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2025-2026学年人教版七年级上册数学期末专题提升训练：动点问题
1.如图所示，点，，为数轴上的三个点，表示的数分别为，，，满足为的相反数，且动点，分别从点，出发，分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，动点从点出发，以个单位长度的速度向左运动，三个动点同时出发，设运动的时间为秒请回答下列问题：
直接写出，，的值，即______，______，______；
当为何值时，；
在运动过程中，的值是否发生变化，若发生变化，请用含的式子表示；若不发生变化，请求出的值．
2.直接填答案，不写推演过程
观察数轴，充分利用数形结合的思想．若点，在数轴上分别表示数，，则，两点的距离可表示为根据以上信息回答下列问题：已知多项式的次数是，与互为相反数，在数轴上，点是数轴原点，点表示数，点表示数设点在数轴上对应的数为．
，两点之间的距离是______．
若满足，则______．
若，两点之间的距离为，则，两点之间的距离是______．
若满足，则______．
若动点从点出发第一次向左运动个单位长度，在此新位置第二次运动，向右运动个单位长度，在此位置第三次运动，向左运动个单位长度按照此规律不断地左右运动，当运动了次时，则点所对应的数______．
3.已知与为同类项，数轴上两点，对应的数分别为，．
， ，线段 ；
若数轴上有一点，使得，点为的中点，求的长．
有一动点从点出发，以个单位每秒的速度向右方向运动，同时动点从点出发，以个单位每秒的速度在数轴上作同方向运动，设运动时间为秒，点为线段的中点，点为线段的中点，点在线段上且，在，的运动过程中，求的值用含的代数式表示．
4.如图，点、、在数轴上表示的数、、满足：，且多项式是关于、的五次四项式．提示：数轴上、两点对应的数分别为、，、两点之间的距离表示为，且
的值为____，的值为______，的值为______；
点是数轴上、两点间的一个点，当点满足时，求点对应的数．
若动点，分别从点，同时出发向右运动，点，的速度为个单位长度秒和个单位长度秒，点到，两点的距离相等，点在从点运动到点的过程中，的值是否发生变化？若不变，求其值；若变化，说明理由．
5.如图，已知点是数轴上三点，分别对应点 已知与互为相反数．
计算；；
若，求出点所表示的数
在的条件下，若在原点的左边，动点，同时从，出发，分别以每秒个单位和个单位的速度沿数轴正方向运动．为的中点，在上，且，设运动时间．
求点，对应的数用含的式子表示．
为何值时，？
6.如图，已知数轴上点表示的数为，是数轴上位于点左侧一点，且，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒．

数轴上点表示的数是 ；点表示的数是 用含的式子表示．
动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点，同时出发，问点运动多少秒时追上点．
动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若点，同时出发，问多少秒时，点，之间的距离恰好等于？
若点表示的数为，点表示的数为，，分别把，分成两段，且较短的线段长度分别是，的，请直接写出线段的长度用含有，的式子表示．
7.如图，在数轴上点表示的数为，点表示的数为，且，满足，为原点．
则____，____；
若动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动的时间为秒．
当时，求点的运动时间；
当点运动到线段上时，分别取和的中点、，试探究的值是否为定值？若是，求出该值；若不是，请用含的代数式表示．
8.已知数轴上有，两点，分别表示数，，并且满足，
请求出的中点所对应的数；
动点、分别从、两点同时出发向左运动，同时动点从点出发向右运动，点、、的速度分别为每秒个单位长度，每秒个单位长度、每秒个单位长度，求经过多少秒时恰好满足？为坐标原点
动点、分别从、两点同时出发向右运动，点、的速度分别为单位长度秒，单位长度秒，点为线段的中点，的值是否发生变化？若不变，求其值；若变，请说明理由
9. 如图，已知数轴上点表示的数为，是数轴上一点，且动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒．
数轴上点表示的数为 ，点表示的数为 用含的代数式表示；
动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动．若点，同时出发，问：点运动多少秒时追上点
若为的中点，为的中点．点在运动的过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线段的长．
10.如图，、、三点都在数轴上，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，已知、满足，且点在点右侧距点的距离为个单位长度．
， ， ．
若动点以每秒个单位长度的速度，从点沿数轴向右匀速运动，点运动的时间为秒，用时间表示点到点的距离．
在的条件下，同时动点以每秒个单位长度的速度，从点沿数轴向点匀速运动，到达点后立即返回沿数轴向右按原速度匀速运动，求点到点、点的距离相等时移动时间的值？
11. 已知有理数，在数轴上对应的点分别为，，且，满足．
填空： ______， ______， ______；
若数轴上有，两个动点，分别从，两点沿数轴同时相向而行，点的速度为个单位长度秒，点的速度是点速度的倍当点运动至点处，，两点同时停止运动取线段的中点，设运动时间为秒．
当为何值时，线段的长度与的长度相等；
定义：把一条线段平均分成三等分的两个点，都叫线段的三等分点请问是否存在值，使得，，三点中有一点为另外两点构成线段的三等分点？
12.数轴上，三个点表示的数分别是，，且满足，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度向右移动秒．
直接写出______，______；
如图，若为的中点，为的中点，试判断在点运动的过程中，线段的长度是否发生变化，请说明理由；
对于数轴上的点，，给出如下定义：记点到点的距离为，点到的距离为，如果，那么称点是点的“关联点”．
若，直接写出点的“关联点”在数轴上对应的数为_____；
若，试求的值．
13.如图，在数轴上，点为原点，点表示的数为，点表示的数为，且，满足．

