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函数的单调性与最值
一
函数的单调性与最值
　　给定一个函数的解析式或图象，你能不能从中看出这个函数的性质呢？
　　函数尽管千变万化，但函数值毕竟是实数，实数变化，无非是变大变小．要问函数的性质，首先在大小上做文章．大，大到什么程度，上面封顶不封顶？小，小到什么程度，下面保底不保底？
一
函数的单调性与最值
　　概括来说，对函数性质的研究，我们首先关心的是函数值的变化范围(封顶和保底)和变化趋势(走高和下滑)．如图3.2-1是某报2016年11月刊登的上海证券交易综合股价指数（简称上证指数）一年多来的走势曲线图.
图3.2-1
(上证指数)
一
函数的单调性与最值
　　从图3.2-1可以看到，自2015年6月份以来，上证指数从最高点振荡后总体一路下跌，虽中途偶有攀升，但到2016年2月份振荡下跌，几乎到最低点．随后又回升至3000点，呈现平稳的态势.
　　从图上观察函数的性质，难免有一些疑问：只靠眼睛观察得到的认识是不是准确呢？例如，从有界限的图怎能看出函数值是无界限的呢？描点连线画图的可靠性如何保证呢？
　　发现疑问，提出疑问，是学习数学的好习惯，是创新思维的开始，你还能提出更多的问题吗？
一
函数的单调性与最值
　　例如，图3.2-2是计算机用描点连线的方法画出的同一个函数的两个图象．虚线是取10个点描出的，实线是取50个点描出的，两者明显不同．
图3.2-2
一
函数的单调性与最值
　　可见，光靠描点作图看图来研究函数的性质还不够．从解析式出发研究函数性质，在数学推理的指导下画图，对函数的性质会了解得更全面、更准确，为此要用更严密的数学语言来描述函数的性质．
　　以下设D是函数f(x)的定义域，I是D的一个非空的子集．如不加说明，我们认为I是个区间．
　　(1)函数的最大(小)值
　　如果有a∈D，使得不等式f(x)≤f(a)对一切x∈D成立，就说f(x)在x＝a处取到最大值M＝ f(a)，称M为f(x)的最大值，a为f(x)的最大值点．
　　仿照上面，同样可以写出f(x)的最小值和最小值点的定义．
　　最大值和最小值统称为最值.
一
函数的单调性与最值
　　(2)函数的单调性
　　如果对于I上任意两个值x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，就称f(x)是区间I上的增函数，也称f(x)在区间I上单调递增，如图3.2-3.
　　如果对于I上任意两个值x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，就称f(x)是区间I上的减函数，也称f(x)在区间I上单调递减，如图3.2-4.
图3.2-3
图3.2-4
一
函数的单调性与最值
　　如果函数y＝f(x)在区间I上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间上具有（严格的）单调性，区间I叫作y＝f(x)的单调区间．
一
函数的单调性与最值
　　　　　证明：定义在R上的函数f(x)＝3x＋b是增函数.
　证明　设x1和x2是任意两个实数，且x1 < x2 ，则
　　　　　　　　　 f(x2)－f(x1)=(3x2+b)－(3x1+b)
　　　　　　　　　　　　　　 =3(x2－x1)>0.
　于是　　　　　　　　　 f(x2)>f(x1).
　由函数单调性的定义可知，函数f(x)是R上的增函数.
例
1
一
函数的单调性与最值
　　对于例1的解答过程，假如任取的x1，x2满足x1>x2，怎么判断f(x)是增函数还是减函数呢？此时x2－x1<0，f(x2)－f(x1)=3(x2－x1)<0，f(x2)　　由此可知，当x2－x1与f(x2)－f(x1)同为正数时，
f(x)是增函数；当x2－x1与f(x2)－f(x1)同为负数时，
f(x)也是增函数.也就是说，只要x2－x1与f(x2)－f(x1)
同号， f(x)就是增函数.同理可知，当x2－x1与
f(x2)－f(x1)异号时， f(x)是减函数.
　　函数的单调性把自变量的变化方向和函数值的变化方向联系起来，描述了函数的变化过程和趋势，是函数的最重要的特征之一.
一
函数的单调性与最值
　　实际计算中，只要将f(x2)－f(x1)与x2－x1相除，根据商　　　　　　是正还是负，就能判别f(x2)－f(x1)与x2－x1是同号还是异号，进而判别f(x)是增函数还是减函数.
　　例1中的商　　　　　　　　　 ，所以f(x)是R上的增函数.
一
函数的单调性与最值
　　　　证明函数f(x)=x+　(x>0)在区间(0，1］上递减，在区间［1，+∞)上递增，并指出函数在区间(0，+∞)上的最值点和最值.
　解　(1)设x1和x2是区间(0，1］上任意两个实数，且x1 < x2 ，则
由0＜ x1 < x2 ≤1，得0＜ x1 x2＜1，　　　，于是
所以，函数f(x)在区间(0，1］上递减.
例
2
一
函数的单调性与最值
　　(2)设x1和x2是区间［1，+∞)上任意两个实数，且x1 < x2.
　　由x2 > x1 ≥1，得x1x2 >1，　　　 ，
　　于是
　　所以，函数f(x)在区间［1，+∞)上递增.
　　综合(1)(2)可知，函数f(x)在区间(0，+∞)上x=1处取到最小值，最小值为f(1)=2.
一
函数的单调性与最值
　　　　若关于x的函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4)上递减，求实数a的取值范围．
　解　因为二次函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2的图象的对称轴为直线x＝1－a，且开口向上， 所以函数在区间(－∞，1－a］上递减.
　　又已知该函数在区间(－∞，4)上递减， 则需满足
1－a≥4 ，
　　即a≤－3.
　　故实数a的取值范围为(－∞，－3］.　
例
3
　　你能借助函数图象来说明实数a的取值范围吗？
一
函数的单调性与最值
　　1.(1)在定义域［a，b］上递减的函数f(x)，最大值是多少？
　　(2)若f(x)在［a，u］上递减而在［u，b］上递增，最小值是多少？
　　2.检验下列函数的增减性，并说明是否有最大(小)值．如果有，指出最大(小)值和对应的最大(小)值点．
　　(1) f(x)＝－ (x∈(－∞，0))；　　 (2) f(x)＝3－ (x∈［－6，1］)；
　　(3) f(x)＝ x2 －6x+7(x∈［－2，4］)；(4) f(x)＝ (x∈［0，3］)．
　　3.若函数f(x)= x2 +2ax－1在区间(－∞，1］上递减，求实数a的取值范围.
练 习
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