资源简介

第七模块 图形的变化
五年考频统计
讲次 命题点 考频 讲次 命题点 考频
25.视图与投影 三视图 5年3考 2024.，2024.，2024. 27.图形的平移与旋转 利用平移的性质解决问题 5年2考 2024.，2024.
几何体的展开与折叠 5年2考 2025.，2024. 利用旋转的性质解决角度、长度、坐标的计算 5年6考 2025.，2024.，2024.，2024.，，2024.
26.尺规作图 根据尺规作图的痕迹计算 5年1考 2024.
尺规作图——直接作图 5年3考 2024.，2024.，2024.
28.轴对称与折叠 轴对称的性质 5年4考 2025.，2024.，2024.，2024.
尺规作图——间接作图 5年1考 2025.
模块体系构建
第25讲 视图与投影
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考点通关 直击考什么
考点1 几何体及其展开图
1.常见几何体的表面展开图
常见几何体 长方体 圆柱 圆锥 正三棱柱
其中一种表面展开图图示
2.正方体的表面展开图（颜色相同的为折成正方体时的相对面）
“ ”型
“ ”型
“ ”型
“ ”型
知识巧记
中间四个面，上、下各一面；
中间三个面，一、二隔河见；
中间没有面，三、三连一线；
中间两个面，楼梯天天见.
知识点睛
相间（中间隔一个小正方形）的两个小正方形是正方体的相对面，“”字两端的两个小正方形是正方体的相对面.
考点2 投影
1.平行投影的特征
（1）等高的物体垂直于地面放置时,同一时刻,同一地点,在太阳光下,它们的影子一样长.
（2）等长的物体平行于地面放置时,同一时刻,同一地点,在太阳光下,它们的影子一样长,且影长等于物体本身的长度.
（3）两个物体竖直放在地面上,两个物体及它们各自的影子及光线构成的两个直角三角形相似.
2.中心投影的特征
（1）等高的物体垂直于地面放置时,在灯光下,离点光源近的物体的影子短,离点光源远的物体的影子长.
（2）等长的物体平行于地面放置时,一般情况下,离点光源越近,影子越长,离点光源越远,影子越短,但影子的长度不会小于物体本身的长度.
考点3 三视图的概念与画法
视图 视图的画法
主视图 在正面内得到的由前向后观察物体的视图,叫作主视图 （1）画三视图时,三个视图要放在正确的位置,并且注意主视图与俯视图的长对正,主视图与左视图的高平齐,左视图与俯视图的宽相等. （2）主视图在左上方,它的正下方是俯视图,左视图在主视图的右边. （3）画图时，看得见的轮廓线画成①_ _ _ _ ，看不见的轮廓线画成②_ _ _ _
俯视图 在水平面内得到的由上向下观察物体的视图,叫作俯视图
左视图 在侧面内得到的由左向右观察物体的视图,叫作左视图
命题研究 聚焦怎么考
命题点1 三视图5年3考
1．[2024河南]信阳毛尖是中国十大名茶之一.如图是信阳毛尖茶叶的包装盒，它的主视图为（ ）
A． B．
C． D．
2．[2024河南]北宋时期的汝官窑天蓝釉刻花鹅颈瓶是河南博物院九大镇院之宝之一,具有极高的历史价值、文化价值.如图所示,关于它的三视图,下列说法正确的是（ ）
A．主视图与左视图相同 B．主视图与俯视图相同
C．左视图与俯视图相同 D．三种视图都相同
3．[2024河南]如图是由8个相同的小正方体组成的几何体,其主视图是（ ）
A． B．
C． D．
4．[T3变式][2024新乡一模] 如图是几个相同的小立方块所搭的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置上小立方块的个数，则这个几何体的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
5．[2024河南]如下摆放的几何体中,主视图与左视图有可能不同的是（ ）
A． B．
C． D．
6．[2024平顶山一模]如图所示的几何体，其俯视图大致为（ ）
A． B．
C． D．
命题点2 几何体的展开与折叠5年2考
7．[2025河南]数学活动课上,小颖绘制的某立体图形展开图如图所示,则该立体图形是（ ）
A． B． C． D．
8．[2024河南]2024年北京冬奥会的奖牌“同心”表达了“天地合·人心同”的中华文化内涵,将这六个汉字分别写在某正方体的表面上,如图是它的一种展开图,则在原正方体中,与“地”字所在面相对的面上的汉字是（ ）
A．合 B．同 C．心 D．人
9．[T8变式][2025河南] 某正方体的每个面上都有一个汉字,如图是它的一种展开图,那么在原正方体中,与“国”字所在面相对的面上的汉字是（ ）
A．厉 B．害 C．了 D．我
10．[T8变式][2024信阳一模] 如图是一个正方体的表面展开图，则原正方体中与“快”字所在的面相对的面上标的字是（ ）
A．我 B．运 C．动 D．乐
第26讲 尺规作图
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考点通关 直击考什么
