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北京市工业大学附属中学2025-2026学年高二上学期期中
数学试卷
一、选择题：本大题共 10小题，共 50分。
1．已知直线 l 的方程为 y x 1，则直线 l 的倾斜角为（ ）
A．45 B．90 C．120 D．135
2．若直线 x y 1 0是圆 (x a)2 y2 1的一条对称轴，则a （ ）
1 1
A． B． C．1 D．-1
2 2
3．已知a 1,n, 2 ，b 2,4,m ，且a / /b，则m n （ ）
A． 2 B．2 C．4 D．6
4．圆C1 : x
2 y2 4与圆C2 : x
2 y2 6x 8 0的位置关系为（ ）
A．外离 B．相交 C．外切 D．内含
2 2
5．已知圆C : x 3 y 4 8，直线 l : mx y m 3 0，若直线 l 被圆C 截得的弦长的
最大值为a，最小值为b ，则a b （ ）
A．4 2 2 3 B．2 2 4 3 C．2 2 2 3 D．2 2 3
6．已知 v为直线 l 的方向向量，n 、n 分别为平面 、 的法向量（ 1 2 、 不重合），那么
下列说法中：
①n1∥n2 ∥ ； ②n1 n2 ；
③v∥n1 l∥ ； ④v n1 l
其中正确的有（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
7．已知 A 2,0 , B 2,0 ，动点M 与点 A 的距离是它与点 B 的距离的 2 倍，则△MAB 面积
的最大值（ ）
16
A．8 2 B．8 C．4 2 D．
3
2 2
8．已知F1 c, 0
x y
, F2 c, 0 分别为椭圆M : 1 a b 0 的左、右焦点，从点 A 2c, 0
a2 b2
3 2
射出的一条光线经直线 y c 反射后经过点F2 ，且反射后的光线与M 在第四象限交于点
2
试卷第 1 页，共 5 页
P ．若 PF1 PF2 a ，则M 的离心率为（ ）
3 3 2 2
A． B． C． D．
2 3 2 3
5 1
9．黄金分割比例 具有严格的比例性、艺术性，和谐性，蕴含着丰富的美学价值．这
2
5 1
一比值能够引起人们的美感，是建筑和艺术中最理想的比例．我们把离心率e 的椭
2
圆称为“黄金椭圆”，则以下说法正确的是（ ）
x2 y2
A．椭圆 1是“黄金椭圆”
2 5 1
x2 y2
B．若椭圆 1(a b 0)的右焦点为F c,0 ，且满足b2 ac，则该椭圆为“黄金
a2 b2
椭圆”
x2 y2
C．设椭圆 1(a b 0)的左焦点为 F，上顶点为 B，右顶点为 A，若 ABF 90 ，
a2 b2
则该椭圆为“黄金椭圆”
x2 y2
D．设椭圆 1(a b 0)的左、右顶点分别是 A，B，左、右焦点分别是F1，F2 2 2 ，a b
2
若 F1F2 AF1 F1B ，则该椭圆为“黄金椭圆”
10．2021 年 3 月 30 日我国知名品牌小米公司启用了具备“超椭圆”数学之美的全新 Logo．新
Logo 将原本方正的边框换成了圆角边框（如图），这种由方到圆的弧度变化，为小米融入了
东方哲学的思想，赋予了品牌生命的律动感．设计师的灵感来源于数学中的曲线
n n
C : x y 1，则下列有关曲线C 的说法中错．误．的是（ ）
A．对任意的n R 且n 0，曲线C 总关于原点成中心对称
B．当n 0 时，曲线C 上总过四个整点（横、纵坐标都为整数的点）
C．当0 n 1时，曲线C 围成的图形面积可以为 2
D．当n 1时，曲线C 上的点到原点最近距离为2 2
二、填空题：本大题共 6小题，共 30分。
11．圆 x2 y2 8x 6y 0的半径为
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12．已知直线3x my 3 0与6x 4y 1 0互相平行，则他们之间的距离是 .
x2 y2
13．已知椭圆 1的左右焦点分别为 F1，F2 ，过F2 的直线 l 与椭圆交于 A， B 两点，
11 7
则 F1AB的周长为 ．
14．点 0, 1 到直线 x my 1 0 m R 的最大距离为 ．
x2 y2
15．双曲线C 以椭圆 1的焦点为顶点，长轴的顶点为焦点，则双曲线C 的标准方程
20 36
为
16．如图，在棱长为 1 的正方体 ABCD A1B1C1D1中，动点 P 在其表面上运动，且 PA x ，
1 3π 3π
把点的轨迹长度 L f x 称为“喇叭花”函数，给出下列结论：① f ；① f 1 ；
2 16 2
21 3π 3π
① f ；① f 2 其中正确的结论是： ．（填上你认为所有正确的结论
3 3 2
序号）
三、解答题：本题共 5 小题，共 70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．已知圆 C 的圆心为 2,1 ，半径为 3，l 是过点P 0,2 的直线．
(1)判断点 P 是否在圆上，并证明你的结论；
(2)若圆 C 被直线 l 截得的弦长为 2 5 ，求直线 l 的方程．
18．如图，在四棱锥 S ABCD 中，底面 ABCD为正方形，SA 平面 ABCD，SA AD 2，
M , N 分别为棱 SB,SC 的中点．
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(1)证明：MN / / 平面 SAD ；
(2)求直线 SD 与平面 ADNM 所成的角；
SQ
(3)线段 SD 上是否存在点Q，使得平面 ACQ 平面 ADNM ？若存在，求出 的值；若不
SD
存在，请说明理由．
x2 y2 2 2
19．椭圆C : 1 a b 0 短轴长为 2，离心率为 .
a2 b2

