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2025-2026学年宁夏石嘴山市平罗中学高一（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1.已知集合 = { 1,0,1,2}， = { ∈ | < 3}，那么集合 ∪ 等于( )
A. [ 1,3) B. {0,1,2} C. { 1,0,1,2} D. { 1,0,1,2,3}
2.已知函数 ( )为定义在区间[3 , 5]上的奇函数，则 =( )
A. 2 B. 3 C. 8 D. 无法确定
3.已知定义域为 的函数 ( )， 1， 2 ∈ ， 1 < 2，都有( 1 2)[ ( 1) ( 2)] < 0，则( )
A. (3) < ( ) < (2) B. ( ) < (3) < (2)
C. (2) < ( ) < (3) D. ( ) < (2) < (3)
4.函数 ( ) = | 3|在区间[ 1,4]上的最小值是( )
A. 0 B. 1 C. 4 D. 4
5.设 ， ∈ ，则“ > ”是“| | > ”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6. ( ) = + ( > 0, ≠ 1)的图象如图所示， ， 为常数，则( )
A. > 1， < 0
B. > 1， > 0
C. 0 < < 1， < 0
D. 0 < < 1， > 0
7.已知0 < < 1 < ，则( )
A. < < < B. < < <
C. < < < D. < < <
8.已知函数 ( )是定义在区间[ 2,2]上的偶函数，当 ∈ [0,2]时， ( )是减函数，如果不等式 (1 ) <
(1 + )成立，则实数 的取值范围( )
A. [ 1,0) B. (0,1] C. ( ∞, 0) D. [ 1,1]
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法中正确的有( )
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, ≥ 0
A. ( ) = | |与 ( ) = { 表示同一个函数
, < 0
1
B. 函数 ( ) = √ + 2 的定义域是[ 2,0) ∪ (0, +∞)

C. 命题 ：“ ∈ ， + 1 < 0”的否定是￢ ：“ ， + 1 ≥ 0”
1
D. 若 ( ) = | 2| ，则 ( ( )) = 0
2
1
10.函数 = ( > 0且 ≠ 1)，当 2 ≤ ≤ 2时，值域为[ , 2]，则 的值可能是( )
2
1 √ 2
A. B. C. √ 2 D. 2
2 2
+ 2 , ≤ 0
11.设函数 ( ) = { ，则下列说法正确的是( ) 2 1, > 0
A. (2) = 3 B. 若 ( 1) = (1)，则 = 0
C. 若 > 0，则 ( )的值域为 D. 若 ( )的最小值为 2，则 = 1
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.已知函数 ( ) = 2 1( > 0且 ≠ 1)，则该函数的图象恒过定点______．
13.“ ≥ ”是“ ≥ 2”的必要不充分条件，则实数 的取值范围为______．
25
14.函数 = 2 3 4的定义域是[ 1, ]，值域是[ , 0]，则 的取值范围是______．
4
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
计算：
2
(1)2 30° + + |√ 3 2| (2 )0
3
√8；
√ 3 1

(2)计算： + ( )．
2 2 +
16.(本小题15分)
已知函数 = ( 1) 是指数函数．
(1)该指数函数的图象经过点(2,4)，求函数的表达式；
1 1
(2)解关于 的不等式：( )|3 4| > ( )3．

17.(本小题15分)
已知函数 ( ) = 2 2 3．
(1)已知 ( )在[3, +∞)上单调递增，求 的取值范围；
(2)求 ( )在[ 1,2]上的最大值．
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18.(本小题17分)
求最值：
4 1
(1)已知正实数 ， 满足 + = 2，求 + 的最小值．

