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第六模块 圆
五年考频统计
讲次 命题点 考频 讲次 命题点 考频
22.圆的相关概念与性质 垂径定理及其推论 5年1考 2025. 24.与圆有关的计算 阴影部分面积的计算 5年5考 2025.，2024.，2024.，2024.，2024.
与圆心角、圆周角有关的计算 5年3考 2024.，2024.，2024.
圆内接四边形
23.与圆有关的位置关系 切线的判定与性质 5年5考 2025.，2024.，2024.，2024.，2024. 与弧长有关的计算 5年1考 2024.
阴影部分周长的计算
模块体系构建
第22讲 圆的相关概念与性质
目标领航 构建知识网
考点通关 直击考什么
考点1 圆的相关概念与性质
1．圆的相关概念
圆（易错警示：圆是一条封闭的曲线，不是面）的定义 （1）动态定义：在一个平面内，线段绕它固定的端点旋转一周，端点所形成的图形叫作圆（点是圆心；线段是半径）. （2）静态定义：圆是平面上所有到定点的距离等于定长（线段的长）的点的集合
弦 连接圆上任意两点的线段叫作弦（如线段），经过圆心的弦叫作直径（线段），①_ _ _ _ 是圆中最长的弦
弧
圆心角 顶点在②_ _ _ _ 的角（如）
圆周角（易错警示：顶点在圆上的角不一定都是圆周角（如不是圆周角）） 顶点在③_ _ _ _ ，并且两边都与圆相交的角（如）
相关概念 同心圆：圆心相同，半径不同的圆； 等圆：能够互相重合的两个圆（或多个圆）； 等弧：在同圆或等圆中，能够完全重合的弧（易错警示：弧是图形，它包含两个要素：（1）长度；（2）角度.因而长度相等的弧不一定是等弧）
2．圆的性质
轴对称性：圆是轴对称图形，经过④_ _ _ _ 的任意一条直线都是它的对称轴.
中心对称性：圆是中心对称图形，⑤_ _ _ _ 是它的对称中心.
旋转不变性：一个圆绕着它的圆心旋转任意角度都与原图形重合.
考点2 垂径定理及其推论
定理 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧（易错警示：在图中，一条非直径的弧对应两条弧，一条是优弧，另一条是劣弧） （数学语言：是直径，，,,）
推论 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
拓展 根据圆的对称性，有以下5条结论：；；；（不是直径）；是直径.已知其中任意两个即可推出另外三个，即“知二推三”
考点3 弦、弧、圆心角之间的关系
定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等 （数学语言：在中，，,）
推论 （1）在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等，即“知一推二”（数学语言：在中，）. （2）弧的度数等于它所对的圆心角的度数
考点4 圆周角定理及其推论
定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的⑥_ _ _ _ （数学语言：在中，）
推论 （1）同弧或等弧所对的圆周角相等. （2）半圆（或直径）所对的圆周角是⑦_ _ _ _ . 的圆周角所对的弦是⑧_ _ _ _
拓展 在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等（易错警示：教材中没有给出此性质，在解答题中需写出完整的证明过程）
考点5 圆内接四边形
定义 一个四边形的四个顶点都在同一个圆上（易错警示：四个顶点必须在圆上，而不是在圆的内部），这个四边形叫作这个圆的内接四边形，这个圆叫作四边形的外接圆
定理 圆内接四边形的对角⑨_ _ _ _ （数学语言：在中，）
拓展 圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（易错警示：教材中没有给出此性质，在解答题中需写出完成的证明过程）
考点6 三角形的外接圆
1.确定圆的条件：经过不在同一条直线上的三个点确定一个圆.
2.三角形的外接圆
夯基综合练
[北师九下P83习题变式] 如图，是的外接圆，是的直径，点、在上，且位于的异侧，连接交于点，连接，，.
（1） _ _ _ _ .
（2） 若,，，则点到的距离为_ _ _ _ .
