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验证勾股定理
人教·八年级数学下册
勾股定理
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新课导入
对于直角三角形的三条边，它们之间有什么特殊关系呢？
直角三角形作为一种特殊的三角形，它的三个角满足其中一个角是直角、其余两个角互余.
A
B
C
a
b
c
探索新知
在《周髀算经》的开篇，商高（约公元前 11 世纪）构造了一个勾、股、弦分别为三、四、五的直角三角形，并指出“两矩共长二十有五”，意指分别以勾、股为边的正方形的面积之和，恰好等于以弦为边的正方形的面积.
商高所指的面积关系可以用图形表示. 如图，红色直角三角形的三边长分别为 3，4，5，分别以这
三边为边向外作正方形.
3
4
5
所得正方形的面积分别为
____，____，____.
9
16
25
面积之间的数量关系是:
9 + 16 = 25
这个直角三角形的三边满足：
两条直角边长的平方和等于斜边长的平方.
其他直角三角形的三边是否也满足上述数量关系？
如图，每个小方格的面积均为 1，图中正方形 A1，B1，C1 的面积之间有什么关系？A2，B2，C2 呢？A3，B3，C3 呢？
C1，C2，C3 的面积你会求吗？
以直角三角形斜边为边的正方形的面积，等于某个正方形的面积减去 4 个直角三角形的面积.
转化思想（补形法）
以格点为顶点，在方格纸中任意画一个直角三角形，类似地作出三个正方形，这三个正方形的面积有什么关系？由此，你能得出关于直角三角形三边关系的猜想吗？
可以发现，以直角三角形两条直角边为边的正方形的面积之和，等于以斜边为边的正方形的面积. 由此我们猜想：
如果直角三角形的两条直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，
那么 a2 + b2 = c2 .
B
A
C
b
a
c
证明这个猜想的方法有很多，下面介绍我国古代数学家赵爽（约3世纪）的证法.
a
b
c
黄实
朱实
朱实
朱实
这个图案是赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．
赵爽根据此图指出，四个全等的直角三角形（红色）可以围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形（黄色）.
赵爽拼图证明法
a
b
c
b
a
b
c
a2 + b2
左边：
c2
右边：
a2 + b2 = c2
a
证法 1:
赵爽拼图证明法
a
b
c
b－a
证法 2:
= c2，
= (b－a)2，
= 4S三角形 + S小正方形，
c2 = 4×ab + (b－a)2 = a2 + b2.
这样就证明了前面的猜想. 它表明了直角三角形三边之间的关系，我国把它称为勾股定理.
赵爽通过对图形的分割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，这种方法是我国古代数学家常用的“出入相补法”.“赵爽弦图”体现了我国古人的聪明才智和对数学的钻研精神，是我国古代数学的骄傲.
2002年在北京召开的国际数学家大会的会标，就是以此图为原型设计的.
例 1
如图，根据所给条件分别求两个直角三角形中未知边的长.
A
C
B
8
6
①
解：在Rt△ABC 中，根据勾股定理，
AB2 = AC2 + BC2 = 82 + 62 = 100，
所以 AB = 10.
已知两直角边长，求斜边长.
例 1
如图，根据所给条件分别求两个直角三角形中未知边的长.
17
15
D
E
F
②
已知斜边长与一直角边长，求另一直角边长.
在 Rt△DEF 中，根据勾股定理，DE2 + EF2 = DF2，
从而 DE2 = DF2－EF2
= 172－152 = 64，
所以 DE = 8.
练 习
1. 设直角三角形的两条直角边长分别为 a 和 b，斜边长为 c.
（1）已知 a = 6，c = 10，求 b；
（2）已知 a = 5，b = 12，求 c；
（3）已知 b = 15，c = 25，求 a.
c2 = a2 + b2
变式 1: a2 = c2－b2
变式 2: b2 = c2－a2
解: 由勾股定理:（1）
=；
=；
=.
2. 如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形
都是正方形. 已知正方形 A，B，C，D 的边长分别
是 12，16，9，12，求最大正方形 E 的面积.
=
=
=
解：根据图形，
最大正方形 E 的面积为122 + 162 + 92 + 122 = 625.
3. 如图，在平面直角坐标系中有两点 A（5，0）和
B（0，4）. 求这两点间的距离.
解：由图可知，A，B 两点间的距离为
=
课堂小结
这节课有什么收获呢？
如果直角三角形的两条直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，
那么 a2 + b2 = c2 .
B
A
C
b
a
c
勾股定理
变式 1: a2 = c2－b2
变式 2: b2 = c2－a2
课后作业
见本课对应课时作业。

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