考点 五种基本尺规作图
1.作一条线段等于已知线段（已知线段 ）
图示 步骤 作图原理 应用
1.作射线; 2.以点为圆心，线段的长为半径画弧，交于点,即为所求作的线段 圆上的点到圆心的距离等于半径 已知三边作
2.作一个角等于已知角（已知 ）
图示 步骤 作图原理 应用
1.以 的顶点为圆心，任意长为半径画弧，交 的两边于点,; 2.作射线; 3.以点为圆心，长为半径画弧，交于点; 4.以点为圆心，长为半径画弧，交第3步中所画的弧于点; 5.过点作射线,则即为所求作的角 三边分别相等的两个三角形全等，全等三角形的对应角相等 已知两边及夹角作
3.作已知角的平分线（已知 ）
图示 步骤 作图原理 应用
1.以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点,交于点; 2.分别以点,为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点; 3.作射线,射线即为所求作的角的平分线 三边分别相等的两个三角形全等，全等三角形的对应角相等 作三角形的内切圆
4.作已知线段的垂直平分线（已知线段 ）
图示 步骤 作图原理 应用
1.分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于,两点； 2.作直线,则直线即为所求作的垂直平分线 到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 已知底边长和底边上的高作等腰三角形
5.过一点作已知直线的垂线（已知点 和直线 ）
图示 步骤 作图原理 应用
点在直线上 1.以点为圆心，适当长为半径向点两侧作弧，交直线于点,; 2.分别以点,为圆心，大于的长为半径向直线两侧作弧，交于点,; 3.作直线,则直线即为所求作的垂线 到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 已知一直角边长和斜边长作直角三角形
点在直线外 1.任意取一点,使点和点在直线的两侧； 2.以点为圆心，长为半径作弧，交直线于点,; 3.分别以点,为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点; 4.作直线,则直线即为所求作的垂线
命题研究 聚焦怎么考
命题点1 根据尺规作图的痕迹计算5年1考
1．[2024河南]如图,在四边形中,, ,,,分别以点、为圆心,大于长为半径作弧,两弧交于点,作射线交于点,交于点.若点是的中点,则的长为（ ）
A． B．4 C．3 D．
2．[2025河南]如图,已知的顶点,,点在轴正半轴上.按以下步骤作图:①以点为圆心,适当长度为半径作弧,分别交边,于点,;②分别以点,为圆心,大于的长为半径作弧,两弧在内交于点;③作射线,交边于点.则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
3．[2024南阳二模]如图，在中， ， ，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，直线交于点，连接.则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．[2024濮阳二模]如图，直线,点、分别在、上，以点为圆心，适当长为半径画弧，交、于点、.分别以、为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点.作射线交于点.若 ,则（ ）
A． B． C． D．
5．[2024山东德州]已知,点为上一点，用尺规作图，过点作的平行线.下列作图痕迹不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．[2024河南]下面是某数学兴趣小组探究用不同方法作一个角的平分线的讨论片段,请仔细阅读,并完成相应的任务.
小明:如图1,（1）分别在射线,上截取,（点,不重合）;（2）分别作线段,的垂直平分线,,交点为,垂足分别为点,;（3）作射线.射线即为的平分线. 图1 简述理由如下: 由作图知, ,,,所以,则,即射线是的平分线. 小军:我认为小明的作图方法很有创意,但是太麻烦了,可以改进如下,如图2,（1）分别在射线,上截取,（点,不重合）;（2）连接,,交点为;（3）作射线.射线即为的平分线. …… 图2
任务:
（1） 小明得出的依据是_ _ _ _ （填序号）.
（2） 小军作图得到的射线是的平分线吗 请判断并说明理由.
（3） 如图3,已知 ,点,分别在射线,上,且,点,分别为射线,上的动点，且,连接,,交点为,当 时,直接写出线段的长.
图3
命题点2 尺规作图——基本作图5年3考
7．[2024河南]如图，在中，是斜边上的中线，交的延长线于点.
