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(共16张PPT)
第25章 随机事件的概率
25.1 在重复试验中观察不确定现象
第1课时 事件的认识
学习目标 1.会判断必然事件、不可能事件和随机事件.
2.理解并掌握定性描述随机事件发生的可能性大小.
新课学习
左讲
知识点1 事件的分类
例1-1 指出下列事件中，哪些是一定会发生的？哪些是不可能发生的？
哪些是可能会发生的？
(1)旭日东升；
一定会发生.
(2)某人的体温是 ；
不可能发生.
(3)投掷正方体骰子，掷得的点数是2；
可能会发生.
(4)明天一定是晴天.
可能会发生.
归纳：
1.无需通过试验就能够预先确定它们在每次试验中都一定会发生的事件
为__________，每次试验中都一定不会发生的事件为____________，这
两种事件在试验中是否发生都是我们能够预先确定的，所以统称为_____
_____.
2.无法预先确定在一次试验中会不会发生的事件，我们称它们为_______
___.
必然事件
不可能事件
确定
事件
随机事件
右练
练1-1 ［华师9上P127练习T1改编］下列事件中，哪些是必然事件？哪些
是不可能事件？哪些是随机事件？
(1)投掷一枚普通的正方体骰子，掷得的数不是奇数便是偶数；
(2)投掷一枚普通的正方体骰子，掷得的数不超过7；
(3)从装有1个红球和2个黄球的袋子中摸出1个球是白球；
(4)黑暗中，我从我的一大串钥匙中随便选中一把(包含正确钥匙)，用它
打开了门.
解： 是必然事件，(3)是不可能事件，(4)是随机事件.
例1-2 ［华师9上P127练习T2］现实生活中，为了强调某件事是一定会发
生的，我们可能会夸张地说 “它百分之两百会发生”，在数学里，有没有
“发生的机会是百分之两百” 这种说法？
解：没有.
练1-2 ［华师9上P127练习T3］投掷一枚普通的正方体骰子，你同意以下
说法吗？请说明理由：
(1)“掷得的数是奇数” 是不可能发生的，因为骰子上不全是奇数，还有偶数；
解：不同意.理由：因为骰子上有奇数，所以掷得的数是奇数是可能发生的.
(2)“掷得的数是奇数” 是必然发生的，因为骰子上有奇数；
不同意.理由：因为骰子上不止有奇数.
(3)“掷得的数不会超过7”是可能发生的，因为骰子上的数没有超过7的.
不同意.理由：因为骰子上没有数超过7，所以是必然发生的.
知识点2 随机事件可能性的大小
例2 某路口红绿灯的时间设置为：红灯 ，绿灯
，黄灯 .当人或车随意经过该路口时，遇到哪
一种灯的可能性最大？遇到哪一种灯的可能性最小？
解：因为绿灯持续的时间最长，黄灯持续的时间最
短，所以人或车随意经过该路口时，遇到绿灯的可
能性最大，遇到黄灯的可能性最小.
练2-1 已知地球表面陆地与海洋的面积之比约为 ，如果宇宙中飞来一
块陨石，落在陆地上的可能性比落在海洋上的可能性____.(填“大”或“小”)
小
练2-2 乐乐在做一道数学选择题，四个选项中只有一个是正确的，乐乐
实在不确定选哪个选项，只好任意选了一个，那么他选对的可能性比选
错的可能性要____.(填“大”或“小”)
小
深挖拓展
例3 一个不透明的布袋里装有7个红球、2个黑球、1个白球，它们除颜色
外都相同.从中任意摸出1个球，并用字母A,B,C,D, 表示以下各事件：
A.摸出1个球，是红球或白球或黑球； B.摸出1个球，是红球；
C.摸出1个球，是黑球； D.摸出1个球，是白球； E.摸出1个球，是绿球.
(1)比较A,B,C,D, 五个事件发生的可能性大小，并按可能性从小到大的顺
序把它们排列起来;
解：A,B,C,D,五个事件发生的可能性从小到大的顺序为 、D、C、B、A.
(2)用“必然”“很可能”“不大可能”“不可能”等语句描述上述事件发生的可
能性大小.
A必然发生；B很可能发生；C、D不大可能发生； 不可能发生.
