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安徽省卓越县中皖豫名校联盟2024-2025学年高二上学期期中联考
数学试题
一、单选题
1．在空间直角坐标系中，与点关于平面对称的点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．若直线与平行，则（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
3．已知的三个顶点分别为，则边上的中线所在直线的方程是（ ）
A． B． C． D．
4．已知直线恒过点，圆，则圆上的点到直线的距离的最大值为（ ）
A． B． C． D．
5．已知四面体的所有棱长都等于，棱的中点分别是，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知直线过点和，则点到直线的距离为（ ）
A． B．2 C． D．
7．已知椭圆的右焦点为，过点且斜率为1的直线与交于两点，若（为坐标原点，表示面积），则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
8．在空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成空间直角坐标系，若任意两条数轴的夹角均为，我们将这种坐标系称为“斜坐标系”．我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜坐标系”下向量的斜坐标：已知分别为“空间斜坐标系”下三条数轴（轴、轴、轴）正方向的单位向量，若向量，则与有序实数组相对应，称向量的斜坐标为，记作．如图，在平行六面体中，，以为基底建立“空间斜坐标系”，若，且与的夹角为，则（ ）

A． B． C． D．2
二、多选题
9．已知平面的法向量分别是，直线的方向向量为，则（ ）
A． B．
C．可以作为空间的一个基底 D．在上的投影向量的模长为
10．已知椭圆的左、右焦点分别为是上一点，若是直角三角形，则的面积可以是（ ）
A． B． C． D．1
11．已知点，曲线是满足的点的轨迹，分别是曲线与圆上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A．若曲线与圆有公共点，则
B．若，则两曲线交点所在直线的方程为
C．若，则的取值范围为
D．若，过点作圆的两条切线，切点分别为，则存在点，使得
三、填空题
12．圆的半径的最小值为 ．
13．已知椭圆的左、右焦点分别为，过点的直线与交于，两点，则三点能构成边长为的正三角形时，的方程为 ．
14．如图，在棱长为3的正方体中，，点是底面内（包括边界）的动点，且满足，则符合条件的点形成的轨迹的长度为 ．
四、解答题
15．已知向量．
(1)若共面，求的值；
(2)若，求的值．
16．已知直线的方程为．
(1)证明：直线过定点．
(2)当为何值时，点到直线的距离最大？最大值是多少？
17．已知圆经过两点，且圆心在直线上．
(1)求圆的方程；
(2)若为直线上的动点，过点作圆的切线，切点分别为，，当最小时，求直线的方程．
18．如图，在三棱柱中，底面是边长为4的等边三角形，，分别是棱的中点，平面平面．

