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(共15张PPT)
第22章 一元二次方程
22.2 一元二次方程的解法
5.一元二次方程的根与系数的关系
学习目标 1.理解一元二次方程的根与系数的关系.
2.能利用根与系数的关系解决一些简单的问题.
新课学习
知识点 一元二次方程的根与系数的关系
例1 【发现规律】填表：
1 ____ ____
4 ___ ____
3 _ _ _ ___
1 _ _ _ _
3
【概括归纳】 一般地，在一元二次方程 中，如果
，那么它的两个根分别是：
, .
于是可得：
(1) _ ___;
(2) __.
【拓展应用】 不解方程，求出方程的两根之和与两根之积.
(1) ；
解：因为___,___, ____,
所以____， ____.
1
3
(2) .
解：因为___,____, ____,
所以_ _， ____.
2
归纳：设二次项系数为1的一元二次方程
的两根为，，那么____， ___.
练1-1 ［华师9上P35练习第2题］不解方程，判断下列方程是否有实数根.
如果有实数根的话，求出方程的两根之和与两根之积.
(1) ;
解：因为，所以方程 有
实数根.， .
(2) ;
因为，所以方程 有实数根.
, .
(3) ;
解：方程化成一般形式为 ，因为
,所以方程无实数根.
(4) .
方程化成一般形式为 ，因为
，所以方程有实数根. ，
.
练1-2 ［华师9上P35练习第3题节选］已知关于 的方程
的一个根是，求它的另一个根和 的值.
解：设一元二次方程的两根为,，且 .由根与系数的关系得
，
所以，又因为，所以 .
练1-3 若,是方程 的两个根，求下列各式的值：
解：因为,, ,
所以, .
(1) ；
.
(2) .
.
深挖拓展
例2 已知一元二次方程.若方程的两个实数根为， ，
且，求 的值.
解：根据根与系数的关系得到，联立，得 解得
所以 .
本课总结
要熟练掌握以下变形：(1)；
(2) ；
(3)；
(4) ；
(5)；(6).
课堂小测
1.若方程的两个根为,，则 等于( )
A
A.4 B. C.3 D.
2.若，，则以， 为根的一元二次方程可以是
( )
A
A. B.
C. D.
3.已知，是方程的两个实数根，则
的值为___.
4
4.关于的一元二次方程 有一个根是3，求它的另一
个根和 的值.
解：设一元二次方程的两根为，，且 ，由根与系数的关系，
得，所以 .
又因为，所以 .
所以该一元二次方程的另一个根为1， 的值为1.
5.若，是方程 的两个根，求下列各式的值.
解：因为,,,所以, .
(1) ；
.
(2) .
.(共10张PPT)
第22章 一元二次方程
22.2 一元二次方程的解法
1.直接开平方法和因式分解法
第1课时 直接开平方法
学习 目标 1.理解解一元二次方程“降次”、转化的数学思想.
2.掌握用直接开平方法解形如 或
的一元二次方程.
新课学习
知识点1 用直接开平方法解形如 的一元二次方程
例1 ［华师9上P20“试一试”改编］解下列方程：
(1) ；
解：直接开平方，得，即， .
(2) ；
，整理得， ，
直接开平方，得，即， .
(3) .
，整理得 ，
直接开平方，得，即， .
归纳：一般地，对于形如 的方程，根据平方根的定义，可
得____, ______.这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法.
练1 用直接开平方法解下列方程：
(1) ；
解：原方程整理，得 ，
直接开平方，得，即， .
(2) .
移项，得,且，所以 ，
即, .
知识点2 用直接开平方法解形如 的一元二次方程
例2 用直接开平方法解下列方程：
(1) ；
解：两边开平方，得 ，
所以， .
(2) .
原方程整理，得 ，
两边开平方，得，所以， .
练2 解下列方程：
(1) ;
解：原方程整理，得 ，
两边开平方，得，所以， .
(2) .
两边开平方，得 ，
则或 ，
解得， .
课堂小测
1.一元二次方程 的根是( )
D
A. B.
C.， D.，
2.已知是一元二次方程 的一个根，则另一个根是______.
3.解方程：
(1) ；
解：直接开平方，得或，解得， .
(2) ；
两边同除以，得.直接开平方，得 ，解得
, .
(3) .
直接开平方，得， 或
，解得， .(共13张PPT)
第22章 一元二次方程
大单元复习
思维导图
本章的研究思路及其在整个“数与代数”中的位置.