课堂小测
1.“射击运动员射击一次，命中靶心”这个事件是( )
A
A.随机事件 B.必然事件 C.不可能事件 D.都不是
2.下列成语，描述的是必然事件的是( )
D
A.画饼充饥 B.不期而遇 C.水中捞月 D.旭日东升
3.如图，转动转盘，停止后指针指向的可能性最大的颜色是______.
黄色
4.在每个事件的括号里填“必然”“随机”或“不可能”.
(1)如果，那么 .( )
(2)如果，那么， .( )
(3)一个袋里有5个红球，1个白球，从袋里任取1个球是红色的.( )
(4)掷骰子游戏中，连续掷10次，掷得的点数全是6.( )
必然
不可能
随机
随机(共13张PPT)
第25章 随机事件的概率
25.1 在重复试验中观察不确定现象
第2课时 用试验频率估计随机事件机会的大小
学习 目标 1.通过多次重复试验，记录试验的总次数与某个随机事件发生的次
数.
2.了解频率的概念，能用试验数据计算一个随机事件发生的频率，
感受频率的稳定性.
新课学习
知识点 用模拟试验的频率估计随机事件机会的大小
例1 ［华师9上P128改编］历史上一些著名的科学家已经认识到，在重复
试验中观察不确定现象，可以发现它们隐含的规律.其中部分结果如下表：
研究者 抛掷硬币次数 出现正面次数 出现正面频率
德·摩根 2 048 1 061
蒲丰 4 040 2 048
费勒 10 000 4 979
皮尔逊 12 000 6 019
皮尔逊 24 000 12 012
把表中抛掷次数 与“出现正面”的频率用统计图表示.
通过表格与统计图你发现了什么规律？
解：随着试验次数的增加，事件发生的频率会稳定到一个数值附近.
归纳：可以用频率估计随机事件在每次试验时发生的机会的大小.
练1 在同样条件下对某种小麦种子进行发芽试验，统计发芽种子数，获
得如下频数表.
试验种子粒数 发芽频数 发芽频率
1 0 0
5 4 __
50 45 __
100 92 __
200 188 __
试验种子粒数 发芽频数 发芽频率
500 476 __
1 000 951 __
2 000 1 900 __
3 000 2 850 __
(1)计算表中的各个频率;
; ; ; ; ; ; ;
(2)根据上表，请估计，当 很大时，发芽的频率将会接近______；
(3)如果播种该种小麦每公顷所需麦苗数为4 181 818棵，种子发芽后的成
秧率为，该麦种的千粒质量为 ，那么播种3公顷该种小麦，估计
约需麦种多少千克(精确到 )？
解：设需麦种，则粒数为 .由题意，得
.
解得 .
答：播种3公顷该种小麦，估计约需麦种 .
例2 数学课上，老师带领学生做“频率的稳定
性”试验时，统计了某结果出现的频率，绘制
了如图所示的折线统计图，则符合这一结果
的试验最有可能是( )
D
A.在玩“石头、剪刀、布”的游戏中，小颖随机出的是“石头”
B.一副去掉大小王的普通扑克牌(52张，四种花色)洗匀后，从中任取一张
牌，花色是梅花
C.不透明袋子中有1个红球和4个白球，每个球除颜色外都相同，从中任
取1球是白球
D.掷一枚质地均匀的硬币，硬币落下后朝上的是正面
练2 试验的总次数、频数及频率三者的关系是( )
D
A.频数越大，频率越大
B.频数与总次数成正比
C.总次数一定时，频数越大，频率可达到很大
D.频数一定时，频率与总次数成反比
课堂小测
1.木箱里装有除颜色不同外其他均相同的4张红色卡片和若干张蓝色卡片，
随机从木箱里摸出1张卡片记下颜色后再放回，经过多次的重复试验，发
现摸到蓝色卡片的频率稳定在 ，则估计木箱中蓝色卡片有( )
B
A.20张 B.12张 C.8张 D.4张
2.一个不透明的箱子里装有 个球，其中红球有3个，这些球除颜色外都
相同，每次将箱子里的球搅拌均匀后，任意摸出1个球记下颜色后再放回，
大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定在，那么可以估算出
的值为____.