动点，分别从点，点同时出发，沿着数轴向右匀速运动，点的速度为每秒个单位长度，点的速度为每秒个单位长度．
秒时，点表示的数是 ，点表示的数是 ．
动点，分别从点，点出发的同时，动点也从原点出发，沿着数轴向右匀速运动，速度为每秒个单位长度记点与点之间的距离为，点与点之间的距离为，点与点之间的距离为设运动时间为秒，请问：是否存在的值，使得在运动过程中，的值是定值若存在，请求出此值和这个定值若不存在，请说明理由．
14.如图，点是数轴原点，点，在数轴上表示的数分别为，，与互为相反数，点为数轴上一动点不与点，重合且表示的数为．
， ；
数轴上是否存在点使得？若存在，求出点表示的数；若不存在，请说明理由；
若点在线段的反向延长线上运动，点是线段的中点，式子的值是否变化？若不变化，请求出其值；若变化，请说明理由；
现有另一动点，动点，同时从点，出发，分别以个单位秒和个单位秒的速度沿数轴向左运动，设运动时间为秒，当为何值时，原点恰是线段的中点；
在的条件下，若点为线段的中点，点为线段的中点，是否存在时间，使的长为？若存在，请说明理由．
15.已知：数轴上两点，对应的数分别是和，且，满足与互为相反数，点为数轴上一动点，其对应的数为．
请直接写出、、的值：________，______．
若点到点、点的距离相等，请直接写出对应的数____________。
数轴上是否存在点，使点到点，点的距离之和为，？若存在，请求出的值；若不存在，说明理由。
当点以每分钟个单位长的速度从点向左运动，点以每分钟个单位长的速度向左运动，点以每分钟个单位长的速度向左运动，问它们同时出发，几分钟后点到点、点的距离相等？
16.如图，已知、是数轴上的两个点，点表示的数为，点表示的数为，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为秒
，点表示的数 分别用含的代数式表示；
点运动多少秒时，？
若为的中点，为的中点，点在运动的过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段的长．
17.已知是最小的正整数，且满足．
填空：_________，_________，_________；
数在数轴上对应的点分别是，点为数轴上一动点，其对应的数为，点在到之间运动时即，请化简式子：；
在的条件下，点在数轴上运动，若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动．点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为若在运动过程中的值保持不变，求的值．
18.，两点在数轴上的位置如图所示，其中点对应的有理数为，且动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为秒．
当时，的长为_________，点表示的有理数为_________．
当时，求的值；
为线段的中点，为线段的中点．在点运动的过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线段的长．
19.已知两点，在数轴上，，点表示的数是，且与互为相反数．
写出点表示的数；
如图，当点，位于原点的同侧时，动点，分别从点，处在数轴上同时相向而行，动点的速度是动点的速度的倍，秒后两动点相遇，当动点到点时，运动停止在整个运动过程中，当时，求点，所表示的数；
如图，当点，位于原点的异侧时，动点，分别从点，处在数轴上向右运动，动点比动点晚出发秒；当动点运动秒后，动点到达点处，此时动点立即掉头以原速向左运动秒恰与动点相遇；相遇后动点又立即掉头以原速向右运动秒，此时动点到达点处，动点到达点处，当时，求动点，运动的速度．
20.已知，、在数轴上对应的数分别用、表示，且．
数轴上点表示的数是______，点表示的数是______；