3
(1)求椭圆C 方程；
(2)过点 1,0 的直线与椭圆C 交于M , N 两点，点T( 3,0)，直线TM ,TN 的斜率为 k1 ，k2 ，
求 k1 k2的值.
20．如图，在三棱柱 ABC AB1C1中，侧面 AA1C1C 底面 ABC ，底面VABC 为等腰直角三
角形， AB BC 2, AA AC1 5, D 为 中点.
(1)求证: BD AA1；
(2)再从以下条件①、条件①这两个条件中选择一个作为已知，求二面角 A CC1 B的余弦值.
条件①: A1C1 B1C ；条件①: AA1 B1C .
21．通过研究，已知对任意平面向量 AB x, y ，把 AB 绕其起点 A 沿逆时针方向旋转 角得
到向量 AP xcos ysin , xsin ycos ，叫做把点 B 绕点 A 逆时针方向旋转 角得到点 P，
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π
(1)已知平面内点 A 3,2 3 ，点B 3, 2 3 ，把点 B 绕点 A 逆时针旋转 得到点 P，求
3
点 P 的坐标：
(2)已知二次方程 x2 y2 xy 1的图像是由平面直角坐标系下某标准椭圆
x2 y2 π
1 a b 0 绕原点 O 逆时针旋转 所得的斜椭圆 C，
a2 b2 4
（i）求斜椭圆 C 的离心率；
2 2
（ⅱ）过点Q , 作与两坐标轴都不平行的直线
l1交斜椭圆 C 于点 M、N，过原点 O 作
3 3
2 1
直线 l2 与直线 l1垂直，直线 l2 交斜椭圆 C 于点 G、H，判断 2 是否为定值，若是，
MN OH
请求出定值，若不是，请说明理由.
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参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C A C A B A B ABC C
11．5
7 13
12．
26
13．4 11
14． 2
y2 x2
15． 1
16 20
16．②③④
17．
（1）点 P 不在圆上．
证明如下：
① PC (0 2)2 (2 1)2 5 3，
①由圆的定义可知点 P 是在圆 C 的内部，不在圆上；
（2）由直线与圆的位置关系可知，圆心 C 到直线 l 的距离d 32 5 2，
①当直线 l 的斜率不存在时，直线 l 的方程为 x＝0，
此时d 2 0 2，满足题意；
①当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 为 y＝kx＋2，即 kx－y＋2＝0，
2k 1 2 3
又① d 2，解得 k ，此时直线 l 为 3x＋4y－8＝0，
k 2 1 4
综上所述：直线 l 的方程为 x＝0 或 3x＋4y－8＝0．
18．
（1） ABCD 为正方形， BC / / AD ，
M，N 分别为棱 SB，SC 的中点， MN / / BC ， MN / / AD ，
MN 平面 SAD， AD 平面 SAD， MN // 平面 SAD；
（2）以 A为坐标原点，以 AB, AD, AS 所在的直线分别为 x, y, z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
答案第 1 页，共 8 页
则 A 0,0,0 , B 2,0,0 ,C 2,2,0 , D 0,2,0 ，S 0,0,2 ,M 1,0,1 , N 1,1,1 ，
SD 0,2, 2 ， AD 0,2,0 ， AM 1,0,1 .
设平面 ADNM 的法向量为m x, y, z ，
m·AD 0 2y 0
则 ，即 .
m·AM 0
x z 0
令 x 1，则 y 0, z 1， m 1,0, 1 .
设直线 SD 与平面 ADNM 所成角为 ，
SD·m 2 1
则 sin cos SD,m ，
SD m 2 2 2 2
π π
因为0 ，所以 ，
2 6
π
直线 SD 与平面 ADNM 所成角为 ；
6
（3）假设在线段 SD 上存在点 Q，使得平面 ACQ 平面 ADNM.
设 SQ SD 0 1 ，
AS 0,0,2 , SD 0,2, 2 , AC 2,2,0 ，
AQ AS SQ AS SD 0,0,2 0,2, 2 0,2 , 2 2 .
设平面 ACQ的法向量为n a,b,c ，
m·AC 0 2a 2b 0
则 ，即 .
m·AQ 0 2 b 2 2 c 0
令a 1 ，则b 1,c ，即n 1 , 1, .
若平面 ACQ 平面 ADNM，则m n 0，
答案第 2 页，共 8 页
1
即1 1 1 0 1 0，解得 .
2
假设成立，即在线段 SD 上存在点 Q，使得平面 ACQ 平面 ADNM，
SQ 1
且 .
SD 2
19．
b 1