（1） 请用无刻度的直尺和圆规作,使,且射线交于点（保留作图痕迹，不写作法）；
（2） 证明（1）中得到的四边形是菱形.
8．[2024广西]如图，在中， ,.
（1） 尺规作图：作线段的垂直平分线,分别交,于点,;（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母）
（2） 在（1）所作的图中，连接,若,求的长.
命题点3 尺规作图——间接作图5年1考
2025.19新增考查
9．[2025河南]如图,四边形是平行四边形,以为直径的圆交于点.
（1） 请用无刻度的直尺和圆规作出圆心（保留作图痕迹,不写作法）；
（2） 若点是的中点,连接,.求证:四边形是平行四边形.
10．[变式][2024江苏无锡] 如图，在中，.
（1） 尺规作图：作的平分线，在角的平分线上确定点,使得.（不写作法，保留痕迹）
（2） 在（1）的条件下，若 ,,,则的长是多少 （请直接写出的值）
11．[2024福建]拓展练 如图，已知直线.
（1） 在,所在的平面内求作直线,使得,且与间的距离恰好等于与间的距离；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2） 在（1）的条件下，若与间的距离为2,点,,分别在,,上，且为等腰直角三角形，求的面积.
第27讲 图形的平移与旋转
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考点通关 直击考什么
考点1 图形的平移
1.定义：在平面内,将某个图形沿某个方向（平移的方向是任意的，不限于水平）移动一定的距离（对应点所连线段的长度即平移距离）,这样的图形运动称为平移.
2．性质
（1） 平移后,对应线段①_ _ _ _ 且②_ _ _ _ （或在同一直线上）,对应点所连的线段③_ _ _ _ （或在同一直线上）且相等.
（2） 平移后,对应角④_ _ _ _ 且对应角的两边分别平行（或在同一直线上）.
（3） 平移不改变图形的形状和大小,只改变图形的位置,平移后新、旧两图形⑤_ _ _ _ .
3.示例：如图，四边形平移到四边形的位置，则
（1）对应线段相等.如,.
（2）对应线段平行且相等，对应点所连线段平行且相等.
（3）对应角相等，如.
考点2 图形的旋转
1．中心对称图形与中心对称
名称 中心对称图形 中心对称
概念 把一个图形绕某个点旋转⑥_ _ _ _ _ _ _ _ ，如果旋转后的图形能与原来的图形重合,那么这个图形叫作中心对称图形，这个点叫作它的对称中心 把一个图形绕着某一点旋转 ，如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这个点对称或成中心对称，这个点叫作它们的对称中心,旋转前后对应的点叫作对称点
图形
区别 一个图形 两个图形
性质 经过对称中心的任意一条直线将该图形分为面积相等的两部分 （1）关于某点成中心对称的两个图形（全等的两个图形不一定中心对称）全等； （2）对应点所连线段经过对称中心，且被对称中心平分； （3）对应线段平行（或者在同一条直线上）且相等
2.图形的旋转
（1）定义：在平面内,将一个图形绕一个定点按某个方向旋转一定的角度,这样的图形运动称为旋转.这个定点称为旋转中心（旋转中心可以在图形内，也可以在图形外）,转动的角称为旋转角.
（2）图形旋转的三要素：旋转中心，旋转方向，旋转角.
3．性质
（1）对应点到旋转中心的距离⑦_ _ _ _ .
（2）任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角.
（3）对应线段⑧_ _ _ _ ，对应角⑨_ _ _ _ .
（4）旋转不改变图形的形状和大小，只改变位置.
4.示例
如图，旋转到的位置，若 ，则
（1）旋转中心是点,旋转角是 .
（2）点的对应点是点，点的对应点是点.
（3）线段的对应线段是，,.
（4）的对应角是， .
夯基综合练
1．[人教九上P69习题变式] 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，将沿方向平移得到.若，且阴影部分与的面积之比为，则平移距离为 （ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．[北师八下P89复习题变式] 如图，在中， ， ，将绕点顺时针旋转得到，点恰好落在上，则旋转角为（ ）
A． B． C． D．
命题研究 聚焦怎么考
命题点1 利用平移的性质解决问题 5年2考
要点命题点1
在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同，平移中点的坐标变化规律是横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减.
