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2025-2026学年江苏省无锡市锡山高级中学高二（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共 3小题，每小题 3分，共 9分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1.如图，一只蚂蚁沿着长方体的棱，从顶点 爬到相对的顶点 1，则其中经过3条棱的路线共有( )条．
A. 4
B. 6
C. 7
D. 8
2.已知直线 ： 2 + 2 = 0， ：2 + 1 = 0，若直线 过 (1,3)且与直线 、 在第一象限围成一个
等腰锐角三角形，则直线 的斜率是( )
2 1
A. 1 B. C. D. 2
3 2
3.已知点 为△ 所在平面外一点，有如下两个命题：①若 ⊥平面 ，则∠ < ∠ ；②使得
， ， 两两垂直的点 有且仅有两个，下列说法正确的是( )
A. ①正确，②正确 B. ①正确，②不正确
C. ①不正确，②正确 D. ①不正确，②不正确
二、填空题：本题共 10小题，每小题 4分，共 40分。
4.已知点 (3,0), (4,√ 3)，则直线 的倾斜角为______．
5.甲、乙、丙、丁4人排成一列.且甲、乙均不在第一个位置，则不同的排
法共有______种.
6.如图所示，△ ′ ′ ′是用斜二测画法画出的△ 的直观图，其中
′ ′ = ′ ′ = ′ ′ = 1，则△ 的面积为______．
7.已知直线 ， 和平面 ，且 ⊥ ，则“ // ”是“ ⊥ ”的______条件．
8.若直线 1：3 + 4 = 0与 2：6 + + 5 = 0平行，则 1与 2的距离为______．
9.若 2 2 + 1 = 50，则 = ______．
10.已知长方体的长、宽、高分别是3、4、5，且它的8个顶点都在同一球面
上，则这个球的表面积是______．
11.如图， 是圆锥的顶点， 是底面圆心， 是底面直径，且 = 2.若直

线 与圆锥底面所成的角为 ，则该圆锥的侧面积为______．
3
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12.已知在四面体 中， 、 分别是 、 的中点，若 = 2 = 4，
⊥ ，则 与 所成的角为______．
13.如图，正方体 1 1 1 1的棱长为1， ， 分别是线段 1和 1
上的动点，且满足 = 1 ，则下列命题正确的序号是______．
①存在 ， 的某一位置，使 // ；
② △ 的面积为定值；
③当 > 0时，直线 1与 是异面直线；
④无论 ， 运动到任何位置，均有 ⊥ ．
三、解答题：本题共 5小题，共 51分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14.(本小题8分)
如图，正三棱柱 1 1 1内接于一个圆柱，圆柱的体积是54 ，且底面直径与母线长相等．
(1)求圆柱的底面半径；
(2)求三棱柱 1 1 1的体积．
15.(本小题8分)
已知△ 的顶点 (4,2)，顶点 在 轴上， 边上的高所在的直线方程为 + 2 + = 0．
(1)求直线 的方程；
(2)若 边上的中线所在的直线方程为 4 = 0，求 的值．
16.(本小题11分)
如图，在直三棱柱 1 1 1中，∠ = 90°， = = 4， 1 = 3， 、 分别是 1 1和 的中
点．
(1)求异面直线 1和 1 所成角的大小；
(2)求三棱锥 1 的体积．
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17.(本小题12分)
筝形是指有一条对角线所在直线为对称轴的四边形.如图，四边形 为筝形，其对角线交点为 ， =
√ 2， = = 2，将△ 沿 折到△ ′ 的位置，形成三棱锥 ′ ，且 ′ = 1．
(1)求 到平面 ′ 的距离；
(2)求直线 ′ 与平面 所成角的大小．
18.(本小题12分)
如图，矩形 所在平面与半圆弧 所在平面垂直， 是 上异于 ， 的点．
(1)证明：平面 ⊥平面 ；
(2)在线段 上是否存在点 ，使得 //平面 ？说明理由．
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参考答案
1.
2.
3.

4.
3
5.12
6.2
7.充分不必要
1
8.
