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分课时教学设计
第七课时《16.3.1 平方差公式》教学设计
课型 新授课 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 平方差公式是人教版八年级上册第十六章整式的乘法这一章的核心内容，是多项式乘法的特殊形式与重要拓展．它承接前文一般多项式相乘的法则，将“特殊形式的多项式相乘”提炼为固定公式，既简化了同类运算的步骤，又为后续因式分解、分式运算等知识奠定基础，在整个代数运算体系中起到承上启下的作用．同时，公式的探索过程融合了代数推理与几何直观，是培养学生符号意识、推理能力和几何直观的重要载体．
学习者分析 学生在学习本课之前，已掌握多项式乘法法则，能进行一般多项式相乘的运算，具备初步的符号运算能力，为探索平方差公式奠定了代数基础．但学生对“特殊形式运算提炼为公式”的思维过程较陌生，易忽视公式中“a、b既可以是单项式也可以是多项式”的本质，应用时可能出现符号判断错误或平方项计算不完整的问题．此外，学生虽有一定几何认知，但将代数公式与几何图形面积关联的能力较弱，需借助直观引导理解公式的几何背景．
教学目标 1．经历探索平方差公式的过程，进一步发展符号意识和推理能力． 2．会推导平方差公式，并能用公式进行简单的计算和推理． 3．了解平方差公式的几何背景，发展几何直观．
教学重点 平方差公式的探索和应用．
教学难点 平方差公式的探索和应用．
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：学习目标教师活动1： 师出示学习目标： 1．经历探索平方差公式的过程，进一步发展符号意识和推理能力． 2．会推导平方差公式，并能用公式进行简单的计算和推理． 3．了解平方差公式的几何背景，发展几何直观．学生活动1： 学生齐声读本课的学习目标活动意图说明： 明确本节课的学习目标，使教师的教和学生的学有效结合在一起，激发学生的学习动力，提高学生课堂参与的兴趣与积极性．环节二：新知导入教师活动2： 问题：1．说一说多项式乘以多项式的运算法则？ 答案：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加． 2．填空： ______________. 答案： 导言：某些特殊形式的多项式相乘，可以写成公式的形式，当遇到相同形式的多项式相乘时，就可以直接运用公式写出结果．学生活动2： 学生积极回答问题活动意图说明： 通过复习多项式与多项式相乘的运算法则，为探究乘法的平方差公式做好准备环节三：新知讲解教师活动3： 探究：计算下列多项式的积，你能发现什么规律？ （1） =__________； （2） =__________； （3）=__________. 预设：，， 讲解：上面的几个运算都是形如a＋b的多项式与形如a－b的多项式相乘． 对于具有与此相同形式的多项式相乘，可以直接写出运算结果． 归纳：（乘法的）平方差公式 (a+b)(ab)=a2b2 也就是说，两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差． 强调：平方差公式是多项式乘法 中＝，＝－的特殊情形． 思考：你能根据下图中图形的面积说明平方差公式吗？ 图形演示： 即：(a+b)(ab)=a2b2 例1：计算. （1）(3x＋2)(3x－2)；（2）(－x＋2y)(－x－2y)． 分析：在（1）中，可以把3x看成a，2看成b，即 解：（1）(3x＋2)(3x－2) ＝(3x)2－22 ＝9x2－4； （2）(－x＋2y)(－x－2y) ＝(－x)2－(2y)2 ＝x2－4y2． 归纳：在运算时，一定要分清楚哪个是相同项，哪个是相反项，并不是带负号的就是相反项． 例2：计算. （1）； （2）； （3）. 解：（1） = =； （2） = = =； （3） = = = =. 归纳：只有符合公式条件的乘法，才能运用公式简化运算，其余的运算仍按乘法法则进行．学生活动3： 学生小组合作探究、班内汇报，然后听老师的点评的讲解活动意图说明： 通过探究，让学生思考并回答问题，逐渐推出平方差公式，锻炼学生的总结归纳和推理能力，并运用几何图形验证平方差公式，让学生体会数形结合思想．通过例题检验学生有无灵活运用平方差公式简化运算的意识．环节四：课堂小结教师活动4： 问题：本节课你都学习到了哪些知识？ 教师通过学生的回答，进行归纳 学生活动4： 学生积极回顾本节课学习到的知识活动意图说明： 通过学生自己回顾、总结、梳理所学的知识，将所学的知识与以前学过的知识进行紧密联系，完善认知结构和知识体系．
板书设计 课题：16.3.1平方差公式一、平方差公式的定义 二、平方差公式的几何意义 三、平方差公式的应用教师板演区学生展示区
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．下列各式中，能用平方差公式计算的是( ) A．(2x－3y)(－2x＋3y) B．(－3x＋4y)(－4y－3x) C．(x－y)(x＋2y) D．(x＋y)(－x－y) 答案：B 2．下面各式的计算对不对？如果不对，应当怎样改正？ （1）； （2）； （3）； （4）. 答案：（1）√； （2）×； （3）×， （4）×， 3．计算： (1)； (2)． 解：（1）原式； （2）原式． 选做题： 4．(x4＋1)(x2＋1)(x＋1)(x－1)的结果是( ) A．x8＋1 B．x8－1 C．(x＋1)8 D．(x－1)8 答案：B 提示： = = = 【综合拓展类练习】 5．先化简，再求值：a（a﹣2）﹣（a+1）（a﹣1），其中a=﹣． 解：原式=a2﹣2a﹣a2+1=﹣2a+1， 当a=-时，原式=1+1=2