大单元串联
在历经一元一次方程、二元一次方程组、分式方程、因式分解、实
数及二次根式等知识的学习后，大家已熟知方程研究的基本思路：“实际
问题—概念—解法—应用”，本章着重培养模型思想与化归思想，为后续
学习筑牢根基.
问题1 本章学习了哪些核心概念？
【一元二次方程的概念及其解法】
给出关于的方程：； ；
； ；
.
(1)在上述所给的方程中，总是一元二次方程的有________；(填序号)
(2)若一元二次方程的常数项为0，则 的值为
____；
(3)若为的一个根，则代数式 的值是
_______；
(4)用配方法解方程 时，通过配方后变形为_____________；
(5)某种饰品原价为4元/个，由于市场低迷，店家连续降价处理，经过两
次降价后，现价为2元/个，设两次的平均降价率为 ，则上述方程中符合
题意的方程是____；(填序号)
②
(6)用两种方法解方程： ；
解：方法一(直接开平方法)：开方，得 ，即
或，解得， .方法二
(因式分解法)：移项，得 .将方程左边分解因式，
得 ，所以
或，解得， .
【根与系数的关系】
(7)当时，不解方程，判断方程 的根的情况；
解： 当时，方程 可化为
.因为 ，所以方程有两
个相等的实数根.
(8)若一元二次方程的两个实数根分别为， ，且
，则 ___.
6
问题2 本章知识如何在生活中应用？
【一元二次方程的实际应用】
根据市场需求，某公司的业务规模快速扩大，该公司近年来生产一种无
盖长方体收纳盒. 随着公司的快速发展和市场变化，公司也在通过节约
成本、节省原材料和减少库存，尽可能保证公司的利润.
任务一： 更新技术，节约成本
随着技术逐年更新，该矩形原材料的成本不断下降，前年一张矩形原材
料的成本是50元，今年一张矩形原材料的成本是32元，求这种矩形原材
料成本的年平均下降率.
解：设这种矩形原材料成本的年平均下降率为 ，
由题意得 ，
解得(不合题意，舍去)， ，
答：这种矩形原材料成本的年平均下降率为 .
任务二： 固定剪裁，节约原料
已知矩形原材料的尺寸如图所示，将其四角剪去四个相同的小正方形，
然后把剩余部分(阴影部分)沿虚线折起可做成一个无盖长方体收纳盒.若
该无盖长方体收纳盒的底面积为 ，求剪去的小正方形的边长.
解：设剪去的小正方形的边长是 ，
则长方体收纳盒的底面的长为 ，宽
为 ，
由题意得 ，
解得， ，
因为当时，，所以 不
符合题意，舍去.
答：剪去的小正方形的边长为 .
任务三： 降价销售，减少库存
若该无盖长方体收纳盒的成本是50元/个，如果以100元/个的价格销售，每
天可以售出200个，为尽可能大地让利购买者，同时减少产品库存积压，
公司决定降低售价，市场调查发现销售单价每降低1元，销售数量就增加
20个，则当该公司将销售单价定为多少元时，每天的销售利润为16 000元？
解：设该公司将销售单价定为 元，由题意得
，整理得
，解得， .
因为要尽可能大地让利购买者，同时减少产品库存积压，
所以 .
答：当该公司将销售单价定为70元时，每天的销售利润为16 000元．(共19张PPT)
第22章 一元二次方程
22.2 一元二次方程的解法
3.公式法
学 习 目 标 1.理解一元二次方程求根公式的推导过程.
2.熟练应用公式法解一元二次方程，知道使用公式前先将方程化为
一般形式.
3.(2022新课标)能用公式法解数字系数的一元二次方程.
新课学习
知识点1 用公式法解一元二次方程
例1-1 ［华师9上P28探索改编］用配方法解方程：
.
解：移项，得_______________.
二次项系数化为1，得_______________.
配方，得_____________________________，即_________________.
因为，所以当时， _ _________.
所以, _ __________.
当时， ___0，此时方程无实数根.
归纳：解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式
，当时，方程的实数根可写为
_ __________的形式，这个式子叫做一元二次方程的求根公式.
例1-2 ［华师9上P29例6改编］解方程：
.
解：___，___， ____.
_____________________ ,
所以_____，即__， ____.