（3） 若点是的中点， ，则_ _ _ _ ；所对的圆心角的度数为_ _ _ _ _ _ _ _ .
（4） 若 ，则_ _ _ _ .
命题研究 聚焦怎么考
命题点1 垂径定理及其推论 5年1考
题型命题点1
利用垂径定理进行弦长的相关计算时，常需作圆心到弦的垂线段，垂足为弦的中点，再利用半径、弦心距和弦长的一半，结合勾股定理求解.
考情命题点1
河南中招近几年对于圆的考查，更注重与生活实际的联系，常结合生活情景设题，体现了新课标要求：用数学的眼光看世界，用数学的方法解决实际问题.
1．[2024湖北宜昌]如图，，，都是的半径，，交于点.若，，则的长为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
2．[变式] 《九章算术》是中国传统数学的重要著作之一，其中第九卷“勾股”中记载了一个“圆材埋壁”问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小.以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用数学语言表达为：如图，是的直径，弦于点，寸，寸（1尺寸），则直径的长为_ _ _ _ 寸.
3．[2024湖南湘潭]问题情境：筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（如图①）.假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都按逆时针做匀速圆周运动，每旋转一周用时120秒.
问题设置：把筒车抽象为一个半径为的.如图②，始终垂直于水平面，设筒车半径为2米.当时，某盛水筒恰好位于水面处，此时 ，经过95秒，该盛水筒运动到点处.（参考数据：，）
问题解决：
图① 图②
（1） 求该盛水筒从处逆时针旋转到处时，的度数；
（2） 求该盛水筒旋转至处时，它到水面的距离.（结果精确到0.1米）
命题点2 与圆心角、圆周角有关的计算 5年3考
题型命题点2
在圆的计算与证明中，我们可以运用圆周角定理及其推论，将较分散的角集中到一起，进而求解.
4．[2024河南]如图,点,,在上，若 ,则的度数为 （ ）
A． B． C． D．
5．[T4变式][2024焦作二模] 如图，以量角器的直径为斜边画直角三角形,量角器上点对应的读数是 ,则的度数为 （ ）
A． B． C． D．
6．[2024四川宜宾]如图，已知点，，在上，为的中点.若 ，则等于（ ）
A． B． C． D．
7．[2024江苏常州]如图，是的直径，是的内接三角形.若，，则的直径_ _ _ _ _ _ .
8．[2024陕西]如图，是的弦，连接,,是所对的圆周角，则与的度数的和是_ _ _ _ _ _ .
9．[2024安徽]如图，是的外接圆，是直径上一点，的平分线交于点,交于另一点,.
（1） 求证：;
（2） 设,垂足为,若,求的长.
命题点3 圆内接四边形
要点命题点3
（1）任意一个三角形一定有一个外接圆，但任意一个四边形不一定有外接圆.
（2）四边形的外接圆圆心到这个四边形的各个顶点的距离相等且等于外接圆的半径；反过来，如果四边形各个顶点到某一点的距离相等，那么这个四边形的四个顶点在同一个圆上（四点共圆）.
10．[北师九下P83随堂练习变式] 如图，四边形是的内接四边形，是的直径，，则的度数是_ _ _ _ .
