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浙江省嘉兴市上海外国语大学秀洲外国语学校2025-2026学年上学期9月月考八年级数学试卷
1．（2025八上·嘉兴月考）如图，四个图标中是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A.图标不是轴对称图形，
∴此选项不符合题意；
B. 图标不是轴对称图形，
∴此选项不符合题意；
C.图标是轴对称图形，
∴此选项符合题意；
D. 图标不是轴对称图形，
∴此选项不符合题意.
故答案为：C．
【分析】根据轴对称图形的定义"平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形称为轴对称图形"并结合各选项即可判断求解．
2．（2025八上·嘉兴月考）下列长度的四根木棒中，能与，长的两根木棒首尾相连，组成三角形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：A.∵，
∴不能与，长的两根木棒首尾相连组成三角形，
∴此选项不符合题意；
B. ∵，
∴能与，长的两根木棒首尾相连组成三角形，
∴此选项符合题意；
C.∵，
∴不能与，长的两根木棒首尾相连组成三角形，
∴此选项不符合题意；
D. ∵，
∴不能与，长的两根木棒首尾相连组成三角形，
∴此选项不符合题意．
故答案为：B．
【分析】根据三角形三边关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”并结合各选项即可判断求解．
3．（2025八上·嘉兴月考）要说明命题“若，则”是假命题，可以举的反例是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】举反例判断命题真假
【解析】【解答】解：“若，则”是假命题，
可以举一个反例为a=-3．因为a=-3满足，但不满足．
故答案为：A
【分析】根据真假命题的定义即可求出答案.
4．（2025八上·嘉兴月考）下面四个图形中，线段是中边上的高是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】三角形的高
【解析】【解答】解：线段是中边的高的图形是选项A中的图形．
故答案为：A．
【分析】根据三角形高的画法知，过点B作，垂足为E，其中线段是的高，再结合各选项即可判断求解．
5．（2025八上·嘉兴月考）一个三角形三个内角的度数之比为，则这个三角形一定是（　　）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：设三角形三个内角的度数为2x°、3x°、5x°，根据题意，
得2x+3x+5x=180，
解得：x=18，
5x=90°，
因此三角形是直角三角形。
故答案为：B.
【分析】根据三个内角的比值，结合三角形内角和定理建立方程，求出三个内角的度数后判定。
6．（2025八上·嘉兴月考）如图，在中，，平分，，，则点D到AC的距离为（　　）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】A
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵BC=10，CD=6，
∴BD=4．
∵∠B=90°，AD平分∠BAC ．
由角平分线的性质，得点D到AC的距离等于BD=4．
故答案为：A．
【分析】根据角平分线的性质“角平分线上的点到角两边的距离相等”可求解.
7．（2025八上·嘉兴月考）如图，数学课上，老师让学生尺规作图画∠MON的角平分线OB．小明的作法如图所示，连接BA、BC，你认为这种作法中判断△ABO≌△CBO的依据是（　　）
A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
【答案】A
【知识点】三角形全等的判定-SSS；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】作法：①以O为圆心，任意长为半径画弧，交MO、NO于点A、G，
②再分别以A、G为圆心，大于AG长为半径画弧，两弧交于点B，
③画射线OB，射线OB即为所求，
由作图过程可得：OA=OG，AB=GB，而OB=OB，
则用到的三角形全等的判定方法是：SSS．
故选：A．
【分析】
根据基本尺克规作图可得三边对应相等，即依据为SSS．
8．（2025八上·嘉兴月考）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，连接AE，若AE＝4，EC＝2，则BC的长是（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，AE＝4，
∴EB＝EA＝4，
∴BC＝EB＋EC＝4＋2＝6，
故选：C．
【分析】根据垂直平分线性质可得EB＝EA＝4，再根据边之间的关系即可求出答案.
9．（2025八上·嘉兴月考）已知点A，B，C，D在同一平面内，且AB=3，BC=5，CD=4，DA=6，则AC的长不可以是（　　）
A．2 B．6 C．8 D．10
【答案】B
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：构造三角形，如下图：
在△ABC中， 已知AB =3， BC =5，则BC-AB在△ADC中， 已知CD=4， DA =6，则DA-CD综合两个不等式，取交集可得2所以，只有B选项符合。
故答案为：B.
【分析】根据三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边确定AC的取值范围，进而判断选项.
