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第4章 三角形
4.5 等腰三角形
第2课时 等腰三角形的判定
1. 掌握等腰三角形的判定方法.
2. 会运用等腰三角形的判定定理进行相关证明和计算.
等边对等角
等腰
三角形
从边看
两边相等
从三线看
两腰上的中线相等
两底角平分线相等
从角看
两底角相等
两腰上的高线相等
从对称性
是轴对称图形，对称轴是顶角平分线所在的直线
三线合一
探究：任意画∠EBC，在线段 BC 的同侧，以 C 为顶点作∠FCB，使∠FCB =∠EBC，BE 与 CF 交于点A，得到△ABC，如图所示.
用圆规量一量 AB 和 AC，它们相等吗？由此，你能发现什么
A
F
E
C
B
AB = AC
△ABC 是等腰三角形.
如何证明呢？
以过点 A 的一条直线为折痕对折，使得射线 AC 与射线 AB 重合，折痕与 BC 的交点记作 D，则 AD 为∠BAC 的平分线.
A
B
C
D
如图，在∠ABC 中，∠B =∠C，
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD，
所以△ABD≌△ACD (角角边).
从而 AB = AC，因此△ABC 是等腰三角形
说一说：除了作角平分线，还可以添加什么辅助线来证明？
所以 AC = AB ( )，
即△ABC 为等腰三角形.
因为∠B =∠C ( )，
等腰三角形的判定方法
有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称“等角对等边”）.
已知
等角对等边
在△ABC 中，
几何语言：
B
C
A
(
(
要点归纳
是指“在同一个三角形中， 相等的角所对的对相等”.
想一想：“等腰三角形的判定”与“等腰三角形的性质”有什么区别？
判定：等角 等边（等腰三角形）
性质：等边（等腰三角形） 等角
判定思路：
例1 如图，在△ABC 中，AB = AC，点 D，E 分别是 AB，AC 上的点，且 DE∥BC.
求证：△ADE 为等腰三角形.
∠ADE=∠AED
△ADE为等腰三角形
∠ADE=∠B,∠AED=∠C
DE//BC
分析：
例1 如图，在△ABC 中，AB = AC，点 D，E 分别是 AB，AC 上的点，且 DE∥BC.
求证：△ADE 为等腰三角形.
证明：因为 AB = AC，
所以∠B =∠C (等边对等角).
又因为 DE∥BC，
所以∠ADE =∠B，∠AED =∠C.
因此∠ADE =∠AED.
于是△ADE 为等腰三角形(等角对等边).
例2 求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形.
A
B
C
D
E
1
2
已知：如图，∠CAE 是△ABC 的外角，∠1 =∠2，AD∥BC. 求证：AB = AC.
分析： 对于文字证明题，一般先画出图形，再写出已知、求证，然后进行证明.
已知：如图，∠CAE 是△ABC 的外角，∠1 =∠2，AD∥BC. 求证：AB = AC.
提示： 要证明 AB = AC，可先证明∠B =∠C. 因为∠1 =∠2，所以应想办法找出∠B，∠C与∠1，∠2 的关系.
A
B
C
D
E
1
2
证明：因为 AD∥BC，
所以∠1 =∠B (两直线平行，同位角相等)，
∠2 =∠C (两直线平行，内错角相等).
又因为∠1 =∠2，
所以∠B =∠C.
因此 AB = AC (等角对等边).
A
B
C
D
E
1
2
已知：如图，∠CAE 是△ABC 的外角，∠1 =∠2，AD∥BC. 求证：AB = AC.
角平分线+平行线 →等腰三角形
1. 下列三角形中，等腰三角形的个数是( @1@ )
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
B
2.在△ABC 中，∠A 和∠B 的度数如下，能判定 △ABC 是等腰三角形的是（ ）
A. ∠A＝50°，∠B＝70° B. ∠A＝70°，∠B＝40°
C. ∠A＝30°，∠B＝90° D. ∠A＝80°，∠B＝60°
B
3.如图，已知 OC 平分∠AOB，CD∥OB，若 OD＝3 cm，则CD 的长为______.
3 cm
证明：因为 AD∥BC，
所以∠ADB =∠DBC.
因为 BD 平分∠ABC，
所以∠ABD =∠DBC.
所以∠ABD =∠ADB，
所以 AB = AD.
4.已知：如图，AD∥BC，BD 平分∠ABC.
求证：AB = AD.
B
A
D
C
名称 图 形 定 义 性 质 判 定
等 腰 三 角 形
等边对等角
三线合一
等角对等边
两边相等
两腰相等
轴对称图形
A
B
C
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形

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