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数学期中考试参考答案
单选：ACAC
BDAB
多选：9.BD
10.ACD
11.AC
填空：
12
13.5x+5y-12=0.
143
15.【小问1详解】
因为方程+-2x-4y+a=0表示圆，
所以(-2+(4)°-4a>0,
解得a<5,
…3分
又因为P(0,1)在圆M的外部，所以02+12-2×0-4x1+a>0,所以a>3
所以a的取值范围为(3,5)：
…6分
【小问2详解】
若a=-4,则圆M:x2+y2-2x-4y-4=0,
即(x-1)2+(y-2)2=9,则圆心M(1,2),半径为3，
当斜率不存在时，直线方程为x=4,
…8分
因为圆心(1,2)到直线方x=4的距离为3，所以直线x=4与圆相切：
当斜率存在时，设切线方程为y=k(x-4),即ac-y-4k=0,
k-2-4k
圆心到直线-y-4k=0的距离为
3,
V1+k2
5
解得飞)所以切线方程为手
912x-y-4x5
=0,
12
即5x-12y-20=0.
综上所述，切线的方程为x=4,或5x-12y-20=0,
…13分
16.【小问1详解】
证明如图，取AB的中点G,连接CG交BD于H,连接FH,CG
因为BG=DC,BG∥DC,所以CT=2HG,又
CF=2FC,所以FH∥CG
由于AG∥EC,AG=EC,所以AE∥GC,从而有AE∥HF
又AE丈平面BDF,FHC平面BDF,所以AE∥平面BDF:
…6分
【小问2详解】
不妨设平行六面体各条棱长为6.
由于∠CCD=60°，所以∠DDE=60°，DD=6,DE=3,
由余弦定理得DE=V6+32-2×6×3c0s60 =3V5,
DE2+D,E2=DD2,所以DE⊥D,E,所以DE⊥DC
…7
因为平面CC,DD⊥平面ABCD,平面CCD,D∩平面ABCD=CD
且DEc平面CCD,D'DE⊥DC
所以DE⊥平面ABCD
…9分
又因为AD⊥DC,所以DA,DC,DE两两垂直
以D为原点，DA,DC,DE所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则
D(0,0,0),C(0,6,0),B(6,6,0),C(0,3,3V5,DB=(6,6,0),DC=(0,6,0),
由cF-2C得Fcc-033)-0225)
从而BF=CF-CB=(0,-2,25)-(6,0,0)=(-6,-2,2W5
…10分
设平面BDF的一个法向量为i=(x,y,2),
n.DB=6x+6y=0
万-BF=6x-2y+2V52=0可取i=
则
…13分
设所求线面角为日
故sin0=tos元，Dd=ySo
…15分
Γ10
17.解：(I)设PF1=m,|PF2=n,由椭圆定义得mtn=2a,
设椭圆的半焦距为c,则a2-b2+c2,
对△PFF2由余弦定理得
(2c)2=m2+n2-2mcos_F1PF2=(mtn)2-3m=(2a)2-3m
4,2
解得m3b,
1
良SA吧E,2msin60°9b3,第合SAgg,
B得1
…5分
3
(IⅡ)解：设直线AB的方程为y=k(x-1),A(x,y),B(x2,y2),
[x2
由{2
+y=1
得1+2k2)x2-42x+2k2-2=0,
y=k(x-1),
4k2
2k2-2
所以5+61+2欢，=1+2
由于直线过右焦点，△>0恒成立
…10分
由已知得∠BFA=90°，得FAFB=0,因为FA=(x+1,y),EB=(x,+1,2),
所以FA.FB=x2+(G+x)+1+y2=x2+(G+x)+1+k(G-1x,-)
=(1+k2)xx2+(1-k2)x+x2)+1+k2
020-1e0,gw-±
…15分
(注：没有强调△>0的扣一分)
18.解：(1)(i)证明：因为AB⊥AC,PC⊥AB,PC∩AC=C,PC、ACc平面PAC,
所以AB⊥平面PAC,又ABC平面ABC,
所以平面PAC⊥平面ABC;
…4分
(ii)法一：取BC中点O,由己知可得O为△ABC的外心，过O作平面ABC的垂线l
取等边△ACD的外心O,过O,作平面ACD的垂线L,
设1与l,交于点O,则O为三棱锥P-ABC外接球的球心
取AC的中点M,因为平面PAC⊥平面ABC,则OMO,O为矩形
则00=0w-PM5脖0的年R-G+00--9-
3
2东北育才高中2025-2026学年度上学期
高二年级数学科期中考试试卷
答题时间：120分钟 满分：150分
单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知直线方程，则该直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
2.已知双曲线的焦距为，则该双曲线的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
3. 已知空间向量，，则B点到直线的距离为（ ）
A. B. C. D.
4.在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑中
平面，，且，为的中点，则异面直线与夹角的余弦值为( )
A. B. C. D.
5. 点P在单位圆上运动，则P点到直线l：（λ为任意实数）的距离的最大值为（ ）
A. B. 6 C. D. 5
6.已知分别是椭圆的左、右顶点，是椭圆在第一象限内一点，若，则直线的斜率为( )
