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(共23张PPT)
第2章　有理数的运算
2.3　有理数的乘法
第2课时　有理数的乘法运算律
01
夯实基础巩固练
02
整合方法提升练
03
培优探究拓展练
目 录
CONTENTS
知识过关
①乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置， 　积　不变.
符号表述： 　a×b＝b×a　.
②乘法结合律：三个数相乘，先把 　前两个数　相乘，或者先把 　后两个数　相乘， 　积　不变.
符号表述： 　(a×b)×c＝a×(b×c)　.
积
a×b＝b×a
前两个数
后两个数
积
(a×b)×c＝a×(b×c)
③分配律：一个数与两个数的和相乘，等于 　把这个数分别与这两个数　相乘，再把积 　相加　.
符号表述： 　a×(b＋c)＝a×b＋a×c　.
把这个数分别
与这两个数
相加
a×(b＋c)＝a×b＋a×c
有理数的乘法运算律
1. 计算(－3)× ，用分配律计算过程正确的是(　A　)
A. (－3)×4＋(－3)×
B. (－3)×4－(－3)×
C. 3×4－(－3)×
D. (－3)×4＋3×
A
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2. 观察算式(－4)× ×(－25)×28，在解题过程中，能使运
算变得简便的运算律是(　C　)
A. 乘法交换律 B. 乘法结合律
C. 乘法交换律和乘法结合律 D. 分配律
C
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3. 计算：
(1) ×(－16)× × ；
【解】 ×(－16)× ×
＝ ×
＝－4×1＝－4.
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(2) × × × ；
【解】 × × ×
＝ ×
＝1× ＝ .
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(3) ×(－36).
【解】 ×(－36)＝ ×(－36)＋
×(－36)＋ ×(－36)＝3＋1－6＝－2.
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有理数乘法运算律的应用
4. [母题 教材P51例3]有1 155页稿件需要打字，第一天
完成其中的 ，第二天完成其中的 .问还剩多少页稿
件需打字？
【解】1 155× ＝1 155× ＝440(页).
答：还剩440页稿件需打字.
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5. [新考法·过程辨析法][2024·张家口宣化区期中]学习有理数
的乘法后，老师给同学们出了这样一道题目：
计算：49 ×(－5)，看谁算得又快又对，有两位同学的
解法如下：
小明：原式＝－ ×5＝－ ＝－249 ；
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小军：原式＝ ×(－5)＝49×(－5)＋ ×(－5)
＝－249 .
(1)对于以上两种解法，你认为 的解法较好.
小军　
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(2)上面的解法对你有何启发，你认为还有更好的方法
吗？如果有，请把它写出来.
【解】有.
49 ×(－5)＝－49 ×5＝－ ×5＝
－ ＝－ ＝－249 .
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6. 若2 024×24＝m，则2 024×25的结果可表示为(　C　)
A. m＋1 B. m＋24
C. m＋2 024 D. m＋25
C
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7. 在简便运算时，把24× 变形成最合适的形式是
(　A　)
A. 24× B. 24×
C. 24× D. 24×
A
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8. 在等式3×□－2×□＝15的两个方格中分别填入一个数，
这两个数互为相反数且使等式成立，则第二个方格中应填
入的数是 .
－3　
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(1)3 × × × ；
【解】原式＝ × × ×
＝－ × × ×
＝－3×( × － × )
＝－3× ＝－3× ＝4.
9. 计算：
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(2)(－5)× ＋7× －(＋12)× ；　
【解】原式＝(－5)×7 －7×7 ＋12×7
＝(－5－7＋12)×7
＝0×7 ＝0.
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(3) × － × － × .
【解】原式＝ × ＋ × － ×
＝ × ＝ .
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10. 阅读材料，回答问题：
× ＝ × ＝1；
× × × ＝ × × ×
＝ × ＝1×1＝1.
根据以上信息，请求出下面式子的结果.
× × ×…×( 1＋ )×
× × ×…× .
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【解】 × × ×…×
× × × ×…× 　
＝ × × ×…× × × × ×…×
＝ × × ×…×
＝1×1×1×…×1＝1.
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11. [新视角·新定义题]设a，b，c为有理数，在有理数的乘
法运算中，满足：
①交换律a×b＝b×a；
②分配律(a＋b)×c＝ac＋bc.
现对a*b这种运算作如下定义：a*b＝a×b＋a＋b.
试讨论：该运算是否满足①交换律？②分配律？通过计
算说明.
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【解】因为a*b＝a×b＋a＋b，b*a＝b×a＋b＋a，
所以a*b＝b*a，即该运算满足交换律.
根据a*b的定义得，(a＋b)*c＝(a＋b)×c＋(a＋b)＋c
＝a×c＋b×c＋a＋b＋c.
因为a*c＝a×c＋a＋c，b*c＝b×c＋b＋c，
所以a*c＋b*c＝a×c＋a＋c＋b×c＋b＋c＝a×c
＋b×c＋a＋b＋2c，所以(a＋b)*c≠a*c＋b*c，即该
运算不满足分配律.
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11(共23张PPT)
第2章　有理数的运算
2.5　有理数的乘方
第1课时　有理数的乘方
01
夯实基础巩固练
02
整合方法提升练
03
培优探究拓展练
目 录
CONTENTS
知识过关
①求几个相同因数的积的运算叫作 　乘方　，乘方的结果叫
作 　幂　.在 an中，a叫作 　底数　，n叫作 　指数　，an
读作 　“a的n次方”或“a的n次幂”　.
②幂的底数是分数或负数时，底数应该 　添上括号　.
③正数的任何次幂都是 　正数　；负数的奇次幂是 　负数　，
负数的偶次幂是 　正数　；0的正整数次幂还是 　0　.
乘方
幂
底数
指数
“a的n次方”或“a的n次幂”
添上括号
正数
负数
正数
0
乘方的概念
1. (－3)5表示(　B　)
A. －3乘5 B. 5个－3相乘
C. 3个－5相乘 D. 3个－5相加
2. －36和(－3)6的关系是(　B　)
A. 有相同的底数 B. 有相同的指数
C. 都表示6个－3相乘 D. 上述结论都错误
B
B
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3. 计算 的结果，正确的是(　A　)
A. B.
C. D.
A
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4. 填表：
乘方 65 (－5)4 －22
底数 6 －5 － 2
指数 5 4 3 2
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－5
－
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乘方的运算
5. [2023·杭州上城区月考]下列各组数中，不相等的一组是
(　A　)
A. (－3)2与－32 B. 24与42
C. (－6)3与－63 D. (－6)4与｜－6｜4
A
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6. 下列各数：－(－1)，－23， ，－ ，(－1)2 023，
－｜－4｜，其中负数有(　C　)
A. 2个 B. 3个
C. 4个 D. 5个
C
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7. 计算：
(1)32－25；
【解】原式＝9－32
＝－23.
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(2)(－2)3×2－(－3)2×3；
【解】原式＝(－8)×2－9×3
＝－16－27
＝－43.
(3)105×(－0.1)3.
【解】原式＝100 000×(－0.001)
＝－100.
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乘方的应用
8. [新考向·跨学科]某公司培养绿藻细胞制作绿藻粉，在光照
充足的环境下，1个绿藻细胞每20小时可分裂成4个绿藻细
胞，且分裂后的细胞继续分裂.现从1个绿藻细胞开始培
养，经过15天后，共分裂成4k个绿藻细胞，求k的值.
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【解】15天＝360小时，
360÷20＝18，
根据题意，得4k＝418，
所以k＝18.
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9. 有一种纸的厚度为0.1毫米，若拿两张重叠在一起，将它
对折一次后，厚度为22×0.1毫米.
(1)对折2次后，厚度为多少毫米？
【解】对折2次后，厚度为2×22×0.1＝0.8(毫米).
(2)对折6次后，厚度为多少毫米？
【解】对折6次后，厚度为25×22×0.1＝12.8(毫米).
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10. 若非零数a，b互为相反数，则下列四组数中，互为相
反数的为(　C　)
①a2与b2；②a2与－b2；③a3与b3；④a3与－b3.
A. ①② B. ②④
C. ②③ D. ③④
C
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11. [新考向·传统文化]《庄子》中记载：“一尺之棰，日取
其半，万世不竭.”这句话的意思是一尺长的木棍，每天
截取它的一半，永远也截不完.若按此方式截一根长为1
的木棍，第5天截取后木棍剩余的长度是(　C　)
A. 1－ B. 1－
C. D.
C
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12. m为任意有理数，下列说法正确的是(　B　)
A. (m＋1)2的值总是正的
B. m2＋1的值总是正的
C. －(m＋1)2的值总是负的
D. 1－m2的值总比1小
B
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13. 若m是大于－2、小于－1的有理数，则m， ，－m2之
间的大小关系是 .
－m2＜m＜ 　
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(a·b)2＝a2·b2，(a·b)3＝a3·b3，….据此计算：
(1)(a·b)n＝ ；
(2)25× ＝ ；
(3)(－0.125)2 024×22 023×42 022＝ .
anbn　
－1　
　
14. [2024·深圳南山区期中]阅读下列各式：
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15. 我们常用的数是十进制数，如4 657＝4×103＋6×102＋
5×101＋7×1，十进制数要用10个数码(又叫数字)：0，
1，2，3，4，5，6，7，8，9，在电子计算机中用的二进
制，只要两个数码：0和1，如二进制中110＝1×22＋
1×21＋0×1等于十进制的数6，110 101＝1×25＋1×24
＋0×23＋1×22＋0×21＋1×1等于十进制的数53.那么二
进制中的数101 011等于十进制中的哪个数？
【解】101 011＝1×25＋0×24＋1×23＋0×22＋1×21＋
1×1＝43，所以二进制中的数101 011等于十进制中的数
43.
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16. [2024·枣庄滕州期中](1)填空：1.22＝ ；122
＝ ；1202＝ .
(2)根据上题的规律猜想：当底数的小数点向右移动一位
时，其平方数的小数点怎样移动？
(3)利用上述规律，解答下列各题：
如果3.252＝10.562 5，那么0.3252＝ ；
如果x2＝105 625，那么x＝ .
【解】根据(1)的规律可知，当底数的小数点向右移
动一位时，其平方数的小数点向右移动两位.
1.44　
144　
14 400　
0.105 625　
±325　
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17. 数学课上，李老师在黑板上写了一道题目：当n为正整
数时，计算(－1)n＋(－1)n＋1的结果.
琪琪说：因为n的值不确定，所有(－1)n＋(－1)n＋1的结
果也不能确定；
聪聪说：(－1)n＋(－1)n＋1的结果是不变的，可以求出.
你同意谁的说法？请给出你的答案并说明理由.
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【解】同意聪聪的说法.理由如下；
因为n为正整数，
所以n可能为偶数，也可能为奇数.
①当n为偶数时，n＋1为奇数.(－1)n＋(－1)n＋1＝1＋
(－1)＝0.
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②当n为奇数时，n＋1为偶数.(－1)n＋(－1)n＋1＝(－1)
＋1＝0.
所以(－1)n＋(－1)n＋1的结果是不变的，可以求出.所以
聪聪的说法是正确的.
