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2025-2026学年河北省保定市四县六校高三（上）期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1.已知集合 = {0,1,2}， = { ∈ |0 < < 4}，则 ∪ =( )
A. {1,2} B. {0,1,2,3} C. {0,1,2,3,4} D. { |0 ≤ < 4}
|3 4 |
2.已知复数 = ，则 =( )
2
A. 1 + 2 B. 1 2 C. 2 + D. 2
3.已知向量 = (1,1), = (√ 3, 1)，则向量 在 上的投影向量为( )
3+√ 3 √ 3+1 √ 3+1
A. ( , ) B.
2 2 2
√ 3+1 √ 3+1
C. D.
4 4
4.已知某圆柱的高为2√ 3，底面半径为1，且其上、下底面圆周均在以 为球心的球面上，则球 的表面积
为( )
A. 4 B. 8 C. 16 D. 24
5.已知函数 ( )的定义域为 ， (1 + ) = (3 )，且 ( )在[2,+∞)上单调递减，则不等式 (2 3) >
(3)的解集是( )
A. ( ∞, 3) B. ( ∞,2) C. (3,+∞) D. (2,3)
6.已知点 ( 1,1)， (3,3)，线段 为⊙ 的一条直径.设过点 (2, 1)且与⊙ 相切的两条直线的斜率分
别为 1， 2，则 1 + 2 =( )
3 2 2 3
A. B. C. D.
2 3 3 2
7.已知一条直线与抛物线 2 = 2 ( > 0)交于 ， 两点，过坐标原点 引 的垂线 ，垂足 的坐标为
(2,1)， = 5，则 =( )
1 1
A. B. C. 1 D. 2
2 4
8.从点 (1, )可向曲线 = 3引三条不同切线，则 的取值范围为( )
A. 1 < < 0 B. 0 < < 1 C. 1 < < 2 D. 2 < < 3
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
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A. 若随机变量 服从正态分布 (3, 2)，且 ( ≤ 4) = 0.7，则 (3 < < 4) = 0.2
B. 一组数据10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的第60百分位数为14
C. 若线性相关系数| |越接近1，则两个变量的线性相关性越强