5 1
(2)已知 > ，求4 2 + 的最小值．
4 4 5
2+3 +4
(3)已知 > 0，求 的最小值．

19.(本小题17分)
某动力电池生产企业为提高产能，计划投入7200万元购买一批智能工业机器人，使用该批智能机器人后前
( ∈ )年的维护成本为(800 2 400 )万元，每年电池销售收入为7600万元，设使用该批智能机器人
后前 年的总盈利额为 万元．
(1)写出 关于 的函数关系式，并求该电池生产企业从第几年开始盈利；
(2)使用若干年后对该批智能机器人处理方案有两种．
方案一：当总盈利额达到最大值时，将该批智能机器人以2000万价格处理；
方案二：当年平均盈利额达到最大值时，将该批智能机器人以5200万元的价格处理．
问哪种方案更合理？并说明理由．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.(2,0)
13.( ∞, 2)
3
14.[ , 4]
2
2 3
15. (1)2 30° + + |√ 3 2| (2 )0 √8
√ 3 1
1 2 × (√ 3 + 1)
= 2 × + + 2 √ 3 1 2
2 (√ 3 1) × (√ 3 + 1)
= 1 + √ 3 + 1 + 2 √ 3 1 2
= 1；

(2) + ( )
2 2 +
( + ) ( )
= +
2 2 ( )( + )
+2 (1+2 )
= = ．
( )( + ) ( )( + )
16. (1)由题意得( 1)2 = 4且 1 > 0，
所以 1 = 2，
所以 = 2 ；
(2)由于 1 > 0且 1 ≠ 1，即 > 1且 ≠ 2，原不等式可转化为|3 4| < 3，
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1 7
解得 < < ，
3 3
1 7
故不等式的解集为{ | < < }.
3 3
17. (1)由题意有函数 ( ) = 2 2 3 = ( )2 3 2，可得二次函数的图象开口向上，且对称轴
为 = ，
要使得 ( )在[3, +∞)上单调递增，则满足 ≤ 3，所以 的取值范围为( ∞, 3]；
(2)由函数 ( ) = 2 2 3 = ( )2 3 2，可得 ( )的图象开口向上，且对称轴为 = ，
1
当 ≤ 时，函数 ( )的最大值为 (2) = 1 4 ；
2
1
当 > 时，函数 ( )的最大值为 ( 1) = 2 2；
2
1
综上，当 ≤ 时，函数 ( )的最大值为 (2) = 1 4 ；
2
1
当 > 时， ( )的最大值为 ( 1) = 2 2．
2
18. (1)因为 + = 2， > 0， > 0，
4 1 4 1 1 1 4 1 4 9
所以 + = ( + ) × ( + ) = (4 + + + 1) ≥ (5 + 2√ ) = ，
2 2 2 2
4 4 2
当且仅当 = ，即 = , = 时取等号，
3 3
4 1 9
所以 + 的最小值为 ．
2
5
(2)因为 > ，
4
1 1 1
则4 2 + = 4 5 + + 3 ≥ 2√ (4 5) × + 3 = 5，
4 5 4 5 4 5
1 3
当且仅当4 5 = ，即 = 时取等号，
4 5 2
1
所以4 2 + 的最小值为5；
4 5
2+3 +4 4 4
(3)当 > 0时， = + + 3 ≥ 2√ + 3 = 7，

4
当且仅当 = ，即 = 2时取等号，

2+3 +4
所以 的最小值为7．

19.解：(1)由题意可得 = 7600 (800 2 400 ) 7200
= 800( 2 10 + 9)( ∈ )，
令 > 0，可得1 < < 9，
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又因为 ∈ ．
所以该企业从第2年开始盈利．
(2)方案二更合理，理由如下：
方案一：因为 = 800( 2 10 + 9) = 800( 5)2 + 12800， ∈ ，
所以当 = 5时， 取到最大值12800，
若此时处理掉智能机器人，总利润为12800 + 2000 = 14800万元，
9 9
方案二：年平均盈利额 = 800( + ) + 8000 1600√ + 8000 = 3200万元，

当且仅当 = 3时，等号成立，此时年平均盈利额最大，
若此时处理掉智能机器人，总利润为3200 × 3 + 5200 = 14800万元，
两种方案总利润都是14800万元，但方案二仅需三年即可，故方案二更合理．
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