10．（2025八上·嘉兴月考）如图，在△ABC中，BD、CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线，AM⊥CE于P，交BC于M，AN⊥BD于Q，交BC于N，∠BAC＝110°，AB＝6，AC＝5，MN＝2，结论①AP＝MP；②BC＝9；③∠MAN＝35°；④AM＝AN．其中不正确的有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】D
【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：①∵CE平分∠ACE，
∴∠ACP=∠MCP，
∵AM⊥CE，
∴∠APC=∠MPC=90°，
∴∠CAM=∠CMA，
∴AC=CM，
∴AP=PM，
∴结论正确；
②同理得：BN=AB=6，
∵CM=AC=5，
∴BC=BN+CM-MN=6+5-2=9，
∴结论正确；
③∵∠BAC=∠MAC+∠BAN-∠MAN=110°，
由①知：∠CMA=∠CAM，∠BNA=∠BAN，
△AMN中，∠CMA+∠BNA=180°-∠MAN=∠BAN+∠MAC，
∴180°-∠MAN-∠MAN=110°，
∴∠MAN=35°，
∴结论正确；
④当∠AMN=∠ANM时，AM=AN，
∵AB=6≠AC=5
∴∠ABC≠∠ACB，
∴∠AMN≠∠ANM，则AM与AN不相等，
∴结论不正确；
∴本题不正确的有④.
故答案为：D．
【分析】①根据三角形的内角和定理判定∠CAM=∠CMA，由等腰三角形的判定和三线合一的性质可得结论正确；
②根据BN=AB=6，CM=AC=5，及线段的和与差可得BC的长；
③根据三角形的内角和定理及角的和与差可得结论；
④要想得到AM=AN，必有∠AMN=∠ANM，而AB≠AC，可知∠ABC≠∠ACB，从而得AM≠AN．
11．（2025八上·嘉兴月考）已知一个等腰三角形的两边长分别为2和4，则该等腰三角形的周长是　 　．
【答案】10
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：因为2+2＜4，
所以等腰三角形的腰的长度是4，底边长2，
周长：4+4+2=10，
答：它的周长是10，
故答案为：10
【分析】根据任意两边之和大于第三边，知道等腰三角形的腰的长度是4，底边长2，把三条边的长度加起来就是它的周长．此题考查等腰三角形的性质，关键是先判断出三角形的两条腰的长度，再根据三角形的周长的计算方法，列式解答即可．
12．（2025八上·嘉兴月考）将命题“对顶角相等”改写成“如果……那么……”的形式是　 　．
【答案】如果两个角是对顶角，那么这两个角相等
【知识点】命题的概念与组成
【解析】【解答】解：将命题“对顶角相等”改写成“如果……那么……”的形式是如果两个角是对顶角，那么这两个角相等．
故答案为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等．
【分析】根据题意，先找出命题的题设与结论，在命题的题设前加如果，结论前加那么即可求解．
13．（2025八上·嘉兴月考）如图，AB=AC，要使ABE≌ACD，应添加的条件是　 　（添加一个条件即可）．
【答案】AE=AD
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵AB=AC，∠A=∠A，
要使△ABE≌△ACD，已知AB=AC，∠A=∠A，
则可以添加AE=AD，利用SAS来判定其全等；
或添加∠B=∠C，利用ASA来判定其全等；
或添加∠AEB=∠ADC，利用AAS来判定其全等．
故答案为：AE=AD（答案不唯一）．
【分析】利用三角形全等的断定定理判断即可.