2
1
49
练1 ［华师9上P29例6改编］解下列方程：
(1) ；
解：因为，所以 ，
即， .
(2) ；
解：将方程化为一般形式，得 ，
因为 ,
所以 ,
即, .
(3) .
解：整理，得 ,
因为,所以 ,
即 .
知识点2 用适当的方法解方程
例2 用适当的方法解方程：
(1) ;
解：，，或 ，所
以， .
(2) ；
，，， ，
所以，即， .
(3) ；
解：，，，所以， .
(4) .
，，， ，
， .
练2 用适当的方法解方程：
(1) ；
解：两边同除以2，得 .
两边开平方，得 ，
或，所以， .
(2) .
解： ，
， .
或，解得， .
本课总结
一元二次方程的解法有四种：直接开平方法、因式分解法、配方法、公
式法.
①形如 的方程适宜用____________法；
②易写成两个整式乘积的形式的方程适宜用__________法；
③方程二次项系数为1，一次项系数为偶数时更适宜用______法；
直接开平方
因式分解
配方
④______法适宜解任何一种方程.
公式
课堂小测
1.用公式法解方程时，求根公式中的，， 的值分别是
( )
B
A.，， B.，，
C.，， D.，，
2. 是下列哪个一元二次方程的根 ( )
D
A. B.
C. D.
3.已知三角形的两边的长分别为2和10，第三边的长是方程
的两根之一，则此三角形的周长是( )
B
A.19 B.22 C.13 D.19或22
4.用公式法解下列方程：
(1) ；
解：整理，得 ，因为
，
所以，即, .
(2) ；
将方程化为一般形式，得 ，因为
，
所以,即， .
(3) .
将方程化为一般形式，得 ，因为
，
所以，即， .
5.小明在解方程 时出现了错误，其解答过程如下：
因为，， ，(第一步)
所以 ，(第二步)
所以 ，(第三步)
所以， .(第四步)
(1)小明的解答过程是从第____步开始出现错误的，错误原因是
______________________;
一
方程没有化成一般形式
(2)写出此题正确的解答过程.
解：方程化为一般形式，得 ，因为
，
所以，即, .(共10张PPT)
第22章 一元二次方程
22.3 实践与探索
第2课时 用一元二次方程解平均变化率、利润问题
学习 目标 1.会将实际问题转化为数学问题，分析题目中数量之间的关系，列
出一元二次方程.
2.会求平均变化率问题、利润问题，培养分析问题、解决问题的能
力.
新课学习
知识点1 平均变化率问题
例1 ［华师9上P39问题2］某药品经过两次降价，每瓶零售价由 56元降
为31.5元.已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率.
解：设每次降价的百分率为 ,
根据题意,得 .
解得, (舍去).
答：每次降价的百分率为 .
练1 ［华师9上 P41 问题4改编］某工厂计划在两年后实现产值翻一番，
那么这两年中产值的平均年增长率应为多少？取
解：设这两年中产值的平均年增长率为 ，
依据题意得 ，
解得, (不符合题意，舍去).
因为，所以 ，故
这两年中产值的平均年增长率为 .
知识点2 利润问题
例2 水果店老板发现：如果每千克高档苹果盈利10元，每天可售出
；若每千克涨价1元，日销售量将减少.设每千克涨价 元.
(1)填下表(用含有 的代数式表示)：
每千克利润/元 日销售量/ 总利润/元
涨价前 10 500 5 000
涨价后 _______ ___________ ____________________
(2)若每天盈利6 000元，则每千克苹果涨价多少元？
解：，解得， .
答：每千克苹果涨价5元或10元.
练2 某商店热卖某品牌的童装，平均每天可售出20件，每件盈利40元.市
场反馈每件童装每降价1元，平均每天就可多售出2件，要想每天在销售
这种童装上盈利1 200元，同时又要使顾客得到实惠，那么每件童装应降
价多少元？
解：设每件童装应降价 元,
则 ,
解得, .
因为要使顾客得到实惠，所以 .
答：每件童装应降价20元.
课堂小测
1.下表是某公司去年1月份至5月份的收入统计表.其中，2月份和5月份被
墨水污染了，若2月份与3月份的增长率相同，设它们的增长率为 ，根据
表中的信息可列方程为( )
月份 1 2 3 4 5
收入/万元 10 ____________________________________ 12 14 ____________________________________
B
A. B.
C. D.
2.某菜农种植的某蔬菜计划以每千克5元的单价对外批发销售，由于部分
菜农盲目扩大种植，造成蔬菜滞销，李伟为了加快销售，减少损失，对
价格进行两次下调后，以每千克3.2元的单价对外批发销售，则该蔬菜平
均每次下调的百分率是______.