若一动点从点出发，以个单位长度秒速度由向运动；动点从原点出发，以个单位长度秒速度向运动，点、同时出发，点运动到点时两点同时停止．设点运动时间为秒．
若从到运动，则点表示的数为______，点表示的数为______用含的式子表示
当为何值时，点与点之间的距离为个单位长度．
21.已知是最大的负整数，是的相反数，，且、、分别是点、、在数轴上对应的数．
求、、的值，并在数轴上标出点、、．
若动点从点出发沿数轴正方向运动，动点同时从点出发也沿数轴正方向运动，点的速度是每秒个单位长度，点的速度是每秒个单位长度，求运动几秒后，点可以追上点？
在数轴上找一点，使点到、、三点的距离之和等于，请求出所有点对应的数．
22.点、在数轴上表示的数分别为和，已知．
， ；
在数轴上有一个动点，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，且，则点表示的数是 ；
若点以个单位每秒的速度向右运动，点以个单位每秒的速度向左运动，运动时间为秒．、开始运动的同时，点从原点出发，以个单位每秒的速度向左运动，请问：的值是否随着时间的变化而变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出其值．
若在问题中，当点、相遇后，点保持原速继续向右运动，点在相遇点停留秒后按原速返回．求：在整个运动过程中，当、两点距离为时，的值．
23. 已知：数轴上两点，对应的数分别是和，且，满足与互为相反数，点为数轴上一动点，其对应的数为．
请直接写出、、的值：________， ．
若点到点、点的距离相等，请直接写出对应的数___________。
数轴上是否存在点，使点到点，点的距离之和为，？若存在，请求出的值；若不存在，说明理由。
当点以每分钟个单位长的速度从点向左运动，点以每分钟个单位长的速度向左运动，点以每分钟个单位长的速度向左运动，问它们同时出发，几分钟后点到点、点的距离相等？
24.已知，，满足请回答问题：
请直接写出，的值： ______， ______；
在数轴上、、所对应的点分别为、、
记、两点间的距离为，则 ______， ______；
点为该数轴的动点，其对应的数为，点在点与点之间运动时包含端点，则 ______， ______．
在的条件下，若动点从出发，以每秒个单位长度的速度向移动，当点运动到点时，动点才从出发，以每秒个单位长度向点运动，点到达点后，再立即以同样的速度返回，返回中途遇见点时两点均停止运动设点移动时间为秒，当点开始运动后，请用含的代数式表示，两点间的距离．
25.如图，、是数轴上两点，点表示的数是，点表示的数是，满足：，点是线段上一点，点表示的数是，满足．
直接写出______，______，______；
如图，若动点从点出发，以的速度向右运动，到达点后立即返回；动点从点出发，以的速度向右运动，设它们同时出发，运动时间为，当点与点第二次重合时，、两点停止运动：
当为何值时，、第一次相遇？
当为何值时，、两点之间的距离为？
如图，若数轴上点对应的数是，若线段固定不动，线段以每秒个单位的速度向右运动，、分别是、的中点，在线段向右运动的过程中，是否存在某个时间段，始终有为定值，若存在，请求出这个定值；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】，，；
或；
不会变化，是
【解析】为的相反数，
，
，
，，
，，
故答案为：，，；
，
，
解得或，
答：当或，时，；
不会发生变化，
秒后，点表示的数是，
，，
，
故的值不会发生变化，是．
根据相反数的定义和非负数的性质可得答案；
根据题意列出方程，解方程可得答案；
分别用含的式子表示出与，再计算即可．
本题考查了一元一次方程的应用和数轴，解题的关键是掌握点的移动与点所表示的数之间的关系，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．
2.【答案】；
；
或；
或；