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17(共26张PPT)
第2章　有理数的运算
2.4　有理数的除法
01
夯实基础巩固练
02
整合方法提升练
03
培优探究拓展练
目 录
CONTENTS
知识过关
①两数相除，同号得 　正　，异号得 　负　，并把 　绝对值　
相除；零除以任何一个 　不等于0　的数都得 　0　.
②乘法与除法之间的关系：除以一个数(不等于零)，等于 　乘
以　这个数的 　倒数　.
正
负
绝对值
不等于0
0
乘
以
倒数
有理数的除法法则
1. 计算15÷(－5)的结果是(　B　)
A. －5 B. －3
C. 3 D. 5
B
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2. [2024·宁波鄞州区调研]－1÷(－5)÷ 的计算结果是
(　A　)
A. －1 B. －
C. D. 1
A
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3. 已知算式“5■(－5)”的值为－1，“■”部分是因被污
染而看不清的运算符号，则该运算符号应该是(　D　)
A. ＋ B. －
C. × D. ÷
D
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4. 列式计算：
(1)一个数与－ 的积为 ，求这个数；
【解】 ÷ ＝ × ＝－ .
(2)－2 除以一个数的商为－9，求这个数.
【解】－2 ÷(－9)＝ × ＝ .
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有理数的乘除混合运算
5. [2024·温州鹿城区月考]计算2÷3× 的结果是(　C　)
A. －2 B. 2
C. － D.
C
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6. 计算：
(1) × ÷0.25；
【解】原式＝ × ×4
＝ .
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(2) ÷(－5)× ；
【解】原式＝ × ×
＝－ .
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(3) × × ÷ .
【解】原式＝ × × ×
＝－ .
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有理数除法的实际应用
7. 张强和李倩分别用电脑录入同一份稿件，张强录入了这份
稿件的 后，还剩下3 500字，李倩录入的字数占这份稿件
的 ，则李倩录入的字数为(　C　)
A. 3 500 B. 2 800
C. 3 000 D. 3 200
C
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8. [新视角·动态探究题][2024·上海青浦区期末] 如图，机器
人淘淘和巧巧分别站在边长为15米的正方形道路ABCD的
顶点D，B处，他们同时出发，分别以1米每秒和1.5米每
秒的速度沿正方形道路按顺时针方向匀速行走，当淘淘和
巧巧第一次都在正方形的同一顶点处时，经过了多少秒？
(　B　)
A. 30秒 B. 60秒
C. 90秒 D. 120秒
B
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9. 下列说法不正确的是(　A　)
A. 如果两个数的和为0，那么这两个数的商一定为－1
B. 如果两个数的商为－1，那么这两个数的和一定为0
C. 如果两个数的符号相同，那么这两个数的商一定为正数
D. 如果两个数的商为正数，那么这两个数的符号一定相同
A
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10. [2023·无锡滨湖区一模]某同学在计算－16÷a时，误将
“÷”看成“＋”，结果是－12，则－16÷a的正确结
果是(　D　)
A. 6 B. －6
C. 4 D. －4
D
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11. 下列说法：①若m满足｜m｜＋m＝0，则m＜0；②
若｜a－b｜＝b－a，则b＞a；③若a＋b＝0，则
＝－1；④若三个有理数a，b，c满足 ＋ ＋
＝1，则 ＝－1.其中正确的有(　A　)
A. 1个 B. 2个
C. 3个 D. 4个
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【点拨】
①因为｜m｜＋m＝0，所以｜m｜＝－m，
所以m≤0，故①错误；
②因为｜a－b｜＝b－a，所以b－a≥0.所以
b≥a，故②错误；
③当a＝b＝0时，满足a＋b＝0，但不满足 ＝－
1，故③错误；
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④当a，b，c都是正数时， ＋ ＋
＝ ＋ ＋ ＝1＋1＋1＝3，不符合题意；
当a，b，c中有两个正数、一个负数时，不妨设
a，b为正数，则 ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＝
1＋1－1＝1，所以 ＝ ＝－1；
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当a，b，c中有两个负数、一个正数时，不妨设
a，b为负数，则 ＋ ＋ ＝ ＋ ＋
＝－1－1＋1＝－1，不符合题意；
当a，b，c都是负数时， ＋ ＋
＝ ＋ ＋ ＝－1－1－1＝－3，不符合题意.
所以若三个有理数a，b，c满足 ＋ ＋
＝1，则 ＝－1，故④正确.
A
【答案】
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12. 计算6÷ 时，小刚同学的计算过程如下：
解：原式＝6÷ ＋6÷ ＝－12＋18＝6.
(1)请你判断小刚同学的计算过程是否正确，若不正确，
请你写出正确的计算过程；
【解】不正确.
正确的计算过程为：原式＝6÷ ＝－36.
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【解】因为 ÷ ＝( － ＋ )×(－
18)＝－9＋3－2＝－8，18÷ ＝18÷ ＝
18× ＝ ，
所以原式＝－8＋ ＝ .
(2)用适当的方法计算 ÷ ＋18÷ 的值.
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13. 小丽有5张写着不同数的卡片(如图)，请你按要求抽取卡
片，完成下列各题：
从中抽取2张卡片，将卡片上的数相乘，再抽取1张卡
片，用前面两数之积除以第3张卡片上的数得到商.
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(1)如何抽取，可使商最大？最大是多少？
【解】抽取的卡片上的数分别为－3，－5，＋ ，可
使商最大.最大是(－3)×(－5)÷ ＝15×4＝60.
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(2)如何抽取，可使商最小？最小是多少？
【解】抽取的卡片上的数分别为＋3，－5，＋ ，可
使商最小，最小是(＋3)×(－5)÷ ＝－15×4＝
－60.
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14. [新视角·条件开放题]对于四个数“－8，－2，1，3”及
四种运算“＋，－，×，÷”，列算式解答：
(1)求这四个数的和；
【解】(－8)＋(－2)＋1＋3＝－6.
(2)在这四个数中选出两个数，按要求进行下列计
算，使得：
①两数差的结果最小；
②两数积的结果最大；
【解】①(－8)－3＝－11.②(－8)×(－2)＝16.
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(3)在这四个数中选出三个数，在四种运算中选出两种，
组成一个算式，使运算结果等于没选的那个数.
【解】答案不唯一，符合要求即可.
如：(－8)÷(－2)－3＝1或(－8)÷(－2)－1＝3.
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14(共24张PPT)
第2章　有理数的运算
全章整合训练
01
知识导图
02
考点梳理
目 录
CONTENTS
有理数的加减法运算
1. 已知室外温度为－3 ℃，室内温度比室外温度高9 ℃，则
室内温度为(　A　)
A. 6 ℃ B. －6 ℃
C. 9 ℃ D. 12 ℃
A
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2. 如果两个有理数的和是正数，那么这两个数(　D　)
A. 一定都是正数 B. 一定都是负数
C. 一正数一负数 D. 至少有一个是正数
3. 下列运算正确的是(　D　)
A. (－1)＋(＋3)＝－4 B. (－2)＋(－3)＝1
C. (＋2)－(－5)＝－3 D. (－3)－(－5)＝2
D
D
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4. [新考法·阅读类比法]阅读下面解题过程：
计算： ＋ ＋17 ＋
解：因为－5 ＝(－5)＋ ，－9 ＝(－9)＋ ，
17 ＝17＋ ，－3 ＝(－3)＋ ，
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所以原式＝ ＋［(－9)＋ ］＋
＋ ＝[(－5)＋(－9)＋17＋(－3)]＋
＝0＋ ＝
－1 .　
上面这种计算方法叫拆项法，仿照上面的方法，请你计
算： ＋ －400 ＋ .
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【解】 ＋ －400 ＋
＝(－200－199－400－1)＋( － － － － )
＝－800－
＝－802 .
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有理数的乘除法运算
5. 下列各式中，计算结果最大的是(　B　)
A. 3＋(－2) B. 3－(－2)
C. 3×(－2) D. 3÷(－2)
B
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6. 如果两个有理数的和是正数，积是负数，那么这两个有理
数(　C　)
A. 同号且均为正数
B. 同号且均为负数
C. 异号且正数的绝对值大于负数的绝对值
D. 异号且负数的绝对值大于正数的绝对值
C
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7. [新视角·新定义题]定义：a是不为1的数，我们把 称
为a的差倒数，如 的差倒数为 ＝2，已知x＝ ，y
是x的差倒数，求y的值.
【解】因为x＝ ，y是x的差倒数，
所以y＝ ＝ ＝1 .
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有理数的乘方运算
8. [2024·宁波慈溪市月考]下列各组数中相等的是(　B　)
A. 32与23 B. 32与(－3)2
C. (－3×2)2与－3×22 D. 与
B
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9. 如果｜x－3｜＋(y－2)2＝0，则yx＝ .
10. 计算：
(1)(－2)3×(－1)4－｜－12｜÷ ；
【解】原式＝－8×1－12÷
＝－8－12×(－4)
＝－8＋48＝40.
8　
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(2)(－24)× ＋(－2)3.
【解】原式＝－24× －(－24)× ＋(－24)× －8
＝－3＋8－6－8＝－9.
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11. [新考法·阅读类比法]阅读材料：求1＋2＋22＋23＋24＋…
＋22 023＋22 024的值.
解：设S＝1＋2＋22＋23＋24＋…＋22 023＋22 024，
将等式两边同时乘2，得2S＝2＋22＋23＋24＋25＋…＋
22 024＋22 025，
将下式减去上式，得2S－S＝22 025－1，
即S＝22 025－1，
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即1＋2＋22＋23＋24＋…＋22 023＋22 024＝22 025－1.
请你仿照此法计算：
1＋3＋32＋33＋34＋…＋32 024.
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【解】设S＝1＋3＋32＋33＋34＋…＋32 024，
将等式两边同时乘3，得3S＝3＋32＋33＋34＋35＋…＋32 025，　
将下式减去上式，得3S－S＝32 025－1，
即2S＝32 025－1，则S＝ ，
即1＋3＋32＋33＋34＋…＋32 024＝ .
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科学记数法和近似数
12. [情境题·航天航空][2024·广东]2024年6月6日，嫦娥六号
在距离地球约384 000千米外上演“太空牵手”，完成月
球轨道的交会对接.数据384 000用科学记数法表示为
(　B　)
A. 3.84×104 B. 3.84×105
C. 3.84×106 D. 38.4×105
B
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13. 下列说法正确的是(　D　)
A. 近似数23与23.0的精确度相同
B. 近似数2.0×103与2 000的意义完全一样
C. 近似数79.0精确到个位
D. 近似数3.14精确到0.01
D
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14. [2024·杭州期中]由四舍五入得到的近似数1.20万精确
到 位.由四舍五入得到的近似数37.5精确到
位，它表示大于或等于 且小于
的数.
百　
十
分　
37.45　
37.55　
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15. [立德树人·勤俭节约]“一粥一饭当思来之不易”，勤俭
节约是中华民族的传统美德，一粒大米虽然微不足道，
但聚少成多，数量大了也是非常可观的.为了让同学们体
会到节约每一粒粮食的重要性，老师组织同学们进行了
实际测算，称得500粒大米约重10克.
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(1)一粒大米约重多少克？
【解】根据一粒大米的重量×粒数＝总重量，得一粒
大米的重量＝总质量÷粒数，
10÷500＝0.02(克).
答：一粒大米约重0.02克.