3.某超市销售一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润为120元，通
过调查发现，若每箱降价1元，每天可多售出2箱，为了让利顾客和扩大
销售量，增加利润，超市准备适当降价销售，若将这种饮料每箱降价 元.
(1)每天可多售出____箱，每天的销售量是___________箱(用含 的代数式
表示)；
(2)如果要使每天销售这种饮料获利14 000元，并且让顾客得到尽可能多
的实惠，问每箱应降价多少元？
解：根据题意可得 ，
整理得 ，
即，解得， ，
因为要使顾客得到尽可能多的实惠，所以 ，
答：每箱应降价50元．(共17张PPT)
第22章 一元二次方程
22.2 一元二次方程的解法
1.直接开平方法和因式分解法
第2课时 因式分解法
学习 目标 1.掌握能化成“ ”型方程的解法——因式分解
法.
2.掌握用因式分解法解一元二次方程的步骤，体会“降次”的数学
思想.
3.(2022新课标)能用因式分解法解数字系数的一元二次方程.
新课学习
知识点 用因式分解法解一元二次方程
例1【提出问题】 若 ，判断下面两个结论是否正确；正确的打
“√”，错误的打“×”.
(1)和都为0，即且 .( )
×
(2)和中至少有一个为0，即或 .( )
√
你能用上面正确的结论解方程 吗？
【问题解决】 解：将原方程的左边分解因式，得_____________，
则___或______ ，
解得___， ___.
0
1
归纳：当一元二次方程的右边是0，左边能分解为两个一次因式的____时，
从方程左边两个因式各等于____，得到方程的解.这种解一元二次方程的
方法叫做因式分解法.
注意：解一元二次方程的基本思想是“降次、转化”.
积
零
例2 ［华师9上P22例2改编］解下列方程:
(1) ；
解：方程左边分解因式，得 .
所以或.得， .
(2) ；
解：移项，得 .
方程左边分解因式，得 .
所以或.得， .
(3) .
解： ，
， ，
或，解得, .
练1 解下列方程：
(1) ；
解：，所以或 ，
解得， .
(2) .
解： ，
所以或 ，
解得， .
练2 解下列方程：
(1) ；
解：，，或，解得 ，
.
(2) ；
解：,， ,
解得 .
(3) .
解： ，
，
，
，或 ，
解得， .
深挖拓展
例3 阅读材料：解方程 ，我们可以按下面的方法解答：
(1)因式分解 .
______________________________________________________________________________
①竖分二次项与常数项；
②交叉相乘，验中项；
③横向写出两因式： .
(2)若，则或，所以方程 可以这样求
解：
方程左边因式分解，得，所以 或
，所以, .
试用上述方法解下列方程：
(1) ；
解：,,或 ,所以
， .
(2) ；
,,或,所以 ，
.
(3) ；
,,或 ,所以
， .
(4) .
,,或 ,所以
， .
课堂小测
1.方程 的根是( )
D
A., B.,
C.， D.，
2.方程 的根为( )
D
A. B.
C.， D.，
3.用因式分解法解方程 时，因式分解结果正确的是( )
C
A. B.
C. D.
4.用因式分解法解下列一元二次方程：
(1) ；
解：把方程左边因式分解，得，则 或
，解得， .
(2) .
移项，得 ，提公因式，得
，解得， .
5.如果是关于的一元二次方程 的一个根，
求 的值及另一个根.
解：因为是关于的一元二次方程 的一个
根,所以 ,
所以,即,解得， .
当时，，即 ,
解得,.当时， ，
即,.所以，，另一个根为 .(共17张PPT)
第22章 一元二次方程
22.3 实践与探索
第1课时 用一元二次方程解图形面积问题
学习 目标 1.会将实际应用问题转化为数学问题，培养应用意识.
2.通过求解面积问题，培养分析问题、解决问题的能力.
新课学习
知识点 用一元二次方程解图形面积问题
例1 ［华师9上P38问题1改编］学校
生物小组有一块长、宽 的
矩形试验田，为了管理方便，准备
沿平行于两边的方向纵、横各开辟
一条等宽的小道.要使种植面积为
，小道的宽应是多少？
解：设小道的宽为 .
