第22章 一元二次方程 习题课件(10份打包)2025新版华东师大版九年级数学上册

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第22章 一元二次方程 习题课件(10份打包)2025新版华东师大版九年级数学上册

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(共15张PPT)
第22章 一元二次方程
22.2 一元二次方程的解法
5.一元二次方程的根与系数的关系
学习目标 1.理解一元二次方程的根与系数的关系.
2.能利用根与系数的关系解决一些简单的问题.
新课学习
知识点 一元二次方程的根与系数的关系
例1 【发现规律】填表:
1 ____ ____
4 ___ ____
3 _ _ _ ___
1 _ _ _ _
3
【概括归纳】 一般地,在一元二次方程 中,如果
,那么它的两个根分别是:
, .
于是可得:
(1) _ ___;
(2) __.
【拓展应用】 不解方程,求出方程的两根之和与两根之积.
(1) ;
解:因为___,___, ____,
所以____, ____.
1
3
(2) .
解:因为___,____, ____,
所以_ _, ____.
2
归纳:设二次项系数为1的一元二次方程
的两根为,,那么____, ___.
练1-1 [华师9上P35练习第2题]不解方程,判断下列方程是否有实数根.
如果有实数根的话,求出方程的两根之和与两根之积.
(1) ;
解:因为,所以方程 有
实数根., .
(2) ;
因为,所以方程 有实数根.
, .
(3) ;
解:方程化成一般形式为 ,因为
,所以方程无实数根.
(4) .
方程化成一般形式为 ,因为
,所以方程有实数根. ,
.
练1-2 [华师9上P35练习第3题节选]已知关于 的方程
的一个根是,求它的另一个根和 的值.
解:设一元二次方程的两根为,,且 .由根与系数的关系得

所以,又因为,所以 .
练1-3 若,是方程 的两个根,求下列各式的值:
解:因为,, ,
所以, .
(1) ;
.
(2) .
.
深挖拓展
例2 已知一元二次方程.若方程的两个实数根为, ,
且,求 的值.
解:根据根与系数的关系得到,联立,得 解得
所以 .
本课总结
要熟练掌握以下变形:(1)
(2)
(3)
(4)
(5);(6).
课堂小测
1.若方程的两个根为,,则 等于( )
A
A.4 B. C.3 D.
2.若,,则以, 为根的一元二次方程可以是
( )
A
A. B.
C. D.
3.已知,是方程的两个实数根,则
的值为___.
4
4.关于的一元二次方程 有一个根是3,求它的另一
个根和 的值.
解:设一元二次方程的两根为,,且 ,由根与系数的关系,
得,所以 .
又因为,所以 .
所以该一元二次方程的另一个根为1, 的值为1.
5.若,是方程 的两个根,求下列各式的值.
解:因为,,,所以, .
(1) ;
.
(2) .
.(共10张PPT)
第22章 一元二次方程
22.2 一元二次方程的解法
1.直接开平方法和因式分解法
第1课时 直接开平方法
学习 目标 1.理解解一元二次方程“降次”、转化的数学思想.
2.掌握用直接开平方法解形如 或
的一元二次方程.
新课学习
知识点1 用直接开平方法解形如 的一元二次方程
例1 [华师9上P20“试一试”改编]解下列方程:
(1) ;
解:直接开平方,得,即, .
(2) ;
,整理得, ,
直接开平方,得,即, .
(3) .
,整理得 ,
直接开平方,得,即, .
归纳:一般地,对于形如 的方程,根据平方根的定义,可
得____, ______.这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法.
练1 用直接开平方法解下列方程:
(1) ;
解:原方程整理,得 ,
直接开平方,得,即, .
(2) .
移项,得,且,所以 ,
即, .
知识点2 用直接开平方法解形如 的一元二次方程
例2 用直接开平方法解下列方程:
(1) ;
解:两边开平方,得 ,
所以, .
(2) .
原方程整理,得 ,
两边开平方,得,所以, .
练2 解下列方程:
(1) ;
解:原方程整理,得 ,
两边开平方,得,所以, .
(2) .
两边开平方,得 ,
则或 ,
解得, .
课堂小测
1.一元二次方程 的根是( )
D
A. B.
C., D.,
2.已知是一元二次方程 的一个根,则另一个根是______.
3.解方程:
(1) ;
解:直接开平方,得或,解得, .
(2) ;
两边同除以,得.直接开平方,得 ,解得
, .
(3) .
直接开平方,得, 或
,解得, .(共13张PPT)
第22章 一元二次方程
大单元复习
思维导图
本章的研究思路及其在整个“数与代数”中的位置.
大单元串联
在历经一元一次方程、二元一次方程组、分式方程、因式分解、实
数及二次根式等知识的学习后,大家已熟知方程研究的基本思路:“实际
问题—概念—解法—应用”,本章着重培养模型思想与化归思想,为后续
学习筑牢根基.
问题1 本章学习了哪些核心概念?
【一元二次方程的概念及其解法】
给出关于的方程:; ;
; ;
.
(1)在上述所给的方程中,总是一元二次方程的有________;(填序号)
(2)若一元二次方程的常数项为0,则 的值为
____;
(3)若为的一个根,则代数式 的值是
_______;
(4)用配方法解方程 时,通过配方后变形为_____________;
(5)某种饰品原价为4元/个,由于市场低迷,店家连续降价处理,经过两
次降价后,现价为2元/个,设两次的平均降价率为 ,则上述方程中符合
题意的方程是____;(填序号)

