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(共15张PPT)
第21章 二次根式
21.1 二次根式
学习 目标 1.能说出二次根式的概念，并会判断二次根式.
2.能求简单二次根式中字母的取值范围.
3.理解二次根式的性质，并能利用它们进行化简或计算.
新课学习
左讲
知识点1 二次根式的概念及有意义的条件
例1 【尝试】用带有根号的式子表示：
(1)2的算术平方根是____；
(2)如图，直角边长分别为1、2的直角三角形的斜边长是____；
(3)面积为 的圆的半径是____；
(4)面积为7的正方形的边长是____，面积为 的正方形的边长是
_____.
【发现】
(1)当时， ____意义；
当时， ____意义；(填“有”或“无”)
无
有
(2)当时， ___0.
归纳：一般地，我们把形如___________的式子叫做二次根式.
右练
练1-1 下列各式一定是二次根式的是________.(填序号)
；；；； ；
； .
练1-2 ［华师9上P3练习T2改编］ 是怎样的实数时，下列二次根式有意义？
(1) ；
解：被开方数,即 .
所以当时,二次根式 有意义.
(2) ；
由题意得，解得 ，
所以当 时，二次根式有意义.
(3) ；
解：，即，所以当 时，二次根式有意义.
(4) .
由题意得或解不等式组,得或 ，所以
当或 时，二次根式有意义.
知识点2 二次根式的性质
例2 填表：
探究 ___ __ ___ _____
___
___
归纳 ___ ____为任意实数
5
0
5
0
练2-1 填空：
(1)已知，那么 __；
(2)已知，那么 ____；
(3)已知，那么 的取值范围是______.
练2-2 已知,是实数，且满足，那么 的值是
___.
1
深挖拓展
例3 在中，、、 是三角形的三边长，化简
.
解：根据三角形的三边关系，可知 ，
，
所以
.
本课总结
与的异同点：
相同点 当时，和的值都为
不同点 当时，无意义(在实数范围内)，而
1．下列各式一定是二次根式的是(　　)
B
2.若有意义，则 的取值范围是( )
B
A. B. C. D.
3.当时， ______.
4.若实数，满足，求 的值.
解：由题意知，，所以, ,
所以 .
5.计算：
(1) ；
解： .
(2) ；
.
(3) ；
.
(4) .
.(共18张PPT)
第21章 二次根式
21.2 二次根式的乘除
3.二次根式的除法
学习 目标 1.理解二次根式的除法法则，掌握二次根式的除法运算.
2.理解商的算术平方根的性质，了解最简二次根式的概念.
3.会利用商的算术平方根的性质： ，对二
次根式进行化简.
新课学习
知识点1 二次根式的除法
例1(1)计算下列各式：
① __；
② __；
③ __；
④ __.
(2)根据(1)的计算结果，用“ ”“ ”或“ ”填空：
___；___ .
归纳：二次根式的除法法则
符号语言：一般地，有_ ______0，___0 .
文字语言：两个算术平方根的商，等于它们被开方数的商的算术平方根.
练1 ［华师9上P8例3改编］填空：
(1)_ ____ ____；
(2)_ ____ ___；
(3)_ ____ ___;
(4) __.
2
2
知识点2 商的算术平方根
例2 小明学习了二次根式的除法公式 后，他认为该公式逆过来
也应该成立，于是这样化简了下面这道题：
.你认为他的化简过程对吗？若
不对，请说明理由，并改正.
解：不对.
理由：因为 中的二次根式无意义，所以他的化简过程不对.
改正： .
归纳：商的算术平方根
符号语言：___0，___0 .
文字语言：商的算术平方根，等于被除式的算术平方根除以除式的算术
平方根.
练2 计算：
(1) ；
解： .
(2) ；
解： .
(3) .
解： .
知识点3 最简二次根式
例3 ［华师9上P8例4改编］请利用已学知识化简 ，使分母中不含二次
根式，并且被开方数中不含分母.
