′为直角三角形，∠APP′＝90°，
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9．
是　
80
【点拨】
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10．
(1)求证：∠BAC＝∠PCF；
(2)当△APC∽△EFC时，求线段BP的长．
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第24章　解直角三角形
专题15 解直角三角形应用的常见模型
模型1 单一型
【模型展示】
1．
[2025淄博临淄区月考]拉杆箱是外出旅行常用的工具．某种拉杆箱示意图如图所示(滚轮忽略不计)，箱体截面是矩形BCDE，BC的长度为60 cm，两节可调节的拉杆长度相等，且与BC在同一条直线上．如图①，当拉杆伸出一节(AB)时，AC与地面的夹角∠ACG＝53°；如图②，当拉杆伸出相同的两节(AM，MB)时，AC与地面的夹角∠ACG＝37°，两种情况下拉杆把手A点距离地面的高度相同，求每节拉杆的长度．
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模型2 背靠背型
【模型展示】
图示
等量 关系 CD为公共边，AD＋BD＝AB CE＝DA， CD＝EA， CE＋BD＝AB CD＝EF，
CE＝DF，
AD＋CE＋BF＝AB
图示
等量 关系 DE＝BF，BD＝EF，AE＋EF＝AF， CD＋DE＝CE BE＝CF，CE＝BF，
AE＋EB＝AB，
CD＋DE＝CE
2．
[2024徐州]如图，在徐州云龙湖旅游景区，点A为“彭城风华”观演场地，点B为“水族展览馆”，点C为“徐州汉画像石艺术馆”．已知∠BAC＝60°，
∠BCA＝45°，AC＝1 640 m．求“彭城风华”观演场地与“水族展览馆”之间的距离AB．
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3．
我国明朝数学家程大位写过一本数学著作《直指算法统宗》，其中有一道与荡秋千有关的数学问题是使用《西江月》词牌写的：
平地秋千未起，踏板一尺离地．
送行二步与人齐，五尺人高曾记．
仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．
良工高士素好奇，算出索长有几？
词写得很优美，翻译成现代汉语的大意是：有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推进10尺
(5尺为一步)，秋千的踏板就和某人一样高，这个人的身高为5尺．(假设秋千的绳索拉得很直)
(1)如图①，请你根据词意计算秋千绳索OA的长度；
【解】如图，过点A′作A′B⊥OA，垂足为B.
设秋千绳索OA的长度为x尺．
由题可知，OA＝OA′＝x尺，AB＝4尺，
A′B＝10尺，∴OB＝OA－AB＝(x－4)尺．
在Rt△OA′B中，由勾股定理得A′B2＋OB2＝OA′2，
∴102＋(x－4)2＝x2，解得x＝14.5.
∴秋千绳索OA的长度为14.5尺．
(2)如图②，将秋千从与竖直方向夹角为α的位置OA′释放，秋千摆动到另一侧与竖直方向夹角为β的地方OA″，两次位置的高度差PQ＝h.根据上述条件能否求出秋千绳索OA的长度？如果能，请用含α，β和h的式子表示；如果不能，请说明理由．
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模型3 母子型
【模型展示】
图示
等量 关系 BC为公共边， AD＋DC＝AC BC为公共边，DC－BC＝DB DF＝EC，
DE＝FC，
BF＋DE＝BC，
AE＋DF＝AC
图示
等量 关系 AF＝CE， AC＝FE， BC＋AF＝BE BE＋EC＝BC EC－BC＝BE
图示
等量 关系 AC＝FG， AF＝CG， AD＋DC＝FG， BC＋AF＝BG BC＝FG， BF＝CG， AC＋BF＝AG， EF＋BC＝EG BC＝FG，
BF＝CG，
EF＋BC＝EG，
BD＋DF＝BF，
AC＋BD＋DF＝AG
4．
乾元塔(图①)位于临夏州临夏市的北山公园内，共九级，为砼框架式结构，造型独特别致，远可眺太子山露骨风月，近可收临夏市城建全貌，巍巍峨峨，傲立苍穹．某校数学兴趣小组在学习了“解直角三角形”之后，开展了测量乾元塔高度的实践活动．如图②，A为乾元塔的顶端，AB⊥BC，点C，D在点B的正东方向，在C点用高度为1.6米的测角仪(即CE＝1.6米)测得A点的仰角为37°，向西平移14.5米至点D，测得A点的仰角为45°，
请根据测量数据，求乾元塔的高度
AB．(结果保留整数，参考数据：
sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，
tan 37°≈0.75)
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5．
[2025苏州工业园区模拟]苏州的魅力不仅仅只在于园林，还有着隐藏在阳澄湖上的一座宁静的寺庙，那就是重元寺．重元寺被赞誉为“水天佛国”，给人一种宁静、祥和的感觉．小希用无人机测量重元寺水上观音阁AB的高度，测量方案为：如图，先将无人机垂直上升至距离地面198 m的P点，测得水上观音阁顶端A的俯角为22°；再将无人机沿重元寺的方向水平飞行182 m到达点Q，测得水上观音阁底端B的俯角为45°，求水上观音阁AB的高度．(结果精确到1 m，
参考数据：sin 22°≈0.37，
cos 22°≈0.93，tan 22°≈0.40)
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模型4 拥抱型(面对面型)
【模型展示】
图示
等量 关系 BC为公共边 BF＋ FC＋CE＝BE
图示
等量 关系 BC＋ CE＝ BE AB＝GE，AG＝BE，BC＋CE＝AG，DG＋AB＝ DE
6．
白鹭塔位于长沙的城市“绿肺”——长沙洋湖湿地景区，塔体采用多层密檐形式，以八角、七层、重檐为基本特征，既宏伟壮观又具湖南地域特色．
(1)求DE的长；
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第24章　解直角三角形
全章热门考点整合应用
B
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1．
[2025株洲月考]如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，P是BD的中点，若CP＝4，则AD的长为(　　)
A．7
B．8
C．9
D．10
2．
如图，已知∠MAN＝60°，点B，D在边AN上，且点D在点B的右侧，AB＝2，点C是边AM上一动点，在点C运动的过程中，始终保持CB＝CD，若AC＝m，则AD的长为(　　)
【点拨】
【答案】D
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3．
如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，若CD：AC＝2：3，则sin∠BCD的值是(　　)
B
4．
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5．
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已知在△ABC中，∠C＝90°，45°＜∠B＜60°，设
cos B＝n，那么n的取值范围是(　　)
B
6．
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B
7．
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6
8．
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9．
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C
10．
在△ABC中，∠A，∠C是锐角，若AB＝2，且tan C＝2tan A，则△ABC面积的最大值是________．
【点拨】
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11．
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12．
[2024德阳]某校学生开展综合实践活动，测量一建筑物CD的高度，在建筑物旁边有一高度为10米的小楼房AB，小李同学在小楼房楼底B处测得C处的仰角为60°，在小楼房楼顶A处测得C处的仰角为30° (AB，CD在同一平面内，B，D在同一水平面上)，则建筑物CD的高为(　　)
A．20米 B．15米
C．12米
【点拨】
【答案】B
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13．
如图，图①为《天工开物》记载的用于舂(chōng)捣谷物的工具——“碓(duì)”的结构简图，图②为其平面示意图．已知AB⊥CD于点B，AB与水平线l相交于点O，OE⊥l.若BC＝4分米，OB＝12分米，∠BOE＝60°，则点C到水平线l的距离CF为________分米(结果用含根号的式子表示)．
【点拨】
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14．
[2024泸州]如图，海中有一个小岛C，某渔船在海中的A点测得小岛C位于东北方向上，该渔船由西向东航行一段时间后到达B点，测得小岛C位于北偏西30°方向上，再沿北偏东60°方向继续航行一段时间后到达D点，这时测得小岛C位于北偏西60°方向上．已知A，C相距30 n mile.求C，D间的距离(计算过程中的
数据不取近似值)．
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15．
[2025常德期末]如图所示，由四个全等的直角三角形围成的大正方形的面积是169，小正方形的面积为49，则sin α·cos α＝(　　)
【点拨】
如图，∵小正方形的面积为49，大正方形的面积为169，∴小正方形的边长是7，大正方形的边长是13.在Rt△ABC中，AC2＋BC2＝AB2，即AC2＋(7＋AC)2＝132，整理，得AC2＋7AC－60＝0，解得AC＝5，AC＝－12(舍去)，
【答案】B
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16．
阅读材料：余弦定理是描述三角形中三边长度与一个角余弦值关系的数学定理，运用它可以解决已知三角形两边及夹角求第三边或者已知三边求角的问题．余弦定理是这样描述的：在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，则三角形中任意一边的平方等于另外两边的平方和减去这两边及这两边的夹角的余弦值的乘积的2倍．用公式可描述为a2＝b2＋c2－2bccos A；b2＝a2＋c2－2accos B；c2＝a2＋b2－2abcos C．
现已知在△ABC中，AB＝2，BC＝4，∠A＝60°，则AC的长为(　　)
【点拨】
【答案】B