A. B. C. D.
7．一个工业凹槽的轴截面是双曲线的一部分，它的方程是,在凹槽内放入一个清洁钢球（规则的球体），要求清洁钢球能擦净凹槽的最底部，则清洁钢球的最大半径为（ ）
A. B. C. D.
已知椭圆的左右焦点分别为，点在上，且满足，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
二、 多项选择题：本题共3小题，每小题6分， 共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分。
9.下列命题中，正确的有（ ）
A. 空间中的非零向量，，满足，，则有
B. 若空间向量、与空间任意向量都不能构成一组基底，则
C. “倾斜角相等”是“斜率相等”的充要条件
D. 若是空间的一组基底，则也是空间的一组基底
10.若双曲线，分别为左、右焦点，设点在双曲线上且在第一象限的动点，点为的内心，点为的重心，则下列说法正确的是（ ）
A.双曲线的离心率为
B.点的运动轨迹为双曲线的一部分
C.若，，则
D.存在点，使得∥
11. 在平面直角坐标系中，动点在直线上的射影为点，且，记动点的轨迹为曲线，则下列结论正确的是（ ）
A. 曲线关于原点对称 B. 点的轨迹长度大于2
C. D. 曲线围成的封闭区域的面积大于2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12. 已知方程表示椭圆，则m的取值范围为____________
13. 已知圆，直线，为上的动点．过点作圆的切线，切点为，当最小时，直线的方程为____________
14.在三棱锥中，，，，，且，则二面角的余弦值的最小值为____________.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. （本小题满分13分）
已知圆．
（1）已知点在圆的外部，求的取值范围；
（2）若，过作圆的切线，求切线的方程．
16. （本小题满分15分）
如图，平行六面体的所有棱长均相等，，，平面平面，点，满足，.
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成的角的正弦值.
17．（本小题满分15分）
已知椭圆，设为椭圆上一点，设分别为椭圆的左、右焦点，且 .
（1）求；
（2）若，斜率为的直线经过右焦点，且与椭圆相交于两点. 如果以线段为直径的圆经过左焦点，求直线的斜率.
18．（本小题满分17分）
如图，在平面四边形中，，，将沿AC翻折至，其中P为动点.
（1）已知，三棱锥的各个顶点都在球O的球面上．
（i）证明：平面平面；
（ii）求球O的半径
（2）求二面角的余弦值的最小值.
19. （本小题满分17分）
已知椭圆过点，离心率为.不过原点的直线交椭圆于两点，记直线的斜率为，直线的斜率为，且.
（1）求椭圆的方程；
（2）证明：直线的斜率为定值；
（3）求面积的最大值.
高二年级数学科试卷 第4页，共5页东北育才高中2025-2026学年度上学期
高二年级数学科期中考试试卷
答题时间：120分钟满分：150分
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的。
1.已知直线方程x+V3y+V5=0,则该直线的倾斜角为()
A.150°
B.120°
C.60°
D.30°
2已知双曲线
x2
=1的焦距为8，则该双曲线的渐近线方程为()
m212
1
A.y=±二x
B.y=±3x
C.y=t
X
D.y=±V3x
3
3.已知空间向量AB=(0,1,0),AC=（-1,1,-1),则B点到直线AC的距离为()
A.V6
B.V3
c.√2
D.5
3
3
4.在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑A一BCD中
AB⊥平面BCD,BC⊥CD,且AB=BC=CD,M为AD的中点，则异面直线BM与CD夹
角的余弦值为()
A②
B.3
D.
3
4
3
4
5.点P在单位圆x2+y2=1上运动，则P点到直线：
(1+32)x+(1-2)y-(7+2)=0(1为任意实数)的距离的最大值为()
A.23+1
B.6
C.3√2+1
D.5
高二年级数学科试卷第1页，共6页
6.已知AB分别是椭圆。十八=1的左、右顶点，P是椭圆在第一象限内一点，若
4
∠PBA=2∠PAB,则直线PA的斜率为(
1
1
A.
B.
c v2
D.
6
4
7.一个工业凹槽的轴截面是双曲线的一部分，它的方程是y2-x2=1,y∈[1,10]，在凹
槽内放入一个清洁钢球（规则的球体)，要求清洁钢球能擦净凹
槽的最底部，则清洁钢球的最大半径为()
A.1
B.2
C.3
D.2
,y2
&CpON0 c.0).F.(c.0点A
在C上，且满足FA=2FB,FB.AB=42-a,则椭圆C的离心率为()
16
A.3
B.VG
2
C.
D.3
3
3
3
3
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有
多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分。
9.下列命题中，正确的有()
A.空间中的非零向量d,b,c满足d⊥b,b⊥c,则有a/c
B.若空间向量d、与空间任意向量都不能构成一组基底，则/
C.“倾斜角相等”是“斜率相等”的充要条件
D.若{a+b,b+c,c+d是空间的一组基底，则{a,b,也是空间的一组基底
10,若双曲线C:y2
=1,E,F分别为左、右焦点，设点P在双曲线上且在第一象
45
限的动点，点I为△PFF,的内心，点G为△PFF,的重心，则下列说法正确的是()
3
A.双曲线C的离心率为
2
高二年级数学科试卷第2页，共6页

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