c 2 2
（ ）由题意得 ，得a2 9,b21 1，
a 3
a2 b
2 c2

x2
故椭圆C 为 y2 1；
9
（2）由已知直线 l 过 1,0 ，设 l 的方程为 x my 1，
x2
y
2 1
联立两个方程得 9 ，消去 x得： m2 9 y2 2my 8 0，

x my 1
Δ 4m2 32 m2 9 0得m R ，
2m 8
设M x1, y1 ，N x2 , y2 ，则 y y y 1 y2 ， 1 2 （*2 ），
m2 9 m 9
y y y
T 3,0 k k 1
y2 y1 y2 1 2因为 ，故 TM TN 2 ，
x1 3 x2 3 my1 2 my 2 m y1y2 2m2 y1 y2 4
8

m2 9 8 2
将（*）代入上式，可得： ，
8 2m 36 9
m2 2m
2 4m 9 2 m 9
2
①直线TM 与TN 斜率之积为定值 ．
9
20．
（1）因为 AB BC ，D为 AC 中点，
所以BD AC ，
又因为平面 AA1C1C 平面 ABC ，平面 AA1C1C 平面 ABC AC ，BD 平面 ABC ，
答案第 3 页，共 8 页
所以BD 平面 AA1C1C，
又 A1D 平面 AA1C1C，所以BD A1D；
（2）若选①，取 A1C1的中点E ，连接B1E,CE ，
则 A1E//DC且 A1E DC，
所以四边形 A1DCE 为平行四边形，所以 A1D//CE ，
因为 A1B1 B1C1， E 为 A1C1的中点，
所以 A1C1 B1E，
又 AC BC,BC B E B ,BC,B E 平面CB1E1 1 1 1 1 1 1 1 ，
所以 AC 平面CB1 1 1E ，
又 AC//A1C1，所以 AC 平面CB1E ，
又CE 平面CB1E ，所以 AC CE ，
因为 A1D//CE ，所以 AC A1D，
如图，以点D为原点，建立空间直角坐标系，
2 2
由 AB BC 2, AA1 5，得 AC 2 2 2，
2
A1D 5 12 2，
则D 0,0,0 , B 0,1,0 ,C 1,0,0 ,C1 2,0,2 ，
则CB 1,1,0 ,CC1 1,0,2 ，
因为BD 平面 AA1C1C，
所以DB 0,1,0 即为平面 AA1C1C的一个法向量，
设平面BCC 的法向量为n x, y, z1 ，
n CB x y 0
则有 ，可取n 2, 2,1 ，
n CC1 x 2z 0
n DB 2 2
则cosn, DB ，
n DB 1 3 3
答案第 4 页，共 8 页
由图可知，二面角 A CC1 B为锐二面角，
2
所以二面角 A CC1 B的余弦值为 .
3
若选①，取 A1C1的中点E ，连接B1E,CE, DE ，
则 A1E//DC且 A1E DC，
所以四边形 A DCE 为平行四边形，所以 A1D//CE1 且 A1D CE，
因为C1E//DC且C1E DC，
所以四边形C EDC 为平行四边形，所以C1C //DE1 且C1C DE ，
又B B//C C C B B B B//DE1 1C且 1 1 ，所以 1 且B1B DE，
所以四边形B1BDE 为平行四边形，
所以BD//B1E 且BD B1E，
又因为BD A1D，所以CE B1E，
又 AA B C 5 ，BD B1E 11 1 ，
所以CE 2，则 A1D CE 2，
△ADA AD2 2在 1中因为 A1D A A
2
1 ，
所以 AD A1D，
如图，以点D为原点，建立空间直角坐标系，
由 AB BC 2, AA1 5，得 AC 2, A1D 2，
则D 0,0,0 , B 0,1,0 ,C 1,0,0 ,C1 2,0,2 ，
答案第 5 页，共 8 页
则CB 1,1,0 ,CC1 1,0,2 ，
因为BD 平面 AA1C1C，
所以DB 0,1,0 即为平面 AA1C1C的一条法向量，
设平面BCC 的法向量为n x, y, z1 ，
n CB x y 0
则有 ，可取n 2, 2,1 ，
n CC1 x 2z 0
n DB 2 2
则cosn, DB ，
n DB 1 3 3
由图可知，二面角 A CC1 B为锐二面角，
2
所以二面角 A CC1 B的余弦值为 .
3
21．
（1）由已知可得 AB 2 3, 4 3 ，则 AP 6 3,3 2 3 ，
设P x0 , y0 ，则 AP x0 3, y0 2 3 6 3,3 2 3 ，
所以 x0 6， y0 3，即点 P 的坐标为 6,3 ；
（2）（i）由 y x 与 x2 y2 xy 1交点为 1,1 和 1, 1 ，则a2 2，
3 3 3 3
由 y x与 x2 y2 xy 1交点为 , 和 , ，
3 3 3 3