11．[2024湖北武汉]如图，四边形内接于, , ,,则的半径是（ ）
A． B． C． D．
第23讲 与圆有关的位置关系
目标领航 构建知识网
考点通关 直击考什么
考点1 点、直线与圆的位置关系
点与圆 直线与圆（直线与圆的位置关系的判断方法：①根据公共点的个数判断；②根据d与r的大小关系判断）
图示 （点到圆心的距离记为）
位置关系 点在圆外 点在圆上 点在圆内 相离 相切 相交
与的关系
公共点的个数 —— 0 1 2
考点2 切线的性质与判定
定义 直线与圆有唯一公共点时，直线与圆相切，这条直线叫作圆的切线
性质 圆的切线垂直于①_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ （数学语言：与相切于点，）
判定 经过半径的外端并且②_ _ _ _ 于这条半径的直线是圆的切线（数学语言：是的半径，，是的切线）
考点3 切线长与切线长定理
定义 经过圆外一点作圆的切线，这点与切点之间的线段的长，叫作这点到圆的切线长（如图，线段，的长度就是点到的切线长）
定理 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长③_ _ _ _ ，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角
考点4 三角形的内切圆
定义 与三角形各边都相切的圆叫作三角形的内切圆
内心 内切圆的圆心叫作三角形的内心，即三角形三个内角的④_ _ _ _ _ _ 的交点，三角形的内心到三角形的三边距离⑤_ _ _ _
半径 （1）两直角边长为，，斜边长为，则其内切圆的半径（利用切线长定理可得）. （2）三边的边长为，，，面积为，则其内切圆的半径（利用等面积法可得）
夯基综合练
1．点到上的点的最小距离为2，最大距离为10，则的半径为_ _ _ _ .
2．已知点，若以点为圆心，3个单位长度为半径作圆，则与轴的位置关系为_ _ _ _ .
3．如图，，是的切线，切点分别为，，点在弧上，过点的切线分别交，于点，.若，则的周长是_ _ _ _ .
4．[人教九上P100练习变式] 若的周长为24，面积为24，则它的内切圆的半径为_ _ _ _ .
命题研究 聚焦怎么考
命题点 切线的判定与性质5年5考
题型命题点
运用切线的性质来进行计算或论证的常见辅助线作法是连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形，一方面可以求相关角的大小，另一方面可以利用勾股定理求线段的长.
1．[2024河南]如图,与相切于点,交于点,点在上,且.若,,则的长为_ _ _ _ _ _ .
2．[2024北京]如图，是的半径，是的弦，于点，是的切线，交的延长线于点.若 ，，则线段的长为_ _ _ _ .
3．[2024重庆B卷]如图，为的直径，直线与相切于点，连接，若 ，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．[2024河南]为弘扬民族传统体育文化，某校将传统游戏“滚铁环”列入了校运动会的比赛项目.滚铁环器材由铁环和推杆组成.小明对滚铁环的启动阶段进行了研究，如图，滚铁环时，铁环与水平地面相切于点，推杆与铅垂线的夹角为，点，，，，在同一平面内.当推杆与铁环相切于点时，手上的力量通过切点传递到铁环上，会有较好的启动效果.
（1） 求证： ；
（2） 实践中发现，切点只有在铁环上一定区域内时，才能保证铁环平稳启动，图中点是该区域内最低位置，此时点距地面的距离最小，测得，已知铁环的半径为，推杆的长为，求此时的长.
5．[2024河南]在古代，智慧的劳动人民已经会使用“石磨”，其原理为在磨盘的边缘连接一个固定长度的“连杆”，推动“连杆”带动磨盘转动，将粮食磨碎，物理学上称这种动力传输工具为“曲柄连杆机构”.
小明受此启发设计了一个“双连杆机构”，设计图如图1，两个固定长度的“连杆”，的连接点在上，当点在上转动时，带动点，分别在射线，上滑动，.当与相切时，点恰好落在上，如图2.
图1 图2
请仅就图2的情形解答下列问题.
（1） 求证：；
（2） 若的半径为5，，求的长.
题型
解决此类题目的关键是作出合适的辅助线，圆内常见的辅助线作法如下：
（1）连接切点与圆心；
（2）将直径的两端与圆上某一点连线；
（3）过圆上某点作垂直于半径的线段.
请继续完成提升作业《分层精练册》P71—P73
基础微专题10 与圆（含隐圆）有关的最值问题
典题精练 聚焦怎么考
类型1 点圆最值
已知平面内一定点 和,点 是 上一动点,设点 与点 之间的距离为,的半径为.
位置关系 点 在 内 点 在 上 点 在 外
图示
的最大值
此时点 的位置 连接 并延长交 于点
的最小值 0
此时点 的位置 连接 并延长交 于点 点 与点 重合 连接 交 于点
【应用依据】直径是圆中最长的弦.