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(2)按14亿人口，每年365天，每人每天三餐计算，若每
人每餐节约一粒大米，则一年大约能节约大米多少千
克？(用科学记数法表示)
【解】0.02×1×3×365×1 400 000 000÷1 000＝30
660 000(千克)＝3.066×107千克.
答：一年大约能节约大米3.066×107千克.
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(3)若把(2)中节约的大米卖成钱，按5元/千克计算，则大
约可卖得多少元？(用科学记数法表示)
【解】3.066×107×5＝1.533×108(元).
答：可卖得人民币大约1.533×108元.
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第2章　有理数的运算
2.3　有理数的乘法
第1课时　有理数的乘法法则
01
夯实基础巩固练
02
整合方法提升练
03
培优探究拓展练
目 录
CONTENTS
知识过关
①有理数的乘法法则：(1)两数相乘，同号得 　正　，异号
得 　负　，并把 　绝对值　相乘；
(2)任何数与零相乘，积为 　零　.
②多个不为0的有理数相乘时，可以先确定 　积的符号　，
再将 　绝对值　相乘.
③若两个有理数的乘积为 　1　，就称这两个有理数互为倒
数； 　0　没有倒数.
正
负
绝对值
零
积的符号
绝对值
1
0
有理数的乘法法则
1. 计算(－3)×2，正确的结果是(　D　)
A. 6 B. 5
C. －5 D. －6
2. [2024·吉林]若(－3)×□的运算结果为正数，则□内的数
可以为(　D　)
A. 2 B. 1 C. 0 D. －1
D
D
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3. 已知一个数的相反数是2 ，另一个数的绝对值是2 ，则
这两个数的积为 .
6或－6　
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(1)(－15)× ；
【解】(－15)× ＝15× ＝9.
(2)(－2.25)×(＋10)；
【解】(－2.25)×(＋10)＝－22.5.
(3) ×(＋1.2).
【解】 ×(＋1.2)＝ × ＝ .
4. 计算：
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多个有理数相乘
5. [2023·慈溪月考]4个非零有理数相乘，积的符号是负号，
则这4个有理数中，正数有(　A　)
A. 1个或3个 B. 1个或2个
C. 2个或4个 D. 3个或4个
A
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6. 计算：
(1)(－10)×(－0.2)×2×(－5)；
【解】(－10)×(－0.2)×2×(－5)
＝－(10×0.2×2×5)＝－20.
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(2) × ×(－2.5)× ；
【解】 × ×(－2.5)×
＝－(× × × )＝－ .
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(3) × × × .
【解】 × × ×
＝ × × ×
＝ .
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倒数
7. [2024·陕西]－3的倒数是(　A　)
A. － B.
C. －3 D. 3
8. 下列各组数中，互为倒数的是(　A　)
A. －2和－ B. －1和1
C. － 和1.5 D. 0和0
A
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9. 如果ab＝－1，则称a，b互为“负倒数”，那么2的“负
倒数”是(　D　)
A. 2 B. －2
C. D. －
D
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10. 已知｜a｜＝3，｜b｜＝4，且a＞b，则ab的值为
(　A　)
A. ±12 B. ±1
C. 1或－7 D. 7或－1
A
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11. 已知两个有理数a，b，如果ab＜0且a＋b＞0，那么
(　D　)
A. a＞0，b＞0
B. a＜0，b＞0
C. a＜0，b＜0
D. a，b异号，且正数的绝对值较大
D
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12. 在整数－3，－1，0，6，2中，若选取两个整数分别填入
“□×△＝－6”的□和△中，并使等式成立，则选取后
可以填入“□”的数有(　D　)
A. 1种 B. 2种
C. 3种 D. 4种
D
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13. 有理数a，b，c，d在数轴上对应的点的位置如图，则
abc 0，abcd 0(填“＞”或“＜”).
＞　
＞　
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14. [2024·唐山模拟](1)将9个不同的数分别填入图①中的9个
空格中，使得每行、每列及对角线上各数的和都等于0；
【解】(答案不唯一)如图①所示.
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(2)将9个不同的数分别填入图②中的9个空格中，使得每
行、每列及对角线上各数的积都等于1.
【解】(答案不唯一)如图②所示.
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15. [新视角·新定义题]若定义一种新的运算“*”，规定有理
数a*b＝4ab，如2*3＝4×2×3＝24.
(1)求3*(－4)的值；
【解】3*(－4)
＝4×3×(－4)
＝－48.
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【解】(－2)*(6*3)
＝(－2)*(4×6×3)
＝(－2)*72
＝4×(－2)×(72)
＝－576.
(2)求(－2)*(6*3)的值.
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16. [2024·杭州上城区月考]小莉同学有7张写着不同有理数的
卡片(如图)，她想从中取出若干张卡片，将卡片上的数
进行有理数的运算.
(1)若取出2张卡片，应该抽取哪2张使得数字之积最大，
积最大是多少？
【解】抽取－6和－4，积最大是(－6)×(－4)＝24.
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(2)若取出3张卡片，应该抽取哪3张使得数字之积最小，
积最小是多少？
【解】抽取－6，3，5，积最小是(－6)×3×5＝－90.
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17. 【阅读】我们学习了有理数的加法法则与有理数的乘法
法则.在学习此部分内容时，我们掌握了法则，同时也学
会了分类思考.
【探索】已知两个有理数a，b.
(1)若ab＝6，则a＋b的值为：①正数，②负数，③0.
你认为结果可能是 ；(填序号)
①②　
(2)若a＋b＝－5，且a，b为整数，则ab的最大值
为 ；
6　
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(3)若ab＜0，试比较a＋b与0的大小.
【解】因为ab＜0，所以a，b异号.
设a＞0，则b＜0.
若｜a｜＞｜b｜，则a＋b＞0；
若｜a｜＝｜b｜，则a＋b＝0；
若｜a｜＜｜b｜，则a＋b＜0.
设a＜0，则b＞0.
若｜a｜＞｜b｜，则a＋b＜0；
若｜a｜＝｜b｜，则a＋b＝0；
若｜a｜＜｜b｜，则a＋b＞0.
【拓展】
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17(共9张PPT)
第2章　有理数的运算
2.5　有理数的乘方
第2课时 科学记数法
1．[2024·台州黄岩区模拟]随着人工智能(AI)技术的飞速发展，全球范围内的算力竞赛愈发激烈．调查显示，数据和算力中心每处理1G数据大约需要消耗电力13千瓦时．国网能源研究院曾测算，到2030年国内数据和算力中心的用电量将超过400 000 000 000千瓦时，数据400 000 000 000用科学记数法可以表示为(　　)
A．0.4×1012 B．0.4×1011 C．4×1012 D．4×1011
D
C
2．[2024·平湖模拟]平湖市地处浙江省东北部，依托“背靠上海、面向大海”的“两海”优势，是浙江省首批扩大经济管理权限的17个强县市之一.2023年全市财政总收入131.71亿元．数131.71亿用科学记数法表示为a×10n，则n的值为(　　)
A．8 B．9 C．10 D．11
B
3．[2024·宁波海曙区模拟]据国家移民管理局消息，截至2023年12月31日，试行单方面免签政策的6国约有120 000人次免签入境中国，将数据“120 000”用科学记数法表示为a×10n的形式，则(　　)
A．a＝1.2，n＝3 B．a＝1.2，n＝5
C．a＝1.2，n＝6 D．a＝0.12，n＝6
4．若一个整数20 240…0用科学记数法表示为2.024×1010，则原数中“0”的个数为________个．
8
6
5．填一填：①6.74×105的原数有________位整数；②－3.251×107的原数有________位整数．
8
6．计算(结果用科学记数法表示)：
(1)2×104×3×103＝__________；
(2)2.5×105＋30×104＝__________．
6×107
5.5×105
7．我国约有9.6×106平方千米的土地，平均1平方千米的土地一年从太阳得到的能量相当于燃烧1.5×105吨煤所产生的能量．
(1)一年内我国土地从太阳得到的能量相当于燃烧多少吨煤所产生的能量．(结果用科学记数法表示)
【解】(9.6×106)×(1.5×105)＝1.44×1012(吨)．
答：一年内我国土地从太阳得到的能量相当于燃烧1.44×1012吨煤所产生的能量．
(2)若1吨煤大约可以发出8×103度电，那么(1)中的煤大约发出多少度电？(结果用科学记数法表示)
(1.44×1012)×(8×103)＝1.152×1016(度)．
答：(1)中的煤大约发出1.152×1016度电．(共8张PPT)
第2章　有理数的运算
2.1　有理数的加法
第2课时 有理数的加法运算律
1．计算16＋(－25)＋24的结果是(　　)
A．15 B．－15 C．3 D．－3
A
A
3．运用加法运算律计算．
(1)43＋(－77)＋27＋(－43);
(2)19.5＋(－6.9)＋(－3.1)＋(－9.5)；
【解】原式＝43＋（－43）＋[(－77)＋27]＝
0＋(－50)＝－50.
原式＝[19.5＋(－9.5)]＋[(－6.9)＋(－3.1)]＝10＋(－10)＝0.
4．为了有效控制酒后驾驶，杭州交警的汽车在一条东西方向的公路上巡逻，约定向东为正方向，从出发点A开始所走的路程为(单位：千米)：＋15，－4，＋13，－10，－12，＋3，－13，－17.
(1)请你帮忙确定交警最后所在地相对于A地的位置；
【解】(＋15)＋(－4)＋(＋13)＋(－10)＋(－12)＋(＋3)＋(－13)＋(－17)＝－25(千米)，
所以交警最后所在地在A地西侧25千米处．
(2)求出交警一共行驶的路程．
【解】|＋15|＋|－4|＋|＋13|＋|－10|＋
|－12|＋|＋3|＋|－13|＋|－17|＝87(千米)．
答：交警一共行驶的路程为87千米．(共22张PPT)
第2章　有理数的运算
2.7　近似数
01
夯实基础巩固练
02
整合方法提升练
03
培优探究拓展练
目 录
CONTENTS
知识过关
与实际完全符合的数称为 　准确数　；通过测量或估计得到
的，与实际数据比较接近，但不完全符合，这些与实际接近
的数称为 　近似数　.
准确数
近似数
准确数与近似数
1. 下列数据：
①小明班上有45人；
②吐鲁番盆地低于海平面大约154米；
③某次地震中，伤亡约10万人；
④小红测得数学书的长度是26.0厘米.
其中准确数的个数是(　A　)
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
A
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2. 下列各数中，属于近似数的是(　C　)
A. 我国有56个民族
B. 李刚家共有3口人
C. 2023年底我国的人口约有14.10亿
D. 四月份有30天
C
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近似数的精确度及表示
3. [2024·温州期末]苍南县因地处玉苍山之南，故取县名为苍
南.其总面积为1 079.34平方公里，数1 079.34精确到个
位，则近似值为(　C　)
A. 1 080 B. 1 079.3
C. 1 079 D. 1 070
C
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4. 乐乐同学的身高是1.62米，由四舍五入得到的近似数1.62
精确到 位.
5. 按括号内的要求，用四舍五入法对下列各数取近似数：
(1)0.901 49(精确到0.1)≈ ；
(2)0.403 0(精确到百分位)≈ ；
(3)0.028 66(精确到0.000 1)≈ ；
(4)35 486(精确到百位)≈ .