方法一 (如图①，不平移)
解： ,
,解得(不合题意，舍去), .
答：小道的宽应为 .
方法二 (如图②，把小道平移到两边)
解：， ,
解得， (不合题意，舍去).
答：小道的宽应为 .
例2 如图，有一块矩形铁皮，长 ,
宽 ，在它的4个角各切去一个同样
的正方形，然后沿虚线折起，就能制作
一个无盖方盒.如果要制作的无盖方盒底
解：设铁皮各角应该切去边长为 的正方形.
根据题意得 ，
解得， (不合题意，舍去).
答：铁皮各角应该切去边长为 的正方形.
面积为 ，那么铁皮各角应该切去边长为多少的正方形？
练1 如图，有一块长、宽 的矩形试验地，
要开辟3条等宽小路，且使试验地中除小路外的种
植面积为 ，求小路的宽度.
解：设小路的宽度为 .
依题意,得 .
解得, (不符合实际,舍去).
答：小路的宽度为 .
归纳：列一元二次方程解应用题的一般步骤：
①审题；②设未知数；③列一元二次方程；④解一元二次方程；⑤检验；
⑥作答.
练2 要用一块边长为 的正方形铝片制作一个没有盖
的长方体盒子，可在铝片的四个角上分别截去一个相同的
小正方形，如图所示，然后把四边折合起来，如果做成的
盒子的底面积为 ，求截去的小正方形的边长.
解：设截去的小正方形的边长为，则 ，解得
， (不合题意，舍去).
答：截去的小正方形的边长为 .
深挖拓展
例3 如图，在中， , ,
，点从点开始沿边向点以 的速
度移动，与此同时，点从点开始沿边向点 以
的速度移动.点，同时出发，当点运动到点
时，两点停止运动，设运动时间为 .
(1)填空：____，________(用含 的代数式表示)；
(2)当为何值时，的长度等于 ；
解： , ,
,整理，得
，解得， ,经检验，
， 均符合题意.
当或时，的长度等于 .
(3)是否存在某一时刻，使四边形的面积等于面积的 ？如果
存在，求出 的值；如果不存在，请说明理由.
存在. ,
.
, ,即
.
整理，得，解得,(舍去)，
当时，四边形的面积等于面积的 .
课堂小测
1.如图，在长为，宽为 的长方形场地内
修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进
行绿化，要使绿化面积为 ，则道路的宽应
为多少米？设道路的宽为 ，则可列方程为( )
C
A. B.
C. D.
2.如图，某农户准备建一个长方形养鸡场 ，养鸡
场的一边靠墙，另三边用篱笆围成，若墙长为 ，
墙对面有一个宽的门，篱笆总长为 ，围成的
长方形养鸡场除门之外四周不能有空隙.设 .
(1)__________(用含 的代数式表示)；
2.如图，某农户准备建一个长方形养鸡场 ，养鸡
场的一边靠墙，另三边用篱笆围成，若墙长为 ，
墙对面有一个宽的门，篱笆总长为 ，围成的
长方形养鸡场除门之外四周不能有空隙.设 .
(1)__________(用含 的代数式表示)；
(2)要使围成的养鸡场面积为，则 的长为多
少？
解：根据题意，得,解得 ，
.当时， ，符合题意；
当时， ，不符合题意，舍去．
答：的长为 .(共14张PPT)
第22章 一元二次方程
22.2 一元二次方程的解法
2.配方法
学习 目标 1.(2022新课标)理解配方法，能用配方法解数字系数的一元二次方
程.
2.掌握运用配方法解一元二次方程的步骤，体会转化的数学思想.
新课学习
知识点1 配方的方法
例1 利用 填空：
(1)___ ;
(2)_______ ；
(3)_______ ;
(4)_____ .
3
16
4
25
5
练1 ［华师9上P27练习第1题改编］填空，将左边的多项式配成完全平方式：
(1)_____ ;
(2)____ .
知识点2 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程
例2 ［华师9上P25例4］解方程： .
解：原方程两边都加上1，得
，即 .
直接开平方，得 .
所以，即， .
归纳：通过方程的简单变形，将方程左边配成一个含有________的完全
平方式，方程右边是一个非负常数，从而可以利用直接开平方法求解一
元二次方程根的方法叫配方法，其体现了______的数学思想.
