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北师大版九年级下 2.2 二次函数的图象与性质 同步练习
一．选择题（共10小题）
1．抛物线y=（x-2）2+5的顶点坐标是（　　）
A．（-2，5） B．（2，5） C．（-2，-5） D．（2，-5）
2．抛物线y=3x2与y=-3x2相同的性质是（　　）
A．开口向下 B．对称轴是y轴
C．有最低点 D．对称轴是x轴
3．在平面直角坐标系中，函数y=-x+1与y=-（x-1）2的图象大致是（　　）
A． B． C． D．
4．将抛物线y=x2平移得到抛物线y=x2-3，下列叙述正确的是（　　）
A．向左平移3个单位 B．向右平移3个单位
C．向上平移3个单位 D．向下平移3个单位
5．如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为直线x=-1，且过点（-3，0）．下列说法：①abc＜0；②2a-b=0；③4a+2b+c＜0；④3a+c=0；其中说法正确的是（　　）
A．①② B．②③ C．①②④ D．②③④
6．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示．当y＞0时，自变量x的取值范围是（　　）
A．-3＜x＜1 B．x＜-1 C．x＞3 D．x＜-3或x＞1
7．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论正确的是（　　）
A．abc＞0 B．b-a＞c
C．3a＞-c D．a+b＜m（am+b）（m≠1）
8．如图，抛物线为y=a（x-h）2+k（a＜0），直线y=m交抛物线于A，B两点，P为抛物线的顶点，若△PAB为直角三角形，且面积为，则a的值为（　　）
A．- B．- C．- D．-
9．定义：在平面直角坐标系中，点P（x,y）的横、纵坐标的绝对值之和叫做点P（x,y）的勾股值，记[P]=|x|+|y|．若抛物线y=ax2+bx+1与直线y=x只有一个交点C，已知点C在第一象限，且2≤[C]≤4，令t=2b2-4a+2024，则t的取值范围为（　　）
A．2023≤t≤2024 B．2020≤t≤2021
C．2021≤t≤2022 D．2022≤t≤2023
10．在平面直角坐标系中，我们把横坐标和纵坐标互为相反数的点称为“方形点”，例如：点（1，-1），
，…，都是“方形点”．
下列结论：
①直线y=-5x+3上存在“方形点”；
②抛物线y=x2+x-3上的2个“方形点”之间的距离是；
③若二次函数y=ax2+3x+c（a≠0）的图象上有且只有一个“方形点”（2，-2），当-1≤x≤m时，二次函数y=ax2+3x+c（a≠0）的最小值为-8，最大值为，则实数m的取值范围是-1≤m≤4；
其中，正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．0
二．填空题（共5小题）
11．抛物线y=-2x2-1的顶点坐标是______．
12．把二次函数y=-2x2的图象向左平移1个单位长度后对应的函数表达式为______．
13．二次函数y=x2-4x-3，当-2＜x≤3时，y的范围是______．
14．已知二次函数y=-x2+2x+m的图象如图所示，当x＞0时，y的取值范围是 ______．
15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线C1：y=-x2+2和抛物线C2：y=x2+2x相交于点A、B（点A在点B的左侧），P是抛物线C2：y=x2+2x上AB段的一点（点P不与A、B重合），过点P作x轴的垂线交抛物线C1：y=-x2+2于点Q，以PQ为边向右侧作正方形PQMN．设点P的横坐标为m,当正方形的四个顶点分别落在四个不同象限时，m的取值范围是______．
三．解答题（共5小题）
16．如图，已知抛物线y=-x2+mx+3经过点M（-2，3）．
（1）求出此抛物线的顶点坐标；
（2）当y＞3时，直接写出x的取值范围．
17．设二次函数y1、y2的图象的顶点坐标分别为（a,b）、（c、d），若a=2c、b=2d,且两图象开口方向相同，则称y1是y2的“同倍项二次函数”．
（1）写出二次函数y=x2+x+1的一个“同倍项二次函数”；
（2）已知关于x的二次函数y1=x2+nx和二次函数y2=x2+3nx+1，若y1+y2是y1的“同倍项二次函数”，求n的值．
18．已知二次函数的解析式为：y=x2-2mx+1（m是常数）．
（1）当m=4时，求函数图象的顶点坐标和对称轴；
（2）若点（1，p），（-1，q）在函数图象上，求证：pq≤4；
（3）已知函数图象经过点A（-4，y1），B（m+2，y2），C（a,y3），若对于任意的5≤a≤8都满足y1＞y3＞y2，求m的取值范围．