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17．
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D
18．
如图①，在△ABC中，AB＝AC＝4，射线AN∥BC，D为AN上一点，过点D作DE∥AB，交射线BC于点E.研究发现线段CE的长y与线段AD的长x之间的关系可用图②的图象表示，已知点M(8，2)，则∠B的正切值为(　　)
【点拨】
【答案】A
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19．
如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝2AB＝4，E是边BC上一点(不与端点重合)，过点E作AC的垂线，垂足为D，交AB的延长线于点F，则sin F的值为(　　)
【点拨】
【答案】A
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20．
[2025衡水期中]如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫格点，点A，B，C，D都在格点上，AB与CD相交于点P，则tan∠APD的值为(　　)
【点拨】
【答案】A
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21．
在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，直角边AC的中点为D，点E在斜边上且AE＝3，若△ADE为直角三角形，则BC的值为________．
3或4
【点拨】
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22．
【点拨】
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第24章　解直角三角形
24．4 解直角三角形
1 解直角三角形
A
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1．
在△ABC中，∠BAC＝90°，∠ACB＝60°，BC＝6，则AC＝(　　)
A．3
B．4
C．5
D．12
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2．
B
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3．
A
4．
【点拨】
【答案】B
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5．
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劳动教育是德智体美劳全面发展的主要内容之一，现有一块如图的四边形劳动教育基地，则此基地的面积为________m2.
6．
(2)求∠ABO的正切值；
(3)延长BA，交y轴于点C，求点C的坐标．
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7．
【点拨】
【答案】B
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8．
【点拨】
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【答案】D
9．
【点拨】
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【答案】A
10．
[2025青岛期中]如图①，将三角尺ABC和三角尺DEF叠放在一起，直角边AC与DE完全重合，已知AB长为
16 cm，若三角尺DEF沿CB的方向移动，如图②，此时测得OB的长是6 cm，则移动距离CD的长是(　　)
【点拨】
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【答案】C
11．
【点拨】
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【答案】B
12．
【点拨】
返回
【答案】D
13．
【点拨】
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14．
(2)求sin α的值．
【点技巧】
解直角三角形的原则：(1)有斜(斜边)用弦(正弦、余弦)，无斜(斜边)用切(正切); (2)宁乘勿除：选取便于计算的关系式，若能用乘法计算就不用除法计算；(3)取原避中：若能用原始数据计算，应避免使用中间数据求解．
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15．
定义：若一个三角形一边上的中线、高线与这条边均有交点，则称这两个交点之间的距离为这条边上的“中高距”．如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线，AE为BC边上的高线，则称DE的长为BC边上的“中高距”．
(1)若BC边上的“中高距”为0，则△ABC的形状是________三角形；
等腰
(2)若∠B＝30°，∠C＝45°，AB＝4，求BC边上的“中高距”．
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第24章　解直角三角形
24．2 直角三角形的性质
D
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1．
在△ABC中，若∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，且BC＝6，则AB等于(　　)
A．2
B．3
C．9
D．12
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2．
如图，小宇用刻度尺测量了一个直角三角形斜边的长度．已知∠ACB＝90°，点D为边AB的中点，且点A，B对应的刻度分别为2，8，则CD的长为(　　)
A．4 cm
B．3 cm
C．3.5 cm
D．4.5 cm
B
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3．
如图，Rt△ABC的斜边AC∥x轴，点B的坐标是(1，0)，∠A＝30°，则AC＝________．
4
4．
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[2025济南市中区模拟]如图，在矩形ABCD中，点E为BA的延长线上一点，F为CE的中点，以点B为圆心，BF长为半径的圆弧过AD与CE的交点G，连结BG.若AB＝4，CE＝10，则AG＝________．
3
5．
[2025北师大附中期中]某市在旧城改造中，计划在一块如图所示的△ABC空地上种植草皮以美化环境，已知∠BAC＝150°，AB＝20 m，AC＝30 m，这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要______元．(用含a的代数式表示)
150a
【点拨】
过点B作BD⊥CA交CA的延长线于点D，则∠D＝90°，易知∠BAD＝30°，根据含30°角的直角三角形的性质可求出BD的值，从而求出S△ABC，由此即可求解．
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6．
如图，一条船上午8时从海岛A出发，以每小时15海里的速度向正北方向航行，上午10时到达海岛B处，分别从A，B处观测灯塔C，测得∠NAC＝30°，∠NBC＝60°.若这条船到达海岛B处后，继续向正北方向航行，还要经过多长时间，船与灯塔C之间的距离最短？
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7．
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如图，在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC交AC于点N，且MN平分∠AMC，若
AN＝1，则BC的长为(　　)
B
8．
如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6.点F是AB的中点，连结CF，把线段CF沿射线BC方向平移到DE，点D在AC上，则线段CF在平移过程中扫过的区域形成的四边形CFDE的周长和面积分别是(　　)
A．16，6
B．18，18
C．16，12
D．12，16
【点拨】
【答案】C
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9．
如图，在△ABC中，AB＝AC，D，E是△ABC内两点，AD平分∠BAC，∠EBC＝∠E＝60°，若BE＝6 cm，
DE＝2 cm，则BC的长度是(　　)
A．6 cm　
B．7 cm　
C．8 cm　
D．10 cm
【点拨】
如图，延长ED交BC于M，延长AD交BC于N.∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴AN⊥BC，BN＝CN.∵∠EBC＝∠E＝60°，∴∠EMB＝60°，∴△BEM为等边三角形，∴EM＝BM＝BE＝6 cm.∵DE＝2 cm，∴DM＝4 cm.∵AN⊥BC，∴∠DNM＝90°，∴∠NDM＝90°－∠EMB＝30°，
【答案】C
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10．
[2025北京海淀区期中]如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝5.D为BC上一动点，连结AD，AD的垂直平分线分别交AC，AB于点E，F，则线段AB的长是________，线段BF长的最大值是________．
10
【点拨】
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11．
我们把不等边三角形一条边上的中线与这条边上的高的夹角叫做该三角形的“偏离角度”．已知直角三角形的“偏离角度”为45°，斜边长为4，那么它的面积等于______________．
【点拨】
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12．
[2025南京二十九中月考]在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，点E为AC的中点．
(1)如图①，点F为BD的中点．
①求证：EF⊥BD；
②若∠BCD＝135°，AC＝6，求△BED的面积；
(2)如图②，若AB＝AD，延长DE交AB于点G，且BG＝EG，则∠BAC的度数为________．
36°
【点拨】
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13．
如图①，△ABC为等腰三角形，AB＝AC，D是线段BC的中点，过点D作射线DE和射线DF，分别交边AB，AC于点E，F，∠AED＋∠AFD＝180°.