14．（2025八上·嘉兴月考）如图，ABC的面积为6cm2，AP垂直∠ABC的平分线BP于点P，则PBC的面积是　 　cm2．
【答案】3
【知识点】三角形的面积；三角形全等的判定-ASA；角平分线的概念；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：延长AP交BC于点E，如图所示．
∵AP垂直∠ABC的平分线BP于点P，
∴∠ABP＝∠EBP．
在△ABP和△EBP中，
，
∴△ABP≌△EBP（ASA），
∴AP＝EP．
∵△APC和△EPC等底同高，
∴S△APC＝S△CPE，
∴S△PBC＝S△BPE+S△CPE＝S△ABC＝×6＝3（cm2），
故答案为：3．
【分析】延长AP交BC于点E，由角平分线的定义可知∠ABP＝∠EBP，由题意，用角边角可证ABP≌△EBP，由全等三角形的对应边相等可得AP＝EP，根据三角形的面积可得S△APC＝S△EPC，再根据阴影部分面积的构成S△PBC＝S△BPE+S △EPC＝S△ABC即可求解．
15．（2025八上·嘉兴月考）如图，，垂足为C，，射线，垂足为B，动点P从C点出发以的速度沿射线运动，点N为射线上一动点，满足，随着P点运动而运动，当点P运动　 　秒时，与点为顶点的三角形全等．
【答案】0或4或8或
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；三角形-动点问题；分类讨论
【解析】【解答】解：①当P在线段上，时，与全等，
，
，
，
点P的运动时间为（秒）；
②当P在线段上，时，与全等，
这时，因此时间为0秒；
③当P在上，时，与全等，
，
，
，
点P的运动时间为（秒）；
④当P在BQ上，时，与全等，
，
，
，
点P的运动时间为（秒），
故答案为：0或4或8或．
【分析】由题意，分两种情况：①当P在线段上时，②当P在上，再分别分两种情况或进行计算即可求解．
16．（2025八上·嘉兴月考）如图，在直角△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，BC＝10，∠ABC的平分线交AC于点D，点E、F分别是BD、AB上的动点，则AE＋EF的最小值为　 　
【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；角平分线的性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：如图所示，作点F关于BD的对称点G，连接EG，过点A作交于点H，
∵BD平分
∴
由作图可得：
∵
∴由点到直线的垂线段最短可知：当A、E、G三点共线时，即与AH重合时，此时的值最小，最小值为AH的长，
在中，，，，
∴
即
解得：
则的最小值为
故答案为：.
【分析】作点F关于BD的对称点G，连接EG，过点A作交于点H，由作图和结合已知条件分析得知：当A、E、G三点共线时，即与AH重合时，此时的值最小，最小值为AH的长，在中，，，，，用面积法可得关于AH的方程，解方程即可求解．
17．（2025八上·嘉兴月考）图1，图2都是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．三个顶点均在格点上的三角形称为格点三角形．在给定的网格中，按下列要求用无刻度的直尺画出相应的格点三角形．
（1）在图1中画出以为底的等腰三角形；
（2）在图2中画出所有与全等（不包含）的．
【答案】（1）解：如图所示：取格点，连接，，
由图结合勾股定理可得，，，
∴，
∴即为所求的等腰三角形.
（2）解：如图所示：取格点、、，分别连接、，、，、，
由图结合勾股定理可得，，，
，，
∴，，
∵EF=FE，
∴，
同理可得：，，
则、、即为所求的三角形．
【知识点】等腰三角形的判定；勾股定理；三角形全等的判定-SSS
【解析】【分析】（1）取格点，使AC=BC，连接，，即可得出等腰三角形；
（2）结合全等三角形的判定画图即可.
（1）解：取格点，连接，，如图：
由网格可知，，
，
∴，
∴为等腰三角形，
则即为所求的等腰三角形；
（2）解：取格点、、，分别连接、，、，、，如图：
由网格可知，，，
，，
∴，，
在和中，
，
∴，
同理可得：，，
则即为所求的三角形．
18．（2025八上·嘉兴月考）在中，于D，是的平分线，，求的度数．
【答案】解：∵，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的度数为．
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；直角三角形的性质
【解析】【分析】根据三角形内角和求得，根据角平分线的定义得，由三角形的外角的性质“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和”得∠AED=∠CAE+∠C求得∠AED的度数，然后根据直角三角形两锐角互余可求解．
19．（2025八上·嘉兴月考）如图，已知点C、E、F、B在同一直线上，，，，求证：．
【答案】证明：∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等的判定-SSS
【解析】【分析】由线段的和差可得，结合已知，用边边边可证，然后根据全等三角形的对应边相等可求解．
20．（2025八上·嘉兴月考）如图①，油纸伞是中国传统工艺品之一，起源于中国的一种纸制或布制伞．油纸伞的制作工艺十分巧妙，如图②，伞圈D沿着伞柄滑动时，伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的，伞骨，的B，C点固定不动，且到点A的距离．
（1）当D点在伞柄上滑动时，处于同一平面的两条伞骨和相等吗？请说明理由．
（2）如图③，当油纸伞撑开时，伞的边缘M，N与点D在同一直线上，若，，求的度数．
【答案】（1）解：相等．理由如下：
∵伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的，
∴．
在和中，
∵，
∴．
∴
（2）解：∵，
∴．
又∵，
∴．
∵，
∴
