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(共17张PPT)
第23章 图形的相似
23.6 图形与坐标
1.用坐标确定位置
学习目 标 1.能建立适当的直角坐标系，描述物体的位置.
2.在平面上，能用方位角和距离刻画两个物体的相对位置.
新课学习
知识点1 用坐标确定位置
例1 ［华师9上P85试一试］如图是某乡镇的示意图，试在图中建立适当
的平面直角坐标系，用坐标表示各地的位置.
解：以表示红旗乡的点为原点建立如图所示的平
面直角坐标系，1个方格的边长看成1个单位长度，
此时红旗乡坐标为 ，李家村小学坐标为
，爱心中学坐标为 ，大山镇坐标为
，王马村希望小学坐标为 ，王
马村坐标为，映月湖坐标为
(答案不唯一)
练1 ［华师9上P96复习题T9］如图是小明所在
学校的平面示意图，小明可以如何描述他所住的
宿舍位置？
解：若用表示教学楼的位置， 表示操
场的位置， 表示实验楼的位置，则小明所
住的宿舍位置为 (答案不唯一)
知识点2 用角度和距离确定位置
例2 ［华师9上P86做一做］小明去某地考察环境污
染问题，并且他事先知道下面的信息：
“悠悠日用化工品厂”在他现在所在地的北偏东
的方向，距离此处 的地方；
“明天调味品厂”在他现在所在地的北偏西 的方向，距离此处
的地方；
“321号水库”在他现在所在地的南偏东 的方向，距离此处
的地方.
根据这些信息，试在图中画出表示各处位置的示意图.
解：如图所示:
练2 如图，每个小正方形的对角线长为 ，请按要求填一填，画一画.
(1)学校的位置用数对表示是(___，___)；公园的位置是 ，请在图中
标出公园的位置；
3
2
解：公园的位置如图所示.
(2)学校东偏北 方向，距学校 处是小桥，请在图中标出小桥的
位置；
小桥的位置如图所示.
(3)公园位于小桥的____偏____ 方向上，距离是_____ .
南
东
400
课堂小测
1.如图，一艘船在处遇险，与救生船相距.从处看，船 的
方向与正东方向的夹角为 .用方向和距离描述处相对于救生船 的位
置为__________________________.
南偏西 ，距离
(第1题)
2.做课间操时，小明、小丽、小亮的位置如图所示，如果小明的位置用
表示，小丽的位置用 表示，那么小亮的位置可以表示成
_______.
(第2题)
3.［华师9上P88练习T2］如图，在菱形 中，两条对角
线、 的长分别为8和6，试建立适当的平面直角坐标系，
写出它的四个顶点的坐标.
解：如图，以菱形的对角线所在直线为
轴，所在直线为 轴建立平面直角坐标系.
它的四个顶点的坐标分别为 ，
，， .(答案不唯一)
4.一艘客轮在灯塔的北偏东 方向上遇险，向
相距的码头发出求救信号，且客轮 在
码头的北偏西 方向上，如图所示.
(1)你能准确描述出客轮相对于灯塔 的位置吗？为
什么？
解：不能，因为表示平面内的点一般需要两个数据，只有一个数据无法
确定物体的位置.
(2)若客轮与灯塔相距，请你用方向和距离描述客轮 相对于
灯塔 的位置；
客轮在灯塔的北偏东 方向上，相距 处.
(3)如何用方向和距离描述客轮相对于码头 的位置？反过来，如何用方
向和距离描述码头相对于客轮 的位置？
客轮在码头的北偏西 方向上，相距处;码头在客轮 的
南偏东 方向上，相距 处.(共15张PPT)
第23章 图形的相似
23.3 相似三角形
3.相似三角形的性质
学 习 目 标 掌握相似三角形对应边上的高的比、对应中线的比和对应角平分线
的比都等于相似比，相似三角形的周长之比等于相似比.相似三角形
的面积之比等于相似比的平方等性质，能应用相似三角形的性质进
行简单的证明和计算.
新课学习
知识点1 相似三角形对应线段的比
例1 如图，，相似比为，其中，分别为 ，
边上的高，那么、 之间有什么关系？并证明你的结论.
解： .
证明： ，
.
又为边上的高，为 边上的高，
， ，
.
补充设问 若将上题中的高改为中线、角平分线，那么它们对应中线的比、
对应角平分线的比等于多少？
解：它们对应中线的比、对应角平分线的比都等于 .
归纳：相似三角形对应边上的高的比等于________.相似三角形对应角的
平分线之比等于________.相似三角形对应边上的中线之比等于________.
