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习题20.1
人教·八年级数学下册
勾股定理
20
复习巩固
1. 设直角三角形的两条直角边长分别为 a 和 b，斜边长为 c.
（1）已知 a = 12，b = 5，求 c；
（2）已知 a = 3，c = 4，求 b；
（3）已知 c = 10，b = 9，求 a.
解：由勾股定理：
；
；
.
2. 如图，一根直立于地面的木杆在离地面 3 m 处折断，
木杆顶端落在离木杆底端 4 m 处. 木杆折断之前有多高？
解：如图，根据题意△ABC 是直角三角形，其中直角边 AC = 3 m，BC = 4 m.
根据勾股定理，AB2 = AC2 + BC2 = 32 + 42 = 25，
∴AB = 5 m.
∴AC + AB = 3 + 5 = 8（m）
∴木杆折断之前有 8 m 高.
A
B
C
3. 如图，一个圆锥的高 AO = 2.4，底面半径 OB = 0.7 .
AB 的长是多少？
解：圆锥的高 AO、半径 OB、母线 AB 构成直角三角形.
在 Rt△AOB 中，根据勾股定理，
AB2 = AO2 + OB2 = 2.42 + 0.72 = 6.25，
∴AB = 2.5. ∴AB 的长为 2.5.
4. 一个含两小圆孔的长方形零件尺寸（单位：mm）如图所示，
求两孔中心的距离（结果保留小数点后一位）.
解：由图可知：AC = 40－21 = 19（mm），BC = 60－21 = 39（mm）
在 Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，
根据勾股定理，
AB2 = AC2 + BC2 = 192 + 392 = 1882，
∴ AB ≈ 43.4mm，
∴两孔中心的距离约为 43.4 mm.
5. 如图，要从电线杆离地面 5 m 处向地面拉一条长为 7 m 的钢缆.
求地面上钢缆的固定点 A 到电线杆底部点 B 的距离（结果保留
小数点后一位）.
解：由勾股定理，AB2 = 72－52 = 24，
∴ AB ≈ 4.9 m，
∴ 地面上钢缆的固定点 A 到电线杆底部点 B 的距离约为 4.9 m.
6. 在数轴上画出表示 的点.
=
O
1
2
3
4
OA = 4，AB = 2.
综合运用
7. 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AB = c.
（1）如果 ∠ A = 30°，求 BC，AC；
解:（1）在△ABC 中，∠C = 90°，AB = c，∠A = 30°，
因此 BC = AB = c.
由勾股定理，AC2 = AB2－BC2 = c2－c2 = c2，
∴ AC = c.
（2）如果∠ A = 45°，求 BC，AC.
7. 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AB = c.
综合运用
（2）在△ABC 中，∠C = 90°，AB = c，∠A = 45°，
因此 AC = BC.
由勾股定理，AC2 + BC2 = AB2，即 2AC2 = c2，
∴ AC2 = ，
∴ AC = BC = c.
8. 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = 2.1，BC = 2.8. 求：
（1）△ABC 的面积； （2）斜边 AB； （3）高 CD.
A
C
B
解：（1）△ABC 的面积
S = AC · BC = ×2.1×2.8 = 2.94.
（2）由勾股定理，
=
（3）根据题意有 S = AB · CD，即 ×3.5 CD = 2.94，
∴ CD = 1.68 .
D
9. 如图，一处台阶的高 h = 15 cm，为了行走方便，准备在台阶
处修建一个水泥坡道. 如果所修坡道的坡度 为 ，那么所修
坡道的长度 l 为多少（结果保留小数点后两位）？
解：由题意，得 = .
∵ h = 15 cm，∴d = 12h = 12×15 = 180（cm）.
由勾股定理，
=
答：所修坡道的长度 l 约为 180.62 cm.
10. 如图，有一个水池，水面是一个边长为 10 尺的正方形，
在水池正中央有一根芦苇，它高出水面 1 尺. 如果把这根
芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面.
水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？
解：设水的深度为 x 尺，则这根芦苇的长度为 (x + 1) 尺.
根据题意和勾股定理可列方程 x2 + 52 =(x + 1)2.
解得 x = 12.