【解析】【分析】
本题考查了数轴和一元一次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．
根据题意可得，，则；
由条件可得，则；
由，两点之间的距离为，可得或，则或；
对点的位置进行分类讨论，并用表示出和的长度，利用“”列出方程即可求出答案；
根据题意得到点每一次运动后所在的位置，然后由有理数的加法进行计算即可．
【解答】
解：由多项式的次数是可知，又和互为相反数，故．
，两点之间的距离是，
故答案为：；
，
，
，
，
故答案为：．
，两点之间的距离为，
或，
或；
故答案为：或；
当在左侧时，
，
，
；
在和之间时，，
点不存在；
点在点右侧时，，
，
；
故答案为：或．
依题意得：．
点对应的有理数为．
故答案为：．
3.【答案】【小题】
【小题】
分两种情况：
当点在之间时，如图，
，，
，
点为的中点，
，
；
当点在右侧时，如图，
，，
，
，
综上所述，的长是或．
【小题】
由题意得，点表示得数为：，点表示的数为：，
，，
点在线段之间，
为中点，
点表示的数为：，
是中点，
点表示的数为：，
，，
，
点表示的数为：，
，
的值为．
故答案为：．

【解析】
解：与为同类项，
，，
解得，，
．
故答案为：，，；

注意分情况讨论，当点在之间时，如图，当点在右侧时，如图，分别计算和的长，相减可得结论；

本题有两个动点和，根据速度和时间可得点表示的数为：，点表示的数为：，根据中点的定义得点和点表示的数，由得的长和点表示的数，根据数轴上两点的距离可得和的长，相加可得最后的值．
4.【答案】解：；；；
点是数轴上、两点间，
由可知，
，
，
，
．
．
，
点对应的数为；
的值不变，其值为理由：
设运动时间为秒，
则点在数轴上对应的数为：，
点在数轴上对应的数为：，
点到，两点的距离相等，
点在数轴上对应的数为：，
，
，
，
的值不变，其值为．
【解析】【分析】
本题主要考查了数轴，代数式求值，非负数的性质，线段的和差，多项式的定义，利用数轴上的数字表示出对应线段的长度是解题的关键．
利用非负数的性质和五次四项式的定义解答即可；
利用图形得出用表示的式子，并代入已知的等式中求得的长，由点对应的数值可得结论；
设运动时间为秒，分别表示出点，在数轴上对应的数，进而得到点在数轴上对应的数，再分别求出，，计算的值即可得出结论．
【解答】
解：，，，
，．
，．
多项式是关于、的五次四项式，
，．
．
故答案为；；；
见答案；
见答案．
5.【答案】解：；；
，
则，
则可理解为数轴上到，的距离和为，
当在点左侧时，
，
，
当在点右侧时，
，
解得．
即点表示的数为或；
动点、分别同时从、出发，分别以每秒个单位和个单位的速度，时间是，
，，
为的中点，在上，且，
，，
点表示的数是，表示的数是，
表示的数是，表示的数是．
，，，
，
由，得，
由，得，
故当秒或秒时．
【解析】【分析】
本题考查了线段中点，非负数的性质，两点间的距离的应用，主要考查学生综合运用定义进行计算的能力，有一定的难度．
由相反数及非负数的性质即可求得，的值；
结合已知可以理解为到，的距离和为，分两种情况解答即可；
求出，，根据、表示的数求出、表示的数即可；求出、，得出方程，求出方程的解即可．
【解答】
解：与互为相反数，
，
，，
，，
故答案为；；
见答案；
见答案．
6.【答案】【小题】
【小题】
由题意得，即，解得，即若点，同时出发，点运动秒时追上点．
【小题】
若点，同时出发，设秒时点，之间的距离恰好等于分两种情况：当点在点的左边时，，，解得；
当点在点的右边时，，，解得．
综上，若点，同时出发，秒或秒时，点，之间的距离恰好等于．
【小题】
或或或

【解析】 略
略
略

分种情况：当，时，如图，
，，所以；
当，时，如图，
，，所以；
当，时，如图，
，，所以；
当，时，如图，
，，所以．
7.【答案】解：，
，，
，．
故答案是；；
若动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，
运动秒后点对应的数为，
点表示的数为，点表示的数为，
，，
当时，有，
解得或．
答：点的运动时间为
或；
当点运动到线段上时，
中点表示的数是，的中点表示的数是，
所以，
则 ．
【解析】【分析】
本题考查了一元一次方程的应用，非负数的性质，数轴，两点间的距离公式．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．
根据非负数的性质即可求出、的值；
先表示出运动秒后点对应的数为，再根据两点间的距离公式得出，，利用建立方程，求解即可；
根据中点坐标公式分别表示出点表示的数，点表示的数，再计算即可．
【解答】
解：解：，
，，
，．
故答案是；；
见答案．
8.【答案】解：由题意可知：，，
，，
点的对应的数为
设运动时间为秒