相似比
相似比
相似比
练1 如图，已知,对应边的比为 ，
则相似比__,对应边上的高的比 __，对应边上的
中线的比__，对应角的平分线的比 __.
知识点2 相似三角形对应周长的比
例2 已知：，相似比为 .
求证： .
证明：，相似比为 ，
, ,
即 .
归纳：相似三角形的周长之比等于________.
相似比
练2 已知两个相似三角形的相似比是，周长的差为 ，求较大三
角形的周长.
解：设较小三角形的周长为，则较大三角形的周长为 ，则有
，解得 ,
， 较大三角形的周长为 ．
知识点3 相似三角形对应面积的比
例3 如图，，于 ，
于.若相似比为,则__, __,
__________,____________,则
__,
若,则 __.
归纳：相似三角形面积的比等于相似比的______.
平方
练3 如图，已知，， .
(1)求证： ;
证明： ,
.
(2)求， .
解：,,, ,
.
深挖拓展
例4 如图，将沿方向平移得到 ,
与 重叠部分(图中阴影部分)的面积是
面积的一半，已知，求 平移的
距离.
解：沿边平移到 的位置，
, .
., ,
平移的距离为 .
课堂小测
1.已知，若与对应中线的比为 ，则
与 对应角平分线的比为( )
A
A. B. C. D.
2.如果两个相似三角形的面积之比为，较大三角形一边上的高为 ，
那么较小三角形对应边上的高为____.
3.两个相似三角形的一对对应边分别是、 .
(1)若它们的周长差为 ，则这两个三角形的周长分别是___________
________；
(2)若它们的面积之和是 ，则这两个三角形的面积分别是________
______.
,
,
4.如图，在中， ，是上一点， ，
.
(1)求证： ；
证明：， .
，，， .
(2)若，，的面积为，求 的面积.
解：，. ，
， ．(共17张PPT)
第23章 图形的相似
23.5 位似图形
学习目 标 了解图形的位似，知道位似变换是特殊的相似变换，能利用位
似的方法，将一个图形放大或缩小.
新课学习
知识点1 位似图形的概念
例1 如图，在灯泡的照射下，在地上形成相似的影子 .
(1)这种特殊的相似叫做______；
位似
(2)点 叫做__________；
位似中心
(3)若，，则与 的相似比
为_____.
练1 下列各组图形中，不是位似图形的是( )
B
A. B. C. D.
知识点2 位似图形的性质
例2 如图，与 位似.
(1)位似中心是点___；
(2)若,的周长为6,则 的周长为___.
9
练2 如图，点是与的位似中心，相似比为 ，若
的面积为6，则 的面积为____.
24
知识点3 位似图形的画法
例3 如图，以点为位似中心，将四边形 的边长缩小为原来的一半，
画出图形.
解：如图，四边形 即为所求.
练3 如图，以点为位似中心，作出的一个位似图形 ,使
得与的相似比为 .
解：如图， 即为所求.(答案不唯一)
深挖拓展
例4 如图，某小区原有一矩形花坛，现对该花坛进行规划，按要求作出
相应的位似图形.
解：(答案不唯一，合理即可)
(1)在原地将花坛扩建，使各边的长度变为原来的3倍；
如图①，四边形 即为所求作的图形.
(2)在异地修建一块矩形草坪，使它与花坛的对应边的比为 .
如图②，四边形 即为所求作的图形.
课堂小测
1.如图所示的几种画法中，是 位似图形的画法的有( )
(第1题)
D
A.1种 B.2种 C.3种 D.4种
(第2题)
2.如图，五边形与五边形 是
位似图形，为位似中心， ，则
( )
D
A. B. C. D.
3.如图，图中的小方格都是边长为1的小正方形，与 是以
点 为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上.
(1)画出位似中心 ；
解：如图所示，点 即为所求.
(2)求出与 的相似比；
,
与的相似比为 .
(3)以点为位似中心，在所给方格图中画出，使它与 的
相似比为 .
如图所示， 即为所求.(共13张PPT)
第23章 图形的相似
23.3 相似三角形
2.相似三角形的判定
第2课时 相似三角形的判定定理2
学习目标 探索并掌握相似三角形的判定定理2，运用判定定理2证明
三角形相似.
新课学习
知识点 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
例1 ［华师9上P68］已知：如图，在 和
中，, .求证：
.
证明：在边上截取，过点作
的平行线交于点，则 ，
.
归纳：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
，， .
在和 中，
，, ，
.
练1 如图，根据条件证明图中两个三角形相似.
证明： ,
，
.
, ,
, .
例2 ［华师9上P69例4］证明图中的 和
相似.
证明： ，
,
.
又 ,
(两边成比例且夹角相等的两
个三角形相似).