∴水的深度为 12 尺，这根芦苇的长度为 13 尺.
10 尺
5 尺
1 尺
11. 如图，一张三角形纸片 ABC，∠C = 90°，AC = 8 cm，BC = 6 cm.
将纸片沿直线 DE 折叠，使点 A 与 B 重合，求 CD 的长.
解：由折叠知，BD = AD.
设 CD = x cm，则 BD = AD = AC－CD = (8－x) cm.
在 Rt△BCD 中，由勾股定理，CD2 + BC2 = BD2，
即 x2 + 62 = (8－x)2，解得 x = . ∴CD 的长为 cm.
12. 甲、乙两个三角形工件的尺寸（单位：mm）
如图所示，分别求它们的高 h1，h2 .
解：如图甲. ∵AC = BC，CM ⊥ AB，
∴AM = AB = 10 mm.
在 Rt△AMC 中，由勾股定理，
=
∴ h1 = 24 mm.
如图乙.设 DN = x mm，
则 EN = DE－DN = (21－x) mm.
在 Rt△DFN 和 Rt△EFN 中，由勾股定理，
DF2－DN2 = FN2 = EF2－EN2，
即 132－x2 = 202－(21－x)2，
解得 x = 5. ∴h2 = 5 mm.
12. 甲、乙两个三角形工件的尺寸（单位：mm）
如图所示，分别求它们的高 h1，h2 .
拓广探索
13. 如图，分别以等腰直角三角形 ABC 的边 AB，AC，BC 为直径
画半圆. 求证：所得两个月牙形图案 AGCE 和 BHCF 的面积之
和（图中阴影部分）等于 Rt△ABC 的面积.
分析：由图可知，阴影部分的面积
为 S半圆AEC + S半圆CFB + S△ABC－ S半圆ACB，
即可求出阴影部分的面积，
再求出 Rt△ABC 的面积，即可得证.
13. 如图，分别以等腰直角三角形 ABC 的边 AB，AC，BC 为直径
画半圆. 求证：所得两个月牙形图案 AGCE 和 BHCF 的面积之
和（图中阴影部分）等于 Rt△ABC 的面积.
拓广探索
证明：∵△ABC 为等腰直角三角形，
∴设 AC = BC = x，
=
故两个小半圆的半径为 ，
半圆 ACB 的半径为 x，SRt△ABC = x2 .
13. 如图，分别以等腰直角三角形 ABC 的边 AB，AC，BC 为直径
画半圆. 求证：所得两个月牙形图案 AGCE 和 BHCF 的面积之
和（图中阴影部分）等于 Rt△ABC 的面积.
拓广探索
观察图形可知：
S半圆AEC + S半圆CFB + S△ABC－S半圆ACB
即为阴影部分面积，
=
∴图中阴影部分面积等于 Rt△ABC 的面积.
14. 如图，△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形，CA = CB，
CE = CD，△ACB 的顶点 A 在△ECD 的斜边 DE 上.
求证：AE2 + AD2 = 2AC2．（提示：连接 BD.）
分析：连接 BD，
证明△AEC≌△BDC，
再根据勾股定理即可得证.
14. 如图，△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形，CA = CB，
CE = CD，△ACB 的顶点 A 在△ECD 的斜边 DE 上.
求证：AE2 + AD2 = 2AC2．（提示：连接 BD.）
证明：如图，连接 BD.
∵△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形，
∴CE = CD，∠E = ∠ADC = 45°，AC = BC，∠ECD = ∠ACB = 90°，
即∠ECA + ∠ACD = ∠ACD + ∠DCB，
∴∠ECA = ∠DCB .
在△AEC 和 △BDC 中
CE = CD，
∠ECA = ∠DCB，
CA = CB，
∴△AEC ≌△BDC（SAS）.
∴AE = BD，∠BDC = ∠E = 45°，
∴∠ADB =∠ADC + ∠BDC = 90°.
根据勾股定理，AC2 + BC2 = AB2，
BD2 + AD2 = AB2，
∴AE2 + AD2 = BD2 + AD2 = AB2 = AC2 + BC2 = 2AC2 .
课后作业
见本课对应课时作业。

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