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4.2认识一次函数
一、单选题
1．下列函数中，是一次函数的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列各点中，在直线上的点是（）
A． B． C． D．
3．函数是关于x的一次函数的条件为（ ）
A．且 B． C．且 D．
4．若函数是正比例函数，且图象经过第一、三象限，则（　　）
A．2 B． C． D．3
5．若函数是一次函数，则应满足的条件是（ ）
A．且 B．且 C．且 D．且
6．函数的图象一定经过点（ ）
A． B． C． D．
7．规定：是一次函数（为实数，）的“特征数”．若“特征数”是的一次函数是正比例函数，则的值是（ ）
A．4 B． C．2 D．
8．若关于的函数是一次函数，则的值为（ ）
A． B． C．1 D．2
二、填空题
9．观察表格，如果x与y成正比例，那么m的值为 ；如果x与y成反比例，那么m的值为 ．
x 4 m
y 6 8
10．若函数是一次函数，则 ．
11．当 时，函数是正比例函数；当 时，函数是一次函数．
12．若函数是关于x的一次函数，则 ．
13．在抛物线和直线的图象上有三点，则的结果是 ．
三、解答题
14．（1）写出下题中与之间的关系式，并判断是否是的一次函数：在速度为的匀速运动中，路程与时间的关系．
（2）已知一个长方形的长为，宽为，周长为，求与之间的关系式，并判断是否为的一次函数．
15．如图所示的方格纸中，每个小方格的边长都是1，点、、．
(1)作关于y轴对称的；
(2)在x轴上找出点P，使最小，在图中描出满足条件的P点（保留作图痕迹），并直接写出P点的坐标．
16．某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙，（墙长）另外三边用木栏围成，木栏长．
(1)设平行于墙的一边长为x，垂直于墙的一边y，求y与x的函数关系式．
(2)若养鸡场面积为200平方米，求鸡场垂直于墙的一边长．
17．已知关于x的一次函数（a为常数，且a≠0）．
(1)当自变量1对应的函数值为5时，求a的值；
(2)对任意非零实数a，一次函数的图像都经过点Q，请求点Q的坐标．
18．如图，平面直角坐标系中，已知点，，点M在坐标轴上．
(1)直接写出A，B两点到y轴的距离分别为______和______；
(2)若点M在y轴上，求的最小值；
(3)若点M在x轴，当最大时，求点M的坐标．
参考答案
1．B
【分析】本题考查了一次函数的定义，解题的关键是掌握一次函数的一般形式（、为常数，）．
根据一次函数的定义，判断每个选项的函数形式是否符合．
【详解】解：A、，其中的次数是2，属于二次函数，不是一次函数，不符合题意；
B、，符合一次函数的一般形式，所以是一次函数，符合题意；
C、，是反比例函数，不是一次函数，不符合题意；
D、，分母中含有自变量是，不是一次函数，不符合题意．
故选：B．
2．D
【分析】本题考查一次函数的自变量与函数值，掌握知识点是解题的关键．
通过将每个点的坐标代入直线方程进行验证，计算右边值是否等于y值．
【详解】解：∵点是否在直线上需满足方程，
对于选项A：，
计算，
∴点不在直线上．
对于选项B：，
计算，
∴点不在直线上．
对于选项C：，
计算，
∴点不在直线上．
对于选项D：，
计算，
且，
∴点在直线上．
故选D．
3．C
【分析】根据一次函数的定义进行求解即可．
【详解】解：∵是关于x的一次函数，
∴，
解得：，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了一次函数的定义，解题的关键是熟练掌握定义，一般地，形如（k，b为常数，）的函数，叫作一次函数．
4．A
【分析】本题考查正比例函数的定义和性质，根据形如的函数是正比例函数，以及当时，正比例函数的图象经过第一、三象限求解即可．
【详解】解：∵函数是正比例函数，且图象经过第一、三象限，
∴，且，
解得，且，
∴，
故选：A．
5．C
【分析】本题主要考查了一次函数的定义，一次函数的定义条件是：、为常数，，自变量次数为1．根据一次函数的定义列出计算解答即可．
【详解】解：由题意得，，
∴且，
故选：C．
6．B
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征的应用，解此题的关键是把点的坐标代入函数解析式看看两边是否相等．把点的坐标代入进行判断即可．
【详解】解：A、把代入函数得，即点不在正比例函数的图象上，故本选项不符合；
B、把代入函数得，即点在正比例函数的图象上，故本选项符合；
C、把代入函数得，即点不在正比例函数的图象上，故本选项不符合；
D、把代入函数得，即点不在正比例函数的图象上，故本选项不符合．
故选：B．
7．A
【分析】本题考查了一次函数和正比例函数的定义，熟练掌握正比例函数的定义是解题的关键．根据正比例函数的定义即可求出m的值．
【详解】解：由题意得：
∵“特征数”是的一次函数是正比例函数，
∴，
∴．
故选A．
8．B
【分析】本题主要考查了一次函数的定义，一次函数的定义条件是：、为常数，，自变量次数为1．根据一次函数的定义列式计算即可得解．
【详解】解：根据题意得，且，
解得且，
所以，．
故选：B．
9． 3