或舍去
设运动时间为秒
点对应的数为，点对应的数为
点的对应的数为，
，

的值不发生变化

【解析】本题考查了数轴；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方；两点间的距离．有一定难度，运用分类讨论思想、方程思想及数形结合思想是解题的关键．
先根据非负数的性质求出、的值，再根据两点间的距离公式即可求得、两点之间的距离；点是的中点，继而可以求出所对应的数
点、分别自、两点向左运动则，点自点向右运动，则，设经过秒时满足，由此列方程求解即可．
设运动时间为秒，动点、分别从、两点同时出发向右运动，则点对应的数为，点对应的数为，则点的对应的数为，由此表示出和，然后计算即可．
9.【答案】；
设点运动秒时，在点处追上点，
则，，
，
，
解得：，
点运动秒时追上点．
线段的长度不发生变化，都等于；理由如下：
当点在点、两点之间运动时：
，
当点运动到点的左侧时：
，
线段的长度不发生变化，其值为．
【解析】【分析】
本题考查了数轴，一元一次方程的应用，用到的知识点是数轴上两点之间的距离，关键是根据题意画出图形，注意分两种情况进行讨论．
根据，点表示的数为，即可得出表示的数；再根据动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，即可得出点表示的数；点运动秒时，在点处追上点，则，，根据，列出方程求解即可；
分当点在点、两点之间运动时，当点运动到点的左侧时，利用中点的定义和线段的和差求出的长即可．
【解答】
解：点表示的数为，在点左边，，
点表示的数是，
动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒，
点表示的数是．
故答案为，；
见答案；
见答案．
10.【答案】，，；
点所表示的数是：，点所表示的数，
没过点时：，
过点时：；
当点没到点时：
点所表示的数是：，，
，
解得：或；
当点到点返回时：秒，
点所表示的数是：，，
，
解：或．
故点到点、点的距离相等时移动时间的值为或或或．
【解析】解：，
，，
解得，，
点在点右侧距点的距离为个单位长度，
．
故答案为：，，；
点所表示的数是：，点所表示的数，
没过点时：，
过点时：；
当点没到点时：
点所表示的数是：，，
，
解得：或；
当点到点返回时：秒，
点所表示的数是：，，
，
解：或．
故点到点、点的距离相等时移动时间的值为或或或．
由非负数的性质即可求解；
根据路程速度时间即可用时间表示点到点的距离；
两种情况：当点没到点时；当点到点返回时；可列方程，可求得时间的值．
本题考查了数轴以及一元一次方程的应用，利用数轴让学生体会“数”与“形”的结合是本题的关键．
11.【答案】解：； ；；
已知点从点表示的数为出发，速度为个单位长度秒，运动时间为秒，根据“数轴上点的运动规律：向右运动用加法”，则秒后点表示的数为，
点从点表示的数为出发，速度是点速度的倍，即个单位长度秒，向左运动相向而行，所以秒后点表示的数为，
根据数轴上两点间距离公式，，
因为点表示的数为，点表示的数为，所以 ，
又因为是线段的中点，根据“中点性质：中点将线段分为等长的两段”，所以，
由可得，分两种情况讨论：
当，即时，方程化为，
解得： ，，符合条件；
当，即时，方程化为，