D. 对具有线性相关关系的变量 ， ，其线性回归方程为 = 0.3 ，若样本点的中心为( , 2.8)，则实
数 的值是 4
1
10.设函数 ( ) = 2 √ 3 ( > 0)，则下列结论正确的是( )
2

A. ∈ (0,1)， ( )在[ , ]上单调递减
6 4
B. 若 = 1且| ( 1) ( 2)| = 2，则| 1 2| =
5 4
C. 若| ( )| = 1在[0, ]上有且仅有2个不同的解，则 的取值范围为[ , )
6 3

D. 存在 ∈ (1,2)，使得 ( )的图象向右平移 个单位长度后得到的函数为奇函数
6
2 2
11.已知双曲线 ： 2 2 = 1( > 0, > 0)的左、右焦点分别为 1， 2，过点 2的直线 与 在第一、四象
7
限的交点分别为 ， ，与 轴的交点为 ，| 2| = | 2| = | 4 1 2|，则( )
3√ 5
A. 直线 2的斜率为 B. 的离心率为2 2
3√ 5
C. 到 上最近点的距离为 D. | 2|：| 2| = 11：3 2
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.( + )( )6的展开式中 3 4的系数是______. (用数字作答)
13.函数 ( ) = lg(2 ) lg(5 ) 2 5的最小值为______．
4
14.已知△ 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，其内切圆半径 = 1, = ，则边长 的最小值为
5
______．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
1
已知数列{ }的前 项和为 2 ，满足 1 = ， = ． 2
(1)求数列{ }的通项公式；
1
(2)若 = +1，且数列{ }的前 项和为 ，求证： < ． 2
16.(本小题15分)
无人驾驶技术是汽车研发领域的一个重要方向.某学校技术俱乐部研发了一个感知路况障碍的小汽车模型，
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该模型通过三个传感器共同判断路段是否有路障.在对该模型进行测试中，该俱乐部同学寻找了80个不同的
路段作为测试样本，数据如下表：
测试 传感器1 传感器2 传感器3
结果真实
有障碍 无障碍 无法识别 有障碍 无障碍 无法识别 有障碍 无障碍 无法识别
路况
无障碍 4 15 1 1 15 4 8 12 0
有障碍 40 10 10 45 5 10 45 10 5
假设用频率估计概率，且三个传感器对路况的判断相互独立．
(1)从这80个路段中随机抽取一个路段，求传感器1对该路况判断正确的概率；
(2)从这80个路段中随机抽取一个有障碍的路段进行测试，设 为传感器1和传感器2判断正确的总路段数，
求 的分布列和数学期望；
(3)现有一辆小汽车同时装载了以上3种传感器.在通过某路段时，只要3个传感器中一个判断有障碍或无法
识别，则小汽车减速.那么是否可以通过提高传感器3的判断正确率，使得小汽车在无障碍的道路上减速的
1
概率小于 ？(结论不要求证明)
2
17.(本小题15分)
如图，点 为正方形 所在平面外一点， 为 中点， = (0 < < 1)．
(1)求证： //平面 ；
(2)若平面 ⊥平面 ， = = 2， ⊥ ．
2
( )当 = 时，求证： ⊥平面 ；
3
√ 6
( )当二面角 的正弦值为 时，求 的值．
9
18.(本小题17分)
2 2 √ 2
椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)的左、右焦点分别为 1， 2，离心率为 ；点 ， 为椭圆 上的两个不同 4
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动点，△ 1 2面积的最大值为√ 7．
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)设直线 1的斜率为 1，直线 1的斜率为 2．
( )若 ， 在 轴上方，且 1 + 2 = 0，求证：直线 过定点；
( )点 ， 在运动过程中，是否存在某些位置使得 1 ⊥ 1且 2 ⊥ 2？若存在，求出此时点 的坐
标；若不存在，请说明理由．
19.(本小题17分)
1 已知函数 ( ) = 和 ( ) = + 1．

(1)若 = 1，证明：对 ≥ 1， ( ) ≥ ( )．
(2)若函数 ( )和 ( )各有两个零点，求实数 的取值范围；
(3)若一个函数有且仅有两个零点，则称这两个零点的算术平均数为该函数的“完美点”.设 和 分别为
( )和 ( )的“完美点”，比较 与 的大小，并说明理由．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 5
1
13.
4
2+2√ 10
14.
3
15. (1)当 ≥ 2时，由 2 = ，可得( 1)
2 1 = 1，
两式相减可得 2 ( 1)
2 1 = 1 = ，
得( + 1) = ( 1) 1，
1 1 2 3 2 1则 = ， = ，…， = ， 2 = ，
1 +1 2 2 4 1 3
1
将以上 1个式子相乘得 = ( ≥ 2)． ( +1)
1
上式对 = 1仍成立，所以 = ． ( +1)
1 1 1
(2)证明： = +1 = = ， ( +1)( +2) +1 +2
1 1 1 1 1 1 1 1 1
可得 = ( ) + ( ) + + ( ) = < ． 2 3 3 4 +1 +2 2 +2 2
故命题得证．
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16. (1)80个路段中，传感器1判断正确的路段有40 + 15 = 55个，
55 11
所以所求概率为 = = ；
80 16
(2)80个路段中共有60个有障碍的路段，
60个有障碍的路段中，传感器1判断正确的路段有40个，错误的有60 40 = 20个，传感器2判断正确的路
段有45个，判断错误的路段有60 45 = 15个，
所以随机变量 的所有可能取值为0，1，2，
1 1 1 1 1 1 1 1
( = 0) = 20

15
1 1 1 1 1 5
= × = ， ( = 1) = 40 15 + 20 45 = + = ， ( = 2) = 40 45
2
= ×
160
1
60 3 4 12
1 1 1 1 1 160 60 60 60 6 4 12 60 60 3
3 1
= ，
4 2
故随机变量 的分布列为：
0 1 2
1 5 1