【分析】本题考查了正比例函数和反比例函数的定义，运用它们的定义进行计算即可得出答案．
【详解】解：当x与y成正比例时，设，
得，
解得，
，
，
解得：；
当x与y成反比例，设，
得，
解得，
，
，
解得：，
故答案为：；3．
10．2
【分析】本题考查的是一次函数的定义，根据一次函数的定义，自变量x的指数必须为1，从而建立方程求解即可解决．
【详解】解：一次函数的一般形式为，其中x的指数为1，
给定函数，令x的指数，
解得，
当时，函数为，符合一次函数定义，
故答案为：2．
11．
【分析】本题考查正比例函数及一次函数的定义，根据正比例函数定义“形如的函数”及一次函数的定义“形如的函数”求解即可求得答案．熟练掌握其定义是解题的关键．
【详解】解：已知函数，
若该函数为正比例函数，则，且，
解得，且，
当，则符合题意；
若该函数为一次函数，则，
即；
故答案为：，．
12．
【分析】此题考查了一次函数的定义．形如（）的函数是一次函数，熟记定义是解题的关键．
由一次函数定义得到, ，即可求出答案．
【详解】解：∵是关于x的一次函数，
∴, ,
解得．
故答案为：．
13．
【分析】根据三点纵坐标相同，可得有两点在抛物线上，设为，根据抛物线解析式得出对称轴为直线，可得，根据在直线上得出，计算即可得答案．本题考查了二次函数的对称性和一次函数图象上点的坐标特征，根据二次函数的对称性得出是解题关键．
【详解】解：∵三点的纵坐标相同，
∴有两点在抛物线上，设为，
∵抛物线解析式为，
∴对称轴为直线，
∴，
∵在直线上，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
14．（1），是的一次函数；（2），是的一次函数
【分析】本题考查了列函数关系式、一次函数的识别，理解题意正确列出函数关系式是解题的关键．
（1）根据公式：路程速度时间，列出关系式，再判断是否为的一次函数即可；
（2）根据长方形的周长公式列出关系式，再判断是否为的一次函数即可．
【详解】解：（1）由题意得，，
∴是的一次函数；
（2）∵一个长方形的长为，宽为，周长为，
∴与之间的函数关系式为；
∴是的一次函数．
15．(1)见解析
(2)作图见解析；
【分析】（1）作出点A、B、C关于y轴的对称点、、，然后顺次连接即可；
（2）作A关于轴的对称点，连接，与轴的交点即为，连接，则，，由轴对称的性质可知，，由，可知当三点共线时，最小，待定系数法求直线的解析式为，然后求点的坐标即可．
【详解】（1）解：如图，为所求作的三角形；
（2）解：如图，作A关于轴的对称点，连接，与轴的交点即为，连接，则，，
由轴对称的性质可知，，
∵，
∴当三点共线时，最小，
设直线的解析式为，
将，，代入得，，
解得，
∴，
当时，，
解得：，
∴．
【点睛】本题考查了画轴对称图形，轴对称的性质，一次函数解析式，一次函数与坐标轴交点．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
16．(1)
(2)
【分析】本题考查列一次函数解析式、一元二次方程的应用，（1）根据题意求解即可；
（2）根据长方形的面积公式列方程求解即可．
【详解】（1）解：由题意得，；
（2）解：由题意得，，
解得，
∴，
答：鸡场垂直于墙的一边长为．
17．(1)3
(2)
【分析】本题主要考查代入求值和整式中某项系数为0的条件等知识点，解决此题的关键是正确的计算；
（1）根据题意把自变量和函数值代入解析式，即可解决问题；
（2）对于任意非零实数对任意非零实数a，一次函数的图像都经过点Q，其实就是保证右边的整式中不包含a，把所有含a的项合并在一起，令其系数为0即可；
【详解】（1）解：把代入（a为常数，且）得，，
解得；
（2）解：∵，
∴当时，可有 ，
∴对任意非零实数a，一次函数的图像都经过点，
∴．
18．(1)1，2
(2)的最小值为．
(3)
【分析】（1）根据点到y轴的距离为即可得出答案；
（2）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时达到最小，且最小为，过点作轴的平行线，过点作轴的垂直线，两线相交于点，然后利用勾股定理求得答案即可；
（3）作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，此时，那么达到最大，且最大值为，然后用待定系数法求出直线的解析式，然后再求出直线与轴的交点即可．
【详解】（1）解：已知点，，
到y轴的距离为，到y轴的距离为2；
（2）解：作点关于轴的对称点，连接交轴于点，如图所示：
关于轴对称，，
，，
，
取得最小值，且最小值为，
过点作轴的平行线，过点作轴的垂直线，两线相交于点，
，
，，
，，
，
的最小值为．
（3）解：
作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，此时，那么达到最大，且最大值为，
关于轴对称，，
，
设直线为，代入，
，
，
直线为，
当时，，解得，
故．
【点睛】本题考查了点到坐标轴的距离，轴对称的性质，两点之间线段最短，勾股定理，待定系数法求一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点，熟练掌握以上知识点是解题的关键．

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