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2025-2026学年甘肃省定西市渭源第四高级中学高二（上）期中
数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1.已知直线 1： + 2 2 = 0与直线 2：5 + ( + 3) 5 = 0，若 1// 2，则 =( )
A. 5 B. 2 C. 2或 5 D. 5
2.点 在圆 2 + 2 = 25上运动，它与点 (4,0)所连线段中点为 ，则点 轨迹方程为( )
2 25 25A. ( 2) + 2 = B. ( + 2)2 + 2 =
4 4
C. ( 2)2 + 2
25 25
= D. ( + 2)2 + 2 =
2 2
3.如图，在长方体 1 1 1 1中， 是 1 1的中点， = = 2， 1 = √ 3，则向量 1 1在向量
上的投影向量为( )
2
A.
3
1
B.
3
1
C.
2
1
D.
4
4.如图，在三棱柱 1 1 1中， 1 = ， = ， = ，点 为 1 与 1 的交点，则 1 =( )
1 1 1
A. + +
2 2 2
1 1 1
B. + +
2 2 2
1 1 1
C. +
2 2 2
1 1 1
D. +
2 2 2
5.已知 轴上一点 到点 (1,0,2)与点 (1, 3,1)距离相等，则点 的竖坐标为( )
A. 3 B. 1 C. 1 D. 2
6.如图，在棱长为1的正方体 1 1 1 1中， = (0 < < 1)， = 1 1 (0 < < 1)，
若 //平面 1 1 ，则线段 的长度的最小值为( )
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1 1 √ 2 √ 3
A. B. C. D.
3 2 3 3
7.与圆 2 + 2 + 2 = 0关于直线 + 1 = 0对称的圆的方程为( )
2 3A. ( 2) + ( )2
5 3 5
= B. ( + 2)2 + ( )2 =
2 4 2 4
2 3 2 5 3 5C. ( + 2) + ( + ) = D. ( 2)2 + ( + )2 =
2 4 2 4
8.直线 + 2 = 0分别于 轴， 轴交于 ， 两点，点 在圆( 2)2 + 2 = 2上，则△ 面积的最大
值是( )
A. 6 B. 8 C. 3√ 2 D. 2√ 2
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知圆 ：( 4)2 + ( 5)2 = 12，直线 ： 2 + 3 = 0，直线 与圆 交于 ， 两点，则
( )
A. 直线 过定点 B. | |的最小值为2
C. 的取值范围为[ 12,4] D. 当圆 上恰有三个点到直线 的距离等于√ 3时， = 4 ± √ 15
10.下列说法正确的是( )
3
A. 若直线 的倾斜角为 ，且 ≤ ≤ ，则直线 的斜率的取值范围为[ 1,1]
4 4
B. 经过点( 1,2)，且方向向量为 = (2, 2)的直线方程为 + 1 = 0
C. 若直线 1： + 2 1 = 0与 2： + ( + 1) 1 = 0平行，则 可以为1
D. 过点(1,1)且在 轴和 轴上的截距相等的直线 的方程为 + 2 = 0或 =
11.如图，在棱长为2的正方体 1 1 1 1中， ， ， 分别为 1 1， ， 1的中点，则( )
A. //平面
B. 1 ⊥平面
√ 6
C. 平面 与平面 夹角的余弦值为
3
D. 点 到平面 的距离为√ 3
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三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
1
12.已知向量 ， 满足| | = 3| | = 3，且 + 2 在 上的投影向量为 ( )，则 = ______．
2
13.若直线 的斜率 的变化范围是[ 1,√ 3]，则 的倾斜角的范围为______．
14.已知正方体 1 1 1 1的棱长为3，点 在 1 1上运动，点 在棱 上运动， 上有一点 满足
= 2 ，且 = 3√ 2，则动点 到平面 1 1 距离的最小值为______．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
写出满足下列条件的直线的方程．
(1)经过点 (3,2)，且与直线4 + 2 = 0平行；