解得： ，，符合条件；
所以的值为或；
由题可得：，．
当时，即，解得：；
(ⅱ)当时，即，解得：；
(ⅲ)当时，即，解得：；
当时，即，解得：．
综上所述，当为或或或时，，，三点中有一点为另外两点构成线段的三等分点．
【解析】解：因为，
所以，，
解得：，，
则．
故答案为：，，；
见答案；
见答案．
根据绝对值及偶次幂的非负性和两点间的距离公式计算即可求解；
根据，列出方程计算即可求解；
由题可得：，再分当时；(ⅱ)当时；(ⅲ)当时；当时，进行讨论即可求解．
本题主要考查数轴上的动点问题及一元一次方程的应用，熟练掌握数轴上的动点问题及一元一次方程的应用是解题的关键．
12.【答案】解：，
根据题意可得：，
点表示的数为，为的中点，为的中点，
，
点表示的数为，点表示的数为，
．
线段的长度不变
或
点表示的数为，
，，
，
，
当点在点左边时，点表示的数为，
，，
，
，解得：或
当点在点右边时，点表示的数为，
，
点在点左边，
，，
，
解得：，
综上：或或．
【解析】解：，
，，
，，
故答案为：，
见答案；
点从点出发向右运动，，，
点表示的数为，
，，
，
点表示的数为或，
答案为：或
见答案；
本题考查了绝对值和平方的非负性，数轴上两点之间的距离，解一元一次方程，解题的关键是根据题意，得出两点之间的距离，列出方程求解．
根据绝对值和平方的非负性，即可解答
根据题意得出点表示的数为，根据中点的表示方法得出点表示的数为，点表示的数为，求出，即可得出结论
根据题意得出点表示的数为，，即可求解
先得出点表示的数为，则，，然后进行分类讨论：当点在点左边时，点表示的数为，得出，，根据，列出方程求解即可当点在点右边时，点表示的数为，推出点在点左边，则，，列出方程求解即可．
13.【答案】解：；
；
存在的值，使得在运动过程中，的值是定值，理由如下：
根据题意得表示的数是，
，，，
，
当时，，
时，为定值
当时，，
时，为定值
综上所述，当时，的值为定值，这个定值是或时，的值为．
【解析】【分析】
本题考查了数轴，非负数的性质，列代数式，一元一次方程的应用，解题的关键是应含的代数式表示点运动后所表示的数．
由绝对值和平方的非负性可得答案
秒时，点表示的数是，点表示的数是；
根据题意得表示的数是，故，当时，，可得时，为定值当时，，故时，为定值．
【解答】
解：，
，，
，，
故答案为：；
秒时，点表示的数是，点表示的数是
故答案为：；
见答案．
14.【答案】【小题】
【小题】
存在．
分三种情况讨论：
若点在线段上，
根据题意，得，
因为，所以，
解得，
此时点表示的数；
若点在点右侧，
则，，
因为，
所以，
解得，
与点在点右侧条件相矛盾，舍去；
若点在点左侧，
则，，
因为，
所以，
解得．
综上所述，数轴上存在点使得，此时点表示的数为或；
【小题】
式子的值不发生变化．
根据题意，得点在数轴上表示的数为，
则，，
；
【小题】
根据题意，得点所表示的数为，点所表示的数为，
因为点是线段的中点，
所以，解得，
所以当秒时，原点恰是线段的中点；
【小题】
存在．理由如下：
根据题意，得，，
因为点为的中点，点为的中点，
所以，，
当点在点右侧时，，
所以，解得；
当点在点左侧且在点右侧时，，
所以，
解得不合题意，舍去；
当点在点左侧时，，
所以，解得．
综上所述，当秒或秒时，的长为．