练2 如图，点在的边上，,, ，求证：
.
证明：， ，
.
又, .
深挖拓展
例3 如图，是的中线，为上任意一点，连结 并延长交
于点，连结并延长交于点，连结.求证： .
证明：如图，延长到点，使 ，连结
， ．
是的中线， .
， 四边形 是平行四边形，
，即 ，
，
同理， .
， ，
.
课堂小测
(第1题)
1.如图，在中，为 上一点，若
，则( )
A
A. B.
C. D.无法判断
2.如图，用一个卡钳测量某个零件的内孔直径，其中 ，
，量得，则____ .
12
(第2题)
3.如图，在中，点，分别在边，上， ，
.求证： .
证明：， .
，， .
4.如图，已知四边形的对角线,交于点 ,
.求证： .
证明：, ,
，， .
又， .
.(共15张PPT)
第23章 图形的相似
23.6 图形与坐标
2.图形的变换与坐标
学习目标 在同一直角坐标系中，感受图形变换后点的坐标的变化与
各点坐标变化后图形发生的变化.
新课学习
知识点1 平移变换与坐标变化
例1 ［华师9上P88例1］在下图中，沿
轴向右平移3个单位之后，得到 .三个
顶点的坐标有什么变化？
解：三个顶点的纵坐标都没有改变，横坐标都
增加了3.
归纳：点沿轴向右或向左平移 个单位,得到的对应点是_________
或__________；点沿轴向上或向下平移 个单位,得到的对应点是
__________或__________.
练1 ［华师9上P89例2改编］如图， 的三
个顶点的坐标分别为，和 .
将沿轴向下平移3个单位得到 ，
然后再将沿 轴向右平移4个单位得到
.试写出现在三个顶点的坐标，看看发
生了什么变化.
解：现在三个顶点的坐标分别为,, .经过两次平移
之后，三角形三个顶点的横坐标都增加了4，纵坐标都减少了3.
知识点2 轴对称变换与坐标变化
例2 ［华师9上P90思考］在下图中，关于 轴的
轴对称图形是 ，它们对应顶点的坐标有什么变化？
解：它们对应顶点的横坐标相同，纵坐标互为相反数.
归纳：点关于 轴对称的点的坐标是________.
点关于 轴对称的点的坐标是________.
点 关于原点对称的点的坐标是_________.
练2-1 与关于轴对称，点的坐标是，则点 的对
应点 的坐标为( )
C
A. B. C. D.
练2-2 请在下图中的平面直角坐标系中画一个平行四边形，写出它的四
个顶点的坐标，然后画出这个平行四边形关于 轴的对称图形，写出对称
图形四个顶点的坐标，观察对应顶点的坐标有什么变化.
解：(答案不唯一)如图.
， ，
， ；
，，， .
通过观察发现对应顶点的纵坐标不变，横坐标
互为相反数.
知识点3 位似变换与坐标变化
例3 如图，以原点为位似中心，相似比为 ，把线
段放大得到线段， .
(1)已知,,则 (___,___),
(____,____)，(___,___), (____,___).
2
4
4
0
0
(2)若是上一点，则其在上的对应点 的坐标为
(____,____),在上的对应点 的坐标为(_____,_____).
练3 如图，点,矩形与矩形关于点 位似，且矩形
的面积等于矩形面积的，则点 的坐标是( )
D
A. B.
C.或 D.或
课堂小测
1.在平面直角坐标系中，将点 先向左平移2个单位，再向上平移1个
单位，最后所得点的坐标是( )
B
A. B. C. D.
2.在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格
点三角形.在如图所示的平面直角坐标系中，格
点三角形、格点三角形 是位似图形，
则位似中心的坐标为( )
A
A. B. C. D.
3.若点关于原点的对称点为，则 ____.
13
4.在的网格中建立如图所示的平面直角坐标系，已知 是格
点三角形(格点是网格线的交点).
(1)以点为位似中心，在第一象限画出的位似图形 ，使
与的相似比为 ；
解：如图， 即为所求.
(2)将先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到 ，
画出 .
如图， 即为所求．(共19张PPT)
第23章 图形的相似
23.3 相似三角形
1.相似三角形
学习目标 1.掌握相似三角形的边角关系.
2.探索相似三角形的常用结论，运用常用结论证明三角形相
似.
新课学习
知识点1 相似三角形的相关概念
例1 填空：
(1)类比相似多边形的定义可以得知：对应边________、对应角______的
两个三角形叫做相似三角形.相似用符号“ ”来表示，读作“相似于”.
成比例
相等
用符号语言表示如下：如图所示的两个三
角形中，， _____,
_____,_____,此时 与
相似，记作_________________.