(6)用两种方法解方程: ;
解:方法一(直接开平方法):开方,得 ,即
或,解得, .方法二
(因式分解法):移项,得 .将方程左边分解因式,
得 ,所以
或,解得, .
【根与系数的关系】
(7)当时,不解方程,判断方程 的根的情况;
解: 当时,方程 可化为
.因为 ,所以方程有两
个相等的实数根.
(8)若一元二次方程的两个实数根分别为, ,且
,则 ___.
6
问题2 本章知识如何在生活中应用?
【一元二次方程的实际应用】
根据市场需求,某公司的业务规模快速扩大,该公司近年来生产一种无
盖长方体收纳盒. 随着公司的快速发展和市场变化,公司也在通过节约
成本、节省原材料和减少库存,尽可能保证公司的利润.
任务一: 更新技术,节约成本
随着技术逐年更新,该矩形原材料的成本不断下降,前年一张矩形原材
料的成本是50元,今年一张矩形原材料的成本是32元,求这种矩形原材
料成本的年平均下降率.
解:设这种矩形原材料成本的年平均下降率为 ,
由题意得 ,
解得(不合题意,舍去), ,
答:这种矩形原材料成本的年平均下降率为 .
任务二: 固定剪裁,节约原料
已知矩形原材料的尺寸如图所示,将其四角剪去四个相同的小正方形,
然后把剩余部分(阴影部分)沿虚线折起可做成一个无盖长方体收纳盒.若
该无盖长方体收纳盒的底面积为 ,求剪去的小正方形的边长.
解:设剪去的小正方形的边长是 ,
则长方体收纳盒的底面的长为 ,宽
为 ,
由题意得 ,
解得, ,
因为当时,,所以 不
符合题意,舍去.
答:剪去的小正方形的边长为 .
任务三: 降价销售,减少库存
若该无盖长方体收纳盒的成本是50元/个,如果以100元/个的价格销售,每
天可以售出200个,为尽可能大地让利购买者,同时减少产品库存积压,
公司决定降低售价,市场调查发现销售单价每降低1元,销售数量就增加
20个,则当该公司将销售单价定为多少元时,每天的销售利润为16 000元?
解:设该公司将销售单价定为 元,由题意得
,整理得
,解得, .
因为要尽可能大地让利购买者,同时减少产品库存积压,
所以 .
答:当该公司将销售单价定为70元时,每天的销售利润为16 000元.(共19张PPT)
第22章 一元二次方程
22.2 一元二次方程的解法
3.公式法
学 习 目 标 1.理解一元二次方程求根公式的推导过程.
2.熟练应用公式法解一元二次方程,知道使用公式前先将方程化为
一般形式.
3.(2022新课标)能用公式法解数字系数的一元二次方程.
新课学习
知识点1 用公式法解一元二次方程
例1-1 [华师9上P28探索改编]用配方法解方程:
.
解:移项,得_______________.
二次项系数化为1,得_______________.
配方,得_____________________________,即_________________.
因为,所以当时, _ _________.
所以, _ __________.
当时, ___0,此时方程无实数根.
归纳:解一元二次方程时,可以先将方程化为一般形式
,当时,方程的实数根可写为
_ __________的形式,这个式子叫做一元二次方程的求根公式.
例1-2 [华师9上P29例6改编]解方程:
.
解:___,___, ____.
_____________________ ,
所以_____,即__, ____.
2
1
49
练1 [华师9上P29例6改编]解下列方程:
(1) ;
解:因为,所以 ,
即, .
(2) ;
解:将方程化为一般形式,得 ,
因为 ,
所以 ,
即, .
(3) .
解:整理,得 ,
因为,所以 ,
即 .
知识点2 用适当的方法解方程
例2 用适当的方法解方程:
(1) ;
解:,,或 ,所
以, .
(2) ;
,,, ,
所以,即, .
(3) ;
解:,,,所以, .
(4) .
,,, ,
, .
练2 用适当的方法解方程:
(1) ;
解:两边同除以2,得 .
两边开平方,得 ,
或,所以, .
(2) .
解: ,
, .
或,解得, .
本课总结
一元二次方程的解法有四种:直接开平方法、因式分解法、配方法、公
式法.
①形如 的方程适宜用____________法;
②易写成两个整式乘积的形式的方程适宜用__________法;
③方程二次项系数为1,一次项系数为偶数时更适宜用______法;
直接开平方
因式分解
配方
④______法适宜解任何一种方程.
公式
课堂小测
1.用公式法解方程时,求根公式中的,, 的值分别是
( )
B
A.,, B.,,
C.,, D.,,
2. 是下列哪个一元二次方程的根 ( )
D
A. B.
C. D.
3.已知三角形的两边的长分别为2和10,第三边的长是方程
的两根之一,则此三角形的周长是( )
B
A.19 B.22 C.13 D.19或22
4.用公式法解下列方程:
(1) ;
解:整理,得 ,因为