2 3
2 2 2 4
则b ，所以c ， 3 6 ；
3 3 e
2 3
2 2
（ⅱ）法一：设直线 l1： y k x M x , y N x , y3 3
， 1 2 、 2 2 ，

答案第 6 页，共 8 页
2 2
y k x
与斜椭圆 x2 y2 xy 1联立： 3 3 ，

x
2 y2 xy 1
2 2 2
有 k 2 k 1 x2 3k 2k 2 1 x 1 k 1 0，
3 3
2 12 2k 3k 1 k 2 2k
① x1 x2 ， 2 ， 2
3 k k 1 x1x
2
2
3 k 2 k 1
① MN 1 k 2
2
x x 4x x
1 2 1 2
12
2 k
2 2k 2
2 2 2k 3k 1 2 2 1 k 1 k 2 4 ， k 2 3 k 1 3 k
2 k 1 k
2 k 1

1
设直线 l2 ： y x，代入斜椭圆 x
2 y2 xy 1，
k
2 1 2 1x x x2有 1，
k 2 k
2
k 2 2 k 1
① x2 ，① OH ，
k 2 k 1 k 2 k 1
2 1 k 2 k 1 k 2 k 1
故 22 .
MN 2OH k 1 k
2 1
π x2 3y2
法二：将椭圆顺时针旋转 ，由①可得椭圆方程为 1，
4 2 2
2 3
点 Q 旋转后的坐标为 ,0 ，
3
2 2 2 1
当直线 l1旋转后斜率不存在时， MN ， OH 2 ， 22 ，
3 MN OH
l 2 3当直线 1旋转后斜率存在时，设直线 l1旋转后为 x my ，
3
旋转后M x1, y2 、N x2 , y2 ，
答案第 7 页，共 8 页
2 3
x my
x2 3y2

3
与椭圆方程 1联立，即 ，
2 2 x2 2 3y 1
2 2
2 2
可得3 m 3 y 4 3my 2 0，
4 3m 2
y y y 1 y2 2 ， 1 2 2 ， 3 m 3 3 m 3
2 6 2 1 m2
MN 1 m2 y1 y2 4y1y2 ，
3 m2 3
x2 3y2
设直线 l2 旋转后为 y mx，代入椭圆方程 1中，
2 2
2 2 2 2 2m
2
有 x ， OH ，
1 3m2 1 3m2
2 1 3 2 m2 3 3m2 1
2
2 .
MN OH 6 2 m2 1 2 m2 1
2 1
综上所述， 22 .
MN OH
答案第 8 页，共 8 页

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