(2)如果记，那么这个比值 就表示这两个相似三角
形的________，当 时，两个相似三角形______.
相似比
全等
归纳：全等三角形是相似三角形的特例，全等三角形______是相似三角
形，相似三角形________是全等三角形.(填“一定”或“不一定”)
一定
不一定
练1-1 如图，与 相似，则：
(1)的对应边为____， 的对应边为____；
(2)相似比 _____.
练1-2 如图，已知， ，
，， ， .
(1)求和 的大小；
解： ， ，
.
， ， .
(2)求 的长.
解：，，即 ，解得
．
知识点2 利用平行于三角形一边的直线判定三角形相似
例2(1)如图①，在中，若是边上任意一点，，交
边于点，判断与 是否相似，如果相似，请加以证明；
解：相似.证明：,,,
(平行线分线段成比例)，.过点作
的平行线交于点, (平行线分线段成比例),
，.,， 四
边形是平行四边形，. 又 ,
, ，
(相似三角形的定义).
(2)如图②，若是 延长线上一点，
,交的延长线于点 ，则
与 ______；(填“相似”或
“不相似”)
相似
(3)如图③，若是延长线上任意一点，，交 的延长线于点
，则与 ______.(填“相似”或“不相似”)
相似
归纳：平行于三角形一边的直线，和其他两边(或两边的延长线)相交所构
成的三角形与原三角形相似.
练2-1 ［华师9上 P63 例1］如图，在中，点
是边的三等分点，，，求 的长.
解： ，
(平行于三角形一边的直线,和其他两
边相交所构成的三角形和原三角形相似)，
， .
练2-2 ［华师9上P64练习T3］如图，在中，点是边 的四等分
点，，，，.求四边形 的周长.
解： 点是边的四等分点， .
， ，
四边形是平行四边形， ，
，
，.，， ，
，， ，
， 四边形 的周长是
．
课堂小测
1.若，相似比为，，则 的长为( )
D
A.2 B.4 C.6 D.8
2.如图，点在的边上，射线交的延长线于点 ，在不
添加辅助线的情况下，与 相似的三角形有___个.
2
(第2题)
3.如图，点在的边上，， ，
，则____ .
60
(第3题)
4.［华师9上P75习题T2］已知 的三边长分别为6、8、10，和
相似的的最长边长为30.求 的另两条边的长、周
长以及最大角的大小.
解：的三边长分别为6、8、10，且, 是直
角三角形，的最大角是 .
与相似，的最大角为 . 和 相似的
的最长边长为30，
与的相似比为, 的另两条边的长
分别为, ,
的周长为 .
5.如图，在矩形中，是边上一点，连结并延长，交 的延
长线于点 .
(1)求证： ；
证明： 四边形是矩形，， ，
.
(2)若，求 的值.
解： 四边形是矩形，.由(1)知 ，
，
， ．(共13张PPT)
第23章 图形的相似
23.1 成比例线段
2.平行线分线段成比例
学 习 目 标 1.探究并掌握平行线分线段成比例这个基本事实.
2.能运用平行线分线段成比例在复杂的图形中分离出基本图形.
3.能应用平行线分线段成比例的基本事实及推论证明线段成比例，
并会进行有关的计算.
新课学习
知识点1 平行线分线段成比例
例1 【观察推理】在练习本上，先画3条互相平行的直线
,,,再任意画2条直线,,使,与,, 分别相交于点
，，和点，，(如图).度量所画图中， ，
， 的长度，并计算对应线段的比值.你有什么发现？
解：度量略，， ，
.发现：平行线分线段成比例.
归纳：两条直线被一组平行线所截，所得的__________成比例.
(简称“平行线分线段成比例”)
对应线段
练1 如图，,,,.求 的长.
解： ,
.
,, ,
， .
知识点2 平行线分线段成比例的推论
例2 【推广证明】当例1中的点与点 重合
时，得到图①，当直线， 相交于第2条平
行线上某点时，得到图②，图①，图②中
解：图①，图②中线段均满足 .
再根据比例的有关性质，可以得到和 等结论.
归纳：平行于三角形______的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的
__________成比例.
一边
对应线段
，，， 这四条线段之间分别有怎样的关系？还有其他结论吗？
练2 ［华师9上 P53 例4］如图，为 的
边延长线上的一点，连结，交于点 ，
交于点.求证： .
证明： ，
.
，
.
.
知识点3 黄金分割
例3 大自然鬼斧神工，一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”
的美.黄金分割比是指将整体一分为二，较长线段与整体线段长
度的比值等于较短线段与较长线段长度的比值，其比值为 .