12 12 2
1 5 1 17
所以 ( ) = 0 × + 1 × + 2 × = ；
12 12 2 12
1
(3)可以通过提高传感器3的判断正确率，使得小汽车在无障碍的道路上减速的概率小于 ，理由如下：
2
共有20个无障碍地路段，传感器1判断无障碍的有15个，
15 3
由频率估计概率，故无障碍路段上，估计传感器1判断无障碍的概率为 = ，
20 4
传感2判断无障碍的有15个，由频率估计概率，
15 3
故无障碍路段上，估计传感器2判断无障碍的概率为 = ，
20 4
若传感器3在无障碍路段上，判断为无障碍的概率为1，
3 3 7 1
小汽车在无障碍的道路上减速的概率：1 × × 1 = < ，
4 4 16 2
1
故可以通过提高传感器3的判断正确率，使得小汽车在无障碍的道路上减速的概率小于 ．
2
17. (1)证明：连接 交 于点 ，连接 ，
因为四边形 是正方形，所以 为 中点，
又因为 为 中点，所以在△ 中，有 // ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 //平面 ；
(2)( )证明：因为平面 ⊥平面 ，平面 ∩平面 = ，
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四边形 为正方形， ⊥ ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ．
因为 平面 ，所以 ⊥ ．
又 = ， 为 中点，所以 ⊥ ，
又 ∩ = ，所以 ⊥平面 ，
又 平面 ，所以 ⊥ ，
又 = = 2， ⊥ ，所以 = 2√ 2，所以 = √ 2，
2√ 3
= √ 2 + 2 = 2√ 3， = ，
3
2√ 2 √ 6
又cos∠ = = = ，
2√ 3 3
由余弦定理可得：
2 = 2 + 2
4 2√ 3 √ 6 2
2 ∠ = + 2 2 × × √ 2 × = ，
3 3 3 3
所以 2 = 2 + 2，所以 ⊥ ，
又 ∩ = ，所以 ⊥平面 ；
( )因为 ⊥平面 ， ， 平面 ，
所以 ⊥ ， ⊥ ，
又因为 平面 ， 平面 ，
所以二面角 的平面角为∠ ，
√ 6
所以sin∠ = ，cos∠ = ±1 692 = ±539，
9
在 △ 中， = 2√ 3， = √ 2，所以 = √ 6，
√ 2 √ 3 √ 3
在 △ 中，cos∠ = = = ，所以cos∠ = ．
√ 6 3 3
√ 3
又因为0 < < 1，所以 ≤ cos∠ < 1，
3
5√ 3
所以cos∠ = (负值舍去)．
9
在△ 中，
2+ 2 2 12+6 2 2√ 2 1
cos∠ = = = ，sin∠ = ，
2 2×2√ 3×√ 6 3 3
在△ 中，
sin∠ = sin∠ + ∠
= sin∠ ∠ + cos∠ ∠
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1 5√ 3 2√ 2 √ 6 √ 3
= × + × = ，
3 9 3 9 3
又 = = 2√ 3 ，
√ 6 2√ 3 1
由正弦定理，得 = ，即 = ，解得 = ，
sin∠ sin∠ √ 3 √ 6 3
3 9
1
所以 的值 ．
3
18. √ 2 (1)由题意 = ，即 = 2√ 2 ，
4
1 √ 7
当 点位于短轴端点时，△ 1 2 面积的最大值，得： × 2 × = √ 7，即 = ， 2
又 2 = 2 + 2，
因此8 2
7
= + 2
1
2 ，即
2 = ，
2
解得： = 2√ 2, = 1, = √ 7，
2 2
故椭圆的标准方程为 + = 1；
8 7
(2)
( )证明：设直线 方程为： = + ， ( 1, 1)， ( 2, 2)，
7 2 + 8 2 = 56
由{ 得：(7 + 8 2) 2 + 16 + 8 2 56 = 0，
= +
16 8 2 56
= (16 )2 4(7 + 8 2)(8 2 56) > 0, 1 + 2 = 2 , 1 2 = 2 ，
7+8 7+8

因为 1 + 2 = 0，因此
1 + 2 = 0
， 1+1 2+1
即 1( 2 + 1) + 2( 1 + 1) = 0，
因此( 1 + )( 2 + 1) + ( 2 + )( 1 + 1) = 0，
整理得：2 1 2 + ( + )( 1 + 2) + 2 = 0，
8 2 56 16
代入韦达定理2 × 2 + ( + )( 2) + 2 = 0，
7+8 7+8
化简得： = 8
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因此直线 方程为： = + 8 ，恒过定点( 8,0)；
( )设 ( 0, 0)，显然 0 ≠ ±1，