方法一： 利用二次根式的除法法则化简.
解： .
方法二： 利用分子、分母同乘以某个数化简.
解： .
归纳：1.被开方数中不含______,并且被开方数中所有因数(或因式)的幂的
指数都_______的二次根式叫最简二次根式.
2.利用分数(式)的基本性质，分子、分母同时乘以一个恰当的二次根式，
可以将分母中的根号去掉，这种化简过程称为“分母有理化”.
分母
小于2
练3-1 下列二次根式中，属于最简二次根式的是( )
C
A. B. C. D.
练3-2 利用分母有理化进行化简：
(1) ；
解：原式 .
(2) ；
原式 .
(3) ；
解：原式 .
(4) .
原式 .
深挖拓展
例4 已知为正整数，若 是整数，则根据
可知有最小值.设
为正整数，若是大于1的整数，则 的最小值为___，最大值为____.
3
75
课堂小测
1.下列各式中，是最简二次根式的是( )
D
A. B. C. D.
2.能使等式 成立的条件是( )
D
A. B. C. D.
3.计算：
(1) __；
(2) ____；
(3) ____.
4.已知直角三角形的两条直角边长分别为2和4，则这个直角三角形斜边
上的高为_ ___.
5.计算： .
解：原式 .(共10张PPT)
第21章 二次根式
大单元复习
思维导图
本章的研究思路及其在整个“数与代数”中的位置.
大单元串联
二次根式的学习，与实数、整式和分式紧密相连，类比旧知，我们
可以得到二次根式的研究思路为“概念-性质-运算-应用”，从而进行运算
规则的迁移，提升运算能力、逻辑推理能力和抽象能力.
问题1 本章的核心概念有哪些呢？
【二次根式的相关概念】
(1)下列各式一定是二次根式的是( )
B
A. B. C. D.
(2)若二次根式在实数范围内有意义，则 的取值范围是______.
(3)已知为正整数，写出一个使在实数范围内有意义的 的值是
________________.
3(答案不唯一)
【二次根式的性质】
(4)化简 .
当______时，______；当______时， ______.
(5)当等式成立时， 的值为__.
【二次根式的运算】
(6)下面是小明同学进行实数运算的过程，认真阅读并回答问题：
…………第一步
…………第二步
…………第三步
…………第四步
.…………第五步
①在，，， 这四个数中，是最简二次根式的是____；
②以上第一步的化简中由“”化为“ ”的依据是_ ____________________；
③第____步开始出现错误，该式的正确结果为_ ______.
二
问题2 本章知识如何在生活中应用？
【二次根式的实际应用】
快递公司为顾客交寄的快递提供纸箱包装服务.现有三款包装纸箱，底面
规格如下表：
型号 长 宽
小号
中号
大号
已知甲、乙两件礼品底面都是正方形，底面积分别为
， ，若要将它们合在一个包装箱中寄出，
底面摆放方式如图，从节约材料的角度考虑，应选择哪
种底面型号的纸箱？
解：因为甲、乙两件礼品底面都是正方形，底面
积分别为， ，所以甲、乙两件礼
品的底面边长分别为， ，所以
甲、乙两件礼品的底面边长之和为
因为, ，所以
， ，
所以中号和大号两个型号均可选用，所以从节约材料的角度考虑，应选
择中号的纸箱．(共18张PPT)
第21章 二次根式
21.2 二次根式的乘除
1.二次根式的乘法 2.积的算术平方根
学习目标 1.理解二次根式的乘法法则，掌握二次根式的乘法运算.
2.掌握积的算术平方根的性质：
,并会化简二次根式.
新课学习
知识点1 二次根式的乘法
例1(1)计算下列各式：
①___， ___；
②____， ____；
③____， ____.
6
6
20
20
60
60
(2)根据(1)的计算结果，用“ ”“ ”或“ ”填空：
___；___； ___
.