所以,即, .
(2) ;
将方程化为一般形式,得 ,因为

所以,即, .
(3) .
将方程化为一般形式,得 ,因为

所以,即, .
5.小明在解方程 时出现了错误,其解答过程如下:
因为,, ,(第一步)
所以 ,(第二步)
所以 ,(第三步)
所以, .(第四步)
(1)小明的解答过程是从第____步开始出现错误的,错误原因是
______________________;

方程没有化成一般形式
(2)写出此题正确的解答过程.
解:方程化为一般形式,得 ,因为

所以,即, .(共10张PPT)
第22章 一元二次方程
22.3 实践与探索
第2课时 用一元二次方程解平均变化率、利润问题
学习 目标 1.会将实际问题转化为数学问题,分析题目中数量之间的关系,列
出一元二次方程.
2.会求平均变化率问题、利润问题,培养分析问题、解决问题的能
力.
新课学习
知识点1 平均变化率问题
例1 [华师9上P39问题2]某药品经过两次降价,每瓶零售价由 56元降
为31.5元.已知两次降价的百分率相同,求每次降价的百分率.
解:设每次降价的百分率为 ,
根据题意,得 .
解得, (舍去).
答:每次降价的百分率为 .
练1 [华师9上 P41 问题4改编]某工厂计划在两年后实现产值翻一番,
那么这两年中产值的平均年增长率应为多少?取
解:设这两年中产值的平均年增长率为 ,
依据题意得 ,
解得, (不符合题意,舍去).
因为,所以 ,故
这两年中产值的平均年增长率为 .
知识点2 利润问题
例2 水果店老板发现:如果每千克高档苹果盈利10元,每天可售出
;若每千克涨价1元,日销售量将减少.设每千克涨价 元.
(1)填下表(用含有 的代数式表示):
每千克利润/元 日销售量/ 总利润/元
涨价前 10 500 5 000
涨价后 _______ ___________ ____________________
(2)若每天盈利6 000元,则每千克苹果涨价多少元?
解:,解得, .
答:每千克苹果涨价5元或10元.
练2 某商店热卖某品牌的童装,平均每天可售出20件,每件盈利40元.市
场反馈每件童装每降价1元,平均每天就可多售出2件,要想每天在销售
这种童装上盈利1 200元,同时又要使顾客得到实惠,那么每件童装应降
价多少元?
解:设每件童装应降价 元,
则 ,
解得, .
因为要使顾客得到实惠,所以 .
答:每件童装应降价20元.
课堂小测
1.下表是某公司去年1月份至5月份的收入统计表.其中,2月份和5月份被
墨水污染了,若2月份与3月份的增长率相同,设它们的增长率为 ,根据
表中的信息可列方程为( )
月份 1 2 3 4 5
收入/万元 10 ____________________________________ 12 14 ____________________________________
B
A. B.
C. D.
2.某菜农种植的某蔬菜计划以每千克5元的单价对外批发销售,由于部分
菜农盲目扩大种植,造成蔬菜滞销,李伟为了加快销售,减少损失,对
价格进行两次下调后,以每千克3.2元的单价对外批发销售,则该蔬菜平
均每次下调的百分率是______.
3.某超市销售一种饮料,平均每天可售出100箱,每箱利润为120元,通
过调查发现,若每箱降价1元,每天可多售出2箱,为了让利顾客和扩大
销售量,增加利润,超市准备适当降价销售,若将这种饮料每箱降价 元.
(1)每天可多售出____箱,每天的销售量是___________箱(用含 的代数式
表示);
(2)如果要使每天销售这种饮料获利14 000元,并且让顾客得到尽可能多
的实惠,问每箱应降价多少元?
解:根据题意可得 ,
整理得 ,
即,解得, ,
因为要使顾客得到尽可能多的实惠,所以 ,
答:每箱应降价50元.(共17张PPT)
第22章 一元二次方程
22.2 一元二次方程的解法
1.直接开平方法和因式分解法
第2课时 因式分解法
学习 目标 1.掌握能化成“ ”型方程的解法——因式分解
法.
2.掌握用因式分解法解一元二次方程的步骤,体会“降次”的数学
思想.
3.(2022新课标)能用因式分解法解数字系数的一元二次方程.
新课学习
知识点 用因式分解法解一元二次方程
例1【提出问题】 若 ,判断下面两个结论是否正确;正确的打
“√”,错误的打“×”.
(1)和都为0,即且 .( )
×
(2)和中至少有一个为0,即或 .( )

