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綦江区未来学校联盟2025-2026学年上期期中测试九年级
数学试题
满分：150分 考试时间：120分钟
注意事项：
1、请将答案做在答题卷上，不得在试卷上作答，只交答题卷．
2、作图（包括辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成．
一、选择题：（本大题共10个小题，每题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A，B，C，D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．）
1. 下列图形是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2. 下列方程中是一元二次方程的是（　　）
A. B. C. D.
3. 下列关于二次函数 的性质说法正确的是( )
A. 图象的开口向下 B. 图象的对称轴为直线
C. 当x=1时，函数y的值最小，最小值为-1 D.当 时，y随x的增大而增大
4. 中秋佳节，小明的家庭成员都互发了一条微信祝福语，所有人发的祝福语共56条，极大的烘托了节日气氛。设小明家庭成员共有x人，则列出方程正确的是（　　）
A B.
C. D. =56
5. 已知在函数上有点，点，C（6，）则关于，的大小判断正确的是（ ）
A. ＞ B. ＜ C. ＜ D. 无法确定
6..RtABC中，∠ACB=，∠A=，将RtABC绕着C点顺时针旋转得RtDEC，边DE与CB交于F，若AC=6，则CF的长为（ ）
A. 3 B. 6 C. 8 D. 12
7. 如图⊙O中，A、B、C均为圆上的点，下列说法
①若弧AB等于弧BC，则AB=BC； ② 若∠AOB=∠BOC，则AB=BC；③若AB=BC，则 ∠AOB=∠BOC④若∠AOB=∠BOC，则O点到弦AB、BC的距离相等. 其中正确的个数有（　　）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
8. 函数与在同一坐标上的图象大致是（ ）
A. B. C. D.
9. 如图，在正方形中，将边绕点逆时针旋转至，连接，若，，则线段的长度为（ ）
A 10 B. C. D.
10. 我们定义一种新函数：形如（且）的函数叫做“绝对值“函数．小明同学画出了“绝对值”函数的图象（如图所示），并写出下列五个结论：
①图象与坐标轴的交点为，和；
②图象具有对称性，对称轴是直线；
③当或时，函数值y随x的增大而减小；
④当或时，函数的最小值是9；
⑤当与的图象恰好有3个公共点时或
其中结论正确的个数是（　　）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
二、填空题：（本大题6小题，每小题4分，共24分）请将每个小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．
11. 点P（-1，3）关于原点对称的点的坐标是_______________.
12. 关于x的一元二次方程有两个相等实根，则m的值为_______________.
13. 如图，中，直径AB⊥CD于点E，CD=8，BE=2，则弦AD的长为_______________.
14. 某区为了响应国家的低碳环保决策，决定开展“太阳能光伏发电板安装进万家”活动，2025年第一个季度，全区共安装了200平方米太阳能光伏发电板，第二、第三季度加大了宣传力度，人们对太阳能光伏发电板有了很好的认同，所以，第三季度又安装了太阳能光伏发电板800平方米，设每季度安装太阳能光伏发电板的平均增长率为x，根据题意，请列出方程__________________________．
15. 如图，二次函数的图象交x轴于A、B两点，B在A的左面，交y轴于C点，再将抛物线沿CB射线方向平移个单位，则平移后的抛物线的解析式为_________________________.
16. 如图，正方形中，E为边上一点，F为边上一点，且．连接，，交对角线于G，连接．若，则_______________.（结果用的代数式表示）
三、解答题：（本大题共9小题，17-18题各8分，其余每题均为10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．）
17.解下列方程：
（1）； （2）．
18. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，．
（1）画出关于原点O中心对称的，并写出点、、坐标；
（2）内一点P的坐标为（m，n）,将P点先向上平移1个单位后，再将所得的点作关于原点O的对称点，所得的点的坐标为___________________.
（3）求的面积．
19.如图，等腰Rt和等腰Rt中，∠ACB=∠DCE=，AC=BC，DC=EC，D点在AB边上，AD＜BD.
（1）求证：
（2）若AC=，AD=2，求DE的长.