12
3.小亮和小明两名同学在做投掷骰子(质地均匀的正方体)的试验，他们共
做了60次试验，试验的结果如下表：
朝上的点数 1 2 3 4 5 6
出现的次数 7 9 6 8 20 10
(1)计算出现“3点朝上”的频率和“5点朝上”的频率.
解：出现“3点朝上”的频率是 ．
出现“5点朝上”的频率是 ．
(2)小亮说：“根据试验得出，出现 点朝上’的机会最大.”小明说：“如果
投掷600次，那么出现 点朝上’的次数正好是100次.”小亮和小明的说法
正确吗？为什么？
解：两人的说法都是错误的．因为试验结果是随机的，且次数比较少，
不能反映事件发生的机会大小.(共7张PPT)
第25章 随机事件的概率
大单元复习
思维导图
本章在统计与概率中的地位.
大单元串联
通过对本章事件分类、频率、概率的学习，我们收获了用重复试验
和理论分析求随机事件概率的两种方法，提升了我们实践操作、数据处
理的能力，以及在实际应用中灵活运用树状图法、列表法分析问题、解
决问题的能力.
问题 本章学习了哪些核心概念？
在一个不透明的纸箱中装有四个大小质地完全相同的小球，将它们分别
标号为1，2，3，4.
【事件的分类】
(1)“从纸箱中任意摸出一个小球，标号为正整数”是__________
(填“不可能事件”“必然事件”或“随机事件”)；
必然事件
(2)从纸箱中任意摸出一个小球，下列事件：①摸出的小球标号是偶数；
②摸出的小球标号不大于3；③摸出的小球标号小于5；④摸出的小球标
号是最小的正整数.将事件发生的可能性按从小到大的顺序排列：
__________(填序号)；
【用频率估计概率】
(3)张冰随机从纸箱中摸出一个小球，记录下摸到小球的标号后放回，再从
中摸出一个小球，记录下标号后又放回……张冰摸了60次，结果统计如下：
标号 1 2 3 4
次数 16 14 20 10
在上述试验中，张冰摸出的是标号为2的小球的频率是___；张冰下一次
从纸箱中摸小球，摸出的是标号为2的小球的概率是__；
【理论分析预测概率】
(4)张冰和李娜做一个游戏，其规则为张冰从纸箱中随机摸出一个小球，
记下标号为 ，李娜在剩下的三个小球中随机摸出一个小球，记下标号为
，若满足，则张冰胜；若满足 ，则李娜胜.这个游戏公平
吗？说明理由.
解：这个游戏不公平.理由如下：
画树状图如答图.
由树状图可知共有12种等可能的结果，
其中的结果有4种， 的结果有6种，
所以(张冰胜)，(李娜胜) .
因为 ，所以这个游戏不公平.(共14张PPT)
第25章 随机事件的概率
25.2 随机事件的概率
1.概率及其意义
学习 目标 1.能判断一个随机事件是否为有限个等可能结果的事件，并列出
等可能事件发生的所有结果.
2.理解并利用 求等可能事件发生的概率.
新课学习
知识点1 概率的意义
例1 一只不透明的袋子中有2个红球、3个绿球和5个白球，这些球除颜色
外都相同，将球搅匀，从中任意摸出1个球.
(1)会出现哪些可能的结果？
解：可能是红球，也可能是绿球或白球.
(2)能事先确定摸到的一定是红球吗？
解：不能事先确定摸到的一定是红球.
(3)你认为摸到哪种颜色的球的可能性最大？摸到哪种颜色的球的可能性
最小？
解：摸到白球的可能性最大，摸到红球的可能性最小.
(4)怎样改变袋子中红球、绿球、白球的个数，能使摸到这三种颜色的球
的可能性相同？
加入3个红球，2个绿球(答案不唯一).
归纳：随机事件发生的可能性大小可以用数值进行刻画.一般地，对于一
个随机事件，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件 发
生的概率，记为 .
练1 ［华师9上P137问题1改编］抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，掷得
“6”的概率等于 表示什么意思？
小明：“正方体骰子质地均匀，出现各面的结果是等可能的，而 是其中
一面，所以出现的概率是 ”.
小亮：“它表示每6次就有1次掷得 ”.
你同意谁的说法呢？
解：同意小明的说法.
