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2025-2026学年云南省红河州蒙自市第四中学高一上学期10月月考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.函数的定义域为( )
A. B.
C. D.
2.设命题，则为
A. B.
C. D.
3.下列结论正确的是
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
4.已知，则( )
A. B. C. D.
5.若，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6.若是偶函数且在上单调递增，又，则不等式的解集为( )
A. B. 或
C. 或 D. 或
7.中国古代重要的数学著作孙子算经下卷有题：今有物，不知其数三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二问：物几何？现有如下表示：已知，，，若，则下列选项中符合题意的整数为
A. B. C. D.
8.已知函数是上的减函数，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知全集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为( )
A. B. C. D.
10.已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是( )
A.
B. 不等式的解集为
C.
D. 不等式的解集为
11.已知为正实数，，则下列选项正确的是( )
A. 的最小值为 B. 的最小值为
C. 的最小值为 D. 的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知集合，则集合的个数为 个
13.若函数是定义在上的偶函数，则 ．
14.函数在上的最大值与最小值的和为，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
证明：的奇偶性；
证明：在区间上的单调性，并求在区间上的值域．
16.本小题分
已知集合，．
当时，求；
若，求实数的取值范围．
17.本小题分
足球世界杯是很受全球高中生欢迎的足球赛事，中国成功获得国际中体联足球世界杯，，年主办权，经过大连市的积极申办，教育部正式推荐，大连最终成为年国际中体联足球世界杯承办地．筹备期间组委会委托工厂生产某种纪念品，生产该纪念品需投入年固定成本为万元，每生产万件，需另投入流动成本为万元，在年产量不足万件时，万元，在年产量不小于万件时，万元，每件纪念品售价为元，通过市场分析，此纪念品当年能全部售完．
写出年利润万元关于年产量万件的函数解析式；注：年利润年销售收入固定成本流动成本
年产量为多少万件时，该工厂在这一纪念品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？
18.本小题分
求下列代数式的最值：
已知，求的最小值；
已知，，且满足求的最小值；
当时，不等式恒成立，求实数的最大值．
19.本小题分
已知函数在区间上是单调函数
求实数的所有取值组成的集合；
试写出在区间上的最大值；
根据的结论，设，令，若对任意，都有成立，求实数的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.由解析式有意义可知，函数的定义域为，
又，
所以为奇函数．
，且，
，
因为，所以，
所以，即，
所以在区间上单调递增．
由上知，在区间单调递增，
所以，即，
所以在区间上的值域为．

16.当时，，
所以；
因为，所以是的子集．
，即，解得；
，则，所以，
综上所述，实数的取值范围为或

17.因为每件商品售价为元，则万件商品销售收入为万元，
当时，；
当时，；
所以．
由可知：
当时，，
当时，取得最大值；
当时，，
当且仅当时等号成立，即时，取得最大值；
因为，所以当年产量为万件时，所获利润最大，最大利润为万元．

18.因为，则，由基本不等式得，
，
当且仅当，即时，等号成立，
故的最小值为．
因为，，
所以，
当且仅当，即，时等号成立，
故的最小值为．
不等式恒成立化为恒成立，
又因为，所以，因此
，
当且仅当，即时，等号成立，
所以，
即实数的最大值为．

19.对称轴为，函数图象开口向上，
则或，即或，
所以．
由知，或，
当时，函数在上递减，所以；
当时，函数在上递增，所以，
所以；
由得，
所以
问题转化为当时，．
当时，，
此时，解得，
当时，
所以，解得，
综上可知：．

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