如图，为线段的黄金分割点，如果 的长度为
，那么 的长度是( )
A
A. B. C. D.
练3 黄金分割是汉字结构最基本的规律.如图，汉字“十”端庄稳重、舒展
美观.横竖笔画交接处点恰好是线段 的黄金分割点，即
，若，则的长为_________ .
深挖拓展
例4 如图，在中，，分别在边，上，且 ，
，的延长线交的延长线于点，连结，求 的值.
解：如图，过点作交于点，过点 作
交于点 .
, .
设,则 ，
，， ,
.
,,, .
课堂小测
1.如图，，，，，则 ___.
8
(第1题)
(第2题)
2.如图，，交于点，若 ，
，则下列结论错误的是( )
C
A. B. C. D.
3.［北师9上P85习题T4］如图，在中， ，
，分别是,,上的点，且 ,
,,，求 的长.
解：,， .
， ,
即,,即的长为 .(共17张PPT)
第23章 图形的相似
23.3 相似三角形
4.相似三角形的应用
学习 目标 1.能运用三角形相似的知识，解决不能直接测量物体的长度和高
度(如测量金字塔高度问题、测量河宽问题、盲区问题)等的一些
实际问题.
2.利用相似三角形，证明线段之间的乘积关系.
新课学习
知识点1 利用相似三角形测量高度
例1 ［华师9上P73例 古代一位数学家想出了一种测量金字塔高度的方
法:如图,为了测量金字塔的高度,先竖一根已知长度的木棒 ,比较木
棒的影长与金字塔的影长,即可近似算出金字塔的高度 .如果
,,,求金字塔的高度 .
解： 太阳光线是平行光线，
.
,
， ,
.
答：金字塔的高度为 .
练1 如图，小树在路灯的照射下形成投影 .若树
高，树影 ，树与路灯的水平距离
.求路灯的高度 .
解： ，
，
，
，
.
， ，
，
. .
答：路灯的高度为 ．
知识点2 利用相似三角形测量宽度
例2 ［华师9上P73例7]如图，为了估算河的宽度,我们可以在河的对岸选
定一个目标作为点，再在河的这一边选定点和,使 ，然后,再
选定点,使，用视线确定和的交点 .此时如果测得
，,，求河的宽度.精确到
解：, ,
(两角分别相等的两个三角形相似)，
,解得 .
答：河的宽度约为 .
练2 如图，为了测量一池塘的宽 ，在岸边找一
点，连结，，测得，在 上找
一点，测得，过点作，交
于点，测得，求池塘的宽 .
解： ，
，
，
即，解得 ．
答：池塘的宽为 ．
知识点3 利用相似三角形证明线段之间的乘积关系
例3 如图，已知，分别是的边， 上
的点，且.求证： .
证明： ,
,
(两角分别相等的两个三角形相
似)，
, .
练3 如图，在中，是的平分线， 的垂直
平分线交于点，交的延长线于点 .求证：
.
证明：如图，
连结 .
垂直平分 ,
,
.
平分， .
，
， ,
, .
又, .
课堂小测
1.如图，在中， ，于点， ，则下
列结论错误的是( )
B
(第1题)
A. B.
C. D.
(第2题)
2.如图，身高为的小明( )站在小河的一
岸，利用树的倒影去测量河对岸一棵树( )的高
度，在水中的倒影为，，， 在一条
直线上.如果小河的宽度为， ，
那么这棵树的高为_____ .
3.如图，停车场的栏杆的短臂长为，长臂长为 ，当短臂端
点下降 时，长臂端点升高多少？(栏杆的宽度忽略不计)
解：设长臂端点升高，根据题意,得，解得 .
答：长臂端点升高 .
4.下表是小明填写的综合实践活动报告的部分内容，请你借助小明的测
量数据，计算河流的宽度 ．
题目 测量河流宽度
示意图 _____________________________________________________________________________________________________
测量数据 ，，
解：由示意图知， ，
.
又， ，
.， ，
，，,即河流的宽度为 .(共15张PPT)
第23章 图形的相似
23.4 中位线
学习 目标 1.理解三角形中位线的概念，会证明三角形中位线定理，能应用三
角形中位线定理解决相关的问题.
2.理解三角形重心的概念，能应用重心的性质解决相关问题.
新课学习
知识点1 三角形的中位线
例1 如图，点，分别是的边，的中点.求证： ，
且 .
证明：如图,延长到点，使,连结, ,
.
, ,
四边形 是平行四边形，
且 .
是的中点，， ,
四边形 是平行四边形，
且,即 .
, .
