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北师大版九年级上 第2章 一元二次方程 单元测试
一．选择题（共12小题）
1．下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（　　）
A．x2-y+1=0 B．x+y=2 C．x2-1=0 D．
2．解方程x（2x+3）-3（2x+3）=0最合适的方法是（　　）
A．因式分解法 B．公式法 C．配方法 D．代入消元法
3．将一元二次方程4x2-3x=15化成一般形式正确的是（　　）
A．4x2-3x-15=0 B．4x2-3x+15=0
C．4x2-3x=15 D．4x2=3x-15
4．如果关于x的一元二次方程x2-4x+m=0没有实数根，那么m的取值范围是（　　）
A．m＜2 B．m＞4 C．m＞16 D．m＜8
5．青岛市发展和改革委员会公布，青岛市2021年全市生产总值约为1.41万亿元，2023年全市生产总值约为1.58万亿元．设青岛这两年全市生产总值的年均增长率为x,则可列方程为（　　）
A．1.41（1+x）2=1.58 B．1.41（1+x2）=1.58
C．1.58（1-x）2=1.41 D．1.41（1-x）2=1.58
6．已知关于x的一元二次方程mx2-nx=p（m≠0）的两个根为x1=3，x2=5，则方程m（2x+5）2-n（2x+5）-p=0的根为（　　）
A．x1=3，x2=5 B．x1=-1，x2=0
C．x1=-2，x2=0 D．x1=11，x2=15
7．若关于x的方程x2-x-m=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（　　）
A． B． C．m＜-4 D．m＞-4
8．已知a、b是方程x2-x-2023=0的两个实数根，则代数式a3-2023a+b2的值是（　　）
A．4047 B．4046 C．2023 D．1
9．关于x的一元二次方程x2-（m+2）x-3m-3=0在-2≤x≤2范围内有且只有一个根，则m的取值范围为（　　）
A． B．或
C．或m≥5 D．或
10．若方程x2+8x-4=0的两个根分别为x1，x2，则的值为（　　）
A．- B．2 C． D．-2
11．新定义：关于x的一元二次方程与称为“同族二次方程”如2（x-3）2+4=0与3（x-3）2+4=0是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程2（x-1）2+1=0与（a+2）x2+（b-4）x+8=0是“同族二次方程”，那么代数式ax2+bx+2029能取的最小值是（　　）
A．2021 B．2022 C．2023 D．2024
12．一元二次方程M：ax2+bx+c=0；N：cx2+bx+a=0，其中ac≠0，a≠c,以下四个结论：
①若方程M有两个不相等的实数根，则方程N也有两个不相等的实数根；
②若方程M有两根符号相同，则方程N的两根符号也相同；
③若m是方程M的一个根，则是方程N的一个根；
④若方程M和方程N有一个相同的根，则这个根必是x=1．
正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
二．填空题（共5小题）
13．若x（x+1）=0，则方程的解为 ______．
14．一元二次方程x2-x=2024的二次项系数与常数项之积是 ______．
15．如果α、β是关于x的一元二次方程x2-4x+n=0的两个实数根，那么α+β= ______．
16．代数式x2-4x+5的最小值为 ______．
17．若a、b、c为实数，且满足，求的值为______．
三．解答题（共5小题）
18．用适当的方法解下列方程：
（1）x2+2x-8=0；
（2）x2-4x-1=0．
19．已知关于x的方程x2-2mx+m2-n=0有两个不相等的实数根．
（1）求n的取值范围；
（2）若n为符合条件的最小整数，且该方程的较大根是较小根的2倍，求m的值．
20．已知x2-2x+m=0是关于x的一元二次方程．
（1）当m=-3时，求方程的解；
（2）若x1、x2是方程的两个实数根，且x1 x2+2（x1+x2）＞0，求m的取值范围．
21．已知关于x的一元二次方程x2-3x-k2+k+1=0（k为常数）．
（1）求证：无论k取何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若该方程有两个实数根x1，x2，且（x1+1）（x2+1）=3，求k的值．
22．定义：①如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a,b,c为常数且a≠0）有两个实数根（都不为0），且其中一个根等于另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．
②如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a,b,c为常数且a≠0）有两个实数根（都不为0），且其中一个根的平方等于另外一个根，则称这样的方程为“方根方程”．
（1）请你判断：方程x2+9x+18=0是 ______（填“倍根方程”或“方根方程”）；
（2）若一元二次方程x2-6x+c=0是“倍根方程”，求c的值；
（3）根据探究，小明想设计一个一元二次方程x2+bx+c=0，使这个方程既是“倍根方程”又是“方根方程”，请你先帮他算一算，这个方程的根是多少？
北师大版九年级上第2章一元二次方程单元测试
(参考答案)
一．选择题（共12小题）
1、C 2、A 3、A 4、B 5、A 6、B 7、B 8、A 9、D 10、B 11、D 12、C
二．填空题（共5小题）
13、x1=0，x2=-1； 14、-2024； 15、4； 16、1； 17、6；
三．解答题（共5小题）
18、解：（1）x2+2x-8=0，
（x-2）（x+4）=0，
x-2=0或x+4=0，
解得：x1=2，x2=-4；
（2）x2-4x-1=0，
x2-4x+4=1+4，
∴（x-2）2=5，
解得：x-2=±，
∴x1=2+，x2=2-．
19、解：（1）∵关于x的方程x2-2mx+m2-n=0有两个不相等的实数根，
∴Δ=（-2m）2-4（m2-n）=4m2-4m2+4n＞0，
∴n＞0；
（2）∵n为符合条件的最小整数，n＞0，
∴n=1，
∴原方程为：x2-2mx+m2-1=0，
设该方程的根是a,2a,
∴a+2a=2m,a 2a=m2-1，
解得a=2，m=3或a=-2，m=-3（不合题意，舍去），
∴m的值为3．
20、解：（1）将m=-3代入方程得，
x2-2x-3=0，
解得x1=-1，x2=3，
所以方程的解为x1=-1，x2=3．
（2）因为x1、x2是方程的两个实数根，
所以x1+x2=2，x1x2=m.
又因为x1 x2+2（x1+x2）＞0，
所以m+2×2＞0，
解得m＞-4．
又因为Δ=（-2）2-4×1×m≥0，
解得m≤1，
所以m的取值范围是：-4＜m≤1．
21、（1）证明：∵Δ=（-3）2-4×1×（-k2+k+1）
=9+4k2-4k-4
=4k2-4k+5
=4（k-）2+4＞0，
∴无论k取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：由根与系数的关系得出：x1+x2=3，x1x2=-k2+k+1，
∵（x1+1）（x2+1）=3，
∴x1x2+（x1+x2）+1=3，
∴-k2+k+1+3+1=3，即k2-k-2=0，
解得：k=2或-1．
22、解：（1）原方程变形为：（x+3）（x+6）=0，
x1=-3，x2=-6．
∵x2=2x1，
∴方程x2+9x+18=0是“倍根方程”，
故答案为：“倍根方程”；
（2）设x1，x2是“倍根方程”x2-6x+c=0的两个根，且x2=2x1．
由根与系数关系可得：3x1=6，
解得x1=2，
∴2x1 x1=c,
∴c=8；
（3）设一元二次方程x2+bx+c=0的两个实数根分别是x1，x2．
由条件可分情况讨论：
当，即，
解得x2=2或x2=0（舍），
∴x1=4；
当，
即，
解得或x2=0（舍去），
∴．
∴这个方程的根是2，4或，．

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