20. 如图，在四边形中，，连接．
（1）尺规作图：作的垂直平分线交于点，交于点，交于点（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）连接，，求证：四边形是菱形．完成下列填空．
证明：，
∠FDB= ① ，
又平分，
② ，
又＝，
，
③ ，
又∵DO=BO
四边形是平行四边形，
又 ④ ，
四边形是菱形．（依据是_____________⑤_____________）
21.现在是深秋季节，很多服装店已在为冬季销售作准备，某服装店看准了甲、乙两款羊毛衫，准备囤一些货以备售买。已知每件乙款羊毛衫进价比甲款羊毛衫进价多40元，用8000元购进甲款羊毛衫和用9000元购进乙款羊毛衫的数量相同．
（1）求每件甲、乙款羊毛衫的进价各为多少元？
（2）据市场调查，若甲款羊毛衫每件售价为370元，每天可卖出30件；乙款羊毛衫每件售价为420元，每天可卖出15件．在销售过程中商家为了吸引顾客，决定对甲款羊毛衫进行降价销售，在现有售价的基础上，每降价1元，可多售出2件．为更大程度让利顾客，每件甲款羊毛衫降价多少元时，商家销售甲、乙两款羊毛衫日盈利可达到3000元？
22. 如图，已知在矩形中，，，动点P从B点出发，沿方向以每秒1个单位的速度运动，同时，动点Q从点B出发，沿方向以每秒1个单位的速度运动，当Q点到达C点时，P、Q两点都停止运动。设动点P运动的时间为x秒， 规定，．（P、Q可与端点重合）
（1）请直接写出，分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围；
（2）在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并写出函数的一条性质；
（3）结合函数图像，直接写出时x的取值范围．
23. 某小区有一个五边形的步道，CE是从中穿过的一条小路，张东和李明从A前往D处，有两条线路，如图：①；②．经勘测，点B在点A的正南方向，米，点C在点B的正东方向，米，点D在点C的北偏东，点E在点A的东北方向，点E在点C的正北方向，点D在点E的正东方向．（参考数据：，）
（1）求的长度（结果精确到1米）；
（2）张东选择线路①，李明选择线路②，张东步行速度是80米/分钟，李明步行速度是100米/分钟，张东和李明同时从A处出发且始终保持匀速前进，请计算说明张东和李明谁先到达D处？
24. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线交轴于两点，交轴于点，其中点，其对称轴．
（1）求该抛物线的函数解析式；
（2）若为第一象限内抛物线上一点，连接、，求面积的最大值，及此时点的坐标．
（3）在（2）的条件下，在对称轴上是否存在一点M，使得的周长最小，若存在，请直接写出M点坐标，若不存在，说明理由.
25. 在中，，点D是边上一点（不与端点重合），连接．将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接．
（1）如图1，，，求的度数；
（2）如图2，，，过点作，交的延长线于，连接．点是的中点，点是的中点，连接，．用等式表示线段与的数量关系并证明：
（3）如图3，，，，连接．点从点移动到点过程中，当取最小值时，请直接写出的面积．
参考答案）
一、选择题
1-5题BACAC，6-10题BDACA
二、填空题
11.（1，-3），12. 1，13.，14. ，
15. ，16.
17.
（1）解： =0 ………2分
所以， ………4分
（2）解：a=3，b=5，c=1………1分
所以，………2分
所以，………3分
所以，………4分
注：其它解法参照给分。
18.（1）图略
………4分
注：坐标标在点旁边，也给分，作对一个点并写对坐标给1分，连成三角形给1分，共4分，若只作对图形没写坐标给3分
（2）………5分
（3）………8分
19.（1）
证明：∵等腰Rt和等腰Rt
∴CA=CB，CD=CE………2分
∵∠ACB=∠DCE=
∴∠ACB-∠BCD=∠DCE-∠BCD
∴∠ACD=∠BCE………4分
∴………5分
（2）在Rt中，CA=CB=，
∴………6分
∵AD=2，
∴BD=AB-AD=4 ………7分
∵等腰Rt，AC=BC
∴∠A=∠ABC=
又由（1）知
∴∠A=∠CBE=，AD=BE=2，
∴∠DBE= ………8分
∴在Rt△BDE中，DE=………10分
20.（1）作图………5分
注：作对中垂线给3分，连接DE、BF并标字母各给1分，共5分
（2）∠EBD；DO=BO；OE=OF，EF⊥BD；对角线相互垂直的平行四边形是菱形.
平分标准：一空1分，共5分
21.
（1）解：设甲款进价x元，
根据题意列方程：………2分
解得：x=320 ………3分
经检验：x=320是原分式方程的解. ………4分
答：每件甲款羊毛衫的进价320元，乙款羊毛衫的进价360元。………5分
（2）设甲款降价y元/件
根据题意列方程：（370-y-320）（30+2y）+(420-360)×15=3000………7分
化简得
解得：………9分
答：甲降价应为20元。………10分
22. （1），，………2分
； ………4分
（第1个解析式对一段给1分，若自变量取值范围不正确，扣0.5）
（2）画图，………7分
作对给2分，作对给1分
当0………8分
（3）当时，．………10分
23. 解：
(1)如图，过点A作于点H；则；………1分
由题意知，，即，
∴四边形是矩形，………2分
米，；………3分
，即是等腰直角三角形，
米，………4分
由勾股定理得：（米）。………5分
(2)由（1）知，四边形是矩形，
米，
米；………6分
点E在点C的正北方向，点D在点E的正东方向，
；
在中，，，
米，米；………7分
∵①（米），………8分
②（米），………9分
∴张东到达终点时间为：（分），李明到达终点的时间为：1350÷100=13.5（分）；
综上，李明先到达D处．………10分
注：相应的解法适当给分。
24. 解：(1)∵抛物线过，其对称轴为．
∴………1分
解得：………2分
∴………3分
(2)由，
当时，，
则，
设直线的解析式为，则把点、代入，得
，
解得：，
∴直线的解析式为；………4分
过点作轴，交于点，如图：………5分
设点P 为，则点D为
∴，………6分
∵，
∴，
∴，
∵-1<0
∴当时，取最大值；………7分
∴，
∴点P的坐标为．………8分
(3)M………10分
25. 解：（1）
∵，，
∴是等边三角形，………1分
∴．
由旋转得，
∴，………2分
∴；………3分
（2）解：，………4分
理由如下：
如图，连接，，………5分
∵，，
∴，
由旋转知，，
∴，
即，
∴，
∴，………6分
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，………7分
∴，，
∵点是的中点，，
∴，
∴，
∴，
∴，
即，
∵点是的中点，，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
即；………8分
（3） ………10分

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