【知识点】三角形外角的概念及性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据题意可得，即可根据证明，根据全等三角形的对应边相等即可得出；
（2）易得，根据三角形的一个外角等于与之不相邻的两个内角的和得出，最后根据全等三角形对应角相等，即可得出∠CDA的度数．
21．（2025八上·嘉兴月考）陈同学用10块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（），点在上，点A和B分别与木墙的顶端重合．
（1）求证：．
（2）求两堵木墙之间的距离．
【答案】（1）证明：由题意得：，
，
，
，
在和中，
（2）解：由（1）知，
，，
又根据题意由图可得：，，
，
答：两堵木墙之间的距离为．
【知识点】三角形全等的判定-AAS；同侧一线三垂直全等模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】
（1）根据题意可得，，，，根据等角的余角相等可得，结合已知，用角角边可证；
（2）由全等三角形的对应边相等可求解．
（1）解：由题意得：，
，
，
，
在和中，
（2）解：由（1）知，
，，
又根据题意由图可得：，，
，
答：两堵木墙之间的距离为．
22．（2025八上·嘉兴月考）如图，和两个大小不同的等腰直角三角形，，， ，、、在同一条直线上，连接，交于点．
（1）求证：；
（2）若，，求的面积．
【答案】（1）证明：∵和是等腰直角三角形，
∴∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，
∴∠BAC+∠CAE=∠DAE+∠CAE，
∴∠BAE=∠CAD，
在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（SAS）.
（2）解：由（1）得，△ABE≌△ACD，
∴BE=CD，∠AEB=∠ADC，
∴∠ADE+∠AED=∠ADC+∠CDE+∠AED=∠AEB+∠CDE+∠AED=∠CDE+∠DEB=90°，
∴∠DCE=90°，
∵CD=6，BE=2CE，
∴BE=6，CD=2，
∴．
【知识点】等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质可得∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，进而得出∠BAE=∠CAD，再利用“SAS”证明三角形全等即可；
（2）利用（1）中全等性质求出∠DCE=90°，BE=6，CD=2，继而利用面积公式求解即可．
（1）解：∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，，
∵和两个大小不同的等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴．
23．（2025八上·嘉兴月考）如图，，和分别平分和，两线相交于点P，过P点的直线分别与射线，射线相交于点E，F．
【问题引入】（1）若，求证：．
【探索研究】（2）若将（1）中“”去掉，其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由．
【拓展应用】（3）若，，求的长．
【答案】证明：（1）作于M，如图．
∵，，
∴，
∵和分别平分和，，
∴，
∴．
（2）成立，
方法一：过点P作于G，交于H，如图．
则，
∵，
则，
∴，
由（1）得：，
在和中，
，
∴，
∴．
方法二：延长交于点M，
∵，
∴，，
∵平分，
∴，
同理，，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
（3）∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
【知识点】角平分线的性质；三角形全等的判定-ASA；平行线的应用-求角度；全等三角形中对应边的关系；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）作于M，由，可得，由角平分线的性质定理可求解；
（2）方法一：过点P作于G，交于H，则，，由（1）得：，结合已知，用角边角可证，由全等三角形的对应边相等可得；
方法二：延长交于点M，由平行线的性质得出，，由角平分线的定义可得，再根据等腰三角形三线合一可得，用角边角可证，由全等三角形的对应边相等可；
（3）由方法二（2）可得出，再根据线段的和差即可求解．
24．（2025八上·嘉兴月考）综合与探究：问题情景：如图1所示，已知，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AD是△ABC的中线，过点C作CE⊥AD，垂足为M，且交AB于点E．
【探究一】小虎通过度量发现∠BCE＝∠CAD，请你帮他说明理由；
【探究二】小明在图中添加了一条线段CN，且CN平分∠ACB交AD于点N，如图2所示，即可得CN＝BE，正确吗？请说明理由；
【探究三】小刚在（2）的基础上，连接DE，如图3所示，又发现了一组全等三角形，你能发现吗？请找出来，并说明理由．
【答案】解：探究一证明：如图1中，
，
，
，
，，
．
探究二解：结论：正确．
理由：如图2中，
平分，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
．
探究三解：结论：．
理由：是的中点，
，
在和中，
，
．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】探究一：根据同角的余角相等可求解；
探究二：结论：正确．由题意，用角边角可证，然后由全等三角形的对应边相等可求解；
探究三：结论：．根据边角边可求解．
1 / 1浙江省嘉兴市上海外国语大学秀洲外国语学校2025-2026学年上学期9月月考八年级数学试卷
1．（2025八上·嘉兴月考）如图，四个图标中是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025八上·嘉兴月考）下列长度的四根木棒中，能与，长的两根木棒首尾相连，组成三角形的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025八上·嘉兴月考）要说明命题“若，则”是假命题，可以举的反例是（　　）