1．[2024浙江台州]如图,的圆心与正方形的中心重合,已知的半径和正方形的边长都为4,则圆上任意一点到正方形边上任意一点距离的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．
类型2 线圆最值
已知 及直线,的半径为,点 为 上一动点,圆心 与直线 之间的距离为.
位置关系 直线与 相离 直线与 相切 直线与 相交
图示
点 到直线 距离的最大值
此时点 的位置 过点 作直线 的垂线段，其反向延长线与 的交点即为点
点 到直线 距离的最小值 0 0
此时点 的位置 过点 作直线 的垂线，与 的交点即为点 直线 与 的公共点即为点
2．如图,等边三角形的边长为4，的半径为，为边上一动点,过点作的切线,切点为,则的最小值为_ _ _ _ .
类型3 定点定长作圆
在平面内，点 为定点，点 为动点，且 长度固定，则动点 的运动轨迹是以点 为圆心，长为半径的圆或圆的一部分.在折叠或旋转问题中，有时会利用“定点定长作圆”模型确定动点的运动轨迹.
3．如图，在菱形中， ，,将菱形绕点逆时针旋转，得到菱形,当点在的延长线上时，点运动的路径长为_ _ _ _ _ _ .
4．如图,在正方形外侧作直线,点关于直线的对称点为，连接，，其中交直线于点.若 ,则当,时,正方形的边长为（ ）
A． B．5 C． D．
5．[类型1+类型3] 如图，在边长为2的菱形中， ，是边的中点，是边上的一动点，将沿所在直线翻折得到，连接，则的最小值是_ _ _ _ _ _ .
6．[类型2+类型3] 如图，在中， ， ，,点从点出发沿方向运动，到达点时停止运动，连接,点关于直线的对称点为,连接,.在运动过程中，点到直线距离的最大值是_ _ _ _ _ _ _ _ .
7．[变式] 如图，在中， ，,,点在边上，并且,点为边上的动点，将沿直线翻折，点落在点处，则点到边距离的最小值是_ _ _ _ .
8．[变式][2024焦作二模] 如图，在中，，， ，正方形的边长为1，将正方形绕点旋转一周，为的中点，连接，则线段的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ．
9．[变式][2024山东烟台] 如图，在中， ,,,为边的中点，为边上的一动点，将沿翻折得,连接,,则面积的最小值为_ _ _ _ _ _ _ _ .
第24讲 与圆有关的计算
目标领航 构建知识网
考点通关 直击考什么
考点2 弧长、扇形面积的计算
扇形定义 由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫作扇形
弧长 ⑤_ _ _ _ _ _ _ _ _ _
扇形面积 ⑥_ _ _ _ _ _ _ _
考点3 圆锥的有关计算
底面周长、面积 、
侧面积 ⑦_ _ _ _ _ _ （用含、的式子表示）
全面积
母线长、半径、高、圆心角的关系 . （2）扇形展开图的弧长等于圆锥底面圆的周长，即
夯基综合练
1．[人教九上P106练习变式] 半径为的圆内接正方形的边长为_ _ _ _ _ _ ，面积为_ _ _ _ _ _ _ _ .
2．[人教九上P115习题变式] 已知扇形的半径为，圆心角为 ，则此扇形的弧长是_ _ _ _ _ _ ，面积是_ _ _ _ _ _ ;用此扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径为_ _ _ _ _ _ .
命题研究 聚焦怎么考
命题点1 阴影部分面积的计算 5年5考
类型1 直接公式法
1．[2024河南]如图，是边长为的等边三角形的外接圆，点是的中点，连接,.以点为圆心，的长为半径在内画弧，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
2．[T1变式][2024山东济南] 如图，正五边形的边长为2，以为圆心，以长为半径作弧，则阴影部分的面积为_ _ _ _ _ _ （结果保留）.
