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2025年秋学期期中考试
九年级数学参考答案
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分）
1．B 2．D 3．C 4．A 5．C 6．C 7. A 8．D
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
9．﹣3 10．87 11．4046 12．8
13． 72° 14． 15．﹣5，3 16．
三、解答题（本大题共有11小题，共102分）
17. （1）x1=2+ x2 =2-…………………………………….………… 4分
（2）x1=4 x2 =14………………………………………………………………… 8分 (
图
③
)
18．（1） …………….…… 3分 （2） …………….…… 8分 (
图
③
)
19．解：（1）k-1…………………………………………………………………… 4分
（2） k1 = -2 k2 = 4 ……………………………………………… 7分
k = -2 …………………………………………… 8分
20．（1） ……………………… 2分 ……………………… 4分
（2）点N在上；…………………………………………………………………… 6分
（3） ……………………… 8分
21．（1）甲的众数为8……………………… 2分 乙的平均数8…………… 4分
乙的中位数为9…………………………………………………………………… 6分
（2）因为他们的平均数相等，而甲的方差小，发挥比较稳定，所以选择甲参加射击比赛；…………………………………………………………………………… 8分
（3）变小．…………………………………………………………………………… 10分
22．（1），
对称轴为直线，顶点坐标为（2，5）．……………………..…………… 4分
（2）．………………………………………………………… 7分
抛物线不过点M（2，﹣1） ………………………………………..……… 8分
23．（1）略…………………………….………………………..……… 4分
（2）过O作于F，
在中，，
，
，，
，
，
，
，
，
在中， ．…………………………………… 8分
24．解：（1）设销售单价涨x元， （50+x﹣40）（500﹣10x）＝80
整理得：x2﹣40x+300＝0， 解得：x1＝10，x2＝30．
答：当销售单价涨10元或30元时，月销售利润能够达到8000元．…………… 5分
（2）当x＝10时，月销售成本为40（500﹣10x）＝16000＞10000，不合题意，舍去；
当x＝30时，月销售成本为40（500﹣10x）＝8000＜10000，符合题意，此时50+x＝80．
答：销售定价应为80元．…………………………………………..…………… 8分
25．（1） …………………………………………………………...…………… 3分
（2） …………………..…………… 7分
（3） …………………………………………..…………… 10分
26． B； …………………………………………………… 2分
x+1 ；………………………………………………4分
第二步：画四个长为x+1，宽为x的全等矩形构造“空心”大正方形；
如图：
………………………………………7分
大正方形的面积可表示为（x+x+1）2，也可表示为4x（x+1）+12＝4×6+1，
∴（x+x+1）2＝4×6+1， ∵x表示边长，x＞0， ∴2x+1＝5，
∴x＝2．……………………………10分 应用：1．………………………………12分
27．（1）,
…………………………………………..…………… 4分
（2）∵的半径为1，点．
∴
在中，，
∴当E、O、A共线，
∴的最大值为3，
∴的最大值为3．
故答案为3．……………………………………………………….…..…………… 7分
（3）如图，连接，
∵将绕着点P顺时针旋转得到，连接，则是等腰直角三角形，
∴，
∵A的坐标为，点B的坐标为，
∴，
∴，
∴线段长的最大值=线段长的最大值，
∴当N在线段的延长线时，线段取得最大值，最大值，
∵，
∴最大值为；……………………………………………………….…..…………… 10分