百分　
0.9　
0.40　
0.028 7　
3.55×104　
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计算器的使用
6. 用计算器计算(－7.7)6，按键顺序是(　D　)
A. (－) 7 · 7 yx 6 ＝
B. 7 · 7 (－) yx 6 ＝
C. 7 · 7 yx 6 (－) ＝
D. ( (－) 7 · 7 ) yx 6 ＝
D
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7. [母题 教材P69例1]与下面科学计算器的按键顺序对应的计
算是(　B　)
0 · 6 × 6 ▲ 5 ＋ 1 2 yx 4
A. 0.6× ＋124 B. 0.6× ＋124
C. 0.6×5÷6＋412 D. 0.6× ＋412
B
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[易错题]对精确度理解不透彻而出错
8. 下列各近似数中，精确度一样的是(　B　)
A. 0.28与0.280 B. 0.70与0.07
C. 5百万与500万 D. 1.1×103与1 100
B
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9. 浙教版初中数学课本封面长度约为26.0厘米，是精确到
(　A　)
A. 1毫米 B. 1厘米
C. 1分米 D. 1米
10. 下列关于6.7×106的精确程度，说法正确的是(　C　)
A. 精确到十分位 B. 精确到个位
C. 精确到十万位 D. 以上说法都不对
A
C
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11. [2024·杭州上城区期中]近似数1.30所表示的准确数A的
范围是(　C　)
A. 1.25≤A＜1.35
B. 1.20＜A＜1.30
C. 1.295≤A＜1.305
D. 1.300≤A＜1.305
C
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12. “光年”是一个长度单位，1光年就是光在真空中传播1
年所经过的距离，已知光在真空中的传播速度约为300
000 000米/秒，请计算1光年约表示多少千米.(1年按365
天计算，结果精确到百亿位)
【解】300 000 000×365×24×60×60＝
9 460 800 000 000 000(米) ＝9 460 800 000 000千米
≈9.46×1012千米.
答：1光年约表示9.46×1012千米.
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13. [新视角·新定义题]如果一个实际数的真实值为a，近似
数为b，则｜a－b｜称为绝对误差， 称为相对
误差，如果某本书实际长20.45 cm，第一次测量精确到
厘米，第二次测量精确到毫米，求两次测量所产生的绝
对误差和相对误差.
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【解】第一次测量精确到厘米.
因为a＝20.45 cm，所以b＝20 cm.
所以｜a－b｜＝｜20.45－20｜＝0.45(cm).
所以 ＝ ≈0.022.
第二次测量精确到毫米.
因为a＝20.45 cm，所以b＝20.5 cm.
所以｜a－b｜＝｜20.5－20.45｜＝0.05(cm).
所以 ＝ ≈0.002 4.
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14. 用计算器计算下列各式：
6×7＝ ；
66×67＝ ；
666×667＝ ；
6 666×6 667＝ .
观察上述结果，你发现了什么规律？请写出66 666×66
667和666 666×666 667的准确结果，再把结果精确到十
万位.
42　
4 422　
444 222　
44 442 222　
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【解】规律：× ＝ .
66 666×66 667＝4 444 422 222 ，精确到十万位是4 444
400 000；666 666×666 667＝444 444 222 222，精确到十
万位是444 444 200 000.
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15. [新考向·知识情境化]车工小王加工生产了两根轴，当他
把轴交给质检员验收时，质检员说：“不合格，作
废！”小王不服气地说：“图纸要求精确到2.60 m，一
根为2.56 m，另一根为2.62 m，怎么不合格？”
(1)图纸要求精确到2.60 m，合格轴的范围是多少？
【解】合格轴的范围是2.595 m≤x＜2.605 m.
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(2)你认为是小王加工的轴不合格，还是质检员故意
刁难？
【解】小王加工的轴不合格.由(1)知合格轴的范围是
2.595 m≤x＜2.605 m，故长为2.56 m与2.62 m的轴
不合格.
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16. 我们把由“四舍五入”法对非负有理数x精确到个位的
值记为＜x＞.如：＜0＞＝＜0.48＞＝0，＜0.64＞＝＜
1.493＞＝1，＜2＞＝2，＜2.5＞＝＜3.12＞＝3，…
解决下列问题：
(1)①若＜x＞＝6，则x的取值范围是
；
②若＜x＞＝ x，则x的值是 　0或 或 　；
5.5≤x＜
6.5　
0或 或 　
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【解】设x＝n＋a，其中n为x的整数部分(n为非负
整数)，a为x的小数部分(0＜a＜1).
(Ⅰ)当0＜a＜ 时，＜x＞＝n.
因为x＋m＝(n＋m)＋a，(n＋m)为(x＋m)的整数
部分，a为(x＋m)的小数部分，
所以＜x＋m＞＝n＋m.
(2)若m为正整数，试说明：＜x＋m＞＝＜x＞＋m恒成立.
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又因为＜x＞＋m＝n＋m，所以＜x＋m＞＝＜x
＞＋m.
(Ⅱ)当 ≤a＜1时，＜x＞＝n＋1.
因为x＋m＝(n＋m)＋a，(n＋m)为(x＋m)的整数
部分，a为(x＋m)的小数部分，
所以＜x＋m＞＝n＋m＋1.
又因为＜x＞＋m＝n＋1＋m＝n＋m＋1，
所以＜x＋m＞＝＜x＞＋m.
综上所述，＜x＋m＞＝＜x＞＋m恒成立.
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第2章　有理数的运算
2.1　有理数的加法
第1课时 有理数的加法法则
1．[2024·杭州期末]计算－5＋(－4)的结果是(　　)
A．－1 B．－9 C．1 D．9
B
C
2．[2024·温州模拟]某日上午八点温州市的气温为－1 ℃，下午两点气温比上午八点上升了3 ℃，则下午两点的气温为(　　)
A．－4 ℃ B．－2 ℃ C．2 ℃ D．4 ℃
3．如图，数轴上依次有A，P，B，Q，C五个点，其中A，B，C三点所表示的数分别为a，b，c，且点A到点P，点P到点B，点B到点Q，点Q到点C之间的距离均相等．
C
如果有a＋b<0，a＋c<0，b＋c>0，那么该数轴原点O的位置应该在(　　)
A．点A和点P之间(不包括端点)
B．点P和点B之间(不包括端点)
C．点B和点Q之间(不包括端点)
D．点Q和点C之间(不包括端点)
4．在括号内填上适当的符号，使下列式子成立．
(1)(______3)＋(______3)＝0；
(2)(______3.4)＋(______1.8)＝－5.2.
＋
－
(或－；＋)
－
－
－1
5．用[x]表示不大于x的整数中的最大整数，如[2.4]＝2，[－3.3]＝－4，请计算[4.8]＋[－4.4]＝________．
6. 若|a|＝2，|b|＝7，则|a＋b|的值是________．
5或9
7．计算：
(1)(－9)＋(－27)；　　　　　　
(2)8.36＋(－1.37)；　　　
【解】原式＝－(9＋27)＝－36.
原式＝＋(8.36－1.37)＝6.99.
原式＝－0.25＋1.25＝1.(共10张PPT)
第2章　有理数的运算
2.3　有理数的乘法
第1课时 有理数的乘法法则
B
B
2．[2024·杭州萧山区模拟]计算(－1)×(－5)的结果是(　　)
A．－5 B．5 C．1 D．－1
C
3．下列算式中，运算结果是负数的是(　　)
A．(－2)×0 B．3×|－2|
C．(－2)×5 D．(－4)×(－2)
4．[2024·台州期末]有理数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，则下列说法正确的是(　　)
A．ab>0
B．a＋c<0
C．(b－c)(a－b)>0
D．(a＋b)(b＋c)>0
C
10
5．一个数的相反数是－0.1，则这个数的倒数是________．
6．如果一个数的倒数是它本身，那么这个数是________．
±1
7．在数－5，－3，0，5，－2中，任取两个数相乘，其中最大的积是________，最小的积是________．
15
－25(共20张PPT)
第2章　有理数的运算
2.2　有理数的减法
第1课时　有理数的减法法则
01
夯实基础巩固练
02
整合方法提升练
03
培优探究拓展练
目 录
CONTENTS
知识过关
减去一个数，等于加上这个数的 　相反数　.
相反数
有理数的减法法则
1. [2024·天津]计算3－(－3)的结果是(　D　)
A. －6 B. 0 C. 3 D. 6
D
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2. [2024·石家庄期末]下列算式：①2－(－2)＝0；②(－3)－
(＋3)＝0；③(－3)－｜－3｜＝0；④0－(－1)＝1.其中正
确的有(　A　)
A. 1个 B. 2个
C. 3个 D. 4个
A
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13
3. 下列说法：
①减去一个负数等于加上这个数的相反数；
②正数减负数，差为正数；
③零减去一个数，仍得这个数；
④两数相减，差一定小于被减数；
⑤两数相减，差不一定小于被减数；
⑥互为相反数的两数相减得零.
其中正确的有(　B　)
A. 2个 B. 3个
C. 4个 D. 5个
B
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13
4. [母题 教材P42作业题T2]计算：
(1)－2－(＋10)；
(2)0－(－3.6)；
【解】－2－(＋10)
＝－2＋(－10)
＝－12.
【解】0－(－3.6)
＝0＋3.6
＝3.6.
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(3)(－30)－(－6)；
(4)(＋13)－(＋16).
【解】(－30)－(－6)
＝(－30)＋6
＝－24.
【解】(＋13)－(＋16)
＝＋13＋(－16)
＝－3.
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有理数减法法则的应用
5. [新考向·知识情境化]圆圆想了解某地某天的天气情况，在
某气象网站查询到该地这天的最低气温为－6 ℃，最高气
温为2 ℃，则该地这天的温差(最高气温与最低气温的差)
为(　D　)
A. －8 ℃ B. －4 ℃
C. 4 ℃ D. 8 ℃
D
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6. [情境题·生活应用]某商店出售三种不同品牌的大米，米袋
上分别标有质量如表.现从中任意拿出两袋不同品牌的大
米，这两袋大米的质量最多相差(　A　)
大米种类 A品牌大米 B品牌大米 C品牌大米
质量标示 (10±0.5) kg (10±0.3) kg (10±0.2) kg
A. 0.8 kg B. 0.6 kg
C. 0.4 kg D. 0.5 kg
A
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7. 列式并计算：
(1)和是－2，一个加数是6，求另一个加数；
(2)差是－5，被减数是－7，求减数；
(3)一个数是16，另一个数比16的相反数小－2，求这两个
数的差.
【解】－2－6＝－2＋(－6)＝－8.
【解】－7－(－5)＝－7＋5＝－2.
(3)16 [－16－(－2)]＝16－(－14)＝16＋14＝30.
【解】 16－
＝16－(－14)＝16＋14＝30.
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8. [新考向·知识情境化]如图是某一矿井的示意图，以地面为
基准，A点的高度是＋4.2 m，B点的高度为－15.6 m，
C点的高度为－30.5 m.请问：A点比B点高多少米？B
点比C点高多少米？
【解】＋4.2－(－15.6)＝4.2＋15.6＝19.8(m).
－15.6－(－30.5)＝－15.6＋30.5＝14.9(m).
答：A点比B点高19.8 m，B点比C点高14.9 m.