19．已知关于x的二次函数y1=（x+2a）（x-2b）（其中a,b为常数）．
（1）若a=1，该二次函数的图象经过点（-1，3），求b；
（2）若a=b-2．
①若（-1，m）和（3，n）是该二次函数图象上的点，比较m和n的大小；
②设一次函数y2=-x+2b,当函数y=y1+y2的图象经过点（c,0）时，探索b与c之间的数量关系，并加以推理．
20．已知：抛物线y=x2+4x+4+m的图象与y轴交于点C，点B与点C的纵坐标相同，一次函数y=kx+b的与二次函数交于A、B两点，且A点坐标为（-1，0）．
（1）求二次函数与一次函数的解析式；
（2）若抛物线对称轴上存在一点P，直线PC将△ABC分成面积为1：2两部分，求P点坐标．
北师大版九年级下2.2二次函数的图象与性质同步练习
(参考答案)
一．选择题（共10小题）
1、B 2、B 3、D 4、D 5、C 6、A 7、B 8、B 9、D 10、B
二．填空题（共5小题）
11、（0，-1）； 12、y=-2（x+1）2； 13、-7≤y＜9； 14、y≤4； 15、＜m＜0；
三．解答题（共5小题）
16、解：（1）∵抛物线y=-x2+mx+3经过点M（-2，3），
∴-（-2）2-2m+3=3，
解得m=-2，
∴抛物线为y=-x2-2x+3=-（x+1）2+4，
∴此抛物线的顶点坐标为（-1，4）；
（2）把y=3代入y=-x2-2x+3得，-x2-2x+3=3，
解得x1=0，x2=-2，
∵a=-1＜0，抛物线开口向下，
∴当y＞3时，-2＜x＜0．
17、解：（1）∵y=x2+x+1，
∴y=（x+）2+，
∴二次函数y=x2+x+1的顶点坐标为（-，），
∴二次函数y=x2+x+1的一个“同倍项二次函数”的顶点坐标为（-1，），
∴同倍项二次函数的解析式为y=（x+1）2+；
（2）y1=x2+nx=（x+）2-，
顶点坐标为（-，-），
y1+y2=x2+nx+x2+3nx+1=2x2+4nx+1=2（x+n）2+1-2n2，
顶点坐标为（-n,1-2n2），
∵y1+y2是y1的“同倍项二次函数”，
∴1-2n2=2×（-），
解得：n=±．
18、（1）解：当 m=2 时，y=x2-8x+1=（x-4）2-15，
∴抛物线的顶点坐标为 （4，-15），对称轴为直线 x=4；
（2）证明：∵函数图象经过点（1，p），（-1，q），
∴p=1-2m+1=2-2m,q=1+2m+1=2+2m,
∴pq=（2-2m）（2+2m）=4-4m2=4（1-m2），
∴1-m2≤1，
∴pq≤4；
（3）解：∵对于任意的5≤a≤8都满足 y1＞y3＞y2，
∴点A，B，C存在如下情况：
情况1，如图1，当-4＜m+2＜a时，
当A、C两点对称时，m=，
∵y1＞y3，
∴ m,
∴，
∴m+2＜a＜2m+4，
∴m+2=5或2m+4=8，
∴2＜m＜3；
情况2，如图2，当-4＜a＜m+2时， m,
∴，
∴m＞a+2，
解得m＞10，
综上所述，2＜m＜3或m＞10．
19、解：（1）当a=1时，y1=（x+2）（x-2b），
代入点（-1，3），得3=（-1+2）（-1-2b），
解得b=-2；
（2）①当a=b-2时，则y1=（x+2b-4）（x-2b），
∴该二次函数的图象与x轴的交点坐标为（-2b+4，0），（2b,0），
∴该二次函数的对称轴为，
又∵该二次函数图象开口向上，2-（-1）＞3-2，
∴m＞n；
②由题意可知y=y1+y2
=（x+2a）（x-2b）-x+2b
=（x+2a-1）（x-2b），
又a=b-2，
∴y=（x+2b-5）（x-2b），
∵抛物线经过点（c,0），
∴（c+2b-5）（c-2b）=0，
∴c+2b-5=0或c-2b=0．（也可以写成2b+c=5或2b-c=0．也可以写成c=5-2b或c=2b）．
20、解：（1）∵点A（-1，0）在抛物线y=x2+4x+4+m上，
∴m=-1，
∴二次函数的解析式为y=x2+4x+3，
∴C点的坐标为（0，3），
则B点的坐标为（-4，3），
设直线BA的解析式为y=kx+b,
，
解得，k=-1 b=-1，
∴直线BA的解析式为：y=-x-1，
即二次函数的解析式为y=x2+4x+3，一次函数的解析式是y=-x-1；
（2）∵直线PC将△ABC分成面积为1：2两部分，点A（-1，0），点B（-4，3），
∴点P的横坐标为-2，
当CP与直线AB相交，交点为线段AB的三等分点点P时，纵坐标为：y=-（-2）-1=1，
当CP与直线AB相交，交点为线段AB的三等分点P′时，此时点P′的纵坐标是：y=-（-3）-1=2，
设直线CP′的解析式为：y=mx+n,
，得，
即直线CP′的解析式为：y=，
当x=-2时，y=，
即此时点P的坐标为（-2，），
由上可得，点P的坐标为（-2，1 ） 或 （-2，）．

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