（4）的最小值为，最大值为．…………………………… 14分2025秋学期期中考试
九年级 数学试题
满分：150分 考试时间：120分钟
注意事项：
　　1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷．
　　2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．
　　3．答题前，务必将姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上．
一、选择题(本大题共8小题，每小题3分，共24分)
1．下列方程是一元二次方程的是（ ▲ ）
A． B． C． D．
2．某学习小组的5名同学在一次数学文化节竞赛活动中的成绩分别是：92分，96分，90分，92分，85分，则下列结论正确的是（　▲ 　）
A．极差是7 B．平均数是92 C．中位数是90 D．众数是92
3．已知⊙O半径为5，点O到直线l的距离为3，则直线l与⊙O有公共点（　▲ 　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．无法确定
4．某超市第一季度中，1月的营业额为200万元，2、3月的总营业额为1000万元，如果平均每月增长率为，由题意可列方程（ ▲ ）
A． B．
C． D．
5．小李的旅行箱密码锁的密码由四个数字组成，每个数字都是这十个数字中的一个，只有当四个数字与所设定的密码及顺序完全相同，才能将锁打开，如果仅忘记了所设密码的最后那个数字，那么一次就能打开该密码的概率是（ ▲ ）
A． B． C． D．
6．以为中心点的量角器与直角三角板按如图方式摆放，量角器的0刻度线与斜边重合．点为斜边上一点，作射线交弧于点，如果点所对应的读数为，那么的大小为( ▲ )
A． B． C． D．
7．若二次函数的图象y=(x－3)2+2， 过A(－1，y1) ，B(2，y2) ，C（3.5，y3），则y1，y2，y3的大小关系是( ▲ )
A． B． C． D．
第6题 第8题 第13题 第14题 第16题
8．如图，在矩形中，，，、、分别与相切于、、三点，过点作的切线交于点，切点为，则的长为（ ▲ ）
A． B． C． D．
二、填空题(本大题共8小题,每小题3分,共24分)
9．已知关于x的一元二次方程 一个根是2，则另一个根的值是 ▲ ．
10．某招聘考试分笔试和面试两项，笔试按70%、面试按30%计算总成绩．若小明笔试成绩为90分，面试成绩为80分，则小明的总成绩是 ▲ 分．
11．设是方程的一个根，则 ▲ ．
12．在一个不透明的袋子中装有4个白球，a个红球．这些球除颜色外都相同．若从袋子中随机摸出1个球，摸到红球的概率为 ，则 ▲ ．
13．如图，正五边形内接于，点在劣弧上，则的度数为 ▲ ．
14．学校组织开展中华优秀传统文化成果展示活动，小慧同学制作了一把扇形纸扇．如图，，，纸扇完全打开后，外侧两竹条（竹条宽度忽略不计）的夹角，现需在扇面一侧绘制山水画，则山水画所在纸面的面积为 ▲ ．
15．抛物线，当时，的最小值是 ▲ ，的最大值是 ▲ ．
16．如图，是半径为2的的弦，将弧沿将翻折后，恰好经过圆心，点是翻折的弧上的一动点：连接并延长交于，点为的中点，连接，则的最小值为 ▲ ．
三、解答题 （本大题共11小题，共102分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（本题 8分）解方程：
（1）x2﹣4x﹣1＝0； （2）（x﹣4）2＝10（x﹣4）．
18．（本题8分）为打造活力校园，某校在大课间开展了丰富多彩的活动，现有4种体育类活动供学生选择：A．羽毛球，B．乒乓球，C．花样跳绳，D．踢毽子，每名学生只能选择其中一种体育活动．
（1）若小明在这4种体育活动中随机选择，则选中“乒乓球”的概率是 ▲ ；
（2）请用画树状图或列表的方法，求小明和小聪随机选择选到同一种体育活动的概率．
19．（本题8分）已知关于x的一元二次方程x2 ﹣2（k﹣1）x+k2+3＝0．
（1）若该方程有两个实数根，求k的取值范围；
（2）若该方程的两个实数根x1，x2满足（x1-1）（x2-1）=14，求k值．
20．（本题8分）如图，在平面直角坐标系中，一段圆弧经过格点A、B、C．（网格小正方形的边长为1）．
