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勾股定理的应用
人教·八年级数学下册
勾股定理
20
这节课我们就来学习用勾股定理解决实际问题.
新课导入
波平如镜一湖面，3 尺高处出红莲.
亭亭多姿湖中立，突遭狂风吹一边.
离开原处 6 尺远，花贴湖面像睡莲.
请君动脑想一想，湖水在此深几尺？
探索新知
一个门框的尺寸如图所示，一块长 3 m，宽 2.2 m 的长方形薄木板能否从门框内通过？为什么？
例 2
分析：可以看出，木板横着或竖着都不能从门框内通过，只能试试斜着能否通过. 门框对角线 AC 的长度是木板斜着能通过的最大长度. 求出 AC，
再与木板的宽比较，就能知道木板能否通过.
木板厚度可忽略.
2.2 > 2
解：连接 AC，在 Rt△ABC 中，根据勾股定理，
因为 AC 大于木板的宽 2.2 m，所以木板能从门框内通过.
一个门框的尺寸如图所示，一块长 3 m，宽 2.2 m 的长方形薄木板能否从门框内通过？为什么？
例 2
探索新知
如图，一架长为 2.5 m 的梯子斜靠在竖直的墙上，此时梯子一边的顶端位于墙面的点 A 处，底端位于地面的点 B 处，点 B 到墙面的距离 BO 为 0.7 m. 如果将梯子底端沿 OB 向外移动 0.8 m，那么梯子顶端也沿墙 AO 下滑 0.8 m 吗？
例 3
AB = CD = 2.5 m
OB = 0.7 m
BD = 0.8 m
△AOB 和△COD 均为直角三角形，
两次运用勾股定理，即可求出 AC 的长.
解：当梯子底端沿 OB 向外移动 0.8 m 时，设梯子的底端由点 B 移动到点 D，顶端由点 A 下滑到点 C. 可以看出，AC = OA－OC.
在 Rt△AOB 中，根据勾股定理，
OA2 = AB2－OB2 = 2.52－0.72 = 5.76，
OA = 2.4.
在 Rt△COD 中，根据勾股定理，
OC2 = CD2－OD2 = 2.52－(0.7 + 0.8)2 = 4，
OC = 2.
所以，AC = OA－OC = 2.4－2 = 0.4.
因此，当梯子底端向外移动 0.8 m 时，梯子顶端并不是下滑 0.8 m，
而是下滑 0.4 m.
利用勾股定理解决实际问题的一般步骤：
实际问题
数学问题
勾股定理
直角三角形
转化
建构
利用
解决
将实际问题转化为数学问题，建立几何模型，画出图形，分析已知量、待定量，这是利用勾股定理解决实际问题的一般思路.
练 习
1. 如图，A，B 是池塘边上的两点，点 C 是与 BA 方向成直角
的方向上一点，测得 BC = 60 m，AC = 20 m. 求 A，B 两点
间的距离（结果取整数）.
解
2. 如图，用激光测距仪测量一栋楼的高度. 位于地面上
点 A 处的激光测距仪先将激光射向楼底端的点 B，
仪器显示 AB = 23.1 m；再将激光射向楼顶端的点 C，
仪器显示 AC = 31.9 m；最后仪器自动显示出楼高
BC = 22 m. 你能说出其中的数学道理吗？
解：根据勾股定理，
3. 电视机的屏幕尺寸是指其屏幕对角线的长度，通常以
英寸（1 英寸= 2.54 cm）为单位. 王芳测得自家电视机
的屏幕宽为 71 cm，高为 40 cm，这台电视机的屏幕尺
寸是多少英寸（结果取整数）？
解：根据题意知，屏幕对角线的长度为
答：这台电视机的屏幕尺寸是 32 英寸.
，
课堂小结
这节课有什么收获呢？
勾股定理的应用
两点间距离问题
梯子问题
课后作业
见本课对应课时作业。

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