你能用上面正确的结论解方程 吗?
【问题解决】 解:将原方程的左边分解因式,得_____________,
则___或______ ,
解得___, ___.
0
1
归纳:当一元二次方程的右边是0,左边能分解为两个一次因式的____时,
从方程左边两个因式各等于____,得到方程的解.这种解一元二次方程的
方法叫做因式分解法.
注意:解一元二次方程的基本思想是“降次、转化”.


例2 [华师9上P22例2改编]解下列方程:
(1) ;
解:方程左边分解因式,得 .
所以或.得, .
(2) ;
解:移项,得 .
方程左边分解因式,得 .
所以或.得, .
(3) .
解: ,
, ,
或,解得, .
练1 解下列方程:
(1) ;
解:,所以或 ,
解得, .
(2) .
解: ,
所以或 ,
解得, .
练2 解下列方程:
(1) ;
解:,,或,解得 ,
.
(2) ;
解:,, ,
解得 .
(3) .
解: ,


,或 ,
解得, .
深挖拓展
例3 阅读材料:解方程 ,我们可以按下面的方法解答:
(1)因式分解 .
______________________________________________________________________________
①竖分二次项与常数项;
②交叉相乘,验中项;
③横向写出两因式: .
(2)若,则或,所以方程 可以这样求
解:
方程左边因式分解,得,所以 或
,所以, .
试用上述方法解下列方程:
(1) ;
解:,,或 ,所以
, .
(2) ;
,,或,所以 ,
.
(3) ;
,,或 ,所以
, .
(4) .
,,或 ,所以
, .
课堂小测
1.方程 的根是( )
D
A., B.,
C., D.,
2.方程 的根为( )
D
A. B.
C., D.,
3.用因式分解法解方程 时,因式分解结果正确的是( )
C
A. B.
C. D.
4.用因式分解法解下列一元二次方程:
(1) ;
解:把方程左边因式分解,得,则 或
,解得, .
(2) .
移项,得 ,提公因式,得
,解得, .
5.如果是关于的一元二次方程 的一个根,
求 的值及另一个根.
解:因为是关于的一元二次方程 的一个
根,所以 ,
所以,即,解得, .
当时,,即 ,
解得,.当时, ,
即,.所以,,另一个根为 .(共17张PPT)
第22章 一元二次方程
22.3 实践与探索
第1课时 用一元二次方程解图形面积问题
学习 目标 1.会将实际应用问题转化为数学问题,培养应用意识.
2.通过求解面积问题,培养分析问题、解决问题的能力.
新课学习
知识点 用一元二次方程解图形面积问题
例1 [华师9上P38问题1改编]学校
生物小组有一块长、宽 的
矩形试验田,为了管理方便,准备
沿平行于两边的方向纵、横各开辟
一条等宽的小道.要使种植面积为
,小道的宽应是多少?
解:设小道的宽为 .
方法一 (如图①,不平移)
解: ,
,解得(不合题意,舍去), .
答:小道的宽应为 .
方法二 (如图②,把小道平移到两边)
解:, ,
解得, (不合题意,舍去).
答:小道的宽应为 .
例2 如图,有一块矩形铁皮,长 ,
宽 ,在它的4个角各切去一个同样
的正方形,然后沿虚线折起,就能制作
一个无盖方盒.如果要制作的无盖方盒底
解:设铁皮各角应该切去边长为 的正方形.
根据题意得 ,
解得, (不合题意,舍去).
答:铁皮各角应该切去边长为 的正方形.
面积为 ,那么铁皮各角应该切去边长为多少的正方形?
练1 如图,有一块长、宽 的矩形试验地,
要开辟3条等宽小路,且使试验地中除小路外的种
植面积为 ,求小路的宽度.
解:设小路的宽度为 .
依题意,得 .
解得, (不符合实际,舍去).
答:小路的宽度为 .