1．[2024河南]如图,在中, ,边在轴上,顶点,的坐标分别为和.将正方形沿轴向右平移,当点落在边上时,点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．[T1变式] [2024湖北黄石] 如图，已知点,，若将线段平移至，其中点,，则的值为（ ）
A． B． C．1 D．3
3．[T1变式][2024郑州一模] 如图，与均为等腰直角三角形，点,,在同一直线上，,垂足为点,点在上，,.将沿方向平移，当这两个三角形重叠部分的面积等于面积的一半时，平移的距离为_ _ _ _ _ _ _ _ .
易错
当点 移动至与点 重合时也满足题意，容易忽视此种情况导致漏解.
命题点2 利用旋转的性质解决角度、长度、坐标的计算 5年6考
题型命题点2
因为旋转前后的两个图形的大小、形状未发生变化，所以解决旋转问题时要注意以下几点：
（1）找准旋转中的“变”与“不变”；
（2）找准旋转前后的“对应关系”；
（3）充分挖掘旋转过程中线段之间的关系.
4．[2024新乡一模]在中， ，，，过点作直线，将绕点顺时针旋转到如图所示的位置，此时点的对应点恰好落在直线上，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．[2024驻马店一模]如图,已知中, , ,将绕点逆时针旋转 得到,以下结论:；；；.正确的有（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
6．[2024周口郸城一模]如图,在平面直角坐标系中,为等腰三角形,,点到轴的距离为4.若将绕点逆时针旋转得到,当点恰好落在轴正半轴上时,点的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
考法
图形旋转变换求解坐标问题，重点是利用旋转的性质，明确旋转前后的角和线段的数量关系，结合三角形全等、相似的性质求线段长.
7．[拓展练][2024北京] 如图，在菱形中， ,为对角线的交点.将菱形绕点逆时针旋转 得到菱形,两个菱形的公共点为,,,.对八边形给出下面四个结论：
①该八边形各边长都相等；
②该八边形各内角都相等；
③点到该八边形各顶点的距离都相等；
④点到该八边形各边所在直线的距离都相等.
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
8．如图,在矩形中,,,将矩形绕点旋转,点、、的对应点分别为、、,当落在边的延长线上时,边与边的延长线交于点,连接,那么线段的长度为_ _ _ _ _ _ .
9．[2024河南]如图，在中， ，，点为的中点，点在上，且，将绕点在平面内旋转，点的对应点为点，连接，.当 时，的长为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
易错
因为，所以 点的轨迹是以 为圆心，1为半径的圆. ，应分 在 上和 在 的延长线上两种情况.
第28讲 轴对称与折叠
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考点通关 直击考什么
考点 图形的轴对称
1．轴对称和轴对称图形
名称 轴对称 轴对称图形
定义 把一个图形沿着某一条直线翻折过去,如果它能与另一个图形重合,那么称这两个图形成轴对称.两个图形中的对应点（两个图形重合时互相重合的点）叫作对称点 如果一个图形沿某条直线对折,对折的两部分是完全重合的,那么就称这样的图形为轴对称图形,这条直线称为对称轴.对称轴一定为直线
图形
区别 （1）两个图形成轴对称是指两个图形的位置关系,必须涉及两个图形. （2）只有一条对称轴 （1）轴对称图形是一个具有特殊形状的图形,只对一个图形而言. （2）对称轴不一定只有一条
轴对称的性质 （1）关于某条直线对称的两个图形①_ _ _ _ . （2）如果两个图形关于某直线对称,那么对称轴是任何一对对应点所连线段的②_ _ _ _ _ _ _ _ . （3）两个图形关于某直线对称,如果它们的对应线段或对应线段的延长线相交,那么交点在③_ _ _ _ _ _ 上
2．图形的折叠
（1）本质：几何图形折叠的本质是轴对称.
（2）性质
①折叠前后两部分图形关于折痕所在直线成轴对称，即折痕所在直线是对称轴，折痕可看作垂直平分线、角平分线.
②折叠前后的两部分图形全等，对应边、角、线段、周长、面积都分别④ _ _ _ _ .
③折叠前后对应点的连线被对称轴⑤ _ _ _ _ _ _ _ _ .
3.示例
在矩形中，将沿折叠得到,则对应边，对应角相等，如,,，；
与关于直线成轴对称，连接，直线垂直平分，即，；
直线平分与.
夯基综合练
1．[北师七下P116随堂练习变式] 下列图形中，属于轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，在中， ，点在边上，将沿折叠，使点恰好落在边上的点处.若 ，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在中，沿过点的直线折叠这个三角形，使得点落在边上的点处，折痕为，若和的周长分别是20和6，则的长是_ _ _ _ .