(2)经过两条直线2 3 + 10 = 0和3 + 4 2 = 0交点，且垂直于直线3 2 + 4 = 0的直线方程是．
16.(本小题15分)
已知圆 ： 2 + 2 4 + 3 = 0．
(1)求圆 的圆心坐标及半径；
(2)求过点 (1,0)且与圆 相切的直线方程；
(3)已知 是 轴上的动点，圆 与 轴交于点 ， ，直线 ， 与圆 分别交于点 ， .证明：直线 经
过定点．
17.(本小题15分)
如图1，在直角梯形 中， ⊥ ， // ， = 2， = 8， = 5， ， 分别是 ， 的中
点，将四边形 沿 折起，如图2，连接 ， ， ．
(1)求证： ⊥ ；
(2)若 为线段 上一动点， ⊥ ，求 的最小值．
18.(本小题17分)
已知直线 ：2 5 + 3 = 0， 1： = 1，直线 与 1交于点 ．
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(1)求过点 且与 垂直的直线 ′的方程；
(2)点 是直线 1上异于 的一点，若 为∠ 的角平分线，求 所在直线 2的方程．
19.(本小题17分)
已知四棱柱 1 1 1 1中，底面 为梯形， // ， 1 ⊥平面 ， ⊥ ，其中 =
1 = 2， = = 1， 是 1 1的中点， 是 1的中点．
(Ⅰ)求证： 1 //平面 1 ；
(Ⅱ)求平面 1 与平面 1 1 的夹角余弦值；
(Ⅲ)求点 到平面 1 的距离．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 1
3
13.∈ [0, ] ∪ [ , )
3 4
3√ 2 √ 10
14.
2
15.
(1)设直线方程为：4 + + = 0，
把点 (3,2)代入可得：12 + 2 + = 0，解得 = 14，
故直线方程为：4 + 14 = 0；
2 3 + 10 = 0 = 2
(2)联立{ ，解得{ ，
3 + 4 2 = 0 = 2
设垂直于直线3 2 + 4 = 0的直线方程为：2 + 3 + = 0，
把( 2,2)代入可得： 4 + 6 + = 0，解得 = 2，
故直线方程为：2 + 3 2 = 0．
16.
(1)解：由 2 + 2 4 + 3 = 0，得 2 + ( 2)2 = 1，
则圆 的圆心为 (0,2)，半径 = 1；
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(2)解：如图，
圆 的圆心为 (0,2)，半径 = 1，
当直线的斜率不存在时，过点 (1,0)的方程为 = 1，
圆心 (0,2)到 = 1的距离为1，满足相切条件；
当直线的斜率存在时，设切线方程斜率为 ，
则过点 (1,0)的切线方程为： = ( 1)，即 = 0，
| 0 2 | | +2|
3
由圆心 到切线的距离 = = = 1
√ 2 2
，解得 = ，
+( 1) √ 2 +1 4
3
所以．切线方程为 = ( 1)，即3 + 4 3 = 0．
4
则过点 (1,0)且与圆 相切的直线方程为： = 1和3 + 4 3 = 0；
(3)证明：如图，
由 是 轴上的动点，圆 与 轴交于点 ， ，令 = 0，得 2 4 + 3 = 0，解得 = 1或 = 3，
可得 (0,1)， (0,3)，设 ( , 0)，
若 = 0， 所在直线为 轴，不合题意，故 ≠ 0，
1 3
所以直线 ： = + 1, ： = + 3，

1
= + 1 1 2
联立{ ，得 2 2 ，整理得 ( +1) +2 + ( 1) = 1 [ ] = 0，
2
2
+ 2 4 + 3 = 0
2 2 2 2
解得 = 0或 = =
+3 2 +3
2 ，当 2 时， = ，则2 ( , )， +1 +1 +1 2+1 2+1
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3
= + 3 2 3{ 2 (
2+9) 6
联立 ，得 + ( + 1) = 1，整理得 [ ] = 0，
2 2
2
+ 4 + 3 = 0
6 6
= = 3
2+9 6 3 2+9
解得 = 0或 2 ，当 2 阿，对应 = ，则2 = ( , )， +9 +9 +9 2+9 2+9
2+3 2
2 ( 2 )
可得直线 方程为： +1 = +1 ，
3 2+9 2+3 6 2
2 ( 2 )
2+9 2+1 +9 +9
2+3 2 2
整理得： 2 3 34 ( 2 ) = ( + 2 )( 3)，即 = + ， +1 +1 4 2
3
因为 ≠ 0，则当 = 0时， = ，
2
3
所以直线 恒过定点(0, )，命题得证．
2
17.