2
9.6
10.50
11.2
12.30°
13.①③④
14.
(1)因为且底面直径与母线长相等，
所以设圆柱的底面半径为 ，则圆柱的高为2 ，
所以圆柱的体积是 2 × 2 = 54 ，解得 = 3；
(2)因为△ 为等边三角形，且其外接圆半径为3，
1 27√ 3
所以 △ = 3 × × 3
2 × 120° = ，又三棱柱的高为6，
2 4
27√ 3 81√ 3
所以三棱柱 1 1 1的体积为： 1 1 = × 6 = ． 1 4 2
15.
(1)因为△ 的顶点 (4,2)，顶点 在 轴上， 边上的高所在的直线方程为 + 2 + = 0，
依题意，直线 的斜率为2，
又 (4,2)，所以直线 的方程为 2 = 2( 4)，
即2 6 = 0；
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(2)由 点在 轴上，设 ( , 0)，
+4
则线段 的中点 ( , 1)，
2
+4
由点 在直线 4 = 0上，得 1 4 = 0，
2
解得 = 6，即 (6,0)，
又点 在直线 + 2 + = 0上，因此6 + 0 + = 0，解得 = 6，
所以 的值为 6．
16.解：(1)连接 1， 1 ，取 1 的中点 ，连接 ，则 // 1，
则∠ 1为异面直线 1和 1 所成角，
在直三棱柱 1 1 1中，∵ ∠ = 90°， = = 4， 1 = 3， 为
的中点，
5 5
∴ = √ 42 + 321 = 5，则 = ， √ 2 2 ， = ， 2 1 = 3 + (2√ 2) = √ 17 1 2
5 2 2 5 2
( ) +(√ 17) ( ) √ 17
∴ cos∠ = 2 21 5 = ，
2× ×√ 17 5
2
∴异面直线 √ 171和 1 所成角的大小为arccos ； 5
1
(2)连接 ， ，由题意， 到平面 1的距离等于 = 2， 2
1
△ = × 3 × 2 = 3， 1 2
1
∴ = 1 = × 3 × 2 = 2． 1 3
17.
(1)因为 = √ 2， = = 2，
所以 不可能为四边形 的对称轴，
则 为四边形 的对称轴，
所以 垂直平分 ，所以 ′ ⊥ ， ⊥ ．
′ 平面 ′ ， 平面 ′ ， ′ ∩ = ，
所以 ⊥平面 ，
1
所以 到平面 ′ 的距离 = = 1．
2
(2)过 作 ⊥平面 ，
所以 ， ， 两两垂直，
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以 为原点， ， ， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系，
由(1)得平面 ⊥平面 ′ ，因为 ′ = 1， = √ 3， ′ = 1，
√ 3 1
所以 ′(0, , )， ( 1,0,0)， (1,0,0)， (0, √ 3, 0)，
2 2
可得 √ 3 1 ′ = ( 1, , )， = (1,√ 3, 0)， = (2,0,0)，
2 2
设平面 的法向量为 = ( , , )，
= + √ 3 = 0
则{ ，故可取 = (0,0,1)，
= 2 = 0
设直线 ′ 与平面 所成角为 ，
1
| ′ | 1 √ 2
则 = |cos < , ′ > | = =
2 = =
| || ′ | √ 3 1 2√ 2 4
，
1+ +
4 4
所以 √ 2 = arcsin ．
4
18.(1)证明：∵矩形 所在平面与半圆弧 所在平面垂直， ⊥ ，
平面 ，平面 与半圆弧 所在平面相交于 ，
∴ ⊥半圆弦 所在平面， 半圆弦 所在平面，
∴ ⊥ ，
∵ 是 上异于 ， 的点．
∴ ⊥ ，
又 ∩ = ， 、 平面 ，
∴ ⊥平面 ，
又 平面 ，
∴平面 ⊥平面 ；
(2)解：存在 是 的中点，
理由：连接 交 于 ，取 的中点 ，
连接 ，在矩形 中易得 是 的中点，
可得 // ， 平面 ， 平面 ，
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所以 //平面 ．
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