(1)∠AED与∠CFD相等吗？为什么？
【解】相等．∵∠CFD＋∠AFD＝180°，
∠AED＋∠AFD＝180°，∴∠AED＝∠CFD.
(2)DE与DF相等吗？为什么？
【解】相等．如图①，连结AD，
过点D作 DM⊥AB，
DN⊥AC，垂足分别为M，N.
∵D是线段BC的中点，AB＝AC，∴AD平分∠BAC.
∵DM⊥AB，DN⊥AC，∴DM＝DN，∠DME＝∠DNF＝90°.
又∵∠MED＝∠NFD，
∴△DEM≌△DFN，∴DE＝DF.
(3)如图②，若∠A＝120°，∠EDF＝60°，AB＝10，试求EF＋EC的最小值．
【解】由(2)可知DE＝DF.
∵∠EDF＝60°，
∴△DEF为等边三角形，∴DE＝EF，
∴EF＋EC的最小值，即为DE＋EC的最小值．
如图②，作点C关于直线AB的对称点G，连结GE，BG，GD，GC，AG，AD.由对称的性质可得GE＝EC，
∴DE＋EC的最小值，即为DE＋GE的最小值，
即GD的长度，∴EF＋EC的最小值为GD的长度．
由对称的性质可得△ABC≌△ABG.
∴∠ABC＝∠ABG，BC＝BG，AC＝AG.
∵AB＝AC，∠A＝120°，∴AB＝AG，∠ABC＝30°，
∴∠GBC＝∠ABC＋∠ABG＝60°，
∴△GBC为等边三角形．
又∵D是线段BC的中点，∴GD⊥BC.
∵AB＝10，∴AD＝5，AG＝10. 易知G，A，D三点共线，
∴GD＝AG＋AD＝15，∴EF＋EC的最小值为15.
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第24章　解直角三角形
24．1 测量
B
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1．
如图，利用标杆BE测量建筑物DC的高度．如果标杆BE高12 m，测得AB＝16 m，BC＝126 m，则建筑物CD的高度是(　　)
A．94.5 m　　
B．106.5 m　
C．142 m　
D．168 m
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2．
如图，某自动感应门的正上方装着一个感应器A，离地距离AB＝2米，当人体进入感应范围内时，感应门就会自动打开，一个身高1.5米的学生CD刚走到距离门的间距CB＝1.2米的地方时，感应门自动打开，则该感应器的感应距离AD为(　　)
A．1.2米 B．1.3米
C．1.5米 D．2米
B
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3．
为了测量一条河的两岸相对的两棵树A，B间的距离，如图所示，有四位同学分别测出了以下四组数据：
①AE，EC，DE；②AF，FC，CD；③AE，CD，EC；④EF，EC，CD．根据所测数据，能求出A，B间距离的共有(　　)
A．4组 B．3组
C．2组 D．1组
C
4．
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坐落于济南市大明湖畔的超然楼是一座拥有700年历史的名楼，《周髀算经》中有“偃矩以望高”的测高方法，“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺(即图中的ABC)，小明受到启发，利用“矩”测量超然楼DE的高度．如图，小明通过调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使AC保持水平，点A，B，D在同一直线上，∠AFE＝∠DEF＝90°，测得AB＝0.15 m，BC＝0.2 m，AF＝
1.7 m，EF＝37.5 m，
则超然楼的高度
DE＝________m.
51.7
5．
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据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验，阐释了光的直线传播原理．小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔O，物体AB在幕布上形成倒立的实像CD(点A，B的对应点分别是点C，D)．若物体AB的高为6 cm，小孔O到地面的距离OE为2 cm，则实像CD的高为(　　)
B
6．
如图，为测量某栋楼的高度PQ，在水平地面的某点A水平放置一面平面镜子M1，观测人员在同一水平地面上移动，直到能在M1中看到楼顶端，测量并记录此时镜子中的楼顶与观测人员之间的水平距离a1，注意此时保持镜子M1位置不动，将第二面平面镜子M2水平放置在水平地面的B处，观测人员在同一水平面上移动，直到能在M2中看到楼顶端，测量并记录此时镜子中的楼顶与观测员之间的水平距离a2，
同时测量两面镜子M1和M2之间的水平距离a，
若AB，PQ在同一铅垂平面内，记眼睛到
地面的距离为h，则楼高H为(　　)
【点拨】
【答案】A
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7．
[2025西安二十六中期中]如图，小斌想用学过的知识测算河的宽度EF，在河对岸有一棵高4.8米的树GF，树GF在河里的倒影为HF，GF＝HF，小斌在岸边调整自己的位置，当恰好站在点B处时看到岸边点C和倒影顶点H在一条直线上，点C到水面EF的距离CE＝0.8米，AB＝1.6米，BC＝2.4米，AB⊥BC，CE⊥EF，FH⊥EF，GF⊥EF，BC∥EF，视线AH与水面EF的交点为D，请你根据以上测量方法及数据求
河的宽度EF.
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8．
某校项目式学习小组开展项目活动，过程如下：
【项目主题】测量旗杆的高度．
【组内探究】由于旗杆较高，需要借助一些工具来测量，如：自制直角三角形硬纸板、标杆、镜子，甚至还可以利用无人机．确定方法后，先画出测量示意图，然后实地进行测量，并得到具体数据，从而计算旗杆的高度．
【成果展示】同学们进行交流展示的部分测量方案如下．
方案一 方案二
测量工具 标杆、皮尺 自制直角三角板、皮尺
测量示意图 线段AB表示旗杆，小明的眼睛到地面的距离CD＝ 1.7 m，测点F，B，D在同一水平直线上，点D，F，B之间的距离都可以直接测得，且点A，B，C，D，E，F都在同一竖直平面内，点A，C，E在同一直线上. 线段AB表示旗杆，小明的眼睛到地面的距离CD＝1.7 m，测点D，B在同一水平直线上，点D，B之间的距离可以直接测得，且点A，B，C，D，E，F，G都在同一竖直平面内，点A，C，E在同一直线上，点C，F，G在同一直线上.