归纳:列一元二次方程解应用题的一般步骤:
①审题;②设未知数;③列一元二次方程;④解一元二次方程;⑤检验;
⑥作答.
练2 要用一块边长为 的正方形铝片制作一个没有盖
的长方体盒子,可在铝片的四个角上分别截去一个相同的
小正方形,如图所示,然后把四边折合起来,如果做成的
盒子的底面积为 ,求截去的小正方形的边长.
解:设截去的小正方形的边长为,则 ,解得
, (不合题意,舍去).
答:截去的小正方形的边长为 .
深挖拓展
例3 如图,在中, , ,
,点从点开始沿边向点以 的速
度移动,与此同时,点从点开始沿边向点 以
的速度移动.点,同时出发,当点运动到点
时,两点停止运动,设运动时间为 .
(1)填空:____,________(用含 的代数式表示);
(2)当为何值时,的长度等于 ;
解: , ,
,整理,得
,解得, ,经检验,
, 均符合题意.
当或时,的长度等于 .
(3)是否存在某一时刻,使四边形的面积等于面积的 ?如果
存在,求出 的值;如果不存在,请说明理由.
存在. ,
.
, ,即
.
整理,得,解得,(舍去),
当时,四边形的面积等于面积的 .
课堂小测
1.如图,在长为,宽为 的长方形场地内
修建两条宽度相等且互相垂直的道路,剩余部分进
行绿化,要使绿化面积为 ,则道路的宽应
为多少米?设道路的宽为 ,则可列方程为( )
C
A. B.
C. D.
2.如图,某农户准备建一个长方形养鸡场 ,养鸡
场的一边靠墙,另三边用篱笆围成,若墙长为 ,
墙对面有一个宽的门,篱笆总长为 ,围成的
长方形养鸡场除门之外四周不能有空隙.设 .
(1)__________(用含 的代数式表示);
2.如图,某农户准备建一个长方形养鸡场 ,养鸡
场的一边靠墙,另三边用篱笆围成,若墙长为 ,
墙对面有一个宽的门,篱笆总长为 ,围成的
长方形养鸡场除门之外四周不能有空隙.设 .
(1)__________(用含 的代数式表示);
(2)要使围成的养鸡场面积为,则 的长为多
少?
解:根据题意,得,解得 ,
.当时, ,符合题意;
当时, ,不符合题意,舍去.
答:的长为 .(共14张PPT)
第22章 一元二次方程
22.2 一元二次方程的解法
2.配方法
学习 目标 1.(2022新课标)理解配方法,能用配方法解数字系数的一元二次方
程.
2.掌握运用配方法解一元二次方程的步骤,体会转化的数学思想.
新课学习
知识点1 配方的方法
例1 利用 填空:
(1)___ ;
(2)_______ ;
(3)_______ ;
(4)_____ .
3
16
4
25
5
练1 [华师9上P27练习第1题改编]填空,将左边的多项式配成完全平方式:
(1)_____ ;
(2)____ .
知识点2 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程
例2 [华师9上P25例4]解方程: .
解:原方程两边都加上1,得
,即 .
直接开平方,得 .
所以,即, .
归纳:通过方程的简单变形,将方程左边配成一个含有________的完全
平方式,方程右边是一个非负常数,从而可以利用直接开平方法求解一
元二次方程根的方法叫配方法,其体现了______的数学思想.
未知数
降次
练2 [华师9上P26例5改编]用配方法解方程:
(1) ;
解:移项,得,配方,得 ,即
,开方,得,解得, .
(2) .
解:移项,得 ,
配方,得 ,
即,开方,得,解得, .
知识点3 用配方法解系数不为1的一元二次方程
例3 [华师9上P26例5节选]用配方法解方程:
.
解:, ,
, ,
,,或,解得 ,
.
归纳:当二次项系数不为1时,方程的两边应先除以________的系数,再
配方.
二次项
练3 用配方法解方程:
.
解:, ,