补充设问 随机事件 的取值范围是_____________；
或 时代表了什么，并在下图中表示出来.
如图，当时， 为必然事件；
当时， 为不可能事件.
知识点2 求简单事件的概率
例2 ［华师9上P139例1改编］班级里共有42位同学，其中有20位女同学
和22位男同学，将每位同学的名字分别写在一张小纸条上，放入一个不
透明的盒中搅匀.老师抽中男同学这个事件包含____种等可能的结果，在
全部42种等可能的结果中所占的比为___，于是这个事件的概率
(抽到男同学) ___.
22
练2-1 ［华师9上P140例2改编］一个布袋中放着8个红球和16个黑球，这
两种球除了颜色以外没有任何其他区别.布袋中的球已经搅匀.从布袋中任
取1个球，则(取出黑球)__；(取出红球) __.
补充设问 判断下列说法是否正确(填“√”或 “×”).
①(抽到女同学的名字)(抽到男同学的名字) .( )
√
②改变男女同学的人数，①仍然成立.( )
√
③抽到男同学名字的概率应该是 ，因为“抽到男同学名字”与“抽到女同
学名字”这两个结果都有可能发生.( )
×
④虽然抽到男同学名字的概率略大，但是只抽1张小纸条的话，概率实际
上还是一样大的.( )
×
练2-2 ［华师9上P140例3］甲袋中放着22个红球和8个黑球，乙袋中放着
200个红球、80个黑球和10个白球.三种球除了颜色以外没有任何其他区
别.两袋中的球都已经各自搅匀.从袋中任取1个球，如果你想取出1个黑球，
选哪个袋成功的机会大呢？
解：在甲袋中，(取出黑球)，在乙袋中， (取出黑球)
.
因为 ，所以，选乙袋成功的机会大.
课堂小测
1.“泉州市明天降水的概率是 ”，对此消息下列说法中正确的是( )
C
A.泉州市明天将有的地区降水 B.泉州市明天将有 的时间降水
C.泉州市明天降水的可能性较小 D.泉州市明天肯定不降水
2.如图，在 的网格中，把2个小正方形涂上灰色，2个
小正方形涂上黑色，现在把剩下的小正方形中的一个涂上
黑色，则正好能组成轴对称图形的概率是( )
A
A. B. C. D.
3.把一副扑克牌中的13张黑桃牌洗匀后正面向下放在桌子上，从中随机
抽取1张，抽出的牌上的数小于6的概率为( )
D
A. B. C. D.
4.一个不透明的袋子中装有2个黄球、3个红球，这些球除颜色外都相同，
搅匀后从中任意摸出1个球，摸到红球的概率为__.
5.餐桌上有8个同样型号的杯子，其中1个杯子中装有矿泉水，2个杯子中
装有凉白开，5个杯子中装有白糖水.从8个杯子中随意取出1个，求下列
事件发生的概率：
①取到白糖水；②取到矿泉水；③取到凉白开；④取到的不是白糖水.
解：(取到白糖水)(取到矿泉水) .
(取到凉白开) .
(取到的不是白糖水) .(共14张PPT)
第25章 随机事件的概率
25.2 随机事件的概率
2.频率与概率
学习目标 1.会用理论分析求概率.
2.会用频率估计概率.
新课学习
知识点1 用列表或树状图分析随机事件的等可能结果
例1 ［华师9上P141问题2改编］在抛掷两枚相同质地硬币的试验中，“出
现两个正面”的频率稳定在 附近.请用理论分析的方法求抛掷两枚硬
币时出现两个正面的概率.
列表法：
解：列表如下：
硬币1 硬币2 正 反
正 正正 反正
反 正反 反反
由表可知一共出现4种等可能的结果，其中出现两个正面的结果有1种，
所以(出现两个正面) .
画树状图法：
解：如答图，由答图可知一共出现4种等可能
的结果，其中出现两个正面的结果有1种，所
以(出现两个正面) .
归纳：在一次试验中，如果可能出现的结果只有有限个，且各种结果出
现的可能性大小相等，那么我们可以通过一一列举的方式将试验的所有
等可能结果罗列出来，再看所研究的事件包含多少种结果，进而用概率
公式求出所研究事件的概率.