归纳：文字语言：三角形的中位线______于第三边，并且等于第三边的
______.
平行
一半
符号语言：如图，是 的中位线，
___，且__ .
//
练1-1 如图，在中，平分 ，
于点，延长交于点，是 的
中点，若，，则 _____.
练1-2 ［华师9上P78例1]求证：三角形的一条中位线与第三边上的中线
互相平分.
已知：如图，在中，,, .
求证：、 互相平分.
证明：连结、 .
, ，
.
同理可得 四边形是平行四边形.、 互相平分.
知识点2 三角形的重心
例2 ［华师9上P78例2]如图，在中，、 分别
是边、的中点，、相交于点 .求证：
.
证明：连结、分别是边、的中点，，
(三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半)，
, ,
.
归纳：三角形的重心与一边中点的连线的长是对应中线长的_ _.
练2 如图,在中, , ,
,点是的重心,则点到 所在直线
的距离等于( )
A
A.1 B. C. D.2
深挖拓展
例3 如图所示，在四边形中， ，
，分别是，的中点，， 分别是
， 的中点.
(1)连结，，， ，请证明四边形
是平行四边形；
证明：，分别是，的中点，，分别是， 的中点，
是的中位线，是 的中位线，
，，， ，
，， 四边形 是平行四边形.
(2)连结，，猜想与 的位置关系，并
证明你的结论.
解：，证明如下：是的中点，
是的中点，是 的中位线，
.
，，， 平
行四边形是菱形， ．
课堂小测
(第1题)
1.如图，在中， 是中位线.
(1)若 ，则____ ；
60
(2)若,则___ .
8
2.［华师9上P79习题T1]三角形的周长为 ，则它的三条中位线组成
的三角形的周长是____ .
28
(第3题)
3.如图，在边长为2的正方形中，，分别是 ,
上的动点，，分别是,的中点，则 的最大
值为____.
(第4题)
4.如图，在中，点是三角形的重心，过点 作
，交于点，交于点，若 ，则
的长为( )
B
A.9 B.10.5 C.12 D.14
5.［华师9上P80习题T3]如图，在四边形
中，,是对角线的中点，是 的
中点，是的中点.求证: .
证明：是的中点，是 的中点，
,同理可得 .
, ,
.(共12张PPT)
第23章 图形的相似
大单元复习
思维导图
本章的研究思路及其在整个“图形与几何”中的位置.
大单元串联
初中阶段针对两个平面图形间的数量关系重点研究的是全等和相似，
首先，三角形是最基本的几何图形；其次，全等是特殊的相似.因此，初
中阶段以三角形为例研究全等，让学生经历全等三角形的研究过程，并
类比全等的学习，研究两个图形的相似，以促进对两个图形之间的数量
关系的理解.
问题1 本章学习了哪些核心概念？
如图，线段与交于点，连结，，延长 、
交于点，且线段、、、 是成比例线段.
【成比例线段】
(1)求证： ；
证明： 线段、、、是成比例线段， ，即
， .
【相似三角形的判定与性质】
(2)请直接写出所有相似的三角形；
解：， .
(3)若，则__， ___；
4
(4)某同学根据图形认为 ，你支持他的
观点吗？请说明理由：
解：不支持.理由：与 除具备
外，找不出其他的角相等，
不能用两角相等来判定.
当时，只能得出 ，不符合两边对应成
比例，夹角相等， 不能判定它们相似.
(5)若， ，求 .
， .
又， ，
.
问题2 如何应用相似三角形的核心概念？
【位似图形】
如图，在平面直角坐标系中， 是格点三角形
(顶点均在格点上)，且三个顶点的坐标分别为
，， ，请根据条件解决下
列问题：
(1)以点为位似中心，请在网格图中画出的位似图形 ，
使与的相似比为2，并写出点和点 的坐标；
解：如图，即为所求.， .
(2)在轴上找一点，使是以为底边的等腰三角形，则点 的
坐标为______；
(3)请仅用无刻度的直尺作出中与边平行的中位线 (不写作法，
保留作图痕迹).
如图.(共16张PPT)
第23章 图形的相似
23.1 成比例线段
1.成比例线段
学习目标 1.掌握相似图形、成比例线段等基本概念.
2.运用比例的基本性质推导比例的其他性质.
新课学习
左讲
知识点1 相似图形
例1 我们把具有相同形状的图形称为相似图形.下列图形中，不是相似图
形的一组是( )
D
A. B. C. D.
右练
练1 下列说法中，正确的是( )
D
A.小明8岁时的照片和9岁时的照片相似
B.直角三角形都是相似的
C.儿子和爸爸的照片相似
D.中国国旗上的五角星都是相似的
知识点2 线段的比
例2 如果线段,，那么 的值为( )
D
A. B. C. D.2
归纳：两条线段的比就是它们长度的比.