未知数
降次
练2 ［华师9上P26例5改编］用配方法解方程：
(1) ；
解：移项，得,配方，得 ,即
，开方，得,解得， .
(2) .
解：移项，得 ，
配方，得 ，
即,开方，得,解得, .
知识点3 用配方法解系数不为1的一元二次方程
例3 ［华师9上P26例5节选］用配方法解方程：
.
解：, ，
, ,
,,或,解得 ,
.
归纳：当二次项系数不为1时，方程的两边应先除以________的系数，再
配方.
二次项
练3 用配方法解方程：
.
解：， ，
，
， ，
,即， .
深挖拓展
例4 用配方法解关于的方程： .
解：， ，
， .
因为，所以，所以 ,
.
课堂小测
1.用配方法解方程 时，应在方程的两边同时( )
A
A.加 B.加 C.减 D.减
2.一元二次方程 配方后可变形为( )
C
A. B. C. D.
3.数学课上，老师讲解配方法解一元二次方程时，让小明在黑板上用配
方法解方程，小明在黑板上的书写过程如下：
.
解：变形得 ， 第一步
， 第二步
， 第三步
. 第四步
小明第一次出错的步骤是( )
B
A.第一步 B.第二步 C.第三步 D.第四步
4.解方程：
(1) ；
解：因为，所以 ，所以
，所以 ，
所以或，解得， .
(2) .
，二次项系数化为1，得 ，移项，得
，
配方，得，即 ，
开方，得，所以， .(共16张PPT)
第22章 一元二次方程
22.2 一元二次方程的解法
4.一元二次方程根的判别式
学 习 目 标 1.经历一元二次方程根的情况的探究过程，归纳出一元二次方程根
的判别式.
2.(2022新课标)会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根
及两个实根是否相等.
3.能运用根的判别式求一元二次方程中字母系数的值(取值范围).
新课学习
知识点1 用根的判别式判断方程根的情况
例1 ［华师9上P31回忆改编］【回顾旧知】利用一元二次方程
推导求根公式的过程中，得到方程
，只有当 时，才能直接开平方，得
.
【探究新知】请判断根的情况：
(1)当 时，方程有______________实数根；
(2)当 时，方程有____________实数根；
(3)当 时，方程______实数根(填“有”或“没有”).
两个不相等的
两个相等的
没有
归纳：一般地，我们把 叫做一元二次方程
根的判别式，通常用符号“___”来表示，用它可
以直接判断一元二次方程的实数根的情况.
练1-1 不解方程，判断方程 根的情况.
解：___,____, ____,
_____________________ ____.
因为 ___0,
所以方程有______________实数根.
1
24
两个不相等的
练1-2 ［华师9上P32例7节选］不解方程，判断下列方程的根的情况：
(1) ；
解：因为 ，所以方程有两个相等的实
数根.
(2) .
原方程可变形为 .
因为 ，所以方程没有实数根.
知识点2 根据方程根的情况确定字母的值(取值范围)
例2 ［华师9上P33试一试］已知关于 的方程
.
解：因为,, ,所以
.
(1)当 取何值时，方程有两个不相等的实数根？
若方程有两个不相等的实数根，则 ,
即,所以 .
(2)当 取何值时，方程有两个相等的实数根？
若方程有两个相等的实数根，则 ,
即，所以 .
(3)当 取何值时，方程没有实数根？
若方程没有实数根，则 ,
即,所以 .
练2-1 若关于的一元二次方程 有两个不相等的实数根，
则常数 的值可以是( )
D
A.2 B.1 C.0 D.
练2-2 关于的一元二次方程有实数根，则 的
取值范围是( )
D
A. B. C.且 D.且
深挖拓展
例3 已知关于的一元二次方程 .
(1)求证：无论 取任何实数，方程总有实数根；
证明： .
因为，所以，所以无论 取任何实数，方程总有实数根.
(2)若等腰三角形的其中一边长为4，另两边长是这个方程的两根，求 的值.
解：当腰长为4时，把代入 ，得
，解得 .
当时，方程为 ，
此时方程的解为， .
因为，所以能构成等腰三角形.所以 成立.
当底边长为4时，方程 有两个相等的实数根，所
以，所以，所以.当 时，方程为
，
此时方程的解为 .
因为，所以能构成等腰三角形，所以 成立.
综上所述， 的值为4或3.