A． B． C． D．
4．（2025八上·嘉兴月考）下面四个图形中，线段是中边上的高是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2025八上·嘉兴月考）一个三角形三个内角的度数之比为，则这个三角形一定是（　　）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
6．（2025八上·嘉兴月考）如图，在中，，平分，，，则点D到AC的距离为（　　）
A．4 B．6 C．8 D．10
7．（2025八上·嘉兴月考）如图，数学课上，老师让学生尺规作图画∠MON的角平分线OB．小明的作法如图所示，连接BA、BC，你认为这种作法中判断△ABO≌△CBO的依据是（　　）
A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
8．（2025八上·嘉兴月考）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，连接AE，若AE＝4，EC＝2，则BC的长是（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
9．（2025八上·嘉兴月考）已知点A，B，C，D在同一平面内，且AB=3，BC=5，CD=4，DA=6，则AC的长不可以是（　　）
A．2 B．6 C．8 D．10
10．（2025八上·嘉兴月考）如图，在△ABC中，BD、CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线，AM⊥CE于P，交BC于M，AN⊥BD于Q，交BC于N，∠BAC＝110°，AB＝6，AC＝5，MN＝2，结论①AP＝MP；②BC＝9；③∠MAN＝35°；④AM＝AN．其中不正确的有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
11．（2025八上·嘉兴月考）已知一个等腰三角形的两边长分别为2和4，则该等腰三角形的周长是　 　．
12．（2025八上·嘉兴月考）将命题“对顶角相等”改写成“如果……那么……”的形式是　 　．
13．（2025八上·嘉兴月考）如图，AB=AC，要使ABE≌ACD，应添加的条件是　 　（添加一个条件即可）．
14．（2025八上·嘉兴月考）如图，ABC的面积为6cm2，AP垂直∠ABC的平分线BP于点P，则PBC的面积是　 　cm2．
15．（2025八上·嘉兴月考）如图，，垂足为C，，射线，垂足为B，动点P从C点出发以的速度沿射线运动，点N为射线上一动点，满足，随着P点运动而运动，当点P运动　 　秒时，与点为顶点的三角形全等．
16．（2025八上·嘉兴月考）如图，在直角△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，BC＝10，∠ABC的平分线交AC于点D，点E、F分别是BD、AB上的动点，则AE＋EF的最小值为　 　
17．（2025八上·嘉兴月考）图1，图2都是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．三个顶点均在格点上的三角形称为格点三角形．在给定的网格中，按下列要求用无刻度的直尺画出相应的格点三角形．
（1）在图1中画出以为底的等腰三角形；
（2）在图2中画出所有与全等（不包含）的．
18．（2025八上·嘉兴月考）在中，于D，是的平分线，，求的度数．
19．（2025八上·嘉兴月考）如图，已知点C、E、F、B在同一直线上，，，，求证：．
20．（2025八上·嘉兴月考）如图①，油纸伞是中国传统工艺品之一，起源于中国的一种纸制或布制伞．油纸伞的制作工艺十分巧妙，如图②，伞圈D沿着伞柄滑动时，伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的，伞骨，的B，C点固定不动，且到点A的距离．
（1）当D点在伞柄上滑动时，处于同一平面的两条伞骨和相等吗？请说明理由．
（2）如图③，当油纸伞撑开时，伞的边缘M，N与点D在同一直线上，若，，求的度数．
21．（2025八上·嘉兴月考）陈同学用10块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（），点在上，点A和B分别与木墙的顶端重合．
（1）求证：．
（2）求两堵木墙之间的距离．
22．（2025八上·嘉兴月考）如图，和两个大小不同的等腰直角三角形，，， ，、、在同一条直线上，连接，交于点．
（1）求证：；
（2）若，，求的面积．
23．（2025八上·嘉兴月考）如图，，和分别平分和，两线相交于点P，过P点的直线分别与射线，射线相交于点E，F．
【问题引入】（1）若，求证：．
【探索研究】（2）若将（1）中“”去掉，其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由．
【拓展应用】（3）若，，求的长．
24．（2025八上·嘉兴月考）综合与探究：问题情景：如图1所示，已知，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AD是△ABC的中线，过点C作CE⊥AD，垂足为M，且交AB于点E．
【探究一】小虎通过度量发现∠BCE＝∠CAD，请你帮他说明理由；
【探究二】小明在图中添加了一条线段CN，且CN平分∠ACB交AD于点N，如图2所示，即可得CN＝BE，正确吗？请说明理由；
【探究三】小刚在（2）的基础上，连接DE，如图3所示，又发现了一组全等三角形，你能发现吗？请找出来，并说明理由．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A.图标不是轴对称图形，
∴此选项不符合题意；
B. 图标不是轴对称图形，
∴此选项不符合题意；
C.图标是轴对称图形，
∴此选项符合题意；
D. 图标不是轴对称图形，
∴此选项不符合题意.