(1)证明：因为 ， 分别是 ， 的中点， // ，所以 // ，
因为 ⊥ ，所以 ⊥ ， ⊥ ，
因为 ∩ = ， 平面 ， 平面 ，所以 ⊥平面 ，
因为 平面 ，所以 ⊥ ．
(2)解因为 ⊥ ， ⊥ ， ∩ = ，且 ， 平面 ，．
所以 ⊥平面 ，因为 平面 ，所以 ⊥ ．
以 为原点， ， ， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴，建立空间直角坐标系．
则 (0,0,0)， (0,2,4)， (4,5,0)．
设 (0,2 , 4 )， ∈ [0,1]，
| |2
1
= 16 + (2 5)2 + 16 2 = 20( )2 + 36 ≥ 36．
2
所以 的最小值为6．
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18.
(1)因为直线 ：2 5 + 3 = 0， 1： = 1，直线 与 1交于点
将 = 1代入直线 的方程可得：2 5 × ( 1) + 3 = 0，解得 = 4，则 ( 4, 1)，
2 5
法( )因为直线 的斜率 = ，则 ′ = ， 5 2
5
则直线 ′的方程为 + 1 = ( + 4)，即5 + 2 + 22 = 0；
2
法( )设过点 垂直于直线 的方程设为5 + 2 + = 0，将点 的坐标代入可得5 × ( 4) + 2 × ( 1) + =
0，
解得 = 22，
所以直线 ′的方程为5 + 2 + 22 = 0；
(2)取点 (0, 1)，设其关于直线2 5 + 3 = 0的对称点 1( , )，
+1 2 32
× = 1 =
则{ 5 ，解得{ 29，
1 51
2 × 5 × + 3 = 0 =
2 2 29
51
1
则点 所在的直线 2的方程 + 1 =
29
32 ( + 4)，
4+
29
即20 21 + 59 = 0．
19.
1
解：(Ⅰ)证明：取 1的中点 ，连接 ， ，则 // 1且 = 2 1
，
1
又 1 // 1且 1 = 1，所以 // 2 1
且 = 1 ，
所以四边形 1 为平行四边形，得 1// ，
又 1 平面 1 ， 平面 1 ，
所以 1//平面 1 .
(Ⅱ)建立如图空间直角坐标系 ，
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则 (0,0,0)， (2,0,0)， 1(2,0,2)， (0,1,1)， (1,1,0)， 1(1,1,2)，
有 1 = (1, 1,2), = ( 1,0,1), 1 = (0,0,2)，
设平面 1 与平面 1 1 的一个法向量分别为 ( 1, 1, 1), = ( 2, 2, 2)，
⊥ 1 ⊥ 则{ ，{ 1，
⊥ ⊥ 1
= + 2 = 0
则{ 1 1 1 1 1
= 2 2 + 2 = 0, { 2 ，
= + = 0 1 1 1 = 2 2 = 0
令 1 = 2 = 1，得 1 = 3， 1 = 1， 2 = 1， 2 = 0，
所以 = (1,3,1), = (1,1,0)，
| | 4 2√ 22
则|cos < , > | = = = ，
| || | √ 11 √ 2 11
即平面 1 与平面 1 1 所成角的余弦值为
2√ 22．
11
(Ⅲ)由 1 = (0,0,2)，平面 1 的一个法向量为 = (1,3,1)，
|
得 1
| 2 2√ 11
= = ，
| | √ 11 11
即点 到平面 1 的距离为
2√ 11．
11
第 9 页，共 9 页

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