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9. 两数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列判断正
确的是(　B　)
A. a＋b＞0 B. a＋b＜0
C. a－b＜0 D. ｜a｜－｜b｜＞0
B
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10. 如图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中
的“更相减损术”，按照这个算法，如果输入a，b的
值分别为3，8，那么输出a的值为 .
1　
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11. 在计算两个数的减法－3 －■时，由于不小心，减数被
墨水污染.
(1)嘉淇误将－3 后面的“－”看成了“＋”，从而算得
结果为5 ，请求出被墨水污染的减数；
【解】由题意得，被墨水污染的减数为5 －
＝5 ＋3 ＝9 .
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(2)请你正确计算此题.
【解】－3 －9 ＝－13 .
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12. 小明在电脑中设置了一个有理数的运算程序，输入数
a，加*键，再输入数b，就可以得到运算：a*b＝(a－b)
－｜b－a｜.
(1)求(－3)*2的值；
(2)求(3*4)*(－5)的值.
【解】(－3)*2＝(－3－2)－｜2－(－3)｜＝－5－5
＝－10.
(2)3*4＝(3－4)－｜4－3｜＝－2，(－2)*(－5)＝
[(－2)－(－5)]－｜－5－(－2)｜＝0，
所以(3*4)*(－5)＝0.
【解】3*4＝(3－4)－｜4－3｜＝－2，(－2)*(－5)＝
－｜－5－(－2)｜＝0，
所以(3*4)*(－5)＝0.
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13. [新考法·阅读类比法]阅读材料：点A，B在数轴上分别
表示有理数a，b.在数轴上A，B两点之间的距离＝｜
a－b｜.所以式子｜x－3｜的几何意义是数轴上表示有
理数x的点与表示有理数3的点之间的距离；同理｜x－
4｜也可理解为x与4两数在数轴上所对应的两点之间的
距离.
试探索：
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(1)若｜x－2｜＝5，则x的值是 ；
(2)同理｜x－5｜＋｜x＋3｜＝8表示数轴上有理数x所
对应的点到5和－3所对应的两点的距离之和为8，则
所有符合条件的整数x的和为 ；
－3或7　
9　
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(3)由以上探索猜想，若点P表示的数为x，当点P在数
轴上的什么位置时，｜x＋1｜＋｜x－3｜＋｜x－
5｜有最小值？如果有，直接写出最小值.
【解】由题意可得，该算式表示数轴上点P到表示－
1，3，5的点的距离之和，可得当点P在数轴上表示3
的点处时，｜x＋1｜＋｜x－3｜＋｜x－5｜有最小
值，最小值为6.
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13(共23张PPT)
第2章　有理数的运算
2.2　有理数的减法
第2课时　有理数的加减混合运算
01
夯实基础巩固练
02
整合方法提升练
03
培优探究拓展练
目 录
CONTENTS
知识过关
有理数加减混合运算的一般步骤：(1)利用减法法则，将 　减
法　转化成 　加法　；
(2)运用加法交换律和 　加法结合律　进行简便运算.
减
法
加法
加法结合律
省略括号和加号的和的形式
1. 将－3－(＋6)－(－5)＋(－2)写成省略括号和加号的和的形
式是(　B　)
A. －3＋6－5－2 B. －3－6＋5－2
C. －3－6－5－2 D. －3－6＋5＋2
B
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2. 下列各式可以写成a－b＋c的是(　B　)
A. a－(＋b)－(＋c) B. a－(＋b)－(－c)
C. a＋(－b)＋(－c) D. a＋(－b)－(＋c)
B
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有理数的加减混合运算
3. 能与－ 相加得0的是(　A　)
A. － B. － ＋
C. － － D. ＋
A
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4. 如图是某同学完成的作业，他的得分是(　C　)
姓名 　　得分 　　
计算(每小题25分，共100分)：
①(－2)＋2－(－3)＝(3)；
②－3－(－5)＋2＝(0)；
③(－5)－｜－4｜－3＋2＝(－10)；
④ ＋ －3＝ .
C
A. 25分 B. 50分
C. 75分 D. 100分
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5. 计算：
(1)14－(－12)＋(－25)－17；
【解】14－(－12)＋(－25)－17
＝14＋12－25－17
＝26－25－17＝－16.
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(2) ＋ － － ；
【解】 ＋ － －
＝－ － ＋ －
＝－1－ ＝－1 .
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(3)2.7＋(－8.5)－(＋3.4)－(－1.2).
【解】2.7＋(－8.5)－(＋3.4)－(－1.2)
＝2.7－8.5－3.4＋1.2
＝(2.7＋1.2)－(8.5＋3.4)
＝3.9－11.9＝－8.
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有理数加减混合运算的应用
6. [2024·恩施校级一模]小明近几次数学测试的成绩如下：第
一次85分，第二次比第一次高8分，第三次比第二次低12
分，第四次又比第三次高10分，则小明第四次测试的成绩
是(　D　)
A. 85分 B. 93分
C. 81分 D. 91分
D
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7. [母题 教材P44例4]某储蓄所某日办理了7项储蓄业务：取
出9.5万元，存入5万元，取出8万元，存入12万元，存入
23万元，取出10.25万元，取出2万元，则该储蓄所该日现
金 (填“增加”或“减少”) 万元.
8. [2023·温州鹿城区月考]按图中程序运算，如果输入－1，
则输出的结果是 .
增加　
10.25　
5　
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9. [立德树人·低碳环保]某校七年级六个班组织举办了“废纸
回收，变废为宝”活动，各班收集的废纸均以5千克为标
准，超过的记为“＋”，不足的记为“－”，一班到五班
收集的废纸质量(单位：千克)分别是＋1，＋2，－1.5，
0，－1，六个班共收集了33千克的废纸.
(1)求六班收集的废纸的质量；
【解】由题意得，一班到五班收集废纸共5×5＋1＋2
－1.5＋0－1＝25.5(千克)，则六班收集的废纸的质量
为33－25.5＝7.5(千克).
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(2)若本次活动收集废纸质量排名前三的班级可获得荣誉
称号，请计算获得荣誉称号的班级收集废纸的总质量.
【解】由题意得，一、二、六班为前3名，可获得荣誉
称号，则获得荣誉称号的班级收集废纸的总质量为7.5
＋(5＋1)＋(5＋2)＝20.5(千克).
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10. 设[a]表示不超过a的最大整数，例如：[2.3]＝2，
＝－5，[5]＝5.则 ＋[－3.6]－[－7]的值为(　C　)
A. 3 B. －3
C. 5 D. －6
C
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11. 计算：1－2＋3－4＋5－6＋…＋99－100＝ .
12. [新视角·新定义题]规定图形 表示运算a－b＋c，
图形 表示运算x＋z－y－w，则 ＋
＝ .
－50　
0　
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(1)a＝ ，b＝ ，c＝ ，d＝ ；
1　
－2或－6　
5　
－
3　
13. [2024·宁波校级月考]已知a是最大的负整数的相反
数，｜b＋4｜＝2，且｜c－5｜＋｜d＋3｜＝0，
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(2)计算a－b－c＋d的值.
【解】a－b－c＋d＝1－(－2)－5＋(－3)＝1＋2－5
－3＝－5，或a－b－c＋d＝1－(－6)－5＋(－3)＝1
＋6－5－3＝－1，所以a－b－c＋d的值为－5或－1.
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14. [情境题·工程生产]某自行车厂一周计划生产1 400辆自行
车，平均每天生产200辆，由于各种原因实际每天生产量
与计划量相比有出入.下表是某周的生产情况(单位：
辆，超产为正、减产为负)：
星期 一 二 三 四 五 六 日
增减 ＋5 －2 －4 ＋13 －10 ＋16 －9
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(1)根据记录可知前三天共生产自行车 辆；
(2)产量最多的一天比产量最少的一天多生产 辆；
599　
26　
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(3)该厂实行每周计件工资制，每生产一辆自行车可得60
元，若超额完成任务，则超过部分每辆另奖15元；少
生产一辆扣15元，那么该厂工人这一周的工资总额是
多少？
【解】5－2－4＋13－10＋16－9＝9(辆)，
(1 400＋9)×60＋9×15＝84 675(元).
答：该厂工人这一周的工资总额是84 675元.
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15. [新视角·规律探究题](1)请观察下列算式： ＝1－ ，
＝ － ， ＝ － ， ＝ － ，…，则第10个
算式为 　 　＝ 　 － 　，
第n个算式为 　 　＝ 　 － 　；
　
－ 　
　
－ 　
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(2)运用以上规律计算： ＋ ＋ ＋…＋ ＋ ＋
.
【解】 ＋ ＋ ＋…＋ ＋ ＋ ＝1－ ＋ －
＋ － ＋…＋ － ＋ － ＋ － ＝1－
＝ .
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15(共8张PPT)
第2章　有理数的运算
2.6　有理数的混合运算
1．计算(－4)×(－3)＋8÷(－2)3得(　　)
A．2 B．11 C．－13 D．－11
B
B
2．定义一种新运算：a*b＝a2－3b，如2*1＝22－3×1＝1，则(3*2)*(－1)的结果为(　　)
A．6 B．12 C．－12 D．－6
B
3．[2024·温州期中]如图，某公园有一长方形广场，长为50 m，宽为30 m，在其两角修建半径均为10 m的扇形花坛，在广场中心修建一个直径为12 m的圆形喷泉水池，则该广场的空地面积为(π取3)(　　)
A．1 350 m2
B．1 242 m2
C．1 200 m2
D．918 m2
4．[2024·杭州萧山区月考]“24点”的游戏规则是：任抽四个数，用加、减、乘、除四则运算列一个算式，使得计算结果为24.小明抽到的四个数是3，4，5，－8，请列出符合要求的算式：_________________________
_______．
(3＋5)×4＋(－8)＝24(答案
不唯一)　
6
5．小明编制了一个计算机计算程序如图所示，如果输入x的值为5，则输出的数是________．
6．计算下列各题：
(1)2－23×(－3)；
【解】原式＝2－8×(－3)＝2＋24＝26.
【解】原式＝－4＋18－24＝－10.(共13张PPT)
第2章　有理数的运算
2.5　有理数的乘方
第1课时 有理数的乘方
1．[2024·湖州期末](－3)2表示的是(　　)
A．(－3)×(－3)
B．－(3×3)
C．(－3)×2
D．(－3)＋2
A
D
C
3．下列各组数中，其值相等的是(　　)
A．32和23 B．(－2)2和－22
C．(－3)3和－33 D．(－3×2)2和－32×22
4．下列各式中正确的是(　　)
A．－a2＝|－a2| B．－a2＝(－a)2
C．－a3＝(－a)3 D．－a3＝|－a3|
C
7．当整数n为________时，(－1)n＝－1；若n是正整数，则(－1)n＋(－1)n＋1＝________．
奇数
0
8．如果(x＋2)2＋|3－y|＝0，那么xy的值为________．
－8
9. 某种细菌平均每20分钟由1个分裂成2个，经过1小时，这种细菌由1个能分裂成________个．
8
10．计算：
(1)(－6)3；　　　
(2)0.35；　　　
(3)－44；
【解】(－6)3＝(－6)×(－6)×(－6)＝－216.
0.35＝0.3×0.3×0.3×0.3×0.3＝0.00 243.
－44＝－4×4×4×4＝－256.
(－4)2×(－8)＝16×(－8)＝－128.
