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湖南省岳阳市湘阴县洞庭四校2025-2026学年九年级上学期10月联考数学试卷
一、单选题
1．下列方程为一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．用配方法解方程x2﹣2x﹣3＝0时，配方后得到的方程为（ ）
A．（x﹣1）2＝4 B．（x﹣1）2＝﹣4 C．（x+1）2＝4 D．（x+1）2＝﹣4
4．若关于x的方程是一元二次方程，则m的值是（ ）
A．0 B． C．1 D．±1
5．如图，双曲线与直线相交于、两点，点坐标为，则点坐标为（　　）

A． B． C． D．
6．阿基米德说：“给我一个支点，我就能撬动整个地球．”这句话阐明了一个重要的物理学知识杠杆原理，即阻力阻力臂＝动力动力臂．若已知某一杠杆的阻力和阻力臂分别为和，则这一杠杆的动力和动力臂之间的函数图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
7．如果有理数、同时满足，那么的值为( )
A． B． C． D．以上答案都不对
8．已知菱形的两条对角线长是方程的两个根，则菱形的面积为（ ）
A．6 B． C．10 D．
9．我国古典数学文献《增删算法统宗，六均输》中有一个“隔沟计算”的问题：“甲乙隔沟牧放，二人暗里参详，甲云得乙九只羊，多乙一倍之上，乙说得甲九只，两家之数相当，二人闲坐恼心肠，画地算了半晌”其大意为：甲、乙两人一起放牧，两人心里暗中数羊，如果乙给甲9只羊，那么甲的羊数为乙的2倍；如果甲给乙9只羊，那么两人的羊数相同，请问甲，乙各有多少只羊？设甲有羊x只，乙有羊y只，根据题意列方程组正确的为（ ）
A． B．
C． D．
10．如图，点与点分别在函数与的图像上，线段的中点在y轴上．若△的面积为，则的值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．分解因式： ．
12．已知，则的值为 ．
13．若关于的一元二次方程的一个根为，则另一个根为 ．
14．反比例函数如图所示，若矩形的面积是3，则的值为 ．
15．某钢铁厂今年1月份钢产量为5000吨，3月份上升到7200吨，设平均每月增长的百分率为x，据题意列方程
16．已知，分别是一元二次方程的两个根，则的值为 .
17．某段公路上汽车紧急刹车后前行的距离s（单位：）关于行驶时间t（单位：）的函数解析式是，遇到刹车时，汽车从刹车后到停下来前进了 ．
18．定义新运算：对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号表示a，b中的较大值，如：等等；按照这个规定，若，则x的值是
三、解答题
19．解下列方程：
(1)；
(2)．
20．已知关于的一元二次方程．
(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程的两个实数根分别为，，且，求的值．
21．如图，在一长为，宽为的矩形铁皮的四角截去四个全等的小正方形后，折成一个无盖的长方体盒子、若已知长方体盒子的底面积为，求截去的四个小正方形的边长．
22．已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：方程有两个不相等的实数根；
(2)如果方程的两实根为，且，求m的值．
23．某气球内充满了一定量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压是气体体积的反比例函数，其图象如图所示．
(1)求这个函数的解析式；
(2)当气体体积为时，气压是多少？
(3)当气球内的气压大于时，气球将爆炸，为了安全起见，气体的体积应不小于多少？（精确到）
24．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b与反比例函数的图象交，两点，一次函数的图象与y轴交于点C．
(1)求一次函数解析式；
(2)根据函数的图象，直接写出不等式的解集；
(3)点P是x轴上一点，的面积等于面积的2倍，求点P坐标．
25．心理学家研究发现，一般情况下，一节课40分钟中，学生的注意力随教师讲课的变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．经过实验分析可知，学生的注意力指数y随时间x（分钟）的变化规律如下图所示（其中AB、BC分别为线段，CD为双曲线的一部分）：
（1）求出线段AB，曲线CD的解析式，并写出自变量的取值范围；
（2）开始上课后第五分钟时与第三十分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？
（3）一道数学竞赛题，需要讲19分钟，为了效果较好，要求学生的注意力指数最低达到36，那么经过适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？
26．如图，，，，为矩形的四个顶点，，，动点、分别从点，同时出发，都以的速度运动，其中点由运动到停止，点由点运动到点停止．