, ,
,即, .
深挖拓展
例4 用配方法解关于的方程: .
解:, ,
, .
因为,所以,所以 ,
.
课堂小测
1.用配方法解方程 时,应在方程的两边同时( )
A
A.加 B.加 C.减 D.减
2.一元二次方程 配方后可变形为( )
C
A. B. C. D.
3.数学课上,老师讲解配方法解一元二次方程时,让小明在黑板上用配
方法解方程,小明在黑板上的书写过程如下:
.
解:变形得 , 第一步
, 第二步
, 第三步
. 第四步
小明第一次出错的步骤是( )
B
A.第一步 B.第二步 C.第三步 D.第四步
4.解方程:
(1) ;
解:因为,所以 ,所以
,所以 ,
所以或,解得, .
(2) .
,二次项系数化为1,得 ,移项,得

配方,得,即 ,
开方,得,所以, .(共16张PPT)
第22章 一元二次方程
22.2 一元二次方程的解法
4.一元二次方程根的判别式
学 习 目 标 1.经历一元二次方程根的情况的探究过程,归纳出一元二次方程根
的判别式.
2.(2022新课标)会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根
及两个实根是否相等.
3.能运用根的判别式求一元二次方程中字母系数的值(取值范围).
新课学习
知识点1 用根的判别式判断方程根的情况
例1 [华师9上P31回忆改编]【回顾旧知】利用一元二次方程
推导求根公式的过程中,得到方程
,只有当 时,才能直接开平方,得
.
【探究新知】请判断根的情况:
(1)当 时,方程有______________实数根;
(2)当 时,方程有____________实数根;
(3)当 时,方程______实数根(填“有”或“没有”).
两个不相等的
两个相等的
没有
归纳:一般地,我们把 叫做一元二次方程
根的判别式,通常用符号“___”来表示,用它可
以直接判断一元二次方程的实数根的情况.
练1-1 不解方程,判断方程 根的情况.
解:___,____, ____,
_____________________ ____.
因为 ___0,
所以方程有______________实数根.
1
24
两个不相等的
练1-2 [华师9上P32例7节选]不解方程,判断下列方程的根的情况:
(1) ;
解:因为 ,所以方程有两个相等的实
数根.
(2) .
原方程可变形为 .
因为 ,所以方程没有实数根.
知识点2 根据方程根的情况确定字母的值(取值范围)
例2 [华师9上P33试一试]已知关于 的方程
.
解:因为,, ,所以
.
(1)当 取何值时,方程有两个不相等的实数根?
若方程有两个不相等的实数根,则 ,
即,所以 .
(2)当 取何值时,方程有两个相等的实数根?
若方程有两个相等的实数根,则 ,
即,所以 .
(3)当 取何值时,方程没有实数根?
若方程没有实数根,则 ,
即,所以 .
练2-1 若关于的一元二次方程 有两个不相等的实数根,
则常数 的值可以是( )
D
A.2 B.1 C.0 D.
练2-2 关于的一元二次方程有实数根,则 的
取值范围是( )
D
A. B. C.且 D.且
深挖拓展
例3 已知关于的一元二次方程 .
(1)求证:无论 取任何实数,方程总有实数根;
证明: .
因为,所以,所以无论 取任何实数,方程总有实数根.
(2)若等腰三角形的其中一边长为4,另两边长是这个方程的两根,求 的值.
解:当腰长为4时,把代入 ,得
,解得 .
当时,方程为 ,
此时方程的解为, .
因为,所以能构成等腰三角形.所以 成立.
当底边长为4时,方程 有两个相等的实数根,所
以,所以,所以.当 时,方程为