(－3)2×(－2)3＝9×(－8)＝－72.(共25张PPT)
第2章　有理数的运算
2.1　有理数的加法
第2课时　有理数的加法运算律
01
夯实基础巩固练
02
整合方法提升练
03
培优探究拓展练
目 录
CONTENTS
知识过关
①加法交换律：两个数相加，交换 　加数　的位置， 　和　
不变.
②加法结合律：三个数相加，先把 　前两个数　相加，或者
先把 　后两个数　相加， 　和　不变.
加数
和
前两个数
后两个数
和
有理数的加法运算律
1. 小磊解题时，将式子 ＋(－7)＋ ＋(－4)先变成
＋[(－7)＋(－4)]，再计算结果.小磊运用了
(　B　)
A. 加法交换律 B. 加法交换律和加法结合律
C. 加法结合律 D. 无法判断
B
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13
2. 计算3 ＋ ＋5 ＋ 时，运算律运用最为恰当
的是(　B　)
B
A. ＋
B. ＋
C. ＋
D. ＋
1
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3
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13
3. 某辆公交车上原有10个人，经过三个站点时乘客上下车情
况如下(上车为正，下车为负)：(＋2，－3)，(＋8，－5)，
(＋1，－6)，则此时车上的人数为 .
7　
1
2
3
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5
6
7
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4. 计算：
(1)25.7＋(－7.3)＋(－13.7)＋7.3；
【解】原式＝[25.7＋(－13.7)]＋[(－7.3)＋7.3]
＝12＋0
＝12.
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(2) ＋15 ＋ ＋(－22.5)＋ ；　
【解】原式＝ ＋［15 ＋
］＋(－22.5)
＝ ＋［15＋(－3)＋
＋ ］＋(－22.5)
【解】原式＝ ＋［15 ＋
］＋(－22.5)
＝ ＋［15＋(－3)＋
＋ ］＋(－22.5)
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＝－25＋12.5＋(－22.5)
＝－25＋[12.5＋(－22.5)]
＝－25＋(－10)
＝－35.
＝－25＋12.5＋(－22.5)
＝－25＋
＝－25＋(－10)
＝－35.
1
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(3)(－2.125)＋ ＋ ＋(－3.2).
【解】原式＝［(－2.125)＋5 ］＋［3 ＋(－3.2)］
＝3＋0
＝3.
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有理数的加法运算律的应用
5. [母题·教材P37例4 2024·金华兰溪市月考]出租车司机小李
某天下午的营运全是在东西走向的中山路上进行的，以小
李家为出发点，如果规定向东行驶为正，他这天下午行车
的里程(单位：千米)如下：
＋8，－6，－5，＋10，－5，＋3，－2，＋6，＋2，－5.
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(1)将最后一名乘客送抵目的地时，小李在什么位置？
【解】(＋8)＋(－6)＋(－5)＋(＋10)＋(－5)＋(＋3)＋(－2)＋(＋6)＋(＋2)＋(－5)＝＋6(千米).
答：小李在距出发点向东6千米处.
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(2)如果出租车耗油量为0.075升/千米，那么这天下午出租
车共耗油多少升？
【解】 ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋
＋ ＋ ＋ ＝52(千米)，52×0.075＝
3.9(升).
答：这天下午出租车共耗油3.9升.
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(3)如果现在汽油的价格是7.8元/升，那么这天下午小李的
汽油费用是多少元？
【解】3.9×7.8＝30.42(元).
答：这天下午小李的汽油费用是30.42元.
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6. 有这样一组数，对于任意相邻的三个数，都有中间的数等
于前后两数的和.如果第一个数是0，第二个数是2，那么
前20个数的和是(　A　)
A. 2 B. －2 C. 0 D. 4
A
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7. [母题 教材P39作业题T4]草莓开始采摘啦！每筐草莓以4
千克为基准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为
负数，记录如图，则这4筐草莓的总质量是(　C　)
A. 15.7千克 B. 15.9千克
C. 16.1千克 D. 16.3千克
C
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8. 数轴上的点A和点B所表示的数互为相反数，且点A对应
的数是－2，点P是数轴上到点A或点B的距离为3的点，
则所有满足条件的点P所表示的数的和为(　A　)
A. 0 B. 6 C. 10 D. 16
A
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9. 爱动脑筋的小青同学设计了一种“幻圆”游戏，如图所
示，将－1，2，－3，4，－5，6，－7，8分别填入圆圈
内，使横、竖以及内外两圈上的四个数之和都相等，他已
经将4，6，－7，8这四个数填入了圆圈，则b的值为
(　D　)
D
A. －1
B. 2
C. －3
D. －5
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10. 用简便方法计算：
9 ＋99 ＋999 ＋9 999 ＋99 999 ＋4＝ .
11. 计算：(－1)＋(＋2)＋(－3)＋(＋4)＋…＋(－2 023)＋(＋2
024)＝ .
111 111　
1 012　
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尝试：(1)前4个台阶上的数的和是 ；
3　
12. [新视角·规律探究题]如图，阶梯图的每个台阶上都标着
一个数，从下到上的第1个至第4个台阶上依次标着－5，
－2，1，9.且任意相邻四个台阶上的数的和都相等.
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(2)第5个台阶上标着的数是 ；
应用：(3)从下到上前31个台阶上的数的和是 ；
【点拨】
根据题意得，台阶上的数每4个一循环，且循环
的4个数的和为3.因为31÷4＝7……3，所以从下到上
前31个台阶上的数的和为7×3－5－2＋1＝15.
－5　
15　
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发现：(4)试用含k(k为正整数)的式子表示出数“1”
所在的台阶数.
【解】数“1”所在的台阶数为4k－1.
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13. [新考法·阅读类比法]阅读材料：对于 ＋ ＋
17 ＋ ，可以进行如下计算：
1
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原式＝［(－5)＋ ］＋［(－9)＋ ］＋
＋ ＝[(－5)＋(－9)＋17＋(－3)]＋［( － )
＋( － )＋ ＋( － )］＝0＋ ＝－ .
上面这种方法叫拆数法，仿照上面的方法，请你计算：
＋ ＋166 ＋ .　
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【解】原式＝ ＋［(－77)＋ ］＋
( 166＋ )＋
＝[(－88)＋(－77)＋166＋(－1)]＋
＝0＋ ＝－ .
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13(共9张PPT)
第2章　有理数的运算
2.7　近似数
1．浙江省地处中国东南沿海长江三角洲南翼，简称“浙”．其总面积为10.55万平方千米．数10.55万精确到千位，则近似值为(　　)
A．100 000 B．110 000
C．105 000 D．106 000
D
C
2．[2024·上海闵行区期中]近似数5.50×104是精确到(　　)
A．百分位 B．十分位 C．百位 D．千位
B
3．下列说法正确的是(　　)
A．近似数3.6与3.60精确度相同
B．数2.9954精确到百分位为3.00
C．近似数1.3×104精确到十分位
D．近似数3.61万精确到百分位
4．9.9784精确到个位是________，保留一位小数是________，精确到百分位是________，保留三位小数是________．
10
10.0
9.98
9.978
【解】(1)(3)是准确数，(2)(4)是近似数．
5. 下列叙述中的各数，哪些是准确数？哪些是近似数？
(1)某院校的某专业计划招生200人；
(2)小明的立定跳远成绩是2.31 m；
(3)若尘的这次数学考试成绩是96分；
(4)据统计，公园门口每月的车流量大约是30 000辆．
6. 西周的城邑(都城)为正方形规制，《周礼》规定：天子城邑为九里之城，公爵城邑可为七里之城，侯伯爵城邑可为五里之城，若按1周尺≈20 cm计算，一里为1 800周尺，则九里之城边长为3 223 m，请你根据上面的信息，推算出侯伯爵城邑的实际大小约是多少平方千米？(结果保留一位小数)
【解】由题意，得5×1 800×20＝180 000(cm)＝1.8 km.
所以侯伯爵城邑的实际大小约为1.8×1.8≈3.2(km2)．
【解】－3.73＋(－3.8)4≈157.86.(共11张PPT)
第2章　有理数的运算
2.2　有理数的减法
第1课时 有理数的减法法则
1．[2024·温州龙港二模]计算4－5的结果是(　　)
A．－9 B．－1 C．1 D．9
B
C
2．[2024·龙泉期中]某天，丽水的最高气温是15 ℃，最低气温是－1 ℃，则这天丽水的最高气温与最低气温相差(　　)
A．14 ℃ B．15 ℃ C．16 ℃ D．17 ℃
A
3．[2024·温州瑞安模拟]甲地的海拔为5米，乙地的海拔比甲地低6米，则乙地的海拔为(　　)
A．－1米 B．－11米 C．1米 D．11米
4．某种食品保存的温度是－2±3 ℃，以下几个温度中，适合储存这种食品的是(　　)
A．2 ℃ B．－6 ℃ C．4 ℃ D．－1 ℃
D
－36
5．已知－18与一个数的差是18，则这个数是________．
－6
1
2
7．某校开展“读经典书，做儒雅人”活动，活动中某班流动图书角平均每天借出图书30本，如果某天借出33本，就记作＋3本；如果某天借出26本，就记作－4本．国庆假前一周图书馆借出图书记录如下：
星期一 星期二 星期三 星期四 星期五
＋4本 －6本 ＋8本 －2本 ＋16本
(1)该班级星期五借出多少本图书？
【解】由题意，得30＋16＝46(本)，
所以该班级星期五借出46本图书．
(2)该班级星期二比星期五少借出多少本图书？
【解】由题意，得16－(－6)＝22(本)，
所以该班级星期二比星期五少借出22本图书．(共25张PPT)
第2章　有理数的运算
2.6　有理数的混合运算
01
夯实基础巩固练
02
整合方法提升练
03
培优探究拓展练
目 录
CONTENTS
知识过关
　　一般地，计算有理数混合运算时，先算 　乘方　，再
算 　乘除　，最后算 　加减　.如有括号，先进行 　括号　
里的运算.
乘方
乘除
加减
括号
有理数的混合运算
1. 下列四个式子中，计算结果最小的是(　D　)
A. (－3－2)2 B. (－3)×(－2)2
C. －32÷(－2)2 D. －23－32
D
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2. 下列各式计算正确的是(　C　)
A. 7－2× ＝5× ＝－1
B. －3÷7× ＝－3÷1＝－3
C. 3×22－2×32＝2×3×(2－3)＝－6
D. (－42×32)＝(－4×3)2＝144
C
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3. [2024·温州鹿城区期中]如图是一个计算程序，若输入a的
值为－1，则输出的结果b为 .
－5　
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4. 计算：
(1) × － ＋35÷7；
【解】 × － ＋35÷7
＝－ ＋ ＋5＝4 .
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(2)(－1)＋(－2)2×3－8÷(－2)；
【解】(－1)＋(－2)2×3－8÷(－2)
＝－1＋4×3－8÷(－2)
＝－1＋12＋4＝15.
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(3) ×(－2)2－ ＋(－1)2 024.
【解】 ×(－2)2－ ＋(－1)2 024
＝ ×4－ ＋1
＝1－5 ＋1＝－3 .
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有理数混合运算的应用
5. 某地区高度每增加100米，气温降低0.9 ℃，昊恩和美琪
两名同学想出一个测量山峰高度的办法，美琪在山脚，昊
恩跑到山顶，他们在同一时刻测得山脚的温度是3.8 ℃，
山顶的温度是－1.6 ℃，求山峰的高度.
