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2025-2026学年度山东省济南市市中区九年级上学期数学11月期中平行试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个选项符合题目要求．
1．如图1，古代叫“斗”，官仓、粮栈、米行、家里等都是必备的粮食度量用具．图2是它的几何示意图，下列说法正确的是（ ）
A．主视图和左视图相同 B．主视图和俯视图相同
C．左视图和俯视图相同 D．三个视图都相同
2．六线谱是世界上通用的一种专为吉他设计的记谱方法，它是由六根间隔相等的粗线组成的．如图是一个六线谱，A，B，C三点在同一直线上．若，则长为（　　）
A． B． C． D．
3．“少年强则国强；少年兴则国兴．”这句话中，“强”字出现的频率是（　　）
A． B． C． D．
4．若反比例函数的图象经过点，则这个函数图象一定经过点（　　）
A． B． C． D．
5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，下列四个选项，不正确的是（　　）
A．sinA＝ B．tanA＝ C．cosA＝ D．sinA＝
6．大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验．并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图所示的小孔成像实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是（　　）
A． B．6 C． D．8
7．关于反比例函数的说法正确的是(　　)
A． B．随的增大而减小
C．其图象关于轴对称 D．若点在其图象上，则
8．在 Rt 中，∠C ， 则下列等式中正确的是（　　）
A． B． C． D．
9．如图，正方形中，M是边的中点，N是边的中点，连接，相交于点E，连接并延长，交于点F．有以下四个结论：①；②平分；③；④．其中正确结论的个数是（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
10．如图，点是平行四边形内一点，与轴平行，与轴平行，，，，若反比例函数的图像经过，两点，则的值是（　　）
A． B．12 C． D．15
二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分．直接填写答案．
11．（1）已知，则代数式的值是　 　；
（2）已知线段，，则线段a，b的比例中项是　 　．
12．若鸟卵孵化后，雏鸟为雄鸟与雌鸟的概率相同，若两枚鸟卵全部成功孵化，则两只鸟中至少有一只是雌鸟的概率是　 　．
13．若两个相似多边形的相似比为，则它们面积的比为 　 　．
14．如图，过原点O的直线与反比例函数 的图像交于点A、P，过点P作x轴的垂线，点B为垂足，连接AB，若△ABP的面积是5，则　 　．
15．如图，在菱形中，与相交于点O，，垂足为点M，交于点N，连接，若，则的值为　 　．
三、解答题：本题共10小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．计算：
17．如图，在中，是边上的点，已知．
（1）求证：；
（2）若，，求的值．
18．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，．
（1）以原点为位似中心，在第一象限内将缩小得到，相似比为，请画出；
（2）直接写出点的坐标（______，______）；
（3）求出的面积．
19．如图，电路图上有四个开关，，，和一个小灯泡，闭合开关或同时闭合开关，，都可使小灯泡发光．
（1）求任意闭合其中一个开关小灯泡发光的概率．
（2）求任意闭合其中两个开关小灯泡发光的概率．
20．如图，已知，是一次函数的图像和反比例函数的图像的两个交点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求的面积；
（3）根据图像直接写出不等式时的解集．
21．在数学综合与实践活动课上，老师组织同学们开展以“测量小树的高度”为主题的探究活动．
【小组1】查阅学校资料得知小树前的教学楼高度为24米，如图1，某一时刻测得小树、教学楼在同一时刻阳光下的投影长分别是米，米．
【小组2】借助皮尺和测角仪，如图2，已知测角仪离地面的高度米，在处测得小树顶部的仰角，测角仪到树的水平距离米．
（1）请根据小组1的数据求小树的高度；
（2）请根据小组2的数据求小树的高度（结果保留整数，，）．
22．小丽家饮水机中原有水的温度为20℃，通电开机后，饮水机自动开始加热，此过程中水温y（℃）与开机时间x（分）满足一次函数关系，当加热到100℃时自动停止加热，随后水温开始下降，此过程中水温y（℃）与开机时间x（分）成反比例关系，当水温降至20℃时，饮水机又自动开始加热……，重复上述程序（如图所示），根据图中提供的信息，解答问题：
（1）当时，求水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系式；
（2）求图中t的值；
（3）若小丽在通电开机后即外出散步，请你预测小丽散步70分钟回到家时，饮水机内的温度约为多少℃？
23．如图1，在平面直角坐标系中的顶点A在x轴负半轴上，点B在y轴正半轴上，点坐标．
（1）求直线的解析式；
（2）如图2，点从点出发沿射线方向以每秒2个单位长度的速度运动，运动时间为，连接．设的面积为S，试用含t的代数式表示S．（不要求写出t的取值范围）．
（3）如图3，在（2）的条件下，当时，过点作轴于点，连接．为第一象限内一点，连接交于点，点在的延长线上，，，在线段上取点交于点．当时，求的面积和点坐标．
24．如图，为等边三角形，为平面内任意一点，连接．
（1）如图1，在边上时，将绕点逆时针旋转得到，连接，．直接写出与的数量关系为　 　；直线与所夹锐角为　 　度：
（2）如图2，在边上时，将绕点逆时针旋转得到，连接交于，为边的中点，连接．猜想与存在的关系，并证明你的猜想。
（3）如图3，为外一点，将绕点逆时针旋转得到，连接，取，的中点，，连接．试问：的值是否随图形的旋转而变化 若不变，请求出该值：若变化，请说明理由．
25．【综合探究】在数学综合与实践活动课上，兴趣小组的同学用两个完全相同的长方形纸片展开探究活动，这两张长方形纸片的长为，宽为.
（1）【实践探究】小红将两个完全相同的长方形纸片和摆成图1的形状，点与点重合，边与边重合，边，在同一直线上.
请判断：的形状为　 　.
（2）【解决问题】如图2，在（1）的条件下，小明将长方形绕点顺时针转动（转动角度小于45°），即，边与边交于点，连接，平分，交于点，，求的度数.
（3）【拓展研究】从图2开始，小亮将长方形绕点顺时针转动一周，若边所在的直线恰好经过线段的中点时，连接，，请直接写出的面积.
答案解析部分
1．【答案】A
2．【答案】D
3．【答案】A
4．【答案】D
5．【答案】A
6．【答案】C
7．【答案】D
8．【答案】B
9．【答案】B
10．【答案】D
11．【答案】；
12．【答案】
13．【答案】
14．【答案】
15．【答案】
16．【答案】解：原式
=1.
17．【答案】（1）证明：，，
（2）解：，
，
.