续表
测量数据 点B，D之间的距离 16.8 m 点B，D之间的距离 16.8 m
点D，F之间的距离 1.35 m EF的长 0.50 m
EF的长 2.60 m CE的长 0.75 m
请同学们根据上述材料，完成下列任务：
(1)请你选择一个方案，求出学校旗杆AB的高度；(结果精确到0.1 m)
(2)小宇选择的测量工具是镜子和皮尺，如图是该方案的示意图，其中线段AB表示学校旗杆，请写出需要测量的线段有哪些；
(3)请写出一条利用小宇设计的方案进行测量时的注意事项．
【解】测量时应注意多测几次，取其平均数，减小误差．
(答案不唯一)
返回(共27张PPT)
第24章　解直角三角形
24．3 锐角三角函数
1.锐角三角函数
2 特殊角的三角函数值
A
返回
1．
返回
2．
如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OA交于点B，再以B为圆心，BO长为半径画弧，两弧交于点C，画射线OC，则sin∠AOC的值为(　　)
D
返回
3．
已知实数a＝tan 30°，b＝cos 60°，c＝sin 45°，则下列判断正确的是(　　)
A．b＞a＞c
B．c＞a＞b
C．b＞c＞a
D．a＞c＞b
B
4．
返回
李红同学遇到这样一道题：tan (α＋20°)＝1，则锐角α的度数可以是(　　)
A．45°
B．35°
C．25°
D．15°
C
5．
返回
A
6．
返回
C
7．
返回
90°
8．
返回
如图，一束平行于主光轴的光线AB经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，点F为焦点．若∠1＝160°，∠2＝25°，则∠3的正弦值为________．
9．
返回
[教材P111习题T3]计算：
10．
【点拨】
【答案】C
返回
11．
[2024无锡]如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，E是CD的中点，则sin∠EBC的值为(　　)
【点拨】
【答案】C
返回
12．
如图，在由10个完全相同的正三角形构成的网格图中，∠α，∠β如图所示，则cos(α＋β)＝________.
【点拨】
返回
13．
如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝6，折叠该菱形，使点A落在边BC上的点M处，折痕分别与边AB，AD交于点E，F.当点M的位置变化时，AF长的最小值为________．
【点拨】
返回
14．
求锐角α的度数：
返回
15．
(2)问：∠A能否等于45°？请说明你的理由．
返回
16．
根据以上材料，解决下列问题：
(1)求tan 75°的值；
(2)都匀文峰塔，原名文笔塔，始建于明代万历年间，系五层木塔，木塔年久倾毁，仅存塔基.1983年，人民政府拨款维修文峰塔，成为今天的七层六面实心石塔(图①)．小华想用所学知识来测量该石塔的高度，如图②，已知小华站在离塔底中心A处5.7 m的C处，测得∠BDE为75°，小华的眼睛离地面的距离DC为1.72 m，请帮助小华求出文峰塔AB的高度．
返回(共30张PPT)
第24章　解直角三角形
24．3 锐角三角函数
1.锐角三角函数
1 锐角三角函数
D
返回
1．
返回
2．
在正方形网格中，若∠α的位置如图所示，则cos α的值为(　　)
D
返回
3．
如图，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD与CE相交于O，则图中线段的比不能表示sin A的式子为(　　)
C
4．
在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝6，则cos A的值等于(　　)
【点拨】
【答案】C
返回
5．
返回
6．
如图，CD是平面镜，光线从点A出发经过CD上的点E反射后照射到点B，若入射角为α(入射角等于反射角)，AC⊥CD，BD⊥CD，垂足分别为C，D，且AC＝3，
BD＝6，CD＝11，则tan α＝________.
【点拨】
返回
7．
[2025西安雁塔区期中]在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，CD是AB边上的中线，BC＝8，CD＝5.求sin∠ACD，cos∠ACD和tan∠ACD．
返回
8．
如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D，E分别在BC，AC上，AD，BE交于F，若BD＝CD＝CE，AF＝DF，则tan∠ABC的值为(　　)
【点拨】
返回
【答案】C
9．
【点拨】
【答案】C
返回
10．
【点拨】
【答案】A
返回
11．
【点拨】
返回
12．
【点拨】
返回
13．
(3)用以上探究的方法你能得出sin A，cos A，tan A之间的关系吗？请直接写出答案．
能，sin A＝cos A·tan A.
返回
14．
B
(2)对于0°＜∠A＜180°，∠A的正对值sad A的取值范围是______________．
0＜sad A＜2
返回(共19张PPT)
第24章　解直角三角形
24．4 解直角三角形
4解直角三角形在坡角问题中的应用
C
返回
1．
返回
2．
如图，传送带和地面所成斜坡的坡度为1：3，若它把物体从A处送到离地面2米高的B处，则物体从A到B所经过的路程为(　　)
C
返回
3．
2025年哈尔滨亚洲冬季运动会是继北京冬奥会后中国举办的又一重大国际综合性冰雪盛会，于2025年2月7日至2月14日在黑龙江省哈尔滨市举行．如图是滑雪大跳台赛道的剖面图，剖面图的一部分可抽象为线段AB．已知斜坡AB的坡比接近3：4，坡长AB为n米，则坡AB的铅垂高度AH约为(　　)
D
4．
返回
5．
某商场从安全和便利的角度出发，为提升顾客的购物体验，准备将自动扶梯由原来的阶梯式改造成斜坡式，如图，已知商场的层高AD为6 m，坡角∠ABD为30°，改造后的斜坡式自动扶梯的坡角∠ACB＝16°，请你计算改造后的自动扶梯增加的占地长度BC的长．
返回
6．
返回
B
7．
[2024眉山]如图，斜坡CD的坡度i＝1：2，在斜坡上有一棵垂直于水平面的大树AB，当太阳光与水平面的夹角为60°时，大树在斜坡上的影子BE长为10米，则大树AB的高为____________米．
【点拨】
返回
8．
一座堤坝的横截面是梯形ABCD，各部分的数据如图所示，则坝底AD的长为________m．(结果保留根号)
【点拨】
返回
9．
风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义．某电力部门在某地安装了一批风力发电机，某校实践活动小组对其中一架风力发电机的塔杆高度进行了测量，如图为测量示意图(点A，B，C，D均在同一平面内，AB⊥BC)．已知斜坡CD长为20 m，斜坡CD的坡角为60°，在斜坡顶部D处测得风力发电机塔杆顶端A点的仰角为20°，坡底与塔杆底的距离BC＝30 m，求该风力发电机塔杆AB的高度．
返回
10．
“滑滑梯”是同学们小时候经常玩的游戏，滑梯的坡角越小，安全性越高．从安全性及适用性出发，小亮同学对所在小区的一处滑梯进行调研，制定了如下改造方案，请你帮小亮解决方案中的问题．
方案名称 滑梯安全改造
测量工具 测角仪、皮尺等
方案设计 如图，将滑梯顶端BC拓宽为BE，
使CE＝1 m，并将原来的滑梯CF改为EG.
(图中所有点均在同一平面内，
点B，C，E在同一直线上，点A，D，F，G在同一直线上)
测量数据 【步骤一】利用皮尺测量滑梯的高度CD＝1.8 m；【步骤二】在点F处用测角仪测得∠CFD＝42°；【步骤三】在点G处用测角仪测得∠EGD＝32°.