注意：两条线段的长度单位要一致.
练2 如图，已知线段，在线段的延长线上取一点，使 ，
则 等于( )
A
A. B. C. D.
知识点3 成比例线段
例3 ［华师9上 P48 “试一试”］由下面的
格点图可知，___， ___.
这样与 之间有什么关系？
2
2
.
归纳：对于给定的四条线段,,, ，如果其中两条线段的长度之比等于
另外两条线段的长度之比，如 ，那么这四条线段叫做成比例线段，
简称比例线段.
练3 ［华师9上 P49 例1］判断下列线段、、、 是不是成比例线段:
(1),，, ;
解：, ,
, 线段、、、 是成比例线段.
(2),，, .
解：, ,
,、、、 是成比例线段.
知识点4 比例的基本性质
例4-1 已知,,,是四条线段的长度,,,均不为0 .求证：
(1)如果或,那么 ;
证明：等式两边同时乘，得 ，
.
(2)如果，那么 .
证明：等式两边同时除以，得， .
归纳：比例的基本性质：如果，那么_________，如果 ，那
么______或___________.
例4-2 ［华师9上P50例2(1)］已知 ，求证：
.
证明：，， .
练4-1 若 ，则下列等式成立的是( )
B
A. B. C. D.
练4-2 ［华师9上 P50 例2(2)］已知，求证： .
证明：，，等式两边同减去，得 ,
， .
由，且，知 ，
从而，且，上式两边同除以 ，得
.
深挖拓展
例5 已知,求 的值.
解：,,, ,
,
.当时， .当
时，，则 .
的值是2或 .
课堂小测
1.下列各组中的四条线段成比例的是( )
C
A.2,6,4,8 B.4,6,5,10 C.2,4,3,6 D.2,3,4,1
2.在比例尺为的平面地图上，、两地的距离是 ，则
、 两地的实际距离是( )
D
A. B. C. D.
3.已知 ，下列等式错误的是( )
D
A. B. C. D.
4.已知，则 的值是__.(共14张PPT)
第23章 图形的相似
23.3 相似三角形
2.相似三角形的判定
第1课时 相似三角形的判定定理1
学习目标 探索并掌握相似三角形的判定定理1，运用判定定理1证明
三角形相似.
新课学习
知识点 两角分别相等的两个三角形相似
例1 已知：如图，在和中， ,
.求证： .
证明：在边上截取 ,过点
作的平行线交于点 ,
则 .
, .
归纳：相似三角形的判定定理1：两角分别______的两个三角形相似.
相等
在与 中,
,, ,
， .
练1 ［华师9上P66例2］如图，在和
中，与都是直角， .求证：
.
证明： ,
,
(两角分别相等的两个三角形相似).
例2 ［华师9上P66例3］如图，在中， ,
.求证： .
证明： ,
, .
， ，
，
(两角分别相等的两个三角形相似).
练2 ［华师9上P67T2改编］如图， 为直角三
角形， ，于点 .
(1)找出图中所有的相似三角形，并说明理由；
解：,,.理由如下： 在
中，
，，
， ，
，， ,
,
, .
(2)求证： .
证明：,, .
深挖拓展
例3 如图，在中，是 的平分
线，的垂直平分线交于点,交 的延
长线于点.求证： .
证明：是 的平分线，
垂直平分 ，
， .
， ,
.又, .
课堂小测
1.下列结论中，不正确的是( )
C
A.有一个角为 的两个等腰三角形相似
B.有一个角为 的两个等腰三角形相似
C.有一个角为 的两个等腰三角形相似
D.有一个角为 的两个等腰三角形相似
(第2题)
2.如图， ，则图中有___对相似
三角形，分别是______________________________
____________________________________________
____________________________________________
_______________.
6
，
，，
，，
(第3题)
3.如图，在四边形中， ，
，，，连结 ，
过点作，垂足为，则 的长为____.
20
4.如图，在矩形中，是的中点， ，垂
足为 .
(1)求证： ；
证明： 四边形 是矩形，
， ，
．
，
， ，
．
(2)若，，求 的长.
解：是的中点，， .
， ，
．
四边形是矩形， ．
， ．
．(共15张PPT)
第23章 图形的相似
23.3 相似三角形
2.相似三角形的判定
第3课时 相似三角形的判定定理3
学习目标 探索并掌握相似三角形的判定定理3，运用判定定理3证明
三角形相似.
新课学习
知识点 三边成比例的两个三角形相似
例1 如图，在和中， ，求证：
.