0
0
则直线 1斜率为 +1，直线 2的斜率为0 0 1
，
因为 1 ⊥ 1， 2 ⊥ 2，
+1 1
因此直线 1斜率为
0 0
，直线 2的斜率为

0
，
0
0+1
因此直线 1的方程为： = ( + 1) ， 0
0 1
直线 2的方程为： = ( 1) ， 0
2 1 2 1
两方程联立解得： = 0, =
0 ，即 ( 00, )， 0 0
20 1因为点 在椭圆上，因此 = ± ，
00
即 20
2 2 2
0 = 1或 0 + 0 = 1，
2 2
又点 在椭圆上， 0 + 0 = 1，
8 7
2 20 + 0 = 1
联立{ 8 7 无解，
20 +
2
0 = 1
2 20 + 0 = 1
联立{ ，解得： 8√ 15 7√ 158 7 0 = ± , = ± ，
2 2 15
0 15
0 0 = 1
因此符合条件的点 得坐标为 8√ 15 7√ 15 8√ 15 7√ 15 8√ 15 7√ 15 8√ 15 7√ 15( , ), ( , ), ( , ), ( , )．
15 15 15 15 15 15 15 15
1
19. (1)证明：当 = 1时， ( ) ( ) = 1 + 1，

1 1 1 1
设 ( ) = 1 + 1， ′( ) = 1 1 + = 12 1 + 2 ，
当 ≥ 1时，设 ( ) = 1 ， ′( ) = 1 1 ≥ 0， ( )单调递增，
当 ≥ 1， ( ) ≥ (1) = 0 1 = 0，所以 1 ≥ ，
1 1 1
所以当 ≥ 1时， ′( ) = 1 1 + 2 ≥ 1 + 2 = ( 1)(1 2) ≥ 0, ( )单调递增，
所以 ( ) ≥ (1) = 0 1 1 1 + 1 = 0，所以 ≥ 1， ( ) ≥ ( )；
(2)由 ( ) = 0， ( ) = 0，得 = 1 ， = (1 )，
则 ( )， ( )的零点等价于 ( ) = 1 ， ( ) = (1 ) 的零点．
′( ) = (1 ) 1 ， ′( ) = ，
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∈ (1,+∞)， ′( ) < 0， ∈ ( ∞,1)， ′( ) > 0；
( )在(1,+∞)单调递减，在区间( ∞,1)单调递增，
故当 ∈ (1,+∞)时， < ( ) < 1 ，
当 ∈ ( ∞,1]时， ( ) ≤ (1) = 1 ，
< 0,
若 ( )有两个零点，则{ ，即0 < < 1．
1 > 0
∈ (1,+∞)， ′( ) < 0； ∈ (0,1)， ′( ) > 0；
函数 ( )在(1,+∞)单调递减，在区间(0,1)单调递增，
当 → 0时， ( ) < 0，且 ( ) = < 0，当0 < < 1时， (1) = 1 > 0，
故当0 < < 1时 ( )在区间(0,1)和(1, )各恰有一个零点．
综上 的取值范围是(0,1)．
(3)不妨设 ( )和 ( )的两个零点分别为 1， 2和 1， 2，
+ +
则 1 < 1 < 2， 1 < 1 < ，且 =
1 2
2 ， =
1 2．
2 2
( ) ( ) 1
设 ( ) = = 1
1 1
+ 1，则 ′( ) = 1 + = ，

设 ( ) = 1 1 ，则 ′( ) = ( 1) 1 ，
当 > 1时， ′( ) > 0， ( )单调递增，
当0 < < 1时， ′( ) < 0， ( )单调递减，
故 ( ) ≥ (1) = 0， ′( ) ≥ 0， ( )单调递增，
故当0 < < 1时， ( ) < (1) = 0，
即 ( ) < ( )，当 > 1时， ( ) > (1) = 0，即 ( ) > ( )．
故 F( 1) = ( 1) = 0 < ( 1)， 1 < 1 < 1，同理有1 < 2 < 2，
故 1 + 2 > 1 + 2，即 > ．
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