解决问题 调整后的滑梯会多占多长一段地面？(即求FG的长)
【解】如图，过点E作EH⊥AG于点H，
则易得四边形CDHE为矩形．
∴EH＝CD＝1.8 m，
DH＝CE＝1 m.
返回(共26张PPT)
第24章　解直角三角形
专题13 求三角函数值的常用方法
C
返回
1．
在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝5，下列结论中，正确的是(　　)
2．
(1)求k的值；
(2)若OA⊥OB，求tan∠ABO的值．
【解】如图，过点A作AC⊥y轴于点C，
过点B作BD⊥y轴于点D，则∠ACO＝∠BDO＝90°，
∴∠AOC＋∠OAC＝90°.
∵OA⊥OB，∴∠AOB＝90°.
∴∠AOC＋∠BOD＝90°.
∴∠OAC＝∠BOD.∴△AOC∽△OBD.
返回
3．
【点拨】
【答案】A
返回
4．
在等边三角形ABC中，点D在射线CA上，且AB＝2AD，求tan∠DBC的值．
返回
5．
返回
6．
[2025成都武侯区模拟]如图，△ABC，△DCE，△FEG是三个全等的等腰三角形，底边BC，CE，EG在同一条直线上，连结AG，与边DC，DE，FE分别交于点P，Q，N.若△DPQ是以∠DPQ为直角的直角三角形，求sin∠BAC．
返回
7．
(1)如图①，网格中每个小正方形的边长均为1，点A，B，O都在格点上，则∠AOB的正弦值为________；
(2)如图②，网格中的每个小正方形的边长都是1，△ABC的每个顶点都在格点上，则∠BAC的余弦值为________．
【点拨】
返回
8．
(1)观察图形可得：tan (α＋β)＝________；
1
【点拨】
∵BC2＝32＋52＝34，AB2＝42＋12＝17，AC2＝42＋12＝17，∴BC2＝AB2＋AC2＝2AB2，∴△ABC是等腰直角三角形，且∠BAC＝90°，∴α＋β＝∠ABC＝45°.∴tan (α＋β)＝1.
【解】如图，作∠MOH＝α，∠NOH＝β，
连结MN，则∠MON＝α－β.
∵OM2＝32＋12＝10，ON2＝22＋12＝5，MN2＝22＋12＝5，
∴OM2＝ON2＋MN2＝2ON2，
∴△OMN是等腰直角三角形，且∠ONM＝90°，
∴α－β＝∠MON＝45°，∴tan (α－β)＝1.
返回
9．
小宇在学习三角函数时，遇到这样一个问题：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝22.5°，求tan 22.5°的值．小宇通过查找资料，获得了以下解题思路．
请仔细阅读，并完成探究．
思路：先画出几何图形(如图①)，22.5°虽然不是特殊角，但22.5°是45°的一半，于是在CB上截取CD＝CA，再连结AD，构造出等腰三角形ABD(如图②).
解题过程：在CB上截取CD＝CA，连结AD，易知△ADB为等腰三角形，设AC＝CD＝a，则AD＝BD＝a，……
【探究】(1)按照上面的解题思路，得到tan 22.5°的值为________；
(2)如图，仿照上述方法，求tan 15°的值．
返回(共12张PPT)
第24章　解直角三角形
24．3 锐角三角函数
2.用计算器求锐角三角函数值
A
返回
1．
[2025烟台龙口市期中]用计算器求sin 24°37′18″的值，以下按键顺序正确的是(　　)
返回
2．
小明骑自行车沿着斜坡向上骑行了200 m，其铅直高度上升了30 m，在用科学计算器求坡角α时，其按键顺序是(　　)
B
返回
3．
＜
4．
返回
已知下列锐角三角函数值，用计算器求锐角A，B的度数．(精确到0.1°)
(1)sin A＝0.7，sin B＝0.01；
(2)cos A＝0.15，cos B＝0.8；
(3)tan A＝2.4，tan B＝0.5.
【解】∠A≈44.4°，∠B≈0.6°.
∠A≈81.4°，∠B≈36.9°.
∠A≈67.4°，∠B≈26.6°.
5．
返回
用计算器求下列各式的值．(精确到0.000 1)
(1)sin 15°18′＋cos 7°30′－tan 54°42′；
【解】sin 15°18′＋cos 7°30′－tan 54°42′
≈0.263 9＋0.991 4－1.412 4＝－0.157 1.
(2)sin 48°25′－cos 23°27′－tan 48°.
sin 48°25′－cos 23°27′－tan 48°
≈0.748 0－0.917 4－1.110 6＝－1.280 0.
6．
返回
若用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算，其按键顺序及结果如下：
按键的结果为m；
按键的结果为n；
按键的结果为k.
下列判断正确的是(　　)
A．m＝n　B．n＝k　C．m＝k　D．m＝n＝k
C
7．
2024年10月30日，神舟十九号载人飞船发射取得圆满成功，3名航天员顺利进驻中国空间站，如图中的照片展示了中国空间站机械臂的一种工作状态，当两臂
AC＝BC＝10 m，两臂夹角∠ACB＝100°时，可利用科学计算器求出A，B两点间的距离约为________．(结果精确到0.1 m)
15.3 m
【点拨】
返回
8．
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4.4，AC＝7.2，用计算器求出∠A的度数(结果精确到0.000 1°)．小明和小丽有两种不同的想法：
小明：先求出∠A的正切值，
再用计算器求出∠A的度数．
小丽：先利用勾股定理求出斜边AB的长，再求出∠A的正弦值，最后用计算器求出∠A的度数．
小明和小丽通过求解，发现两人求出的∠A的度数不相等，谁的计算更精确呢？你能说说这是为什么吗？
∵小明的计算过程中两次用到四舍五入，
小丽的计算过程中三次用到四舍五入，
小明的计算中少取一次近似值，
∴小明的计算更精确．
返回(共28张PPT)
第24章　解直角三角形
测素质 解直角三角形及其实际应用
B
返回
1．
如图，滑雪场有一坡角为18°的滑雪道，滑雪道AC长为150米，则滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度AB的长为(　　)
一、选择题(每小题6分，共30分)
2．
如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，tan A＝2，直尺的一边与BC重合，另一边分别交AB，AC于点D，E.点B，C，D，E处的读数分别为15，12，0，1，则直尺宽BD为(　　)
A．1 cm B．1.5 cm
C．2 cm D．2.5 cm
【点拨】
【答案】A
返回
返回
3．
C
4．
如图，考古队在A处测得古塔BC顶端C的仰角为60°，斜坡AD的长为5米，坡度i＝3：4，BD长为6米，则古塔BC的高度为(　　)
【点拨】
【答案】C
返回
5．
在一次课题学习中，某学习小组受赵爽弦图的启发，将正方形改编成矩形，如图①②所示，由两对全等的直角三角形(△AHD≌△CFB，△ABE≌△CDG)和矩形EFGH拼成大矩形ABCD．连结CH，设∠CHG＝α，∠CDG＝β.若BC＝2AB，tan β＝tan2α，则矩形EFGH与矩形ABCD的面积比为(　　)
【点拨】
∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AD＝BC.∵BC＝2AB，∴AD＝2CD.设CG＝x，HG＝y，∵△AHD≌△CFB，△ABE≌△CDG，且这四个三角形均为直角三角形，∴∠AHD＝∠DGC＝90°.∴∠DAH＋∠ADH＝∠ADH＋∠CDG＝90°.∴∠CDG＝∠DAH.∴△ADH∽△DCG.