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．下列计算正确的是( ) A．(x＋3)(x－3)＝x2－6 B．(3x＋2y)(3x－2y)＝3x2－2y2 C．(m－n)(－m－n)＝m2－n2 D．(a＋b)(b－a)＝b2－a2 答案：D 2．如图①，在边长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形(a>b)，把剩下的部分拼成一个梯形(如图②)，利用这两个图形的面积，可以验证的公式是( ) A．a2＋b2＝(a＋b)(a－b) B．a2－b2＝(a＋b)(a－b) C．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 D．(a－b)2＝a2－2ab＋b2 答案：B 3．计算：（1）；（2）. 解：（1） = = = （2） = = = 选做题： 4．先化简，再求值：a(3－a)－(1－a)(1＋a)，其中a=2. 解： = = = 当a=2时， 原式＝3×2－1＝5. 【综合拓展类作业】 5．小明化简（2x+1）（2x﹣1）﹣x（x+5）的过程如图，请指出他化简过程中的错误，写出对应的序号，并写出正确的化简过程． 解：原式=2x2﹣1﹣x（x+5）…① =2x2﹣1﹣x2+5x…② =x2+5x﹣1 …③ 解：①：4x2﹣1﹣x（x+5）． ②：4x2﹣1﹣x2﹣5x． ③：3x2﹣5x﹣1．
教学反思 本课通过“实例探究—代数推导—几何验证”的流程，基本达成教学目标，学生能初步运用公式计算，但仍存在不足．多数学生能掌握单项式型“a、b”的代入，却对多项式型“a、b”（如(-x+2y)中的“-x”）识别困难，说明对公式本质的讲解还需加强．几何验证环节因时间把控较紧，部分学生未能充分参与图形分析，几何直观培养效果未达预期．后续需优化例题分层设计，增加公式变形练习，并预留充足时间让学生自主探索图形与公式的关联，提升教学针对性．
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第十六章 整式的乘法
16.3.1 平方差公式
1．经历探索平方差公式的过程，进一步发展符号意识和推理能力．
2．会推导平方差公式，并能用公式进行简单的计算和推理．
3．了解平方差公式的几何背景，发展几何直观．
1．说一说多项式乘以多项式的运算法则？
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
2．填空： ____________________.
某些特殊形式的多项式相乘，可以写成公式的形式，当遇到相同形式的多项式相乘时，就可以直接运用公式写出结果．
探究：计算下列多项式的积，你能发现什么规律？
（1） =__________；
（2） =__________；
（3）=__________.
上面的几个运算都是形如a＋b的多项式与形如a－b的多项式相乘．
对于具有与此相同形式的多项式相乘，可以直接写出运算结果．
（乘法的）平方差公式
(a+b)(ab)=a2b2
也就是说，两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．
平方差公式是多项 式乘法 中
＝，＝－的特殊情形．
思考：你能根据下图中图形的面积说明平方差公式吗？
思考：你能根据下图中图形的面积说明平方差公式吗？
图形演示：
(a+b)(ab)
=
a2b2
（2）(－x＋2y)(－x－2y)
＝(－x)2－(2y)2
＝x2－4y2．
解：（1）(3x＋2)(3x－2)
＝(3x)2－22
＝9x2－4；
例1：计算.
（1）(3x＋2)(3x－2)； （2）(－x＋2y)(－x－2y)．
( a + b )( ab ) =a2b2
( a + b)( ab)=a2b2
在运算时，一定要分清楚哪个是相同项，哪个是相反项，并不是带负号的就是相反项．
例2：计算.
（1）；（2）；
（3）.
解：（1）
=
=；
（2）
=
=
=；
解：（3）
=
=
=
=.
只有符合公式条件的乘法，才能运用公式简化运算，其余的运算仍按乘法法则进行．
例2：计算.
（1）；（2）；
（3）.
【知识技能类练习】必做题：
1．下列各式中，能用平方差公式计算的是( )
A．(2x－3y)(－2x＋3y)
B．(－3x＋4y)(－4y－3x)
C．(x－y)(x＋2y)
D．(x＋y)(－x－y)
B
【知识技能类练习】必做题：
2．下面各式的计算对不对？如果不对，应当怎样改正？
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
√
×
×
×
【知识技能类练习】必做题：
3．计算：
(1)； (2)．
解：（1）原式；
（2）原式．
【知识技能类练习】选做题：
4．(x4＋1)(x2＋1)(x＋1)(x－1)的结果是( )
A．x8＋1 B．x8－1 C．(x＋1)8 D．(x－1)8
B
解：
=
=
=
【综合拓展类练习】
5．先化简，再求值：a（a﹣2）﹣（a+1）（a﹣1），其中a=﹣．
解：原式=a2﹣2a﹣a2+1=﹣2a+1，
当a=-时，原式=1+1=2
平方差公式
平方差公式的应用
平方差公式的定义
平方差公式的几何意义
【知识技能类作业】必做题：
1．下列计算正确的是( )
A．(x＋3)(x－3)＝x2－6
B．(3x＋2y)(3x－2y)＝3x2－2y2
C．(m－n)(－m－n)＝m2－n2
D．
D
【知识技能类作业】必做题：
2．如图①，在边长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形(a>b)，把剩下的部分拼成一个梯形(如图②)，利用这两个图形的面积，可以验证的公式是( )
A．a2＋b2＝(a＋b)(a－b)
B．a2－b2＝(a＋b)(a－b)
C．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2
D．(a－b)2＝a2－2ab＋b2
B
【知识技能类作业】必做题：
3．计算：（1）；（2）.