(1)求证：．
(2)在棱上是否存在点，使得平面与平面的夹角的余弦值为？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由．
19．已知椭圆的右顶点为，左、右焦点分别为，离心率为，为上任意一点，且．
(1)求的方程．
(2)设过点的直线与有两个不同的交点（均不与点重合）．
（ⅰ）若以线段为直径的圆恒过点，求的值；
（ⅱ）在（ⅰ）的条件下，若直线的斜率存在且线段的中点为，求证：直线与直线（是坐标原点）的斜率之积为定值．
参考答案
1．C
解析：由题意，在空间直角坐标系中，与点关于平面对称的点的横、纵坐标不变，竖坐标变为相反数，即为．
故选：C
2．A
解析：若直线与平行，
则，且，解得．
故选：A.
3．D
解析：因为，
设边的中点为，则，即，
又，所以，
故边上的中线所在直线的方程为，即．
故选：D.
4．B
解析：当时，圆上的点到直线的距离可取到最大值，而，
所以，又圆的半径为2，
故圆上的点到直线的距离的最大值为．
故选：B.
5．B
解析：如图所示，设，
由题意知，且三向量两两夹角均为，
，
．
故选：B.
6．C
解析：由题意知，直线的一个方向向量为，
取直线的一个单位方向向量为，
易知点不在直线上，，
所以点到直线的距离为．
故选：C.
7．D
解析：设椭圆的半焦距为，则直线的方程为，
设，由
得，因为点在的内部，所以，
又，所以，
将代入，可得，
再将代入，可得，又，所以，
故的离心率．
故选：D.
8．B
解析：设分别为与同方向的单位向量，
则．得，，
由题可得，
即，
即，解得．
故选：B
9．ACD
解析：对于A，因为，所以，故A正确；
对于B，因为，所以或，故B错误；
对于C，由选项，解析可知，由的坐标可知不共线，
所以不共面，则可以作为空间的一个基底，故C正确；
对于D，在上的投影向量的模长为，故D正确．
故选：ACD.
10．BD
解析：在椭圆中，，半焦距，，
由是直角三角形，得（）或，
若（），由，得，则点到轴距离为，
的面积，B正确；
当是的上顶点或下顶点时，，的面积，D正确.
故选：BD
11．AC
解析：设，由，可得，
整理得，所以曲线的方程为，表示圆心为，半径的圆．
圆的圆心为点，半径，
两圆的圆心距．
对于A，若圆与圆有公共点，则，
即，解得，故A正确；
对于B，若，由A选项知两圆没有交点，故B错误；
对于C，若，则，两圆外离，则有，
即，故C正确；
对于D，若，则四边形为正方形，，
如图，又为，即，而，
所以不存在这样的点，使得，故D错误．
故选：AC
12．
解析：圆的方程可化为，
半径为，当时，圆的半径取得最小值．
故答案为：.
13．
解析：设，由题意知当时是边长为的正三角形，
如图．
由椭圆和正三角形的对称性，可知，所以，
又，所以，
由，得，故椭圆的方程为．
故答案为：.
14．
解析：
根据题意，以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，设，
则．
因为，所以，得，
所以点的轨迹是一条线段，当时，，此时点的坐标为，
当时，，此时点的坐标为，
所以符合条件的点形成的轨迹的长度为．
故答案为：
15．（1）与不平行，
共面，
存在实数，使得，即，解得，
故实数的值为8．
（2），且，
，
即，解得．
16．（1）证明：将直线的方程整理得，
由，解得，所以直线恒过点．
（2）由（1）可得直线过定点，设定点为．
当时，点到直线的距离最大，且最大距离，
即点到直线的最大距离为．
此时，而直线的斜率，所以，解得．
17．（1）设圆的标准方程为，
由已知得，解得
所以圆的方程为．
（2）由(1)知圆的方程为，圆心为，半径．
因为，
所以要使最小，则需最小，此时与直线垂直，
由直线，可得直线的斜率为，
直线的方程为，即，
由解得即，
则以为直径的圆的方程为．
由两式相减可得直线的方程为．
18．（1）连接，如图，由题知四边形是菱形，则，
又分别为棱的中点，所以，故．
因为为等边三角形，为的中点，所以．
又平面平面，平面平面平面，
所以平面，
又平面，故．
又平面，所以平面，
因为平面，所以．

（2）连接，如图．
由，可知为等边三角形，
又是的中点，所以，
由(1)得平面，所以两两互相垂直．
故以为原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，．
假设在棱上存在符合要求的点，设，
则．
设平面的法向量为，
则即即
取，则，所以．
由(1)得是平面的一个法向量，
因为平面与平面的夹角的余弦值为，
所以，即，解得或（舍去），
故存在点，且为棱上靠近点的一个三等分点，使得平面与平面的夹角的余弦值为．
19．（1）设椭圆的半焦距为．
由题意得．
因为的离心率，所以，结合，得，
所以的方程为．
（2）（ⅰ）设直线的方程为，
由消去，得，
所以，
，
所以，
,
因为以线段为直径的圆恒过点，
所以，即，
所以，即，
即，解得或（舍去），满足，故．
（ⅱ）由题可知．
结合（ⅰ）可知，
所以，
所以直线的斜率，
又直线的斜率，所以，为定值，证毕．

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