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2025-2026学年第一学期期中阶段性检测八年级数学试题
本试题共 8 页，满分为 150 分，考试时间为 120 分钟。答卷前，请考生务必将自己的学校、班级、姓名和准考证号填写在答题卡规定的位置。考试结束后，按要求上交答题卡。
注意事项：
1．答选择题时，必须使用 2B 铅笔填涂。
2．答非选择题时，必须使用 0.5mm 黑色签字笔书写，要求笔迹清晰、字体工整，务必在答题卡题号所指示的答题区域内作答。
一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题 4 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．在下列实数中，属于无理数的是（ ）
A．0 B． C． D．π
2．在平面直角坐标系中，点P( 4,3)在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．已知是方程ax y=5的一个解，那么a的值为（ ）.
A．-2 B．2 C．3 D．6
4．下列计算正确的是（ ）
A．+=3 B．+= C．×=3 D．÷=
5．实数a，b在数轴上对应点的位置如图，则化简∣a b∣ 的结果是（ ）
A．B B．b 2a C．2a b D． b
6．一次函数y=kx+6(k>0)上有两点( 4,y1)，(3,y2)，则y1，y2的大小关系是（ ）
A．y1y2 D．不能确定
7．如图所示，已知四边形ABCD是边长为 2 的正方形，AP=AC，则数轴上点P所表示的数是（ ）
A．2 B． 2 C． 1 D． 2+1
8．两个一次函数y1=ax+b与y2=bx a，它们在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
9．在A，B两地之间有汽车站C站，客车由A地驶往C站，货车由B地驶往A地．两车同时出发，匀速行驶．客车、货车离C站的路程y1，y2（km）与行驶时间x（h）之间的函数图象如图所示．有下列说法：①A，B两地相距为420km；②两小时后，货车离C站的路程y2与行驶时间x之间的函数关系式为y2=30x 60；③客车离C站的路程y1与行驶时间x之间的函数关系式为：y1= 60x+360；④客、货两车在小时相遇．其中正确的有（ ）
A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④
10．对点(x,y)的一次操作变换记为p1(x,y)，定义其变换法则如下：p1(x,y)=(x+y,x y)；且规定Pn(x,y)=P1(Pn 1(x,y))（n为大于 1 的整数）．例如：p1(1,2)=(3, 1)，p2(1,2)=p1(p1(1,2))=p1(3, 1)=(2,4)
，p3(1,2)=p1(p2(1,2))=p1(2,4)=(6, 2)．则p2026(1, 1)=（ ）
A．(0,21012) B．(21013, 21013) C．(0, 21013) D．(21012, 21012)
第 II 卷（非选择题）
填空题：（本大题共 5 个小题，每小题 4 分，共 20 分.）
11．的立方根是______．
12．在平面直角坐标系中，若点P(4 m,3m)在y轴上，则m=______．
13．如图，直线y=kx+b(k≠0)经过点( 1,3)，则方程kx+b=3的解为______．
14．已知方程组的解满足x+y=6，则k的值为______．
15．如图，一次函数y= x+6的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，C是x轴上一动点，连接BC，将△ABC沿BC所在的直线折叠，当点A落在y轴上时，点C的坐标为______．
解答题（本大题 10 个小题，共 90 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
16．（7 分）计算：（1） ÷+ （2）（﹣3+）（+3）﹣（﹣）2
17．（7 分）解方程组：；
18.（7 分）利用平方根、立方根定义解下列方程：
(1)(x 1)2 81=0； (2)3(x+5)3= 81．
19．（8 分）已知某正数的两个不同的平方根是3a 14和a+2，b+1的立方根为 2，c是的整数部分；
（1）求a，b，c的值；
（2）求a b+2c的平方根．
20．（8 分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A( 3,4)，B( 4,1)，C( 1,2)．
(1) 在图中作出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1，并写出点C关于y轴的对称点C2的坐标 ；
(2) 点P为y轴上一动点，且使得△PAC周长最小，直接写出点P的坐标：
(3) 点F在x轴上，若S△AOF=4，请直接写出点F的坐标：______．
21．（9 分）周末，小丽和爸爸、妈妈一家三口去杨梅园游玩．已知该杨梅园内的杨梅单价是每千克 40 元．为满足游客需求，该杨梅园现推出两种不同的销售方案：甲方案：游客进园需购买 30 元的门票，采摘的杨梅按原价的六折收费；乙方案：游客进园不需要购买门票，采摘的杨梅质量在 10 千克以内按原价收费，超过 10 千克后，超过部分按原价的五折收费．设采摘量为x千克，按甲方案所需总费用为y1元，按乙方案所需总费用为y2元．