命题研究 聚焦怎么考
命题点 轴对称的性质5年4考
考法 命题点
（1）几何图形折叠的本质是轴对称，折叠前后两部分图形关于折痕所在直线成轴对称，即折痕所在直线为对称轴，折痕可以看作垂直平分线、角平分线.
（2）折叠前后两部分图形满足轴对称的性质（即全等性与对称性）.
1．[2024江西]跨学科 如图，平面镜放置在水平地面上，墙面于点，一束光线照射到镜面上，反射光线为，点在上，若 ，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．[2025河南]如图,在菱形中, ,,点在边上,连接,将沿折叠,若点落在延长线上的点处,则的长为（ ）
A．2 B． C． D．
3．[变式][2024开封二模] 如图，点在矩形的边上，将沿翻折，点恰好落在边上的点处，若，，则的长为（ ）
A．9 B．12 C．15 D．16
4．[变式][2024焦作一模] 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点的坐标为,为的中点，是上一动点，将四边形沿折叠，使点落在处，点落在处，当线段的延长线恰好经过的中点时，点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
5．[2024洛阳一模]如图，在平面直角坐标系中，点，轴于点，将沿翻折得到，连接并延长交轴于点，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
6．[2024郑州模拟]如图，在矩形中，，，点是的中点，连接，将沿折叠，点落在点处，连接，则_ _ _ _ _ _ .
7．[2024新乡四校一模]如图，在矩形中，，，点在边上，连接，将沿折叠，当点的对应点落在矩形的对角线上时，的长为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
要点 、、、
矩形的折叠
类型1：沿矩形对角线折叠
已知：在矩形 中，沿对角线 折叠，点 的对应点为.
结论;
结论2：折痕 垂直平分;
结论 是等腰三角形.
类型2：沿过矩形一个顶点的直线折叠
已知：在矩形 中，为 上一点，沿 折叠，点 的对应点为,点 的对应点为.
在矩形内.
结论;
结论2:折痕 垂直平分.
在矩形边上.
结论;
结论2:折痕 垂直平分;
结论（一线三垂直）.
在矩形外.
结论;
结论2:折痕 垂直平分;
结论.
,在矩形外.
结论1:四边形 四边形;
结论2:折痕 垂直平分;
结论 是等腰三角形.
基础微专题11 利用对称性解决线段和最值问题
典题精练 聚焦怎么考
类型 两点一线型
异侧两点求线段和的最小值
已知:两定点,位于直线 异侧,在直线 上找一点,使 的值最小.
思路:连接 交直线 于点,此时 的值最小,最小值为 的长.
原理：两点之间，线段最短.
同侧两点求线段和的最小值
已知:两定点,位于直线 同侧,在直线 上找一点,使 的值最小.
思路:作点 关于直线 的对称点,连接,交直线 于点,此时 的值最小,最小值为 的长.
原理：两点之间，线段最短；轴对称性质.
1．如图，在中， ， ，，点在边上，，点为斜边上一动点，连接，，则周长的最小值为_ _ _ _ _ _ ．
2．[变式][2024洛阳涧西一模] 如图，在菱形中，对角线，相交于点，且，，点，分别是线段，上的两个动点，连接，，则的最小值为_ _ _ _ _ _ _ _ .
3．[2024山东德州]如图，在四边形中， ，，，，点在上，且，为边上的两个动点，且．当四边形的周长最小时，的长为_ _ _ _ _ _ ．
4．[2024山东烟台节选] 如图，抛物线与轴交于,两点，与轴交于点,,,对称轴为直线.将抛物线绕点旋转 后得到新抛物线，抛物线与轴交于点，顶点为，对称轴为直线.
（1） 分别求抛物线和的表达式；
（2） 如图，点的坐标为,动点在直线上，过点作轴与直线交于点，连接，，求的最小值.
第七模块 图形的变化
第25讲 视图与投影
考点通关 直击考什么
考点3 三视图的概念与画法
实线； 虚线
命题研究 聚焦怎么考
命题点1 三视图5年3考
1．A 2．A 3．A 4．B 5．D 6．B
命题点2 几何体的展开与折叠5年2考
7．D 8．D 9．D 10．C
第26讲 尺规作图
命题研究 聚焦怎么考
命题点1 根据尺规作图的痕迹计算5年1考
1．A
2．A
[解析]设与轴交于点.