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【解】[3.8－(－1.6)]÷0.9×100
＝(3.8＋1.6)÷0.9×100
＝5.4÷0.9×100
＝600(米).
所以山峰的高度为600米.
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6. 已知一个棱长为8 cm的立方体铁块.
(1)如图，把铁块放入装满水的圆柱形杯子中(杯子的底面
直径和高度均为20 cm)，则溢出水的体积
为 cm3(溢出水的体积＝铁块的体积)；
512　
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(2)将铁块恰好分割成16个棱长为2 cm的立方体与6个棱长
为a cm的立方体，求a的值.
【解】棱长为a cm的立方体的体积为(512－16×23)÷6
＝64(cm3).
因为43＝64，所以a＝4.
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7. [新考向·传统文化]我国古代《易经》一书中记载，远古时
期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计
数”.如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打
结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数，由图可
知，孩子自出生后的天数是(　C　)
C
A. 84
B. 336
C. 167
D. 326
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8. [2024·温州鹿城区月考]若计算式子(2□7)△ 的结果
为最大，则应分别在□，△中填入下列选项中的(　D　)
A. ＋，－ B. ×，－
C. ÷，－ D. －，÷
D
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9. [2024·杭州西湖区期中]小明编制了一个计算机计算程序如
图所示，如果输入的数是5，则输出的数是 .
6　
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10. [新视角·新定义题]规定一种新的运算：a★b＝ab－a
－b2＋1.例如：3★(－4)＝3×(－4)－3－(－4)2＋1＝
－30，请用上述规定计算下面各式：
(1)2★8；
【解】2★8＝2×8－2－82＋1＝16－2－64＋1＝－49.
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(2)(－7)★[5★(－2)].
【解】因为5★(－2)＝5×(－2)－5－(－2)2＋1＝－10
－5－4＋1＝－18，
所以(－7)★[5★(－2)]＝(－7)★(－18)＝(－7)×(－18)
－(－7)－(－18)2＋1＝126＋7－324＋1＝－190.
【解】因为5★(－2)＝5×(－2)－5－(－2)2＋1＝－10
－5－4＋1＝－18，
所以(－7)★
＝(－7)★(－18)＝(－7)×(－18)
－(－7)－(－18)2＋1＝126＋7－324＋1＝－190.
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11. [母题 教材P66作业题T6]有一种“24”点游戏，其游戏
规则是：任取一副扑克牌，去掉大小王，我们约定A为
1，J，Q，K分别为11，12，13，并规定方块、红桃牌
为正，黑桃、梅花牌为负.任取4张牌将这4张牌的牌面所
表示的数进行加、减、乘、除、乘方运算(可使用括号).
每个数用且只用一次，使其结果等于24.
如：抽出4张牌分别为黑桃4、梅花2、方块4、红桃3，可
做运算：(－4)÷(－2)×4×3＝24.
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(1)若抽出黑桃3、梅花1、方块5、红桃3，请写出1种算
式，并写出计算过程，验证结果为24；
【解】答案不唯一，如
(－3)×(－1)×(5＋3)
＝(－3)×(－1)×8
＝24.
(2)若抽出黑桃3、梅花K、方块8、红桃Q，请写出2种
不同的算式，并写出计算过程，验证结果为24；
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【解】答案不唯一，如
①(－3)×8×(－13＋12)
＝(－3)×8×(－1)
＝24；
②12×[(－3)－(－13)－8]
＝12×2
＝24.
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(3)若抽出黑桃4、梅花7、方块2、红桃3，请设计1种含
“乘方”的混合运算的算式，并写出计算过程，验证
结果为24.
【解】答案不唯一，如
[(－4)－(－7)]×23
＝3×8
＝24.
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12. [新视角·新定义题]类比乘方运算，我们规定：求n个相
同有理数(均不为0)的商的运算叫作除方.例如
2÷2÷2÷2，记作2“4”，读作“2的引4次商”；一般
地，把 (a≠0，n≥2，且为整数)记
作a“n”，读作“a的引n次商”.
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(1)直接写出计算结果： ＝ ，(－3)“5”
＝ ；
(2)归纳：负数的引正奇数次商是 数，负数的引正
偶数次商是 数(填“正”或“负”)；
4　
－ 　
负　
正　
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(3)计算：(－16)÷2“3”＋12× .
【解】(－16)÷2“3”＋12×
＝(－16)÷ ＋12×9
＝(－32)＋108
＝76.
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12(共10张PPT)
第2章　有理数的运算
2.3　有理数的乘法
第2课时 有理数的乘法运算律
1．下列各式中积为正数的是(　　)
A．2×3×5×(－4)
B．2×(－3)×(－4)×(－3)
C．(－2)×0×(－4)×(－5)
D．(＋2)×(＋3)×(－4)×(－5)
D
D
A
4．已知16.47×24＝395.28，那么16.47×34的得数比395.28多(　　)
A．16.47 B．395.28 C．164.7 D．559.98
C
B
5．[2024·金华金东区期末]如果4个数的乘积为负数，那么这4个数中正数有(　　)
A．1个或2个 B．1个或3个
C．2个或4个 D．3个或4个
(2)(－5.25)×(－4.73)－4.73×(－19.75)＋25×(－14.73)．
原式＝－4.73×(－5.25－19.75)－25×14.73
＝－4.73×(－25)－25×14.73
＝4.73×25－25×14.73
＝25×(4.73－14.73)
＝25×(－10)＝－250.(共24张PPT)
第2章　有理数的运算
专题二　有理数运算的六种方法
凑数法
例1 阅读下面的解题过程并解决问题.
计算：5 －(－8)＋(－31)－ －19＋31.
解：原式＝5 ＋8－31＋4 －19＋31(第一步)
＝ ＋(－31＋31)＋(8－19)(第二步)
＝10＋0－11(第三步)
＝－1.
(1)在计算过程中，第二步应用了
，目的是简便计算；
加法交换律和加法结合
律　
(2)请根据以上的解题技巧计算：－0.5－2＋ ＋(－1.75)－ －18.
【解】－0.5－2＋ ＋(－1.75)－ －18
＝－0.5－2－3 －1.75＋5 －18
＝ ＋ ＋(－2－18)
＝5－5－20＝－20.
方法点拨：将相加可得整数的数凑整计算，将相加得零的
数(如互为相反数)结合计算.
变式1计算： ＋5 ＋ －9 .
【解】原式＝( － －9 )＋( 5 －4 )
＝－10＋1
＝－9.
巧用运算律
例2 计算：2 ×1 ＋2.6÷ － × .
【解】原式＝ × ＋ × － ×
＝ ×
＝ ×2＝ .
变式2计算：
(1)(－999)×12；
【解】原式＝(1－1 000)×12
＝1×12－1 000×12
＝12－12 000
＝－11 988.
(2)999×118 ＋333× －999×18 .
【解】原式＝999×118 ＋999× －999×18 ＝
999×(118 － －18 )＝999×100＝99 900.
拆项法
例3 计算：－88 ＋ ＋166 ＋ .
【解】原式＝ ＋ ＋(166＋ )＋
＝(－88－77＋166－1)＋(－ － － )＝0＋
＝－1 .
方法点拨：将一个数拆分成两个或两个以上数的和的形式，
再利用加法交换律和加法结合律使计算变得简便.
变式3 计算：9 ＋99 ＋999 ＋9 999 ＋99 999 .
【解】原式＝9＋ ＋99＋ ＋999＋ ＋9 999＋ ＋99 999＋
＝10＋100＋1 000＋10 000＋100 000－5＋ ×5＝111 109.
组合法
例4 计算：1－3＋5－7＋9－11＋…＋97－99.
【解】原式＝(1－3)＋(5－7)＋(9－11)＋…＋(97－99)＝(－
2)×25＝－50.
方法点拨：找出规律，将数分组.分组时，一般会使每组的
结果相同或为0，从而使计算简便.
变式4 计算：1－2－3＋4＋5－6－7＋8＋…＋2 021－2 022－
2 023＋2 024.
【解】原式＝(1－2－3＋4)＋(5－6－7＋8)＋…＋(2 021－2
022－2 023＋2 024)＝0＋0＋…＋0＝0.
裂项相消法
例5 阅读材料，回答下列问题.
通过计算容易发现：
① － ＝ × ；② － ＝ × ；
③ － ＝ × ；
(1)观察上面三个算式，请写出一个类似的算式：
；
(答案不
唯一) － ＝ × 　
(2)计算： ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ .
【解】原式＝1－ ＋ － ＋ － ＋ － ＋ － ＋ －
＝1－ ＝ .
方法点拨：当一个分数的分母是两个自然数的积，而分子
又是这两个自然数的差时，可以将这个分数分解成两个分
数的差，这两个分数的分母分别是这两个自然数.
变式5 观察下列等式：
第1个等式： ＝ × ；
第2个等式： ＝ × ；
第3个等式： ＝ × .
请解答下列问题：
(1)按以上规律写出第5个等式： ；
(2)利用以上规律可得 ＋ ＋ ＋…＋
＝ ；
＝ × 　
　
(3)计算： ＋ ＋ ＋…＋ .
【解】原式＝ ×(1－ ＋ － ＋ － ＋…＋ －
)＝ ×
＝ × ＝ .
倒数法
例6 请你认真阅读下列材料：
计算： ÷ .
将原式的除数与被除数互换，得
÷ ＝( － ＋ － )×(－30)＝－20
＋3－5＋12＝－10，
故原式＝－ .
根据你对所提供的材料的理解，选择适当的方法计算下面的
算式：
÷ .
【解】将原式的除数与被除数互换，得
　 ÷
＝ ×(－42)
＝7＋9－28＋24＝12，
则原式＝ .
方法点拨：将原式的除数与被除数互换，根据乘法分配律求
出值，然后求倒数确定出原式的值.
变式6 计算： ÷ .
【解】将原式的除数与被除数互换，得
　 ÷
＝ ×(－56)
＝ ×(－56)
＝－8－7＋46＝31，
则原式＝ .(共7张PPT)
第2章　有理数的运算
2.2　有理数的减法
第2课时 有理数的加减混合运算
1．把式子(－5)－(－4)＋(－7)－(＋2)写成省略括号的形式，正确的是(　　)
A．－5－4＋7－2 B．5＋4－7－2
C．－5＋4－7－2 D．－5＋4＋7－2
C
C
2．[2024·杭州拱墅区一模]一个点，从原点出发，沿数轴先向左(负方向)移动6个单位长度，再向右移动3个单位长度，则移动后该点所对应的数为(　　)
A．9 B．－9 C．－3 D．3
C
3．若(　　)－(－30＋10)＝－5，则括号内的数是(　　)
A．15 B．－15 C．－25 D．－45
4． 某地一天早晨的气温是－2 ℃，中午温度上升了6 ℃，半夜比中午又下降了8 ℃，则半夜的气温是________℃.
－4
5．计算：
(1)－15＋8－(－7)；　　　　　　　　　　
(2)23－17－(－17)＋(－16)；
(3)0－16＋(－29)－(－7)－(＋11);
【解】原式＝－7＋7＝0.
原式＝6＋17－16＝7.
原式＝－16－29＋7－11＝－49.