(1) 当采摘量超过 10 千克时，分别求出y1，y2与x之间的函数关系式．
(2) 在（1）的条件下，当采摘多少千克时，两种方案的价格相同？
(3) 若采摘量为 30 千克，选择哪种方案更划算？请说明理由．
22．（10 分）在一次综合实践活动中，小菲设计了两款帐篷．图 1 是由线段AB绕竖直的直线l1旋转一周得到的 1 号帐篷（点A在直线l1上，点B在水平地面上）；图 2 是由曲线段CD绕竖直的直线l2旋转一周得到的 2 号帐篷（点C在直线l2上，点D在水平地面上）．已知两个帐篷的底圆半径都是 2.0m．点M是线段AB上的一动点，点N是曲线段CD上的一动点．当M与B的水平距离和N与D的水平距离都是x（单位：m）时，小菲分别记录了M和N的竖直高度h1（单位：m）和h2（单位：m），部分数据如下：
补全表格（结果保留小数点后两位）；
（2）通过分析数据，发现可以用函数刻画h1与x，h2与x之间的关系．在给出的平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象；
（3）将某人在帐篷内直立行走不会碰到头部时的底圆区域称为自由活动区，根据以上数据与函数图象，解决下列问题：
①某学生的身高是 1.80m，则他在两个帐篷内自由活动区的半径差约为______m（结果保留小数点后一位）；②甲、乙、丙三名学生的身高（单位：m）分别为a1，a2，a3，若a1a2 a1=a3 a2，则在 2 号帐篷中，甲与乙自由活动区的半径差______乙与丙自由活动区的半径差（填 “>”“<”“=”）．
23.（10 分）小明在探究二次根式时发现了下列两个有趣的变形：
（一）一些分母含有二次根式加减的式子也可以分母有理化，如：
===﹣1
===﹣
（二）一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：
3+2=1+2+2=12+2+()2=(1+)2；
5+2=2+2+3=()2+2+()2=(+)2．
请解答下列问题：
归纳：观察上面的解题过程，请直接写出下列各式的结果．
①= ；②3 2= ．
(2) 应用：求+++...+的值．
(3) 拓展：﹣+﹣= 。
24．（12 分）如图，平面直角坐标系中，直线AB:y= x+b交y轴于点A(0,4)，交x轴于点B．
(1) 求直线AB的表达式和点B的坐标；
(2) 直线l垂直平分OB交AB于点D，交x轴于点E，点P是直线l上一动点，且在点D的上方，设点P的纵坐标为n．
①当S△ABP=6时，求点P的坐标；
②在①的条件下，是否存在第一象限内的点C，使△PBC为等腰直角三角形，若存在，请直接写出符合点C的坐标；若不存在，请说明理由．
25．（12 分）【问题提出】如图 1，△ABD、△ACE都是等边三角形，求证：BE=DC．
【方法提炼】这两个共顶点的等边三角形，其在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，即
△ADC≌△ABE．如果把小等边三角形的一边看作 “小手”，大等边三角形的一边看作 “大手”，这样就类似 “大手拉着小手”，不妨称之为 “手拉手” 基本图形，当图形中只有一个等边三角形时，可尝试在它的一个顶点作另一个等边三角形，构造 “手拉手” 基本图形，从而解决问题．
【方法应用】(1) 等边三角形ABC中，E是边AC上一定点，D是直线BC上一动点，以DE为一边作等边三角形DEF，连接CF．
①如图 2，若点D在边BC上，线段CE、CF、CD之间的关系为______（直接写出结论）．
②如图 3，若点D在边BC的延长线上，试证明线段CE、CF、CD之间的关系．
(2) 如图 4，等腰△ABC中，120°<∠BAC<180°，AB=AC，，且交BC于点D，以AC为边作等边△ACE，直线BE交直线AD于点F，连接FC交AE于点M，写出FE、FA、FC之间的数量关系，并加以说明．
答案
一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题 4 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．在下列实数中，属于无理数的是（ D ）
A．0 B． C． D．π
2．在平面直角坐标系中，点P( 4,3)在（ B ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．已知是方程ax y=5的一个解，那么a的值为（ C ）.
A．-2 B．2 C．3 D．6
4．下列计算正确的是（ C ）
A．+=3 B．+= C．×=3 D．÷=
5．实数a，b在数轴上对应点的位置如图，则化简∣a b∣ 的结果是（ A ）
A．B B．b 2a C．2a b D． b
6．一次函数y=kx+6(k>0)上有两点( 4,y1)，(3,y2)，则y1，y2的大小关系是（ A ）
A．y1y2 D．不能确定
7．如图所示，已知四边形ABCD是边长为 2 的正方形，AP=AC，则数轴上点P所表示的数是（ D ）
A．2 B． 2 C． 1 D． 2+1
8．两个一次函数y1=ax+b与y2=bx a，它们在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ C ）