类型2 和差法
题型类型2
直接和差法
当所求的图形是一个不规则图形时，可将不规则图形的面积转化成多个规则图形面积的和或差，进行求解.
题型类型2
构造和差法
当所求的图形是一个不规则图形时，可添加辅助线将不规则图形的面积转化成多个规则图形面积的和或差，进行求解.
3．[2025河南]我国魏晋时期数学家刘徽在为《九章算术》作注时,创立了“割圆术”.如图是研究“割圆术”时的一个图形,所在圆的圆心为点,四边形为矩形,边与相切于点,连接, ,连接交于点.若,则图中阴影部分的面积为_ _ _ _ _ _ _ _ .
4．[2025河南]如图，在中， ,,将绕的中点逆时针旋转 得到，其中点的运动路径为，则图中阴影部分的面积为_ _ _ _ _ _ _ _ .
5．如图，矩形内接于，分别以，，，为直径向外作半圆.若，，则阴影部分的面积是_ _ _ _ .
6．[T4变式] 如图，中， ，.将绕着点顺时针旋转 到的位置，则边扫过区域（阴影部分）的面积为_ _ _ _ .
7．[变式] 如图，在平行四边形中，，， ，将平行四边形绕点逆时针旋转一定的角度，使点的对应点恰好落在边上，则边扫过的面积（图中阴影部分）是_ _ _ _ .
8．[2024郑州一模]如图，在扇形中，将弓形沿弦折叠，若 ，，则图中阴影部分的面积为_ _ _ _ _ _ _ _ .
类型3 等积转化法
题型类型3
直接求面积较复杂或无法计算时,可通过旋转、平移、割补等方法,对图形进行转化,为利用公式法或和差法创造条件,从而求解.
9．[2024四川广元]如图，半径为5的扇形中， ，是上一点，，，垂足分别为，，若，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，是的直径，弦， ，，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
11．[2024河南]如图，将扇形沿方向平移，使点移到的中点处，得到扇形.若 ，，则阴影部分的面积为_ _ _ _ _ _ _ _ .
12．[2024郑州一模]如图，在中， ，点在上，与，相切，切点分别为点，.若，则阴影部分的面积为_ _ _ _ .
命题点2 与弧长有关的计算 5年1考
13．[2024山西]中国高铁的飞速发展，已成为中国现代化建设的重要标志．如图是高铁线路在转向处所设计的圆曲线（即圆弧），高铁列车在转弯时的曲线起点为，曲线终点为，过点,的两条切线相交于点，列车在从到行驶的过程中转角 为 ．若圆曲线的半径，则这段圆曲线的长为（ ）
A． B． C． D．
14．[2024河南]如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点，，均在小正方形的顶点上，且点，在上，,则的长为_ _ _ _ _ _ .
命题点3 阴影部分周长的计算
15．[2024河南]如图，在扇形中， ，平分交于点，点为半径上一动点.若，则阴影部分周长的最小值为_ _ _ _ _ _ _ _ .
第六模块 圆
第22讲 圆的相关概念与性质
考点通关 直击考什么
考点1 圆的相关概念与性质
直径； 圆心； 圆上；圆心； 圆心
考点4 圆周角定理及其推论
一半； 直角； 直径
考点5 圆内接四边形
互补
夯基综合练
（1） 90
（2） 5
（3） 30；
（4） 125
命题研究 聚焦怎么考
命题点1 垂径定理及其推论 5年1考
1．B
2．26
3．解：（1） 旋转一周用时120秒，
每秒旋转 ，
经过95秒，该盛水筒运动到点处， ，
， .
（2） 如图，作于点，设与水平面交于点，
则，
在中， ，，
，，
在中， ，，，
.
答：该盛水筒旋转至处时，它到水面的距离约为0.3米.
命题点2 与圆心角、圆周角有关的计算 5年3考
4．D 5．C 6．A
7．
8．
9．解：（1）证明:因为,所以.
因为与都是所对的圆周角,所以.
因为,所以.
因为平分,所以.
因为是直径,所以 .