解：（1）
=
=
=
（2）
=
=
=
【知识技能类作业】选做题：
4．先化简，再求值：a(3－a)－(1－a)(1＋a)，其中a=2.
解：
=
=
=
当a=2时，
原式＝3×2－1＝5.
【综合拓展类作业】
5．小明化简（2x+1）（2x﹣1）﹣x（x+5）的过程如图，请指出他化简过程中的错误，写出对应的序号，并写出正确的化简过程．
解：原式=2x2﹣1﹣x（x+5）…①
=2x2﹣1﹣x2+5x…②
=x2+5x﹣1 …③
解：①：4x2﹣1﹣x（x+5）．
②：4x2﹣1﹣x2﹣5x．
③：3x2﹣5x﹣1．中小学教育资源及组卷应用平台
同步探究学案
课题 16.3.1 平方差公式 单元 第十六章 学科 数学 年级 八年级
学习 目标 1．经历探索平方差公式的过程，进一步发展符号意识和推理能力． 2．会推导平方差公式，并能用公式进行简单的计算和推理． 3．了解平方差公式的几何背景，发展几何直观．
重点 平方差公式的探索和应用．
难点 平方差公式的探索和应用．
探究过程
导入新课 【引入思考】 1．说一说多项式乘以多项式的运算法则？ 2．填空： ______________.
新知探究 本节课来研究： 本节我们借助多项式相乘，研究特殊形式的多项式相乘——乘法的平方差公式。 探究：计算下列多项式的积，你能发现什么规律？ （1） =__________； （2） =__________； （3）=__________. 上面的几个运算都是形如________的多项式与形如_______的多项式相乘． 对于具有与此相同形式的多项式相乘，可以直接写出运算结果． 归纳：（乘法的）平方差公式 (a+b)(ab)=________ 也就是说，两个数的_____与这两个数的_____的积，等于这两个数的_______． 强调：平方差公式是多项式乘法 中＝，＝____的特殊情形． 思考：你能根据下图中图形的面积说明平方差公式吗？ 例1：计算. （1）(3x＋2)(3x－2)；（2）(－x＋2y)(－x－2y)． 分析：在（1）中，可以把3x看成____，2看成_____，即 归纳：在运算时，一定要分清楚哪个是相同项，哪个是相反项，并不是带负号的就是相反项． 例2：计算. （1）； （2）； （3）. 归纳：只有符合公式条件的乘法，才能运用公式简化运算，其余的运算仍按乘法法则进行．
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．下列各式中，能用平方差公式计算的是( ) A．(2x－3y)(－2x＋3y) B．(－3x＋4y)(－4y－3x) C．(x－y)(x＋2y) D．(x＋y)(－x－y) 2．下面各式的计算对不对？如果不对，应当怎样改正？ （1）； （2）； （3）； （4）. 3．计算： (1)； (2)． 选做题： 4．(x4＋1)(x2＋1)(x＋1)(x－1)的结果是( ) A．x8＋1 B．x8－1 C．(x＋1)8 D．(x－1)8 【综合拓展类练习】 5．先化简，再求值：a（a﹣2）﹣（a+1）（a﹣1），其中a=﹣．
课堂小结 说一说：今天这节课，你都有哪些收获？
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．下列计算正确的是( ) A．(x＋3)(x－3)＝x2－6 B．(3x＋2y)(3x－2y)＝3x2－2y2 C．(m－n)(－m－n)＝m2－n2 D．(a＋b)(b－a)＝b2－a2 2．如图①，在边长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形(a>b)，把剩下的部分拼成一个梯形(如图②)，利用这两个图形的面积，可以验证的公式是( ) A．a2＋b2＝(a＋b)(a－b) B．a2－b2＝(a＋b)(a－b) C．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 D．(a－b)2＝a2－2ab＋b2 3．计算：（1）；（2）. 选做题： 4．先化简，再求值：a(3－a)－(1－a)(1＋a)，其中a=2. 【综合拓展类作业】 5．小明化简（2x+1）（2x﹣1）﹣x（x+5）的过程如图，请指出他化简过程中的错误，写出对应的序号，并写出正确的化简过程． 解：原式=2x2﹣1﹣x（x+5）…① =2x2﹣1﹣x2+5x…② =x2+5x﹣1 …③
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