A. B. C. D.
9．在A，B两地之间有汽车站C站，客车由A地驶往C站，货车由B地驶往A地．两车同时出发，匀速行驶．客车、货车离C站的路程y1，y2（km）与行驶时间x（h）之间的函数图象如图所示．有下列说法：①A，B两地相距为420km；②两小时后，货车离C站的路程y2与行驶时间x之间的函数关系式为y2=30x 60；③客车离C站的路程y1与行驶时间x之间的函数关系式为：y1= 60x+360；④客、货两车在小时相遇．其中正确的有（ B ）
A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④
10．对点(x,y)的一次操作变换记为p1(x,y)，定义其变换法则如下：p1(x,y)=(x+y,x y)；且规定Pn(x,y)=P1(Pn 1(x,y))（n为大于 1 的整数）．例如：p1(1,2)=(3, 1)，p2(1,2)=p1(p1(1,2))=p1(3, 1)=(2,4)，p3(1,2)=p1(p2(1,2))=p1(2,4)=(6, 2)．则p2026(1, 1)=（ B ）
A．(0,21012) B．(21013, 21013) C．(0, 21013) D．(21012, 21012)
第 II 卷（非选择题）
二．填空题：（本大题共 5 个小题，每小题 4 分，共 20 分.）
11．的立方根是___2___．
12．在平面直角坐标系中，若点P(4 m,3m)在y轴上，则m=___4___．
13．如图，直线y=kx+b(k≠0)经过点( 1,3)，则方程kx+b=3的解为___x=﹣1___．
14．已知方程组的解满足x+y=6，则k的值为___17___．
15．如图，一次函数y= x+6的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，C是x轴上一动点，连接BC，将△ABC沿BC所在的直线折叠，当点A落在y轴上时，点C的坐标为__（﹣6﹣6，0）或（6﹣6，0）____．
三．解答题（本大题 10 个小题，共 90 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
16．（7 分）计算：（1） ÷+ （2）（﹣3+）（+3）﹣（﹣）2
=3﹣2+ =2﹣9﹣6+6﹣3
= =﹣16+6
17．（7 分）解方程组：；
解由①得x=﹣1﹣3y③
③代入②得3（﹣1﹣3y）+y=5
y=﹣1
将y=﹣1代入③得x=2
∴原方程组的解为
18.（7 分）利用平方根、立方根定义解下列方程：
(1)(x 1)2 81=0； (2)3(x+5)3= 81．
解： x﹣1=±9 解：x+5=﹣3
x=10或﹣8 x=﹣8
19．（8 分）已知某正数的两个不同的平方根是3a 14和a+2，b+1的立方根为 2，c是的整数部分；
（1）求a，b，c的值；
（2）求a b+2c的平方根．
（1）∵一个正数的两个不同的平方根是3a 14和a+2
∴3a 14+a+2=0
解得a=3
∵b+1的立方根为 2
∴b+1=﹣8
解得b=﹣9
∵c是的整数部分
∴c=2
（2）将a=3，b=﹣9，c=2代入a b+2c=3+9+4=16
16的平方根是±4
20．（8 分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A( 3,4)，B( 4,1)，C( 1,2)．
(1) 在图中作出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1，并写出点C关于y轴的对称点C2的坐标 ；
(2) 点P为y轴上一动点，且使得△PAC周长最小，直接写出点P的坐标：
(3) 点F在x轴上，若S△AOF=4，请直接写出点F的坐标：______．
（1）图略 C2（1，2）
（2）P（0，）
（3）F（2，0）或（﹣2，0）
21．（9 分）周末，小丽和爸爸、妈妈一家三口去杨梅园游玩．已知该杨梅园内的杨梅单价是每千克 40 元．为满足游客需求，该杨梅园现推出两种不同的销售方案：甲方案：游客进园需购买 30 元的门票，采摘的杨梅按原价的六折收费；乙方案：游客进园不需要购买门票，采摘的杨梅质量在 10 千克以内按原价收费，超过 10 千克后，超过部分按原价的五折收费．设采摘量为x千克，按甲方案所需总费用为y1元，按乙方案所需总费用为y2元．
(1) 当采摘量超过 10 千克时，分别求出y1，y2与x之间的函数关系式．
(2) 在（1）的条件下，当采摘多少千克时，两种方案的价格相同？
(3) 若采摘量为 30 千克，选择哪种方案更划算？请说明理由．
当采摘量超过10千克时，x >10,根据题意，得y1=30+40x0.6x=24x+30;y2=40x10+40x0.5( x -10)=20x+200;
(2）当0≤ x ≤10时，y2=40x,
令y1=y2，则24x+30=40x
解得 x =1.875;
当x>10时，令y1=y2，则24x+30=20x+200
解得 x =42.5,
答：当采摘1.875千克或42.5千克时，两种方案的价格相同．
(3）选择甲方案更划算．理由如下：
当x =30时，y1=24x30+30=750,y2=20×30+200=800.