证明：在线段上截取 ，
过点作，交于点 ，
, .
又， ，
， .
同理可得， ,
.
归纳：三边成比例的两个三角形相似.
练1 如图，在的正方形网格中，和 的顶点都在边长为
1的小正方形的格点上.与 是否相似？证明你的结论.
解：相似.
证明如下：由题知 ,
,,,, ,
, ,
，即 .
.
例2 ［华师9上P70例5］在和中， ，
，，， ，
.试证明与 相似.
证明：，， ，
， .
练2 如图，某地四个乡镇建有公路，已知
，， ，
，，公路与 平
行吗？说出你的理由.
解：公路与
平行.
理由：，， ，
, ,
, .
课堂小测
1.如图所示，网格中相似的两个三角
形是( )
B
A.①与② B.①与③
C.③与④ D.②与③
2.根据下列条件，可以判定与 相似的条件有( )
， ， ；
，，， ， ，
；
，，， ，
， ；
与都是有一个角为 的等腰三角形.
C
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3.如图，在与中，，，， ，
则当____，____时， .
16
24
4.如图，,求证： .
证明：， ,
,
，即 .
5.如图，已知是内一点，,,分别是，， 的中点.求
证： .
证明：，，分别是，， 的中点，
，， ，
.
又, ,
,
, ,
,
,, ,
,即 ,
.(共15张PPT)
第23章 图形的相似
23.2 相似图形
学习目 标 1.探索相似多边形的性质，运用相似多边形的性质解题.
2.掌握相似多边形的判定方法.
新课学习
知识点1 相似多边形的定义及性质
例1-1 如图，已知四边形 和四边形
是相似图形，仔细观察两个图形，
通过度量、计算回答下列问题：
解：度量、计算略.
(1)它们的对应边之间存在什么关系？
它们的对应边成比例.
(2)它们的对应角之间存在什么关系？
它们的对应角相等.
归纳：1.相似多边形的性质：相似多边形的对应边________，对应角
______.
2.相似多边形的定义：两个边数相同的多边形，如果各边____________，
各角__________，就称这两个多边形相似.
成比例
相等
对应成比例
对应相等
练1-1 如图，已知五边形与五边形相似，点， ，
，，的对应点分别为点，，，，，且 ，则
下列结论正确的有____.(填序号)
； ；
①
③ .
例1-2 ［华师9上P59例题］在如图所示的两个相似四边形中，求边 的长
度和角 的大小.
解： 两个四边形相似，, .
根据对应角相等,可得 .
练1-2 已知四边形与四边形相似，并且点与点、点 与
点、点与点、点与点分别是对应点.已知， ，
，， ，求，的长和 的度数.
解： 四边形与四边形相似， ，
,
即,, .
知识点2 相似多边形的判定
例2 ［华师9上P59思考改编］两个三角形一定是相似图形吗？两个等腰
三角形呢？两个等边三角形呢？两个直角三角形呢？所有的矩形都相似
吗？所有的正方形呢？
解：两个三角形不一定是相似图形.两个等腰三角形不一定是相似图形.两
个等边三角形一定是相似图形.两个直角三角形不一定是相似图形.所有的
矩形不一定都相似.所有的正方形一定相似.
归纳：相似多边形的定义也是判定两个多边形相似的依据.
练2 两个矩形的边长如图所示.求证：矩形与矩形 相似.
证明： 四边形,四边形 均是矩形，
,
, ,
，
，， .
.
又 两个矩形的所有内角均为 ,
矩形与矩形 相似.
深挖拓展
例3 如图所示，一般书本的纸张是由原纸张多次对
开(对折)得到的，矩形沿 对开后，再把矩
形沿 对开，依次类推，若各种开本的矩
形都相似，求 的值.
解：设，，则， ，由相
似图形的性质，得，即，解得或
(不符合题意，舍去)，则 ．
课堂小测
1.下列说法正确的是( )
C
A.所有的菱形都相似 B.面积相等的两个三角形相似
C.所有的正六边形都相似 D.周长相等的两个矩形
2.一个六边形的六边长分别为3，4，5，6，7，8，另一个与它相似的六
边形的最短边长为6，则其周长为____.
66
3.如图，四边形与四边形 相似,求
， 的大小和 的长度.
解： 两个四边形相似，
， ， ,
.
4.一块长、宽 的矩形黑板如图所示，镶在其外围的木质边框宽
度为 ，边框的内外边缘所成的矩形相似吗？请说明理由.
解：不相似.
理由： 矩形中，， ,
镶在其外围的木质边框宽度为
，
, ,
,.， 矩形
与矩形 不相似.

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