所以 ，
所以 ,即.
（2） 由（1）知,,所以.
因为,,所以,则，
所以圆的半径,则.
在中,,, ，
所以,即的长为.
命题点3 圆内接四边形
10．120
11．A
第23讲 与圆有关的位置关系
考点通关 直击考什么
考点2 切线的性质与判定
过切点的半径； 垂直
考点3 切线长与切线长定理
相等
考点4 三角形的内切圆
平分线； 相等
夯基综合练
1．4或6
2．相离
3．20
4．2
命题研究 聚焦怎么考
命题点 切线的判定与性质5年5考
1．
2．
3．B
4．解：（1） 证明：如图，过点作,交于点,交于点.
与相切于点,
.
, .
,
，
, .
为的切线， ，
，
，
.
（2） 如图，在中，
,,
.
由（1）知，,
.
在中，
,.
.
,.
易知四边形为矩形.
.
.
5．解：（1） 证明：如图，连接.
是的切线，
，
.
, ,
.
，.
.
.
（2）如图，过点作 直线，垂足为.
在中，，，
.，
，
设,则,.
，,,.
.
在中，.
基础微专题10 与圆（含隐圆）有关的最值问题
典题精练 聚焦怎么考
类型1 点圆最值
1．D
类型2 线圆最值
2．3
类型3 定点定长作圆
3．
4．D
[解析]如图，连接，,,
则,, 点，,在同一个圆上，且点为该圆圆心， ， ， ，则,,即正方形的边长为.
5．
6．
[解析]过点作于点,
在中， ，
,,
,
,
在中， ，
，,
,
点关于直线的对称点为,
,
点在以为圆心，长为半径的圆弧上运动，
过点作交的延长线于点,延长，交圆弧于点,
在中， ，
.
.
当位于点的位置时，点到直线的距离最大，最大值为.
7．1.2
8．
[解析]如图所示，连接，
四边形是边长为1的正方形，为的中点，
，， ，
在中，由勾股定理得，
在正方形绕点旋转一周的过程中，点在以点为圆心，为半径的圆上运动，
当点在线段上时，的值最小，此时点与点重合，当点在线段上时，的值最大，此时点与点重合，在中，，， ，，
，，.
9．
[解析]由翻折得，
是的中点，
，
即点的运动轨迹是以点为圆心，以长为半径的圆弧.
如图，过点作于点，过点作交的延长线于点，交圆于，则，此时到边的距离最小，最小值为的长，易知此时的面积最小.
在中， ，
，
，
，
易知,
,,
的面积为.
故面积的最小值为.
第24讲 与圆有关的计算
考点通关 直击考什么
考点1 正多边形与圆的相关概念
； ； ；
考点2 弧长、扇形面积的计算
；
考点3 圆锥的有关计算
夯基综合练
1．；
2．； ；
命题研究 聚焦怎么考
命题点1 阴影部分面积的计算 5年5考
类型1 直接公式法
1．C
2．
类型2 和差法
3．
4．
5．20
6．
7．
[解析]如图，连接，，过点作交的延长线于，过作于，
， ，
，
，
，
由旋转得，
四边形为平行四边形，
，
，，，
四边形为平行四边形，
，
，
，
由旋转得，
，
．
8．
[解析]作交的延长线于，
， ，
，
，
，
扇形的面积 ， 弓形的面积，
由题意知弓形的面积弓形的面积，
阴影部分的面积弓形的面积．
类型3 等积转化法
9．B 10．D
11．
[解析]如图，设与交于点，连接.
由平移可知，即，所以.在中，易知，所以 ，所以.易得 ，所以.
12．
命题点2 与弧长有关的计算 5年1考
13．B
14．
命题点3 阴影部分周长的计算
15．
[解析]如图，作点关于的对称点，连接交于点，连接，，
则.当点位于时，取最小值，为的长， ，平分, ， , , 在中，，即的最小值为，又的长为, 阴影部分周长的最小值为.

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