思考：你发现了什么规律？如何用字母、 表示？
解：规律：两个算术平方根的积，等于它们被开方数的积的算术平方根.
用字母，表示为 .
归纳：二次根式的乘法法则
符号语言：一般地，有________0，___0 .
文字语言：两个算术平方根的积，等于它们被开方数的积的算术平方根.
练1 ［华师9上P6例1改编］计算：
(1) ；
解：原式 .
(2) ；
原式 .
(3) ；
解：原式 .
(4) ；
原式 .
(5) ；
解：原式 .
(6) .
原式 .
知识点2 积的算术平方根
例2 ［华师9上P7例2改编］下面是老师在黑板上展示的例题及解答过程：
化简 ，使被开方数不含完全平方的因数.
解： .
请仿照上面例题填空：
(1)__________________ _____；
(2)__________________ _____；
(3)__________________ _____；
(4)__________________ _____；
(5)__________________ _____.
2
3
4
5
6
归纳：积的算术平方根
符号语言：___________0，___0 .
文字语言：积的算术平方根等于各因式算术平方根的积.
练2 ［华师9上P7做一做改编］计算下列各式，并将所得的结果化简：
(1) ；
解：原式 .
(2) ；
原式 .
(3) ;
解：原式 .
(4) .
原式 .
深挖拓展
例3(1)比较大小：___；___；
___；(填“ ”“ ”或“ ”)
(2)观察(1)中的式子，请猜想与的大小关系，并说明理由
其中， .
解： ，理由如下：
因为,所以 .
课堂小测
1. 的结果是( )
B
A. B.4 C. D.2
2.化简 的结果是( )
B
A. B. C. D.
3.计算：
(1) ；
解：原式 .
(2) ;
原式 .
(3) .
原式，因为和成立，所以， ，
所以原式 .
4.化简：
(1) ；
解：原式 .
(2) ；
原式 .
(3) .
原式 .
5.已知,，用含，的式子表示 .
解：因为, ，所以
.(共17张PPT)
第21章 二次根式
21.3 二次根式的加减
学习目标 1.了解同类二次根式的概念.
2.会进行二次根式的加减法运算、混合运算.
新课学习
知识点1 同类二次根式
例1 类比是数学中解决新问题时最常用的数学思想方法之一.
【回顾旧知】
____; ________.
【类比归纳】
____； _____.
像、、 这样的________________相同的几个二次根式，
称为同类二次根式.
5
化简后被开方数
练1-1 下列根式中与 是同类二次根式的是( )
C
A. B. C. D.
练1-2 二次根式和是同类二次根式，则整数 的最小值为___.
4
知识点2 二次根式的加减
例2 ［华师9上P10例1，思考］计算：
(1) ；
解： .
(2) .
.
归纳：二次根式加减法的一般步骤：①化成______二次根式；②找出其
中的______二次根式；③______同类二次根式.
最简
同类
合并
练2 ［华师9上P11例2］计算：
(1) ；
解： .
(2) .
解： .
知识点3 二次根式的混合运算
例3 ［华师9上P11例3改编］计算：
(1) ；
解： .
(2) ；
.
(3) .
解： .
练3 计算：
(1) ;
解：原式 ．
(2) .
解：原式 ．
深挖拓展
例4 【类比思想】观察式子：
，
反过来： ，
所以 .
解答下面问题：
(1)化简：
① ；
解：因为 ,所以
.
② ；
因为 ,所以
.
(2)如果，且，化简 .
因为，，所以 ，所以
，所以
.
课堂小测
1.下列各式中，不能与 合并的是( )
D
A. B. C. D.
2.下列运算正确的是( )
C
A. B.
C. D.
3.计算： ____.
4.计算：
(1) ;
解：原式 .
(2) ;
原式 .
(3) ；
解：原式 .
(4) ；
原式 .
(5) ；
解：原式 .
(6) .
原式 .

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