在中，，
轴，，
，
，，
，
由作图知平分，
，
，
，
， 点的坐标为.
3．C
4．B
5．B
6． 解：（1） ⑤
（2）是.理由如下：
由作图可知，，，
又，
，
.
连接.
，，
，.
又，
，
,
即射线是的平分线.
（3） 2或.
命题点2 尺规作图——基本作图5年3考
7． 解：（1） 如图.
（2） 证明：由（1），得.
.
，
四边形是平行四边形.
是斜边上的中线，
.
是菱形.
8． 解：（1）如图．
（2） 如图.
为线段的垂直平分线，
， ，
，
为等腰直角三角形，
.
命题点3 尺规作图——间接作图5年1考
9． 解：（1） 如图所示，点即为圆心.
（2） 证明： 四边形是平行四边形,
,.
点是的中点,.
,.
四边形是平行四边形.
10．解：（1）如图,射线和点即为所求．
（2） .
详解：过点作交于点，过点作交的延长线于点，连接，，
则 ，
又 ，
四边形为矩形，
是的平分线，
，
四边形为正方形，
，
设，
则,，
在中，，
在中，，
，，
，解得．
．
11． 解：（1）如图，直线即为所求作的直线．
（2） ①当 ,时，
，直线与间的距离为2，且与间的距离等于与间的距离，根据图形的对称性可知，，
．
②当 ,时，
分别过点,作直线的垂线，垂足为,，
。
，直线与间的距离为2，且与间的距离等于与间的距离，
,．
, ，,
,．
在中，由勾股定理得，．
．
③当 ,时，同理可得，．
综上，的面积为1或．
第27讲 图形的平移与旋转
考点通关 直击考什么
考点1 图形的平移
相等； 平行； 平行；相等；全等
考点2 图形的旋转
； 相等； 相等； 相等
夯基综合练
1．A 2．A 3．B
命题研究 聚焦怎么考
命题点1 利用平移的性质解决问题 5年2考
1．B 2．B
3．或5
命题点2 利用旋转的性质解决角度、长度、坐标的计算 5年6考
4．A 5．B 6．A
7．B
8．
9．或
[解析] ,，，
点为的中点，且 ，是的垂直平分线，经过点，，由旋转得,如图，当点在内部时,记为，，由勾股定理得；当点在外部时，记为，，由勾股定理得.
的长为或.
第28讲 轴对称与折叠
考点通关 直击考什么
考点 图形的轴对称
全等； 垂直平分线； 对称轴；相等； 垂直平分
夯基综合练
1．D 2．C
3．7
命题研究 聚焦怎么考
命题点 轴对称的性质5年4考
1．C
2．D
[解析]由折叠的性质可知， ，，
在菱形中， ,，
，，
，
，
，
，
.
3．C
4．A
5．C
6．
7．或
[解析]分两种情况：①如图，当点在上时，
由勾股定理得，，
由折叠可得，， ，
，
由 ，，
可得，
，即，.
②如图，当点在上时，
由折叠得，，可得垂直平分，
，，
又 ，
，
，即，
，.
综上所述，的长为或.
基础微专题11 利用对称性解决线段和最值问题
典题精练 聚焦怎么考
类型 两点一线型
1．
[解析]作点关于的对称点，连接，交于点，当、、三点共线时，的周长最小，连接，过点作于，如图，
由轴对称的性质可得， ，
，
是等边三角形，
，，，，
根据勾股定理可得，
周长的最小值为.
2．
[解析]在上取一点，使，连接，，过点作于点，如图，
四边形是菱形，
点与点关于直线对称，
，
，
的最小值为的长，
四边形是菱形，，，
，，，
由勾股定理，得，
，
，解得，
的最小值为.
3．
[解析] ，，
，，
，
在中，由勾股定理，得.
，
四边形的周长，
要使四边形的周长最小，只要的值最小即可.
过点作交于点，延长到，使，连接，，交于点，如图，
则垂直平分，，
，，
四边形是平行四边形，
，，
，
即的值最小时，，
，，
由勾股定理，得，
，
，即，
解得，
即四边形的周长最小时，的长为.
4．解：（1），
.
（2） 当时，，
，易得抛物线的对称轴为直线，
.
如图，在轴上取点，则.
作点关于直线的对称点，
则.
连接，与直线交于点，
此时的值最小，最小值为的值.
.
的最小值为.

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