（1）请在图中标出圆心P点位置，点P的坐标为 ▲ ； ⊙P的半径为 ▲ ；
（2）判断点与的位置关系；
（3）若扇形PAC是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的侧面积为 ▲ ．
21．（本题10分）甲、乙两人在5次打靶测试中命中的环数如下：
甲：8，8，7，8，9
乙：5，9，7，10，9
（1）填写下表：
平均数 众数 中位数 方差
甲 8 ▲ 8 0.4
乙 ▲ 9 ▲ 3.2
（2）教练根据这5次成绩，选择甲参加射击比赛，教练的理由是什么？
（3）如果乙再射击1次，命中8环，那么乙的射击成绩的方差 ▲ ．（填“变大”、“变小”或“不变”）．
22．（本题8分）已知二次函数，
（1）求函数图像的对称轴和顶点坐标；
（2）把此抛物线向左平移2个单位、再向下平移2个单位，得到的新抛物线是否过点M（2，﹣1），请说明理由．
23．（本题8分）如图，为的直径，点是上一点，点是外一点，，连接交于点．
（1）求证：是的切线．
（2）若，求的长度．
24．（本题8分）2025年最受关注的“苏超”联赛火爆全网，盐城市也准备了旅游纪念品“麋鹿宝贝”．某商店经销一种麋鹿玩具，销售成本为每件40元，据市场分析，若按每件50元销售，一个月能售出500件；销售单价每涨2元，月销售量就减少20件，针对这种玩具的销售情况，请解答以下问题：
（1）当销售单价涨多少元时，月销售利润能够达到8000元；
（2）商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，则销售定价应为多少元？
25．（本题10分）在一次趣味数学的社团活动中，有这样的一道数学探究性问题．
（1）问题情境：如图，在△ABC中，，，则△ABC的外接圆的半径为 ▲ ；
（2）操作实践：如图2，用无刻度直尺与圆规在矩形的内部作出一点，使得，且（不写作法，保留作图痕迹）；
（3）迁移应用：已知，在△ABC中，，，，求的取值范围．
26．（本题12分）阅读材料，并解决问题．
【学习研究】赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，以x2+2x﹣35＝0（x＞0）为例，构造方法如下：
第一步：将原方程x2+2x﹣35＝0（x＞0）变形为x（x+2）＝35（x＞0）；
第二步：画四个长为x+2，宽为x的矩形，按如图1所示的方式拼成一个“空心”正方形，则图1中大正方形的面积可表示为（x+x+2）2，还可表示为四个矩形与一个边长为2的小正方形面积之和，即4x（x+2）+22＝4×35+4．
第三步：得新方程（x+x+2）2＝144．因为x表示边长，所以2x+2＝12，即x＝5．
【理解】上述构造图形解一元二次方程最能体现的数学思想是 ▲ ．
A．分类讨论思想 B．数形结合思想 C．整体代换思想
【实践】小明根据赵爽的办法解方程x2+x﹣6＝0（x＞0），请你帮忙画出相应的图形，将其解答过程补充完整：
第一步：将原方程x2+x﹣6＝0（x＞0）变形为x（ ▲ ）＝6；
第二步：画四个全等的矩形构造“空心”大正方形（请在画图区画出示意图，类比图1标明各边长），并写出后续的解答过程；
【应用】一般地，对于形如x2+ax＝b的一元二次方程可以构造图2来解．已知图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4，那么此方程的正根为 ▲ ．
27．（本题14分）[发现问题]
爱好数学的小明在做作业时碰到这样的一道题目：
如图①，点O为坐标原点，的半径为1，点．动点B在上，连结AB，作等边△ABC（A，B，C 为顺时针顺序），求OC的最大值．
[解决问题]
小明经过多次的尝试与探索，终于得到解题思路：在图①中，连接，以为边在的左侧作等边△BOE，连接．
（1）请你找出图中与相等的线段，并说明理由；
（2）线段的最大值为 ▲ ．
[灵活运用]
（3）如图②，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点P为线段外一动点，且，以P为旋转中心，把PB逆时针旋转得，连接，求长的最大值．
[迁移拓展]
（4）如图③，，点D是以为直径的半圆上不同于B、C的一个动点，以为边作等边，请直接写出AC的最值．

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