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2025-2026学年山东省聊城市临清市多校联合体高三（上）期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知平面向量和满足，且在上的投影向量为，则与的夹角为( )
A. B. C. D.
3.已知，，则( )
A. B. C. D.
4.已知函数的部分图象如图所示为图象与轴的一个交点，为图象的一个最高点，且，则的一个对称中心可以是( )
A. B. C. D.
5.等比数列中，和是方程的两根，则( )
A. B. C. D.
6.已知函数满足对任意实数都有，且当时，，则( )
A. B. C. D.
7.已知复数，在复平面上对应的点分别为，，且为复平面原点，若为虚数单位，向量绕原点逆时针方向旋转，且模伸长为原来的倍后与向量重合，则( )
A. 的虚部为 B. 对应的点在第二象限
C. D.
8.数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，如星形线等某星形线如图所示，已知该曲线上一点的坐标可以表示为，若，且，则( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数，下列说法正确的有( )
A. 在区间内的值域为
B. 函数的图象为中心对称图形
C. 过点且与图象相切的直线共有三条
D. 有三个零点
10.已知正实数，满足，则下列结论正确的有( )
A. B.
C. D.
11.已知中，，，，则下列结论正确的有( )
A. 平分 B. 的面积的最大值为
C. 内角可以为 D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量不共线，且向量与的方向相反，则实数的值为______．
13.已知可导函数的导函数为，若对于任意的，都有，且，则不等式的解集为______．
14.设，，是函数与函数的图象连续相邻的三个交点，若是钝角三角形，则的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，内角，，的对边分别为，，，且．
求的大小；
为边的中点，且，，求的长．
16.本小题分
已知函数的最小正周期为．
求的解析式并求其单调递减区间；
若方程在上有个不相等的实数根，求实数的取值范围．
17.本小题分
已知函数，其中．
当时，若直线是曲线的一条切线，求的值；
讨论的单调性；
18.本小题分
已知正项数列满足：，．
证明是等比数列，并求通项；
若，求数列的前项和的表达式．
19.本小题分
已知函数．
试判断在区间内零点的个数并说明理由；
若不等式对任意恒成立，求实数的取值集合；
证明：对任意都有不等式成立．
参考答案
1.【答案】
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9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15. 由正弦定理边化角可得：，
再利用三角形内角和可知：，
所以有，
整理得：，在三角形中，
所以有，
又因为，所以；
因为为边的中点，所以，
则，
所以．
16. 因为
，
所以的最小正周期，所以，
所以．
令，
所以可得单调减区间；
因为，则，
当时，，
若有个不相等的实数根，
则，解得，
则实数的取值范围为．
17. 当时，，
则，
当时，解得或舍，
则，可得切点，
代入切线方程得，
解得．
已知，
得；
当时，定义域为，
，
二次函数图象开口向上，且，
令，在必有解，
当时，，，在上单调递减，
当时，，，在上单调递增；
时，定义域为，则恒成立，在上单调递减，
综上所述：当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递减．
18. 证明：正项数列满足，
可得，
由，可得，
可得，即是公比为的等比数列；
由，可得，即有，则；
由，
则数列的前项和，
，
相减可得，
可得．
19. ，，
又，，函数在内单调递增，
又，，
由函数零点存在性定理知函数在内恰有一个零点．
设，则，
设，则，
当时，此时，，则，
当时，此时，，则，
显然对成立，在内单调递增，
若，则，必存在，使得时，，
则此时在内单调递增，从而有，与已知矛盾．
若，则，必存在，使得时，，此时在内单调递减，
从而有，与已知矛盾．
当时，，，
显然当，，，则，在内单调递减，
当时，，，则恒成立不恒为零，
则即在上单调递增，且，则在上恒成立，
在内单调递增，
，即，亦即对任意恒成立．
综上所述，实数的取值集合为．
证明：要证对任意都有，
只需证明，
由知，所以有，
即当且仅当时等号成立，所以只需证明，
即证，记，则，
当时，，当时，，
，即，
对任意都有当且仅当时等号成立．
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