练1 一项答题竞猜活动，在 6 个式样、大小都相同的箱子中有且只有一
个箱子里藏有礼物.参与选手将回答 5 道题目，每答对一道题，主持人
就从剩下的箱子中去掉一个空箱子；而一旦答错，即取消后面的答题资
格，选手从剩下的箱子中选取一个箱子.求下列事件发生的概率.
(1)事件 选手连续答对了4道题，他选中藏有礼物的箱子；
解：这个选手连续答对4道题，则还剩下2个箱子，其中只有一个箱子中
藏有礼物.由于选手不知道礼物在哪一个箱子里，每一个箱子被选取的可
能性大小都相等，各占，所以事件发生的概率为 .
(2)事件 选手连续答对了3道题，他选中藏有礼物的箱子.
解：这个选手连续答对3道题，则还剩下3个箱子，其中只有一个箱子中
藏有礼物.由于选手不知道礼物在哪一个箱子里，每一个箱子被选取的可
能性大小都相等,各占，所以事件发生的概率为 .
知识点2 用频率估计概率
例2 ［华师9上P142问题3改编］转动如图所
示的转盘甲和转盘乙的指针，如果想让指针
停在蓝色区域，则选哪个转盘成功的概率比
较大？( )
C
A.甲 B.乙 C.甲和乙都一样 D.以上都不对
归纳：通过试验来估计随机事件发生的概率大小，必须要求试验是在相
同条件下进行的，并且只有在试验次数较多、事件发生的频率值逐渐稳
定时，才可以将这个频率的稳定值作为该事件发生的概率的估计值.
练2 如图，显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次试验的结果.下
面有三个推断，其中正确的是____.(填序号)
②
①当投掷次数是600时，计算机记录“钉尖向上”的次数是400，所以“钉尖
向上”的概率是0.667；②随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在
0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是
0.618；③若再次用计算机模拟试验，则当投掷次数为1 000时，“钉尖向
上”的概率一定是0.620.
课堂小测
1.下表记录了一名球员在罚球线上投篮的结果：
投篮次数 50 100 150 200 250 400 500 800
投中次数 28 63 87 122 148 242 301 480
投中频率 0.560 0.630 0.580 0.610 0.592 0.605 0.602 0.600
估计这名球员投篮一次投中的概率是______.(保留两位小数)
2.“敬老爱老”是中华民族的优秀传统美德.小刚、小强计划利用暑期从 ，
， 三处养老服务中心中，随机选择一处参加志愿服务活动，则两人恰
好选到同一处的概率是__.
3.如图，现有一个转盘被平均分成6等份，分别标有数字2，3，4，5，6，
7，转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字.
(1)转到数字10是____________(填“必然事件”“随机事件”
或“不可能事件”)；
不可能事件
(2)转动转盘，转出的数字是2的倍数比转出的数字是3的
倍数的可能性____(填“大”或“小”)；
大
(3)现随机转动两次转盘，每次转盘停止后记下转出的数字，请用列举法
求两次转出的数字之积为奇数的概率.
解：所有等可能出现的结果为，， ，
，，，，，， ，
，，，，，， ，
，，，，，， ，
，，，，，，，， ，
，， ，共36种，其中两次转出的数字之积为奇数的结果
有9种，所以两次转出的数字之积为奇数的概率为 .(共18张PPT)
第25章 随机事件的概率
25.2 随机事件的概率
3.列举所有机会均等的结果
学习 目标 1.会画树状图列举出两步及两步以上完成事件的所有机会均等的
结果，并求概率.
2.会用列表法列举出两步完成事件的所有机会均等的结果，并求
概率.
新课学习
知识点1 用画树状图法求概率
例1 小明有红色、绿色、蓝色上衣各1件，有蓝色、棕色裤子各1条.小明任
意取出1件上衣和1条裤子，恰好取到蓝色上衣和蓝色裤子的概率是多少？
用树状图列出所有可能的结果：
由图可知，共有___种可能的结果，并且它们的出现是等可能的，所以
(恰好取到蓝色上衣和蓝色裤子) __.
答：_____________________________________.