课堂小测
1.一元二次方程 的根的情况是( )
B
A.无实数根 B.有两个不相等的实数根
C.有两个相等的实数根 D.无法确定
2.关于的一元二次方程有实数根，则 的值可能是
( )
A
A.0 B. C. D.
3.若关于的一元二次方程没有实数根，则 的取值范围
为_______.
4.［华师9上P33练习第2题］小明告诉同学，他发现了判断一类方程有无
实数根的简易方法：若一元二次方程的系数 、
异号(即两数为一正一负)，那么这个方程一定有两个不相等的实数根.他
的说法是否正确？为什么？
解：正确.理由：因为当，异号时，，所以 恒
成立，所以方程一定有两个不相等的实数根.(共16张PPT)
第22章 一元二次方程
22.1 一元二次方程
学 习 目 标 1.正确理解一元二次方程的意义，会把一元二次方程化为一般形式.
2.能找出一元二次方程的各项及其系数.
3.会从具体问题中抽象出等量关系，体会方程是刻画现实问题的有
效数学模型.
新课学习
左讲
知识点1 一元二次方程的定义
例1 ［华师9上P18问题1、问题2改编］
【初步感知】列出下列问题中关于未知数 的方程：
(1)绿苑小区在规划设计时，准备在两幢楼房之间，设置一块面积为900平
方米的矩形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？设
矩形绿地的宽为 米，可列出方程：________________，整理可得______
______________;
(2)学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7.2万册，
那么这两年的年平均增长率是多少？设这两年的年平均增长率为 ，可列
出方程：________________,整理可得____________________.
【深入探究】 观察上面所列方程，说出这些方程与一元一次方程的区别
在哪里？它们又有什么共同特点呢？
解：与一元一次方程的区别：未知数的最高次数是2；共同特点：都是整
式方程；只含有一个未知数.
归纳：______方程中只含有____个未知数，并且未知数的最高次数是___，
这样的方程叫做一元二次方程.
整式
一
2
右练
练1-1 下面是一元二次方程的打“√”，不是的打“×”.
(1) ； ( )
√
(2) ；( )
×
(3) ；( )
×
(4) ；( )
×
(5) ；( )
√
(6) .( )
练1-2 关于的方程.当 _____时，此方程为一元
一次方程；当 _____时，此方程为一元二次方程.
×
练1-3 关于的方程是一元二次方程，则 等
于( )
B
A.0 B. C.2 D.
知识点2 一元二次方程的一般形式
例2 等号左边按未知数降幂排列，且右边为0的一元二次方程
，其中，二次项：_____；一次项：____；常数
项：___；二次项系数：___；一次项系数:___.
易错提醒：在指出二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项
时要包括前面的符号.
练2 填表：
一元二次方程 一般形式
________________ ___ ___ ____
____________ ___ ____ ___
___________ ___ ___ ____
4
1
1
0
1
0
知识点3 一元二次方程的根
例3 判断未知数的值，，是不是方程 的根.
解：时，，满足 ，因此
是方程 的根；时，，不满足 ，
因此不是方程 的根；时，，
满足 ，因此是方程 的根.综上可知，，
是方程的根； 不是方程 的根．
归纳：能使一元二次方程左右两边______的未知数的值叫做一元二次方
程的根，也就是方程的解.
相等
练3-1 若是方程的一个根，则 的值为( )
B
A. B.1 C. D.3
练3-2 若是方程的一个根，则 的值为
_______.
练3-3 若是方程的一个根，则 ___.若
，则方程 必有一个根为________.
0
深挖拓展
例4 已知是方程的一个实数根，且 ,求代数式
的值.
解：因为是方程 的一个实数根，
所以,所以 ,
因为，所以，所以 ，
所以 .
课堂小测
1.下列方程是一元二次方程的是( )
D
A. B.
C. D.
2.方程 的一般形式是__________________，其中二
次项系数是___，一次项系数是____，常数项是_____.
3.已知是方程的一个根，则 _______.
4.已知关于的方程是一元二次方程，则 的
值为___.
2
1
5.关于的方程的根是，、、 均为常
数，，则方程 的根是______________
_________.
,
6.根据题意列方程，并将所列方程化为一元二次方程的一般形式：某次
聚会中，每两人都握了一次手，所有人共握手10次，有多少人参加聚会？
(只列方程不求解)
解：设有 人参加聚会.
由题意可列方程,整理，得 .

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