18．【答案】（1）解：∵，，，以原点为位似中心，相似比为，
∴，
∴，即，
∴，则
同理，，连接，如图所示，
∴即为所求图形．
（2）
（3）解：∵，，
∴，
∴的面积为．
19．【答案】（1）解：共有四个开关，，，，当闭合一个开关时，单独闭合时小灯不亮，单独闭合时小灯不亮，单独闭合时小灯不亮，单独闭合时小灯亮，
∴任意闭合其中一个开关小灯泡发光的概率是；
（2）解：闭合其中两个开关时，出现等可能得结果如图所示，
共有中等可能结果，其中小灯泡发光的是（A，D），(B，D)，(C，D)，(D，A)，(D，B)，(D，C)，共有6种等可能的结果，
∴任意闭合其中两个开关小灯泡发光的概率是．
20．【答案】（1）解：把代入得：
所以反比例函数的解析式为：
把代入得
把代入得：
解得：
所以一次函数的解析式为：

（2）解：为
令 则 即
（3）解：由可得：一次函数的图象在反比例函数图象的下方，
所以：或
21．【答案】（1）解：根据题意可知，
，
米，米，米，
，
，
，
即大树高是4米。
（2）解：在中，，，
∵，
∴米。
即大树高是4米。
22．【答案】（1）解：当时，设．
将点，代入上式，
得，解得．
（2）解：当时，设，
将点代入上式，
得，解得，
，
将点代入，
得，解得．
（3）解：由题可知，开机分钟与开机分钟时饮水机的水温相等，
当时，．
小丽散步分钟回到家时，饮水机内的温度约为．
23．【答案】（1）解：∵B点坐标．∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为：，
将点代入得：，解得：，
∴直线的解析式为；
（2）解：由（1）得：，∴当点P在线段上时，过点P作轴，如图所示：
因为点从点出发沿射线方向以每秒2个单位长度的速度运动，运动时间为，
所以，
所以当时，，解得：，
所以；
当点P在线段延长线上时，过点P作轴，如图所示：
因为点从点出发沿射线方向以每秒2个单位长度的速度运动，运动时间为，
所以，
所以当时，，解得：，
所以；
综上可得：或；
（3）解：当时，代入（2）中结果得：（舍去）或，∴，
∴，
∵轴，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
连接，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，则，
过点G作，如图所示：
∴，
∴，
∴即，
解得：，
∴，，
由三角形面积比得：，
∴，
过点E作，如图所示：
设，则，
根据题意得：即，
解得：，
同理：由勾股定理得：，，
∴，
∴，
同理得：，
∴；
过点Q作轴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点坐标为．
24．【答案】（1）；60
（2）解：关系为，．
证明：如图，过作交于，连接，
则，，
，
，
由，，得，
，
又
四边形是平行四边形，
为中点，且为边的中点，
，
（3）解：连接，设，
由，，
得，
，，
外角，
，
连接，取中点，连接，
由中位线定理得，，，，
，，，
过作于，则
，，
，
由勾股定理得，，
∴，
∴的值不变，为．
25．【答案】（1）等腰直角三角形
（2）解：过作于
在中，
平分
（3）解：过作于
为中点
，
在中，

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