6
恰好取到蓝色上衣和蓝色裤子的概率为
练1 【放回型】［华师9上P150问题5］口袋中装有1个红球和2个白球，
搅匀后从中摸出1个球，放回搅匀，再摸出第2个球，两次摸球就可能出
现3种结果：
(1)都是红球；(2)都是白球；(3)一红一白.这三个事件发生的概率相等吗？
解：把两个白球分别记作白和白 ，画出树状图如下：
从树状图可以看出，一共有9种等可能的结果.在“摸出两红”“摸出两白”
“摸出一红一白”这三个事件中，“摸出两红”的概率最小，等于 ，“摸出
一红一白”和“摸出两白”的概率相等，都是 ，所以这三个事件发生的概
率不相等.
知识点2 用列表法求概率
例2 ［华师9上P151问题6改编］投掷两枚普通的正方体骰子，掷得的点
数之积有多少种可能？点数之积为多少的概率最大，其概率是多少？用
下表列举所有可能得到的点数之积，请完善表格.
第1枚 积 第2枚 1 2 3 4 5 6
1 ___ ___ ___ ___ ___ ___
2 ___ ___ ___ ___ ____ ____
3 ___ ___ ___ ____ ____ ____
1
2
3
4
5
6
2
4
6
8
10
12
3
6
9
12
15
18
第1枚 积 第2枚 1 2 3 4 5 6
4 ___ ___ ____ ____ ____ ____
5 ___ ____ ____ ____ ____ ____
6 ___ ____ ____ ____ ____ ____
表中每个单元格里的乘积出现的概率相等，从中可以看出积为_______
的概率最大，其概率等于__.
4
8
12
16
20
24
5
10
15
20
25
30
6
12
18
24
30
36
6和12
练2 【不放回型】甲、乙两名同学玩一个游戏：在一个不透明的口袋中
装有标号分别为1，2，3，4的四个小球(除标号外无其他差异).从口袋中
随机摸出两个小球，记下标号.若两个小球的标号之积为奇数，则甲获胜；
若两个小球的标号之积为偶数，则乙获胜.求乙获胜的概率.
解：列表如下：
1 2 3 4
1 2 3 4
2 2 6 8
3 3 6 12
4 4 8 12
共有 12 种等可能的结果，其中两个小球的标号之积为偶数的结果有10
种，所以乙获胜的概率 .
深挖拓展
例3 某校有A,B两个餐厅，甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中一个餐
厅用餐.
解：画树状图如答图.
(1)请用列表或画树状图的方法求甲、乙、丙三名学生在同一个餐厅用餐
的概率；
(甲、乙、丙三名学生在同一个餐厅用餐)
.
(2)求甲、乙、丙三名学生中至少有一人在B餐厅用餐的概率.
(甲、乙、丙三名学生中至少有一人在B餐厅用餐) .
列举法类别 适用条件 具体步骤方法
直接列举法 当事件涉及的 对象比较单一 且出现的等可 能结果数目较 少时 (1)列举出所有等可能的结果.
(2)运用公式 计算概率
【本课总结】
列举法类别 适用条件 具体步骤方法
列表法 当一次试验涉 及两个元素并 且可能出现的 结果数目较多 时 (1)选其中的一次操作(或一个条件)为
横行，另一次操作(或另一个条件)为
竖列，列出表格.
(2)运用概率公式 计算概率
列举法类别 适用条件 具体步骤方法
树状图法 当一次试验涉 及两个或更多 个元素时 (1)画树状图，方法步骤如下：
_____________________________________________________________
(2)运用概率公式 计算概率
课堂小测
1.甲、乙、丙三名同学把各自的数学课本放在一起，每人从中随机抽取
一本(不放回)，三名同学抽到的课本都是自己课本的概率是__.
2.如图是四张不透明且质地相同的数字卡片，将卡片背面朝上洗匀后放
置在桌面上.
为能赢得一张园博园的门票，李明与王刚请张
红做裁判，张红用以上四张卡片设计了如下方
案，但李明却认为这个方案不公平，请你利用
列表法或画树状图法求出概率说明李明的说法
是否正确.
解：列表如下.
3 3 5 6
3 6 6 8 9
3 6 6 8 9
5 8 8 10 11
6 9 9 11 12
由表可知共有16种等可能的结果，其中和为奇数的结果有6种，和为偶数
的结果有10种，所以(和为奇数)，(和为偶数) ，因为
,所以这个方案不公平，所以李明的说法是正确的.

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