故答案为：C．
【分析】根据轴对称图形的定义"平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形称为轴对称图形"并结合各选项即可判断求解．
2．【答案】B
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：A.∵，
∴不能与，长的两根木棒首尾相连组成三角形，
∴此选项不符合题意；
B. ∵，
∴能与，长的两根木棒首尾相连组成三角形，
∴此选项符合题意；
C.∵，
∴不能与，长的两根木棒首尾相连组成三角形，
∴此选项不符合题意；
D. ∵，
∴不能与，长的两根木棒首尾相连组成三角形，
∴此选项不符合题意．
故答案为：B．
【分析】根据三角形三边关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”并结合各选项即可判断求解．
3．【答案】A
【知识点】举反例判断命题真假
【解析】【解答】解：“若，则”是假命题，
可以举一个反例为a=-3．因为a=-3满足，但不满足．
故答案为：A
【分析】根据真假命题的定义即可求出答案.
4．【答案】A
【知识点】三角形的高
【解析】【解答】解：线段是中边的高的图形是选项A中的图形．
故答案为：A．
【分析】根据三角形高的画法知，过点B作，垂足为E，其中线段是的高，再结合各选项即可判断求解．
5．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：设三角形三个内角的度数为2x°、3x°、5x°，根据题意，
得2x+3x+5x=180，
解得：x=18，
5x=90°，
因此三角形是直角三角形。
故答案为：B.
【分析】根据三个内角的比值，结合三角形内角和定理建立方程，求出三个内角的度数后判定。
6．【答案】A
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵BC=10，CD=6，
∴BD=4．
∵∠B=90°，AD平分∠BAC ．
由角平分线的性质，得点D到AC的距离等于BD=4．
故答案为：A．
【分析】根据角平分线的性质“角平分线上的点到角两边的距离相等”可求解.
7．【答案】A
【知识点】三角形全等的判定-SSS；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】作法：①以O为圆心，任意长为半径画弧，交MO、NO于点A、G，
②再分别以A、G为圆心，大于AG长为半径画弧，两弧交于点B，
③画射线OB，射线OB即为所求，
由作图过程可得：OA=OG，AB=GB，而OB=OB，
则用到的三角形全等的判定方法是：SSS．
故选：A．
【分析】
根据基本尺克规作图可得三边对应相等，即依据为SSS．
8．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，AE＝4，
∴EB＝EA＝4，
∴BC＝EB＋EC＝4＋2＝6，
故选：C．
【分析】根据垂直平分线性质可得EB＝EA＝4，再根据边之间的关系即可求出答案.
9．【答案】B
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：构造三角形，如下图：
在△ABC中， 已知AB =3， BC =5，则BC-AB在△ADC中， 已知CD=4， DA =6，则DA-CD综合两个不等式，取交集可得2所以，只有B选项符合。
故答案为：B.
【分析】根据三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边确定AC的取值范围，进而判断选项.
10．【答案】D
【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：①∵CE平分∠ACE，
∴∠ACP=∠MCP，
∵AM⊥CE，
∴∠APC=∠MPC=90°，
∴∠CAM=∠CMA，
∴AC=CM，
∴AP=PM，
∴结论正确；
②同理得：BN=AB=6，
∵CM=AC=5，
∴BC=BN+CM-MN=6+5-2=9，
∴结论正确；
③∵∠BAC=∠MAC+∠BAN-∠MAN=110°，
由①知：∠CMA=∠CAM，∠BNA=∠BAN，
△AMN中，∠CMA+∠BNA=180°-∠MAN=∠BAN+∠MAC，
∴180°-∠MAN-∠MAN=110°，
∴∠MAN=35°，
∴结论正确；
④当∠AMN=∠ANM时，AM=AN，
∵AB=6≠AC=5
∴∠ABC≠∠ACB，
∴∠AMN≠∠ANM，则AM与AN不相等，
∴结论不正确；
∴本题不正确的有④.
