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第4章 三角形
4.5 等腰三角形
第1课时 等腰三角形的性质
1.掌握等腰三角形的性质.
2.能运用等腰三角形的性质进行有关的证明和计算.
两条边相等的三角形叫作等腰三角形.
你还记得什么是等腰三角形吗？
A
C
B
腰
腰
底边
底角
底角
两条边相等的三角形叫作等腰三角形.
等腰三角形作为一种特殊三角形，除了具有一般三角形的性质外，还具有哪些特殊性质呢？
顶角
思考：在等腰△ABC中，已知AB=AC，AD是△ABC的中线，则∠B=∠C吗 ∠BAD=∠CAD吗 AD是△ABC的高线吗
解：如图，由于AD是等腰△ABC的底边BC上的中线，则BD=CD.
A
B
C
D
·
即AD是△ABC的顶角∠BAC的平分线，是底边BC上的高线.
在△ABD和△ACD中，
AB=AC,
BD=CD，
AD=AD,
所以△ABD≌△ACD(边边边).
因此∠B=∠C,∠BAD=∠CAD,∠ADB=∠ADC=90°.
等腰三角形的性质：
1.等腰三角形的两底角相等(简称“等边对等角”).
在△ABC中，
因为AC=AB（已知 ）
所以∠B=∠C（等边对等角）
几何语言：
知识归纳
是指“在同一个三角形中， 相等的边所对的角相等”.
2.等腰三角形底边上的高、中线及顶角平分线重合(简称为“三线合一”).
A
B
C
D
1
2
在△ABC中
（1）因为AB=AC，AD⊥BC，
所以∠___=∠___，____=____；
（2）因为AB=AC，AD是中线，
所以∠＿=∠＿，____⊥____；
（3）因为AB=AC，AD是角平分线，
所以____⊥____，____=____.
用几何语言表示为：
1
2
BD
CD
1
2
AD
BC
AD
BC
BD
CD
“由一线知二线”
等腰三角形是轴对称图形，
对称轴是____________所在的直线.
顶角平分线
底边上的高
底边上的中线
A
B
D
C
想一想：等腰三角形是轴对称图形吗？如果是，你能找出它的对称轴吗？
例1 如图，在△ABC 中，AB = AC，D 为 AB 的中点，点 E 在 AC 上，且 BE = BC = AE.
(1) 求证：ED丄AB；
(2) 求△ABC 各角的度数.
解：(1) 因为 BE = AE，D 为 AB 的中点，
所以 ED 是等腰△EAB 的边 AB 上的中线，
从而ED丄AB (三线合一)
A
B
C
D
E
1
2
(2) 因为 AB = AC，BE = BC = AE，
所以∠ABC =∠C，∠C =∠1，∠A =∠2(等边对等角).
于是∠1 =∠A +∠2 = 2∠A，
从而∠ABC =∠C =∠1 = 2∠A.
又∠A +∠ABC +∠C = 180°，
于是∠A + 2∠A + 2∠A = 180°，
从而∠A = 36°，
因此∠A，∠ABC，∠C 的度数分别为36°，72°，72°.
A
B
C
D
E
1
2
(2) 求△ABC 各角的度数.
想一想：你还有别的解法吗？
A
B
C
D
E
x
⌒
2x
⌒
2x
⌒
⌒
2x
如图，在 △ABC 中，有
∠A +∠ABC +∠C = x + 2x + 2x = 180°，
解得 x = 36°.
则∠A = 36°，∠ABC =∠C = 72°.
方法归纳：在含多个等腰三角形的图形中求角时，常常利用方程思想，通过内角、外角之间的关系列方程求解.
议一议：如图所示的三角测平架中，AB=AC,在BC的中点D挂一个重锤，自然下垂，调整架身，使点A恰好在铅垂线上.
(1) AD与BC是否垂直 试说明理由.
(2)这时BC处于水平位置，为什么
解：（1）垂直.
在△ABD与△ACD中，
所以△ABD≌△ACD（SSS）
所以∠BDA=∠CDA=90°，所以AD⊥BC
（2）由等腰三角形“三线合一”可知BC处于水平位置.
2. 如图，在△ABC 中，AB = AC，过点 A 作 AD∥BC，若∠1 = 70°，则∠BAC 的大小为（　　）
A．30° B．40° C．50° D．70°
B
1. 等腰三角形有一个角是 90°，则另两个角的度数分别是（　）
A. 30°，60° B. 45°，45°
C. 45°，90° D. 20°，70°
B
A
B
C
D
1
⌒
3.等腰三角形一个底角为75°,它的另外两个角为__________
4.等腰三角形一个角为70°, 它的另外两个角为______________________
5.等腰三角形一个角为110°,它的另外两个角为__________
75°, 30°
70°, 40°或55°, 55°
35 °, 35°
方法：当等腰三角形中角的位置不确定时，需要对角进行分类讨论.
是底角还是顶角
分类讨论
4. 如图，在△ABC中，AB=AC，AD为BC边上的高，∠BAC=49°，BC=4，求∠BAD的度数及DC的长.
解：因为AB=AC, AD为BC边上的高，
所以BD=CD,∠BAD=∠CAD.
因为∠BAC=49°，BC=4，
所以∠BAD=24.5°，
DC=2.
等腰
三角形
从边看
两边相等
从三线看
两腰上的中线相等
思想
1. 分类讨论
2. 方程思想
两底角平分线相等
从角看
两底角相等
等边对等角
两腰上的高线相等
从对称性
是轴对称图形，对称轴是顶角平分线所在的直线
三线合一

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