【答案】B
返回
6．
[2024盐城]如图，小明用无人机测量教学楼的高度，将无人机垂直上升距地面30 m的点P处，测得教学楼底端点A的俯角为37°，再将无人机沿教学楼方向水平飞行26.6 m至点Q处，测得教学楼顶端点B的俯角为45°，则教学楼AB的高度约为
________m．(精确到1 m，
参考数据：sin 37°≈0.60，
cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75)
17
二、填空题(每小题6分，共18分)
【点拨】
返回
7．
6
【点拨】
返回
8．
返回
无动力帆船是借助风力前行的．如图是帆船借助风力航行的平面示意图，已知帆船航行方向与风向所在直线的夹角∠PDA为70°，帆与航行方向的夹角∠PDQ为30°，风对帆的作用力F为400 N．根据物理知识，F可以分解为两个力F1与F2，其中与帆平行的力F1不起作用，与帆垂直的力F2又可以分解为两个力f1与f2，f1与航行方向垂直，被舵的阻力抵消；
f2与航行方向一致，是真正推动帆船前行的动力．在物理学上常用线段的长度表示力的大小，据此，建立数学模型：F＝AD＝400，则f2＝CD＝________.(单位：N，参考数据：sin 40°≈0.64，cos 40°≈0.77)
128
【点拨】
如图，∵∠PDA＝70°，∠PDQ＝30°，∴∠ADQ＝∠PDA－∠PDQ＝70°－30°＝40°，∠1＝∠PDQ＝30°.∵AB∥QD，∴∠BAD＝∠ADQ＝40°.在Rt△ABD中，F＝AD＝400，∠ABD＝90°，∴F2＝BD＝AD·sin∠BAD＝400·sin 40°≈400×0.64＝256.由题意可知，BD⊥DQ，∴∠BDC＋∠1＝90°，∴∠BDC＝90°－∠1＝60°.
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9．
(1)你认为从中至少选择________个条件，可以求出BC边的长；
(2)你选择的条件是________(填序号)，并写出求BC边的长的解答过程．
3
三、解答题(共52分)
(答案不唯一)
①②④
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10．
(18分)“三汇彩亭会”是达州市渠县三汇镇独有的传统民俗文化活动，起源于汉代，融数学、力学、锻造、绑扎、运载于一体(如图①)，在一次展演活动中，某数学“综合与实践”小组将彩亭抽象成如图②的示意图，AB是彩亭的中轴，甲同学站在C处．借助测角仪观察，发现中轴AB上的点D的仰角是30°，他与彩亭中轴的
距离BC＝6米，乙同学在观测点E处借助无人机技术进行测量，测得AE平行于水平线BC，中轴AB上的点F的俯角∠AEF＝45°，点E，F之间的距离是4米，已知彩亭的中轴AB＝6.3米，甲同学的眼睛到地面的距离MC＝1.5米，请根据以上数据，求中轴上DF的长度．
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11．
(18分)[2025上海杨浦区期中]如图，在锐角三角形ABC中，AD是高，tan∠ABC＝3，E是AB的中点．
(1)求∠BED的正切值；
返回(共21张PPT)
第24章　解直角三角形
24．4 解直角三角形
3 解直角三角形在视角问题中的应用
A
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1．
[2025泰安泰山区月考]福州白塔是福州的标志性建筑之一，也是中国现存最早的木塔之一(如图①)．小明想测量白塔AB的高度(如图②)，在离白塔底端B正前方8米的C处，用高为1.5米的测角仪CD测得白塔顶部A处的仰角为α，则白塔AB的高度为(　　)
A．(8tan α＋1.5)米　
B．(1.5tan α＋8)米
C．(8cos α＋1.5)米　
D．(8sin α＋1.5)米
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2．
[2025衡水期中]一名测量技术队员在一个高为h(忽略身高)的位置，观测一根高出此建筑物的旗杆，测出旗杆的顶端的仰角为30°，与地面接触点的俯角为60°，那么该旗杆的高度是(　　)
C
3．
[2024雅安]在数学课外实践活动中，某小组测量一栋楼房CD的高度(如图)，他们在A处仰望楼顶，测得仰角为30°，再往楼的方向前进50米至B处，测得仰角为60°，那么这栋楼的高度为(人的身高忽略不计)(　　)
【点拨】
【答案】A
返回
4．
2024年10月30日，中国航天迎来了令人振奋的时刻，神舟十九号飞船在酒泉卫星发射中心点火发射，发射取得圆满成功．如图，运载火箭从地面O处发射，当火箭到达点A时，地面D处的雷达站测得AD＝60 km，仰角为30°，3 s后火箭直线上升到达B处，此时地面C的雷达站测得B处的仰角为48°.点O，C，D
在同一直线上，已知C，D两处相距
3.9 km，则火箭从A到B处的平均速度
约为________m/s.
7 600
【点拨】
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5．
返回
潮汐塔(如图①)是万平口区域内的标志性建筑，在其塔顶可俯视景区全貌．某数学兴趣小组用无人机测量潮汐塔AB的高度，测量方案如图②所示．无人机在距水平地面119 m的点M处测得潮汐塔顶端A的俯角为22°，再将无人机沿水平方向飞行74 m到达点N，测得潮汐塔底端B的俯角为45°(点M，N，A，B在同一平面内)，则潮汐塔AB的高度为(结果精确到1 m．参考数据：sin 22°≈0.37，cos 22°≈0.93，tan 22°≈0.40)(　　)
A．41 m
B．42 m
C．48 m
D．51 m
B
6．
【点拨】
由题意，得EF＝BM＝1.8 m，CD＝BN＝1.5 m，DF＝5 m，EM＝BF，BD＝CN，EM⊥AB，CN⊥AB，设BD＝CN＝x m，则EM＝BF＝DF＋BD＝(x＋5) m．
在Rt△AEM中，∠AEM＝45°，∴AM＝EM·tan 45°＝(x＋5) m．
【答案】A
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7．
返回
[2024泰安]在综合实践课上，数学兴趣小组用所学数学知识测量大汶河某河段的宽度．他们在河岸一侧的瞭望台上放飞一只无人机．如图，无人机在河上方距水面高60 m的点P处测得瞭望台正对岸A处的俯角为50°，测得瞭望台顶端C处的俯角为63.6°，已知瞭望台BC高
12 m(图中点A，B，C，P在同一平面内)．那么大汶河此河段的宽AB约为________m．
74
8．
车田江大桥(如图所示)位于娄底市新化县车田江风景区，桥体外侧呈“拱架”的构造，地方文化特色十分浓郁，与车田江自然美景融合，更是相得益彰．容融为了知道大桥AB的长度和桥墩AC的高度，进行了如下测量：
【测量过程1】容融用一架无人机在大桥上方点E处分别测得大桥两端A，B的俯角为60°和30°，已知点E到大桥AB的距离为170米．
(1)求大桥AB的长度；
(2)求大桥桥墩AC的高度．
返回
9．
根据上面的知识，解决下面的问题：
(1)求sin 105°，tan 75°的值；
(2)如图，直升机在一建筑物CD斜上方的点A处测得建筑物顶端点D的俯角α为60°，底端点C的俯角β为75°，此时直升机与建筑物CD的水平距离BC为42米，求建筑物CD的高．
返回(共7张PPT)
第24章　解直角三角形
综合与实践　高度的测量
任务 测量旗杆的高度 工具 卷尺，测角仪，记录本，计算器. 素材1 可以利用影子测量旗杆的高度．如图，光线CN∥AM，DN，BM分别是旗杆和小陈同学在同一时刻的影子. 说明：小陈同学AB、旗杆CD与标杆PQ均垂直于地面，小陈同学的眼睛G离地面的距离GB＝
1.6 m.