【解析】
因为与互为相反数，所以，所以，，解得，．
见答案
见答案
见答案
见答案
15.【答案】解：，；
；
易知，，分情况讨论，
当在点左边，即时，有
，
解得；
当在点，点之间包括点和点，即时，
，不符合题意；
当在点右边，即时
，
解得，
故或时，点到点，点的距离之和为．
根据题意，，，
若点到点、点的距离相等，分情况讨论：
当点是、的中点时，
，
解得；
当点、重合时，点到点、点的距离也相等，此时
解得，
所以分或分时，点到点、点的距离相等．
【解析】本题主要考查数轴和绝对值的知识，关键是知道数轴的特点．
与互为相反数，只能有，故，；
点到点、点的距离相等，说明点是、的中点，其对应的数值为；
见答案；
见答案．
16.【答案】【小题】
【小题】
，如图，图，
或，
解得：或；
【小题】
线段的长度不变，
理由：为的中点，为的中点，
，，
当点在线段上时，
当点在线段的延长线上时，；
故的长度不变．

【解析】
根据路程速度时间，以及线段的和差定义计算即可；
解：由题意，得：，点表示的数，
故答案为，

分两种情形构建方程即可解决问题；

分两种情形分别讨论即可解决问题；
本题考查有理数与数轴，线段的和差及中点定义，解题的关键是理解题意，学会运用方程的思想思考问题，属于中考常考题型．
17.【答案】解：；；；
当时，
；
根据题意得，，
，
，
若的值保持不变，
则，
．
【解析】【分析】
本题考查了数轴，整式的加减，非负数的性质，绝对值，熟练掌握非负数的性质是解题的关键．
根据非负数的性质即可得到结论；
根据绝对值的定义即可得到结论；
根据题求得，再根据的值保持不变，则代数式中含的项的和为，由此列出的方程便可得解．
【解答】
解：，
，，是最小的正整数，
，，；
故答案为：；；；
见答案；
见答案．
18.【答案】解：，；
当点在点左侧时，
，，
，
由题意得：，
解得：；
当点在点右侧时，由题意可得，
解得：；
综上，或．
如图，当点在线段上时，
；
如图，当点在延长线上时，
；
综上所述，线段的长度不发生变化，其值为．
【解析】【分析】
本题考查了一元一次方程的应用和数轴，解题关键是根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．
根据题意知，点表示的有理数为，将代入即可求得；
由、知，根据得出关于的方程，解之即可得；
分类讨论：当点在点、两点之间运动时，当点运动到点的左侧时，利用中点的定义和线段的和差易求出．
【解答】
解：设运动时间为秒，
则，点表示的有理数为，
当时，，点表示的有理数为，
故答案为：，；
见答案；
见答案．
19.【答案】解：与互为相反数，，
，
，
点表示的数为或；
当点、位于原点的同侧时，点表示的数是，
设点的运动速度为，则点的速度为，
由秒后两动点相遇可得：，
解得，
点的运动速度为，则点的速度为，
设运动时间为，则点所表示的数为：，点所表示的数为：，
，
，
或，
解得或，
当动点到点时，运动停止，此时，
解得，
当时，点所表示的数为：，点所表示的数为：；
当时，点所表示的数为：，点所表示的数为：；
动点比动点晚出发秒，
当动点运动秒后，动点到达点处，此时动点立即掉头以原速向左运动秒恰与动点相遇，
点先向右移动秒到点处，再向左移动秒，此时回到点，
点点与点在点处相遇，此时点运动秒，运动了个单位长度，
点速度为，
设点的速度为，
点又立即掉头以原速向右运动秒后位置为点处，表示的数为，此时动点到达点处，表示的数为，
，
，
解得或，
点的速度为或．
【解析】先由与互为相反数．得出的值，再分两种情况分别得出点所表示的数：当点、点在原点的同侧时；当点、点在原点的异侧时；
当点、位于原点的同侧时，点表示的数是，设点的运动速度为，则点的速度为，根据题意得出关于的一元一次方程并求解，设运动时间为，则点所表示的数为，点所表示的数为，列方程求解即可；
根据题意先列式求出点的运动速度，再设点的运动速度为，根据，得到关于的方程，解出即可．
本题考查了一元一次方程在数轴上的动点问题中的应用，理清题中的数量关系并正确列出方程是解题的关键．
20.【答案】
当点在点左侧时，，解得：；
当点在点右侧时，，得：．
综上所述，当为或时，点与点之间的距离为个单位长度．
【解析】解：，
，，
，，
表示的数是，表示的数是．
故答案为：；．
当运动时间为秒时，点表示的数为，点表示的数为．
故答案为：；．
见答案
由偶次方及绝对值的非负性，可求出，的值，进而可得出结论；
根据点，的出发点及运动速度，可得出运动时间为秒时，，两点表示的数；
分点在点左侧及点在点右侧两种情况考虑，根据，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论．
本题考查了一元一次方程的应用、偶次方及绝对值的非负性、数轴以及列代数式，解题的关键是：利用偶次方及绝对值的非负性求出，的值；根据数量关系，用含的代数式表示出，两点表示的数；分点在点左侧及点在点右侧两种情况，找出关于的一元一次方程．
21.【答案】解：是最大的负整数，即，
是的相反数，即，
，
所以点、、在数轴上位置如图所示：
设运动秒后，点可以追上点，
则点表示数为，点表示的数为，
依题意得：，
解得：．
答：运动秒后，点可以追上点；
设点表示的数为，则
