资源简介

(共17张PPT)
勾股定理的逆定理
人教·八年级数学下册
勾股定理
20
新课导入
前面我们学习了勾股定理，同学们能说出它的题设和结论吗？
如果直角三角形的两条直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，
那么 a2 + b2 = c2 .
题设
结论
如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2 + b2 = c2 .
那么这么三角形是直角三角形.
题设和结论交换，还成立吗？
题设
结论
探索新知
据说，古埃及人曾用如图所示的方法画直角.
把一根长绳打上等距离的 13 个结，然后以 3 个结间距、4 个结间距、5 个结间距的长度为边长，用木桩将长绳钉成一个三角形，其中一个角便是直角.
这种做法真能得到一个直角三角形吗？
这个三角形三边有什么关系吗？
4
3
5
32 + 42 = 52
这个三角形是直角三角形.
满足两条边长的平方和等于第三条边长的平方的三角形都是直角三角形吗？
画一画，如果三角形的三边长分别为 2.5 cm，6 cm，6.5 cm，它们满足关系“2.52 + 62 = 6.52”，画出的三角形是直角三角形吗？换成三边长分别为 4 cm，7.5 cm，8.5 cm，再试一试.
2.5
6
6.5
4
7.5
8.5
如果三角形的三边长 a，b，c 满足a2 + b2 = c2，
那么这个三角形是直角三角形.
猜想
42 + 7.52 = 8.52
已知 △ABC 的三边长分别为 a，b，c，满足 a2 + b2 = c2 .
求证 △ABC 是直角三角形.
证明：作一个 Rt△A'B'C' ，使 B'C' = a，A'C’ = b，∠C' = 90°．
根据勾股定理，A'B' 2 = B'C' 2 + A'C' 2 = a2 + b2 .
因为 a2 + b2 = c2，所以 A'B' = c.
所以△ABC ≌ △A'B'C'（SSS）.
因此∠C = ∠C' = 90°，即△ABC 是直角三角形.
在△ABC 和△A'B'C'中，
BC = a = B'C' ，
AC = b = A'C' ，
AB = c = A'B' ，
A
C
B
b
a
c
A′
C′
B′
b
a
勾股定理的逆定理：
如果三角形的三边长 a，b，c 满足a2 + b2 = c2，
那么这个三角形是直角三角形.
A
C
B
b
a
c
它是判定直角三角形的一个依据.
勾股定理的逆定理与勾股定理的关系：
勾股定理 勾股定理的逆定理
条件
结论
关系 在 Rt△ABC 中，∠A，∠B，∠C 的
对边长分别为 a，b，c，∠C = 90°
在△ABC 中，∠A，∠B，∠C 的对边长分别为a，b，c，且 a2 + b2 = c2
a2 + b2 = c2
△ABC 为直角三角形，且 ∠C = 90°
A
C
B
b
a
c
a2 + b2 = c2
勾股定理
勾股定理的逆定理
判断由线段 a，b，c 组成的三角形是不是直角三角形：
例 1
（1）a = 8，b = 15，c = 17；
（2）a = 14，b = 13，c = 15.
分析：根据勾股定理及其逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要判断两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方.
判断由线段 a，b，c 组成的三角形是不是直角三角形：
例 1
（1）a = 8，b = 15，c = 17；
（2）a = 14，b = 13，c = 15.
解:（1）因为 82 + 152 = 64 + 225 = 289，
172 = 289，
所以 82 + 152 = 172 .
根据勾股定理的逆定理，由线段 a，b，c 组成的三角形是直角三角形.
像 8，15，17 这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数.
判断由线段 a，b，c 组成的三角形是不是直角三角形：
例 1
（1）a = 8，b = 15，c = 17；
（2）a = 14，b = 13，c = 15.
（2）因为 142 + 132 = 196 + 169 = 365，
152 = 225，
所以 142 + 132 ≠ 152.
根据勾股定理，由线段 ɑ，b，c 组成的三角形不是直角三角形.
利用勾股定理的逆定理判定直角三角形的步骤：
① 找：找三角形的最长边；
② 算：计算最长边的平方与另两边的平方和；
③ 判：若两者相等，则是直角三角形，否则不是.
练 习
1. 判断由线段 a，b，c 组成的三角形是不是直角三角形：
（1）a = 4，b = 5，c = 6；
（2）a = 2.5，b = 0.7，c = 2.4；
解:（1）∵a2 + b2 = 42 + 52 = 16 + 25 = 41，c2 = 62 = 36，
∴a2 + b2 ≠ c2，∴这个三角形不是直角三角形.
（2）∵c2 + b2 = 2.42 + 0.72 = 5.76 + 0.49 = 6.25，a2 = 2.52 = 6.25，
∴c2 + b2 = a2，∴这个三角形是直角三角形.
（3）a = ，b = ，c = ；
（4）a = 1 ，b = ，c =
∴a2 + b2 ≠ c2，∴这个三角形不是直角三角形.
∴a2 + b2 = c2，∴这个三角形是直角三角形.
2. 如图，以 △ABC 的三边为直径，分别作三个半圆，
三个半圆的面积分别为 S1，S2，S3. 若 S1 + S2 = S3，
判断△ABC 是不是直角三角形，并说明理由.
解：△ABC 是直角三角形.理由如下：
∵ S1 + S2 = S3，
∴AB2 + BC2 = AC2. ∴△ABC 是直角三角形.
课堂小结
这节课有什么收获呢？
勾股定理的逆定理：
如果三角形的三边长 a，b，c 满足a2 + b2 = c2，
那么这个三角形是直角三角形.
课后作业
见本课对应课时作业。

展开更多......

收起↑