素材2 可以利用镜子测量旗杆的高度．如图，小陈同学从镜子E中刚好可以看见旗杆的顶端C，测得BE＝2.5 m. 说明：小陈同学AB、旗杆CD与标杆PQ均垂直于地面，小陈同学的眼睛G离地面的距离GB＝
1.6 m.
素材3 可以利用标杆测量旗杆的高度．如图，点G，P，C在同一直线上，标杆PQ＝ 3 m，测得BQ＝3.5 m，QD＝14 m. 返回
问题解决 任务1 分析测量原理 利用素材1说明△ABM∽△CDN的理由.
任务2 完善测量数据 在素材2中，小陈同学还要测量图中哪条线段的长度(旗杆无法直接测量)，才能求出旗杆的高度？若把该线段的长度记为a，请你用含a的式子表示出旗杆的高度.
任务3 推理计算高度 利用素材3求出旗杆的高度.
任务4 思维发散辟蹊径 你能否针对素材2中的图形，利用三角函数知识求旗杆的高度？(共28张PPT)
第24章　解直角三角形
测素质 锐角三角函数的计算
A
返回
1．
一、选择题(每小题5分，共40分)
返回
2．
如图，在平面直角坐标系中，直线OA过点A(2，1)，则cos α的值是(　　)
C
返回
3．
已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，那么下列式子中正确的是(　　)
B
4．
返回
如图，为方便行人推车过天桥，市政府在10 m高的天桥两端各修建了50 m长的斜道，用科学计算器计算这条斜道的倾斜角，下列按键顺序正确的是(　　)
B
5．
返回
C
6．
【点拨】
【答案】C
返回
7．
返回
如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴负半轴和y轴正半轴上，点C在OB上，OC：BC＝1：2，连结AC，过点O作OP∥AB交AC的延长线于P.若P(1，1)，则tan∠OAP的值是(　　)
【点拨】
【答案】C
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8．
返回
【点拨】
【答案】C
返回
9．
将∠BAC放置在5×5的正方形网格中，顶点A在格点上．则sin∠BAC的值为________．
二、填空题(每小题5分，共20分)
【点拨】
返回
10．
返回
[2025上海黄浦区期中]在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝α，AB＝2，那么BC＝________.(结果用含α的锐角三角函数表示)
2cos α
11．
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1
【点拨】
12．
1
【点拨】
返回
13．
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(12分)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝7，BC＝24.
(1)求AB的长；
三、解答题(共40分)
(2)求tan∠ACD的值．
14．
(13分)将一副学生常用的三角板如图摆放在一起，组成一个四边形ABCD，连结AC，
(1)若AD＝4，则BC＝________.
(2)求tan∠ACD的值．
【解】如图，过点A作AH⊥CB，交CB的延长线于点H.
∵∠ABD＝90°，∠DBC＝45°，
∴∠ABH＝45°.
∵∠AHB＝90°，
∴△AHB是等腰直角三角形．
∵在Rt△ABD中，∠ADB＝30°，AD＝4，
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15．
请你根据对上面材料的理解，解答下列问题：
(1)对于任意的锐角三角形ABC，上述结论仍然成立，即三角形各边与对角的正弦之比相等，我们称之为“正弦定理”，请利用三角形面积公式证明其正确性；
(2)在锐角三角形ABC中，∠B＝60°，∠C＝45°，c＝2，求b.
返回(共41张PPT)
第24章　解直角三角形
第24章综合素质评价
A
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1．
在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝2∠A，那么cos A的值等于(　　)
一、选择题(每小题4分，共32分)
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2．
tan 52°，cos 21°，sin 49°的大小关系是(　　)
A．tan 52°＜cos 21°＜sin 49°
B．tan 52°＜sin 49°＜cos 21°
C．sin 49°＜tan 52°＜cos 21°
D．sin 49°＜cos 21°＜tan 52°
D
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3．
如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D．若∠B＝30°，BC＝8 cm，则CD的长为(　　)
A．1 cm
B．2 cm
C．3 cm
D．4 cm
B
4．
【点拨】
【答案】A
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5．
在Rt△ABC中，∠C＝90°，斜边为c，∠A，∠B所对的直角边分别为a，b(a≠b)，斜边上的高CD＝h.
下列结论错误的是(　　)
A．asin A＋bsin B＝c
B．acos A＋bcos B＝c
C．htan A＋htan B＝c
D．acos B＋bcos A＝c
【点拨】
【答案】B
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6．
【点拨】
【答案】C
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7．
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，线段DE的两个端点D，E分别在边AC和边BC所在的直线上滑动，且DE＝7，若点P，Q分别是AB，DE的中点，则下列有关PQ的说法正确的是(　　)
A．有最大值为13.5
B．有最大值为13
C．有最小值为3.5
D．有最小值为3
【点拨】
【答案】D
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8．
如图，若△ABC和△DEF的面积分别为S1，S2，则
S1：S2＝(　　)
A．5：8
B．8：5
C．1：1
D．2：7
【点拨】
【答案】C
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9．
如图是一把圆规的平面示意图，OA是支撑臂，OB是旋转臂，已知OA＝OB＝m.若支撑臂与旋转臂的夹角∠AOB＝2θ，则A，B之间的距离为________．(用含m，θ的式子表示)
2msin θ
二、填空题(每小题5分，共20分)
【点拨】
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10．
【点拨】
返回
11．
返回
12．
【点拨】
返回
13．
(8分)如图，已知在四边形ABCD中，AD∥BC，
∠ABC＝90°，对角线AC，BD相交于点O，AD＝2，
AB＝3，BC＝4.
(1)求△BOC的面积；
三、解答题(共48分)
【解】过点O作AB的平行线，
分别与AD，BC交于点M，N，如图．∵AD∥BC，MN∥AB，
∴四边形ABNM是平行四边形．
又∵∠ABC＝90°，
∴四边形ABNM是矩形，
∴OM⊥AD，ON⊥BC.
(2)求∠ACD的正弦值．
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14．
(8分)如图，灯塔C在海岛A的北偏东75°方向，某天上午8时，一条船从海岛A出发，以15海里/时的速度由西向东航行，10时整到达B处，此时，测得灯塔C在B处的北偏东60°方向．
(1)求B处到灯塔C的距离；
【解】根据题意得∠BAC＝90°－75°＝15°，
∠CBE＝90°－60°＝30°，AB＝15×2＝30(海里)，
∴∠C＝30°－15°＝15°，∴∠BAC＝∠C.