(5)(－21)－(－9)＋|－8|－(－12);
(6)＋(＋7)－(－20)＋(－40)－(＋6)－|－3－4|.
原式＝－21＋9＋8＋12＝8.
原式＝7＋20－40－6－7＝－26.(共19张PPT)
第2章　有理数的运算
2.5　有理数的乘方
第2课时　科学记数法
01
夯实基础巩固练
02
整合方法提升练
03
培优探究拓展练
目 录
CONTENTS
知识过关
把一个数表示成a( 　1　≤a＜ 　10　)与10的幂相乘的积的
形式，叫作科学记数法.
注意：用科学记数法表示较大的数时，10的指数比原数的整
数部分的位数少 　1　.
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科学记数法
1. [2024·浙江]2024年浙江经济一季度GDP为201 370 000万
元，其中201 370 000用科学记数法表示为(　D　)
A. 20.137×109 B. 0.201 37×108
C. 2.013 7×109 D. 2.013 7×108
D
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2. 大米是我国居民最重要的主食之一，与此同时，我国也是
世界上最大的大米生产国，水稻产量常年稳定在2亿吨以
上.将2亿用科学记数法表示为(　B　)
A. 2×109 B. 2×108
C. 0.2×108 D. 2×107
B
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3. [立德树人·航空航天] 神舟十八号载人飞船于2024年4月25
日成功发射，经过大约6.5个小时的飞行，成功与距离地
球400千米的中国空间站组合体完成了自主交会对接.数据
“400千米”用科学记数法表示为(　C　)
A. 400×103米 B. 4×104米
C. 4×105米 D. 4×106米
C
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4. 用科学记数法表示以下各数：
(1)100 000 000＝ ；
(2)－780 100＝ ；
(3)－101 075 000＝ .
5. 用科学记数法写出下列各数：
(1)3 600；　 (2)－24 000；　 (3)380亿.
【解】3.6×103.
【解】3.8×1010.
1×108　
－7.80×105　
－1.010 75×108　
【解】－2.4×104.
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还原用科学记数法表示的数
6. [2024·杭州上城区期末]用科学记数法表示的数为
4.315×103，这个数原来是(　A　)
A. 4 315 B. 431.5
C. 43.15 D. 4.315
A
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7. 我国共有43个项目列入联合国教科文组织非物质文化遗产
名录、名册，总数居世界第一，据中国茶业流通协会提供
的数据，我国茶叶市场每年有3×1011元的国内生产总
值，数据3×1011可以表示为(　C　)
A. 30亿 B. 300亿
C. 3 000亿 D. 30 000亿
C
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8. 下列用科学记数法表示的数，原数各是什么？
(1)1×106； (2)3.14×103；
(3)1.414×105； (4)－1.732×107.
【解】(1)1×106＝1 000 000.
(2)3.14×103＝3 140.
(3)1.414×105＝141 400.
(4)－1.732×107＝－17 320 000.
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科学记数法的简单运算
9. [情境题·科技创新][2024·北京]为助力数字经济发展，北京
积极推进多个公共算力中心的建设.北京数字经济算力中
心日前已部署上架和调试的设备的算力为
4×1017Flops(Flops是计算机系统算力的一种度量单位)，
整体投产后，累计实现的算力将是日前已部署上架和调试
的设备的算力的5倍，达到m Flops，则m的值为(　D　)
A. 8×1016 B. 2×1017
C. 5×1017 D. 2×1018
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【点拨】
m＝4×1017×5＝2×1018.
D
【答案】
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10. 德国科学家贝塞尔推算出天鹅座第61颗暗星距离地球102
000 000 000 000千米.
(1)用科学记数法表示出天鹅座第61颗暗星到地球的
距离；
【解】102 000 000 000 000千米＝1.02×1014千米.
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(2)如果光在真空中每秒可以行进300 000千米，那么你能
计算出天鹅座第61颗暗星发出的光到达地球需要多少
秒吗？用科学记数法表示出来.
【解】102 000 000 000 000÷300 000＝340 000 000(秒)
＝3.4×108秒.
答：需要3.4×108秒.
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11. 一个整数60…，用科学记数法表示为a×10n的形式，若
a＝n，则原数中“0”的个数为(　B　)
A. 4 B. 6 C. 5 D. 7
B
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12. 生活中，有时也用“千千万”来形容数量多，“千千
万”就是100亿，“千千万”用科学记数法可表示为
(　C　)
A. 0.1×1011 B. 10×109
C. 1×1010 D. 1×1011
C
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13. 比较下列两组数的大小：
(1)3.05×105与3.08×104；
【解】3.05×105＞3.08×104.
(2)－2.01×102 025与－2.10×102 025.
【解】因为｜－2.01×102 025｜＝2.01×102 025，
｜－2.10×102 025｜＝2.1×102 025，
2.1×102 025＞2.01×102 025，
所以－2.01×102 025＞－2.10×102 025.
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14. 已知一平方千米的土地上，一年内从太阳得到的能量相
当于燃烧1.3×108千克的煤所产生的能量，那么我国
9.6×106平方千米的土地上一年内从太阳得到的能量相
当于燃烧a×10n千克的煤，求a，n的值.
【解】因为(1.3×108)×(9.6×106)＝(1.3×9.6)×1014＝
12.48×1014＝1.248×1015，
所以a＝1.248，n＝15.
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15. 已知10×102＝1 000＝103，102×102＝10 000＝104，
102×103＝100 000＝105.
猜想：109×1010＝ ，10m×10n＝ (m，n均为正整数).
运用上述结论计算下列各式.
(1)(1.5×104)×(1.2×105)；
【解】原式＝1.5×1.2×104＋5＝1.8×109.
(2)(－6.4×106)×(－2.58×103).
【解】原式＝6.4×2.58×106＋3＝1.651 2×1010.
1019　
10m＋
n　
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15(共8张PPT)
第2章　有理数的运算
2.4　有理数的除法
1．[2024·温州瑞安模拟]计算－6÷2的结果是(　　)
A．3 B．－3 C．－4 D．12
B
C
C(共20张PPT)
第2章　有理数的运算
2.1　有理数的加法
第1课时　有理数的加法法则
01
夯实基础巩固练
02
整合方法提升练
03
培优探究拓展练
目 录
CONTENTS
知识过关
①法则：同号两数相加，取 　与加数相同　的符号，并把 　绝
对值　相加.异号两数相加，取 　绝对值较大的加数　的符
号，并用 　较大的绝对值　减去 　较小的绝对值　.互为相
反数的两个数相加得 　0　；一个数同0相加，仍得 　这个
数　.
②计算步骤：先确定结果的符号，再确定结果的绝对值.
与加数相同
绝
对值
绝对值较大的加数
较大的绝对值
较小的绝对值
0
这个
数
有理数的加法法则
1. 下列计算结果错误的是(　D　)
A. (－5)＋(－3)＝－8
B. (－5)＋(＋3)＝－2
C. (－5)＋(＋5)＝0
D. (－3)＋0＝0
D
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2. [2023·温州]如图，比数轴上点A表示的数大3的数是
(　D　)
A. －1 B. 0 C. 1 D. 2
D
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3. 对于有理数a，b有下列说法：
①若a＋b＝0，则a与b互为相反数；
②若a＋b＜0，则a与b异号；
③若a＋b＞0，且a与b同号，则a＞0，b＞0；
④若｜a｜＞｜b｜，且a，b异号，则a＋b＞0.
其中，正确的说法有 .(填写序号)
①③　
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4. [母题 教材P34例1]计算：
(1)(＋14)＋(＋6)；
(2)(＋16)＋(－5)；
【解】(＋14)＋(＋6)
＝＋(14＋6)
＝＋20.
【解】(＋16)＋(－5)
＝＋(16－5)
＝＋11.
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(3)(－0.75)＋ ；
(4)0＋ .
【解】(－0.75)＋
＝0.
【解】0＋
＝－1 .
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有理数加法的应用
5. m是有理数，则m＋｜m｜(　B　)
A. 可能是负数
B. 不可能是负数
C. 一定是正数
D. 可能是正数，也可能是负数
B
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6. [新考向·数学文化]中国人最先使用负数，魏晋时期的数学
家刘徽在“正负术”的注文中指出，可将算筹(小棍形状
的记数工具)正放表示正数，斜放表示负数.如图，根据刘
徽的这种表示法，图①可列式计算为(＋1)＋(－1)＝0，由
此可推算图②中计算所得的结果为(　C　)
A. ＋1 B. ＋7
C. －1 D. －7
C
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7. 在计算｜(－5)＋□｜的□中填上一个数，使结果等于
11，这个数是(　D　)
A. 16 B. 6
C. 16或6 D. 16或－6
8. 绝对值大于1且不大于4的所有整数的和是(　C　)
A. 8 B. －8 C. 0 D. 4
D
C
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9. [2023·宁波舜水中学期中]两数相加，其和小于每一个加
数，那么(　B　)
A. 这两个加数一定有一个为零
B. 这两个加数一定都是负数
C. 这两个加数一正一负且负数的绝对值大
D. 这两个加数的符号无法确定
B
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10. [新视角·新定义题]定义新运算：对任意有理数a，b都
有a b＝ ＋ ，例如，2 3＝ ＋ ＝ ，那么4
(－3)的值是 .
－ 　
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示例：如图①，4＋3＝7.
如图②，当x＝2，y＝－ 时，z＝ 　 　.
　
11. 约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数.
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12. [新视角·开放性试题]小毛同学的作业本上出现了一个错
误的等式－3＋2＝5，请你在算式中添“括号”或“绝对
值符号”或“负号”(不限定个数)，使等式成立，添加
符号后的等式为 .
＋2＝5(答案不唯一)　
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(1)[3.6]＋[－2.7]；
【解】[3.6]＋[－2.7]＝3＋(－3)＝0.
(2)[6.25]＋[－3].
【解】[6.25]＋[－3]＝6＋(－3)＝3.
13. 若规定用[x]表示不超过x的整数中的最大的整数，如
[2.34]＝2，[－3.24]＝－4，计算：
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14. [新视角·规律探究题]如图，从左边第一个圆圈开始向右
数，在每个圆圈中都填入一个整数，使得其中任意三个
相邻圆圈中所填整数之和都相等.
(1)可求得a＝ ，b＝ ；
(2)第2 024个圆圈中的数为 ；
－6　
2　
－6　
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(3)若前m个圆圈中所填整数之和为2 015，求m的值.
【解】由题易知圆圈中的数的规律是9，－6，2的
循环.因为9＋(－6)＋2＝5，所以每一个循环组的和为5.因为2 015÷5＝403，所以2 015是403个循环组的和.因为403×3＝1 209，所以m的值为1 209.
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15. 若｜a｜＝14，｜b｜＝2 024，｜a＋b｜≠a＋b，试
计算a＋b的值.
【解】因为｜a｜＝14，所以a＝±14.
因为｜b｜＝2 024，所以b＝±2 024.
因为｜a＋b｜≠a＋b，
所以a＋b＜0.
当a＝14，b＝－2 024时，a＋b＝14＋(－2 024)＝
－2 010；
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当a＝－14，b＝－2 024时，a＋b＝(－14)＋(－2 024)
＝－2 038；
当b＝2 024时，不合题意.
综上，a＋b的值为－2 010或－2 038.
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