(1)求四边形的面积；
(2)、两点从出发开始到几秒时，点、、组成的三角形是等腰三角形？
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B A C B A B A D C
1．C
【详解】解：A、未知数的最高次数是3，不是一元二次方程，故选项错误，不符合题意；
B、不是整式方程，故选项错误，不符合题意；
C、符合一元二次方程的定义，故选项正确；
D、方程含有两个未知数，故选项错误，不符合题意．
故选：C．
2．B
【详解】解：选项A是轴对称图形，不符合；
选项B既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合；
选项C是轴对称图形，不符合；
选项D是中心对称图形，不符合．
故选：B．
3．A
【详解】x2 2x=3，
x2 2x+1=3+1,即(x 1)2=4.
故答案选：A.
4．C
【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程，
∴，
解得，，
故选：C．
5．B
【详解】解：∵双曲线与直线相交于、两点，
∴点与关于原点对称，
∵点坐标为，
∴点的坐标为．
故选：B．
6．A
【详解】阻力阻力臂＝动力动力臂，阻力和阻力臂分别是和，
动力（单位：）关于动力臂（单位：）的函数解析式为，则，是反比例函数，
又动力臂，
故选：A．
7．B
【详解】解：∵
∴
∴（负值舍去），
故选：B．
8．A
【详解】解：设菱形的两条对角线长度为，
∴
∵菱形的两条对角线长是方程的两个根，
∴
∴．
故选：A．
9．D
【详解】解：∵如果乙给甲9只羊，那么甲的羊数为乙的2倍，
∴；
∵如果甲给乙9只羊，那么两人的羊数相同，
∴．
∴根据题意可列方程组．
故选：D．
10．C
【详解】解：如图，过A、B分别作x轴的垂线，垂足分别为点E、F
设A（x，），则OE=x，
∵M是AB的中点，
∴OF=OE
∴点F的坐标为（-x，0）
故点的坐标为（-x，）
∴SΔAOB=S梯形AEFB-SΔBFO-SΔAEO
=(+)×2x- （）=（）=2
∴=4
故选C
11．
【详解】解：原式；
故答案为．
12．/0.4
【详解】解：∵，
∴，
∴；
故答案为．
13．2
【详解】解：设另一个根为，由题意得
，
∴，
故答案为：2．
14．
【详解】解：四边形是矩形，
由题意，矩形的面积，
，
反比例函数图像在第二象限，
，
故答案为：．
15．
【详解】解：设月平均增长率为x，
则，
故答案为：．
16．
【详解】解：，分别是一元二次方程的两个根，
，，
．
故答案为：．
17．
【详解】解：，
∴遇到刹车时，汽车从刹车后到停下来前进了，
故答案为：．
18．或
【详解】解：∵，
∴，
解得或，
故答案为：或．
19．(1)，
(2)，
【详解】（1）解：，
，，，
，
，
，．
（2）解：，
，
，
即，
或，
，．
20．(1)见解析
(2)
【详解】（1），
∵，
∴，
该方程总有两个不相等的实数根；
（2）方程的两个实数根，，
由根与系数关系可知，，，
∵，
∴，
∴，
解得：，，
∴，即．
21．cm
【详解】解：设剪掉的正方形的边长为cm，
则，
解得（不合题意，舍去）
答：剪掉的正方形的边长为cm．
22．(1)见解析
(2)，
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）解：∵，方程的两实根为，
，
，
即，
解得：，．
23．(1)P
(2)
(3)
【详解】（1）解：设，
由题意知，
∴，
故；
（2）解：当时，；
（3）解：当时，，
∴为了安全起见，气体的体积应不少于．
24．(1)
(2)或
(3)或
【详解】（1）解：反比例函数的图象经过点，，
，，
解得，，
，，
把、的坐标代入得，
解得，
一次函数的解析式为．
（2）解：观察图象，不等式的解集为：或．
（3）解：连接，，由题意，
，
设，
由题意，
解得，
或．
25．（1）AB解析式为：y1=2x+20（0≤x≤10）；曲线CD的解析式为：y2=（x≥25）；（2）第30分钟注意力更集中．（3）经过适当安排，老师能在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目．
【详解】（1）设线段AB所在的直线的解析式为y1=k1x+20，
把B（10，40）代入得，k1=2，
∴AB解析式为：y1=2x+20（0≤x≤10）．
设C、D所在双曲线的解析式为y2=，
把C（25，40）代入得，k2=1000，
∴曲线CD的解析式为：y2=（x≥25）；
（2）当x1=5时，y1=2×5+20=30，
当x2=30时，y2=，
∴y1＜y2，
∴第30分钟注意力更集中．
（3）令y1=36，
∴36=2x+20，
∴x1=8，
令y2=36，
∴36=，
∴x2=≈27.8，
∵27.8－8=19.8＞19，
∴经过适当安排，老师能在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目．
26．(1)
(2)秒或秒或秒或秒
【详解】（1）解：设运动时间为，
则，，
四边形是矩形，
，，，
，
∴四边形的面积；
（2）解：设、两点从出发开始到秒时，点、、组成的三角形是等腰三角形，
，
，
分三种情况讨论：
①当时，
如图，过作于，

易得四边形为矩形，
，，
，
，
，
，
解得：或；
②当时，
如图，过作于，

易得四边形为矩形，
，，
，
，
，
解得：；
③当时，
，
，
，
，
解得：；
综上所述，当秒或秒或秒或秒时，点、、组成的三角形是等腰三角形．

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