∴BC＝AB＝30海里，
即B处到灯塔C的距离为30海里．
(2)已知在以灯塔C为中心，周围16海里的范围内均有暗礁，若该船继续由西向东航行，是否有触礁的危险？请你说明理由．
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15．
(8分)(1)通过计算(可用计算器)，比较下列各对数的大小，并提出你的猜想：
①sin 30°________2sin 15°cos 15°；
②sin 36°________2sin 18°cos 18°；
③sin 45°________2sin 22.5°cos 22.5°；
④sin 60°________2sin 30°cos 30°；
⑤sin 80°________2sin 40°cos 40°.
猜想：已知0°＜α＜45°，则sin 2α________2sin αcos α.
＝
＝
＝
＝
＝
＝
(2)如图，在△ABC中，AB＝AC＝1，∠BAC＝2α，请根据提示，利用面积方法验证结论．
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16．
(12分)某广场要修建一个地下停车场，停车场的入口设计示意图如图所示，其中斜坡的倾斜角为18°，一楼到地下停车场地面的垂直高度CD＝3 m，一楼到地平线的距离BC＝1 m.
(1)为保证斜坡的倾斜角为18°，应在地面上距点B多远的A处开始斜坡的施工？
(2)如果给该广场送货的货车高度为2.6 m，那么按这样的设计能否保证货车顺利进入地下停车场？请说明理由．(参考数据：sin 18°≈0.31，cos 18°≈0.95，tan 18°≈0.32)
【解】按这样的设计能保证货车顺利进入地下停车场．
理由如下：
如图，过点C作CE⊥AD于点E，
则∠ECD＝∠BAD＝18°，
在Rt△CED中，CE＝CD·cos 18°≈3×0.95＝2.85(m)．
∵2.85 m＞2.6 m，
∴按这样的设计能保证货车顺利进入地下停车场．
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17．
(12分)我国素有“基建狂魔”的称号，设计并建造了大量的世纪工程，如三峡大坝及三峡水电工程、秦岭隧道工程、港珠澳跨海大桥工程……每天的工程建设都在如火如荼地进行着．某天一台塔吊正对新建的大楼进行封顶施工，现在我们将这个实际问题通过数学建模抽象成以下数学问题，如图，工人在楼顶A处测得吊钩D处的俯角为15°，测得塔吊B，C两点的仰角分别为30°和60°，此时BC＝14米，塔吊需向A处吊运材料．
(1)求楼顶A到平衡臂BC的距离．(结果保留根号)
【解】设CD，AE交于点F，如图．
由题意知，∠BAF＝30°，∠CAF＝60°，
∴∠BAC＝60°－30°＝30°.
∵AE∥BC，∴∠ABC＝∠BAF＝30°，
∴∠ABC＝∠BAC，∴AC＝BC＝14米．
(2)吊钩D需向右、向上分别移动多少米才能将材料送达A处？(结果保留根号)
返回(共20张PPT)
第24章　解直角三角形
24．4 解直角三角形
2 解直角三角形在方位角及一般实际问题中的应用
B
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1．
如图，小兵同学从A处出发向正东方向走x米到达B处，再向正北方向走到C处，已知∠BAC＝α，则A，C两处相距(　　)
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2．
桔槔俗称“吊杆”“称杆”(如图①)，是我国古代农用工具，始见于《墨子·备城门》，是一种利用杠杆原理的取水机械．桔槔示意图如图②，OM是垂直于水平地面的支撑杆，OM＝3米，AB是杠杆，AB＝6米，OA：OB＝2：1.当点A位于最高点时，∠AOM＝120°，此时，点A到地面的距离为(　　)
B
3．
某区域平面示意图如图所示，点O在河的一侧，AC和BC表示两条互相垂直的公路．甲勘测员在B处测得点O位于北偏东41.32°，乙勘测员在A处测得点O位于南偏西60°，测得AC＝300 m，BC＝400 m，则点O到AC的距离约为________m．
276
【点拨】
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4．
(1)求字典的封面宽OB的长；
(2)求点C到桌面MN的距离CF的长．
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5．
如图①，两个夹角为θ(0°＜θ＜180°)的共点力F1和F2的合力F，可以用表示这两个力F1和F2的大小和方向的有向线段为邻边作平行四边形，平行四边形中这两条邻边之间对角线的大小和方向就表示合力F的大小和方向，这种方法我们常常称为平行四边形法则．如图②，一条小河水流的速度为2 km/h，若要使小船的实际速度方向为垂直于河岸方向，
C
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6．
如图，三角形花园ABC紧邻湖泊，四边形ABDE是沿湖泊修建的人行步道．经测量，点C在点A的正东方向，AC＝200米，点E在点A的正北方向，点B，D在点C的正北方向，BD＝100米，点B在点A的北偏东30°，点D在点E的北偏东45°，则步道AE的长度为______________米．(结果保留根号)
【点拨】
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7．
图①是世界第一“大碗”——景德镇昌南里文化艺术中心主体建筑，其造型灵感来自宋代湖田窑影青斗笠碗，寓意“万瓷之母”．如图②，“大碗”的主视图由“大碗”主体ABCD和矩形碗底BEFC组成，已知AD∥EF，AM，DN是太阳光线，AM⊥MN，DN⊥MN，点M，E，F，N在同一条直线上．经测量ME＝FN＝20.0 m，EF＝40.0 m，BE＝2.4 m，∠ABE＝152°.(结果精确到0.1 m)
(1)求“大碗”的口径AD的长；
【解】∵AM⊥MN，DN⊥MN，
∴∠AMN＝∠DNM＝90°.
∵AD∥MN，∴∠DAM＝180°－∠AMN＝90°.
∴易得四边形AMND是矩形．
∴AD＝MN＝ME＋EF＋FN＝20.0＋40.0＋20.0＝80.0(m)．
∴“大碗”的口径AD的长为80.0 m.
(2)求“大碗”的高度AM的长．(参考数据：sin 62°≈0.88，cos 62°≈0.47，tan 62°≈1.88)
【解】延长CB交AM于点G，由题意，得BE＝GM＝2.4 m，
BG＝ME＝20.0 m，BG⊥AM，∠EBG＝90°，
∵∠ABE＝152°，∴∠ABG＝∠ABE－∠EBG＝62°.
在Rt△ABG中，AG＝BG·tan 62°≈20.0×1.88＝37.6(m)．
∴AM＝AG＋MG≈37.6＋2.4＝40.0(m)．
∴“大碗”的高度AM的长约为40.0 m.
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8．
单摆是一种能够产生往复摆动的装置．某兴趣小组利用摆球和摆线进行与单摆相关的实验探究，并撰写实验报告如下．
实验主题 探究摆球运动过程中高度的变化
实验用具 摆球，摆线，支架，摄像机等
实验说明 如图①，在支架的横杆点O处用摆线悬挂一个摆球，将摆球拉高后松手，摆球开始往复运动．(摆线的长度变化忽略不计)
如图②，摆球静止时的位置为点A，拉紧摆线将摆球拉至点B处，作BD⊥OA于D．∠BOA＝64°，BD＝20.5 cm；当摆球运动至点C时，∠COA＝37°，作CE⊥OA于E(点O，A，B，C，D，E在同一平面内)
实验图示
【解决问题】根据以上信息，求ED的长．(结果精确到0.1 cm，参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75，sin 64°≈0.90，cos 64°≈0.44，tan 64°≈2.05)
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