故答案为：D．
【分析】①根据三角形的内角和定理判定∠CAM=∠CMA，由等腰三角形的判定和三线合一的性质可得结论正确；
②根据BN=AB=6，CM=AC=5，及线段的和与差可得BC的长；
③根据三角形的内角和定理及角的和与差可得结论；
④要想得到AM=AN，必有∠AMN=∠ANM，而AB≠AC，可知∠ABC≠∠ACB，从而得AM≠AN．
11．【答案】10
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：因为2+2＜4，
所以等腰三角形的腰的长度是4，底边长2，
周长：4+4+2=10，
答：它的周长是10，
故答案为：10
【分析】根据任意两边之和大于第三边，知道等腰三角形的腰的长度是4，底边长2，把三条边的长度加起来就是它的周长．此题考查等腰三角形的性质，关键是先判断出三角形的两条腰的长度，再根据三角形的周长的计算方法，列式解答即可．
12．【答案】如果两个角是对顶角，那么这两个角相等
【知识点】命题的概念与组成
【解析】【解答】解：将命题“对顶角相等”改写成“如果……那么……”的形式是如果两个角是对顶角，那么这两个角相等．
故答案为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等．
【分析】根据题意，先找出命题的题设与结论，在命题的题设前加如果，结论前加那么即可求解．
13．【答案】AE=AD
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵AB=AC，∠A=∠A，
要使△ABE≌△ACD，已知AB=AC，∠A=∠A，
则可以添加AE=AD，利用SAS来判定其全等；
或添加∠B=∠C，利用ASA来判定其全等；
或添加∠AEB=∠ADC，利用AAS来判定其全等．
故答案为：AE=AD（答案不唯一）．
【分析】利用三角形全等的断定定理判断即可.
14．【答案】3
【知识点】三角形的面积；三角形全等的判定-ASA；角平分线的概念；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：延长AP交BC于点E，如图所示．
∵AP垂直∠ABC的平分线BP于点P，
∴∠ABP＝∠EBP．
在△ABP和△EBP中，
，
∴△ABP≌△EBP（ASA），
∴AP＝EP．
∵△APC和△EPC等底同高，
∴S△APC＝S△CPE，
∴S△PBC＝S△BPE+S△CPE＝S△ABC＝×6＝3（cm2），
故答案为：3．
【分析】延长AP交BC于点E，由角平分线的定义可知∠ABP＝∠EBP，由题意，用角边角可证ABP≌△EBP，由全等三角形的对应边相等可得AP＝EP，根据三角形的面积可得S△APC＝S△EPC，再根据阴影部分面积的构成S△PBC＝S△BPE+S △EPC＝S△ABC即可求解．
15．【答案】0或4或8或
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；三角形-动点问题；分类讨论
【解析】【解答】解：①当P在线段上，时，与全等，
，
，
，
点P的运动时间为（秒）；
②当P在线段上，时，与全等，
这时，因此时间为0秒；
③当P在上，时，与全等，
，
，
，
点P的运动时间为（秒）；
④当P在BQ上，时，与全等，
，
，
，
点P的运动时间为（秒），
故答案为：0或4或8或．
【分析】由题意，分两种情况：①当P在线段上时，②当P在上，再分别分两种情况或进行计算即可求解．
16．【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；角平分线的性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：如图所示，作点F关于BD的对称点G，连接EG，过点A作交于点H，
∵BD平分
∴
由作图可得：
∵
∴由点到直线的垂线段最短可知：当A、E、G三点共线时，即与AH重合时，此时的值最小，最小值为AH的长，
在中，，，，
∴
即
解得：
则的最小值为
故答案为：.
【分析】作点F关于BD的对称点G，连接EG，过点A作交于点H，由作图和结合已知条件分析得知：当A、E、G三点共线时，即与AH重合时，此时的值最小，最小值为AH的长，在中，，，，，用面积法可得关于AH的方程，解方程即可求解．
17．【答案】（1）解：如图所示：取格点，连接，，
由图结合勾股定理可得，，，
∴，
∴即为所求的等腰三角形.