当在点左侧时，，解得：；
当在之间时，，解得：，故舍去；
当在之间时，，解得：；
当在点右侧时，，解得：，故舍去；
综上可得，数轴上存在一点，使点到、、三点的距离之和等于，所有点对应的数是或．
【解析】此题主要考查了一元一次方程的应用，以及与数轴有关的计算问题，能够正确表示数轴上两点间的距离是解题的关键．
根据整数、相反数、绝对值的概念求出、、的值，然后在数轴上找出对应的点并标出即可；
设运动秒后，点可以追上点，根据题意可列出方程，求出的值即可；
根据数轴上两点间的距离求法，分四种情况进行计算：当在点左侧时，可求出点表示的数为；当在之间时，可求出点表示的数为，不符合题意舍去；当在之间时，可求出点表示的数为；当在点右侧时，可求出点表示的数为不符合题意舍去；最后综合所有结果即可．
22.【答案】解：；；
或；
不变，当运动时间为秒时，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，
，，
．
随着时间的变化的值不变，该值为；
秒，
秒，
当时，点表示的数为，点表示的数为，
，
解得：；
当时，点表示的数为，点表示的数为，
，
解得：；
当时，点表示的数为，点表示的数为，
，
即或，
解得：或．
综上所述：在整个运动过程中，当、两点距离为时，的值为或或或．
【解析】【分析】
本题考查了一元一次方程的应用、数轴上两点间的距离公式以及偶次方及绝对值的非负性，解题的关键是：利用偶次方及绝对值的非负性，求出，的值；找准等量关系，正确列出含绝对值符号的一元一次方程；用含的代数式表现出，的值；分，及三种情况，找出关于的一元一次方程或含绝对值符号的一元一次方程．
利用偶次方及绝对值的非负性，即可求出，的值；
设点表示的数为，根据，即可得出关于的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论；
当运动时间为秒时，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，利用数轴上两点件的距离公式可得出，，将其代入中即可得出结论；
分，及三种情况，由，即可得出关于的一元一次方程或含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】
解：，
，，
，．
故答案为：；；
设点表示的数为，
依题意，得：，
即或，
解得：或．
故答案为：或；
见答案；
见答案．
23.【答案】解：，；
；
易知，，分情况讨论，
当在点左边，即时，有
，
解得；
当在点，点之间包括点和点，即时，
，不符合题意；
当在点右边，即时
，
解得，
故或时，点到点，点的距离之和为．
根据题意，，，
若点到点、点的距离相等，分情况讨论：
当点是、的中点时，
，
解得；
当点、重合时，点到点、点的距离也相等，此时
解得，
所以分或分时，点到点、点的距离相等．
【解析】本题主要考查数轴和绝对值的知识，关键是知道数轴的特点．
与互为相反数，只能有，故，；
点到点、点的距离相等，说明点是、的中点，其对应的数值为；
见答案；
见答案．
24.【答案】，；
，；，；
或或．
【解析】解：，满足，
，，
，，
故答案为：，；
，，
故答案为：，；
点为点和之间一点，其对应的数为，
，，
故答案为：，；
、第二次相遇点从点返回时：，
，
设秒时，、第一次相遇，
，
，
分三种情况：
当时，如图，在的右侧，此时，
当时，如图，在的左侧，此时，
当时，如图，点在的左侧，此时，
综上所述：或或．
根据题意可以求得、的值；
根据数轴上两点的距离公式可得；
根据数轴上两点的距离公式可以表示和的长；
分别计算、两次相遇的时间，分三种情况讨论，根据图形结合数轴上两点的距离表示的长．
本题考查一元一次方程的应用，非负数的性质、绝对值、数轴等知识，解题的关键是熟练掌握非负数的性质，绝对值的化简，学会用参数表示线段的长，有难度，属于中考常考题型．
25.【答案】解：；；
依题意得：点表示的数
时，点向右运动，表示的数
时，点往回向左运动，表示的数
解得：
的值为
时，、第一次相遇．
当、第二相遇时，
解得：
的取值范围是
当
时，
解得：
，
当
时，
解得：
，
舍去
的值为
或
或
时，、两点之间的距离为．
存在满足条件的情况．
依题意得：，
，
中点表示的数
表示，表示
中点表示的数是
如图，当在点左侧时，
，即
，
不是定值．
如图，当点在右侧，点在左侧时，，即
，
是定值．
如图，点在右侧时，，即
，
不是定值．
综上所述，
时，的值为定值
．
【解析】本题考查了绝对值、平方数的非负性，两点间距离公式，一元一次方程和一元二次方程的解法．解题关键是用表示需要计算的点表示的数，根据两点间距离公式求线段的长度．
根据绝对值和平方的非负性即求出、的值；利用且，即求出的长，再利用平移的性质，即求出的值．
先分两种情况返回前和返回后用表示、表示的数：、第一次相遇即返回前、表示的数相同，列方程即求出的值；先求出、第二次相遇的时间，得到的取值范围．分两种情况写出的长度用表示，由列方程，求出满足的个的值．
用表示、表示的数，写出、表示的数，分种情况把和的长用表示，直接计算的值再判断即可．
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