此时方程的解为 .
因为,所以能构成等腰三角形,所以 成立.
综上所述, 的值为4或3.
课堂小测
1.一元二次方程 的根的情况是( )
B
A.无实数根 B.有两个不相等的实数根
C.有两个相等的实数根 D.无法确定
2.关于的一元二次方程有实数根,则 的值可能是
( )
A
A.0 B. C. D.
3.若关于的一元二次方程没有实数根,则 的取值范围
为_______.
4.[华师9上P33练习第2题]小明告诉同学,他发现了判断一类方程有无
实数根的简易方法:若一元二次方程的系数 、
异号(即两数为一正一负),那么这个方程一定有两个不相等的实数根.他
的说法是否正确?为什么?
解:正确.理由:因为当,异号时,,所以 恒
成立,所以方程一定有两个不相等的实数根.(共16张PPT)
第22章 一元二次方程
22.1 一元二次方程
学 习 目 标 1.正确理解一元二次方程的意义,会把一元二次方程化为一般形式.
2.能找出一元二次方程的各项及其系数.
3.会从具体问题中抽象出等量关系,体会方程是刻画现实问题的有
效数学模型.
新课学习
左讲
知识点1 一元二次方程的定义
例1 [华师9上P18问题1、问题2改编]
【初步感知】列出下列问题中关于未知数 的方程:
(1)绿苑小区在规划设计时,准备在两幢楼房之间,设置一块面积为900平
方米的矩形绿地,并且长比宽多10米,那么绿地的长和宽各为多少?设
矩形绿地的宽为 米,可列出方程:________________,整理可得______
______________;
(2)学校图书馆去年年底有图书5万册,预计到明年年底增加到7.2万册,
那么这两年的年平均增长率是多少?设这两年的年平均增长率为 ,可列
出方程:________________,整理可得____________________.
【深入探究】 观察上面所列方程,说出这些方程与一元一次方程的区别
在哪里?它们又有什么共同特点呢?
解:与一元一次方程的区别:未知数的最高次数是2;共同特点:都是整
式方程;只含有一个未知数.
归纳:______方程中只含有____个未知数,并且未知数的最高次数是___,
这样的方程叫做一元二次方程.
整式

2
右练
练1-1 下面是一元二次方程的打“√”,不是的打“×”.
(1) ; ( )

(2) ;( )
×
(3) ;( )
×
(4) ;( )
×
(5) ;( )

(6) .( )
练1-2 关于的方程.当 _____时,此方程为一元
一次方程;当 _____时,此方程为一元二次方程.
×
练1-3 关于的方程是一元二次方程,则 等
于( )
B
A.0 B. C.2 D.
知识点2 一元二次方程的一般形式
例2 等号左边按未知数降幂排列,且右边为0的一元二次方程
,其中,二次项:_____;一次项:____;常数
项:___;二次项系数:___;一次项系数:___.
易错提醒:在指出二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项
时要包括前面的符号.
练2 填表:
一元二次方程 一般形式
________________ ___ ___ ____
____________ ___ ____ ___
___________ ___ ___ ____
4
1
1
0
1
0
知识点3 一元二次方程的根
例3 判断未知数的值,,是不是方程 的根.
解:时,,满足 ,因此
是方程 的根;时,,不满足 ,
因此不是方程 的根;时,,
满足 ,因此是方程 的根.综上可知,,
是方程的根; 不是方程 的根.
归纳:能使一元二次方程左右两边______的未知数的值叫做一元二次方
程的根,也就是方程的解.
相等
练3-1 若是方程的一个根,则 的值为( )
B
A. B.1 C. D.3
练3-2 若是方程的一个根,则 的值为
_______.
练3-3 若是方程的一个根,则 ___.若
,则方程 必有一个根为________.
0
深挖拓展
例4 已知是方程的一个实数根,且 ,求代数式
的值.
解:因为是方程 的一个实数根,
所以,所以 ,
因为,所以,所以 ,
所以 .
课堂小测
1.下列方程是一元二次方程的是( )
D
A. B.
C. D.
2.方程 的一般形式是__________________,其中二
次项系数是___,一次项系数是____,常数项是_____.
3.已知是方程的一个根,则 _______.
4.已知关于的方程是一元二次方程,则 的
值为___.
2
1
5.关于的方程的根是,、、 均为常
数,,则方程 的根是______________
_________.
,
6.根据题意列方程,并将所列方程化为一元二次方程的一般形式:某次
聚会中,每两人都握了一次手,所有人共握手10次,有多少人参加聚会?
(只列方程不求解)
解:设有 人参加聚会.
由题意可列方程,整理,得 .

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