（2）解：如图所示：取格点、、，分别连接、，、，、，
由图结合勾股定理可得，，，
，，
∴，，
∵EF=FE，
∴，
同理可得：，，
则、、即为所求的三角形．
【知识点】等腰三角形的判定；勾股定理；三角形全等的判定-SSS
【解析】【分析】（1）取格点，使AC=BC，连接，，即可得出等腰三角形；
（2）结合全等三角形的判定画图即可.
（1）解：取格点，连接，，如图：
由网格可知，，
，
∴，
∴为等腰三角形，
则即为所求的等腰三角形；
（2）解：取格点、、，分别连接、，、，、，如图：
由网格可知，，，
，，
∴，，
在和中，
，
∴，
同理可得：，，
则即为所求的三角形．
18．【答案】解：∵，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的度数为．
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；直角三角形的性质
【解析】【分析】根据三角形内角和求得，根据角平分线的定义得，由三角形的外角的性质“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和”得∠AED=∠CAE+∠C求得∠AED的度数，然后根据直角三角形两锐角互余可求解．
19．【答案】证明：∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等的判定-SSS
【解析】【分析】由线段的和差可得，结合已知，用边边边可证，然后根据全等三角形的对应边相等可求解．
20．【答案】（1）解：相等．理由如下：
∵伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的，
∴．
在和中，
∵，
∴．
∴
（2）解：∵，
∴．
又∵，
∴．
∵，
∴
【知识点】三角形外角的概念及性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据题意可得，即可根据证明，根据全等三角形的对应边相等即可得出；
（2）易得，根据三角形的一个外角等于与之不相邻的两个内角的和得出，最后根据全等三角形对应角相等，即可得出∠CDA的度数．
21．【答案】（1）证明：由题意得：，
，
，
，
在和中，
（2）解：由（1）知，
，，
又根据题意由图可得：，，
，
答：两堵木墙之间的距离为．
【知识点】三角形全等的判定-AAS；同侧一线三垂直全等模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】
（1）根据题意可得，，，，根据等角的余角相等可得，结合已知，用角角边可证；
（2）由全等三角形的对应边相等可求解．
（1）解：由题意得：，
，
，
，
在和中，
（2）解：由（1）知，
，，
又根据题意由图可得：，，
，
答：两堵木墙之间的距离为．
22．【答案】（1）证明：∵和是等腰直角三角形，
∴∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，
∴∠BAC+∠CAE=∠DAE+∠CAE，
∴∠BAE=∠CAD，
在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（SAS）.
（2）解：由（1）得，△ABE≌△ACD，
∴BE=CD，∠AEB=∠ADC，
∴∠ADE+∠AED=∠ADC+∠CDE+∠AED=∠AEB+∠CDE+∠AED=∠CDE+∠DEB=90°，
∴∠DCE=90°，
∵CD=6，BE=2CE，
∴BE=6，CD=2，
∴．
【知识点】等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质可得∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，进而得出∠BAE=∠CAD，再利用“SAS”证明三角形全等即可；
（2）利用（1）中全等性质求出∠DCE=90°，BE=6，CD=2，继而利用面积公式求解即可．
（1）解：∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，，
∵和两个大小不同的等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴．
23．【答案】证明：（1）作于M，如图．
∵，，
∴，
∵和分别平分和，，
∴，
∴．
（2）成立，
方法一：过点P作于G，交于H，如图．
则，
∵，
则，
∴，
由（1）得：，
在和中，
，
∴，
∴．
方法二：延长交于点M，
∵，
∴，，
∵平分，
∴，
同理，，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
（3）∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
【知识点】角平分线的性质；三角形全等的判定-ASA；平行线的应用-求角度；全等三角形中对应边的关系；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）作于M，由，可得，由角平分线的性质定理可求解；
（2）方法一：过点P作于G，交于H，则，，由（1）得：，结合已知，用角边角可证，由全等三角形的对应边相等可得；
方法二：延长交于点M，由平行线的性质得出，，由角平分线的定义可得，再根据等腰三角形三线合一可得，用角边角可证，由全等三角形的对应边相等可；
（3）由方法二（2）可得出，再根据线段的和差即可求解．
24．【答案】解：探究一证明：如图1中，
，
，
，
，，
．
探究二解：结论：正确．
理由：如图2中，
平分，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
．
探究三解：结论：．
理由：是的中点，
，
在和中，
，
．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】探究一：根据同角的余角相等可求解；
探究二：结论：正确．由题意，用角边角可证，然后由全等三角形的对应边相等可求解；
探究三：结论：．根据边角边可求解．
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