因为750<800，所以选择甲方案更划算．
22．（10 分）在一次综合实践活动中，小菲设计了两款帐篷．图 1 是由线段AB绕竖直的直线l1旋转一周得到的 1 号帐篷（点A在直线l1上，点B在水平地面上）；图 2 是由曲线段CD绕竖直的直线l2旋转一周得到的 2 号帐篷（点C在直线l2上，点D在水平地面上）．已知两个帐篷的底圆半径都是 2.0m．点M是线段AB上的一动点，点N是曲线段CD上的一动点．当M与B的水平距离和N与D的水平距离都是x（单位：m）时，小菲分别记录了M和N的竖直高度h1（单位：m）和h2（单位：m），部分数据如下：
（1）补全表格（结果保留小数点后两位）；
（2）通过分析数据，发现可以用函数刻画h1与x，h2与x之间的关系．在给出的平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象；
（3）将某人在帐篷内直立行走不会碰到头部时的底圆区域称为自由活动区，根据以上数据与函数图象，解决下列问题：
①某学生的身高是 1.80m，则他在两个帐篷内自由活动区的半径差约为______m（结果保留小数点后一位）；②甲、乙、丙三名学生的身高（单位：m）分别为a1，a2，a3，若a1a2 a1=a3 a2，则在 2 号帐篷中，甲与乙自由活动区的半径差______乙与丙自由活动区的半径差（填 “>”“<”“=”）．
（1）2.70
（2）
(3)①由图象可知:当 c =1.2时, h1 =1.8,当x=0.5时,h2=1.8,
∴他在两个帐篷内自由活动区的半径差差约为1.2-0.5=0.7m;
②由图象可知, h 随着 c 的增加而增加,且且增加的速度越来越慢,
∴当增加的高度同时,自变量的差值变的越来越大,
∵a1∴甲与乙自由活动区的半径差要小于乙与丙自由活动区的半径差;
23.（10 分）小明在探究二次根式时发现了下列两个有趣的变形：
（一）一些分母含有二次根式加减的式子也可以分母有理化，如：
===﹣1
===﹣
（二）一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：
3+2=1+2+2=12+2+()2=(1+)2；
5+2=2+2+3=()2+2+()2=(+)2．
请解答下列问题：
（1）归纳：观察上面的解题过程，请直接写出下列各式的结果．
①= ；②3 2= ．
(2) 应用：求+++...+的值．
(3) 拓展：﹣+﹣= 。
（1）﹣ （﹣1）2
（2）+++...+
=﹣1+﹣+﹣+...+﹣
=45﹣1
=44
（3）1
24．（12 分）如图，平面直角坐标系中，直线AB:y= x+b交y轴于点A(0,4)，交x轴于点B．
(1) 求直线AB的表达式和点B的坐标；
(2) 直线l垂直平分OB交AB于点D，交x轴于点E，点P是直线l上一动点，且在点D的上方，设点P的纵坐标为n．
①当S△ABP=6时，求点P的坐标；
②在①的条件下，是否存在第一象限内的点C，使△PBC为等腰直角三角形，若存在，请直接写出符合点C的坐标；若不存在，请说明理由．
（1）将A(0,4)代入y= x+b得
b=4
∴y= x+4
令y=0代入y= x+4
x+4=0
解得x=4
∴B（4，0）
（2）∵直线l垂直平分OB
∴OE=BE=2
当x=2时，y=﹣2+4=2
∴D（2，2）
∵P（2，n）
∴PD=n﹣2
∵S△ABP=6
∴（n﹣2）×2+（n﹣2）×2=6
∴n=5
∴P（2，5）
（3）C（9，2）或（7，7）或（5.5，3.5）或（0.5，1.5）
25．（12 分）【问题提出】如图 1，△ABD、△ACE都是等边三角形，求证：BE=DC．
【方法提炼】这两个共顶点的等边三角形，其在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，即
△ADC≌△ABE．如果把小等边三角形的一边看作 “小手”，大等边三角形的一边看作 “大手”，这样就类似 “大手拉着小手”，不妨称之为 “手拉手” 基本图形，当图形中只有一个等边三角形时，可尝试在它的一个顶点作另一个等边三角形，构造 “手拉手” 基本图形，从而解决问题．
【方法应用】(1) 等边三角形ABC中，E是边AC上一定点，D是直线BC上一动点，以DE为一边作等边三角形DEF，连接CF．
①如图 2，若点D在边BC上，线段CE、CF、CD之间的关系为______（直接写出结论）．
②如图 3，若点D在边BC的延长线上，试证明线段CE、CF、CD之间的关系．
(2) 如图 4，等腰△ABC中，120°<∠BAC<180°，AB=AC，，且交BC于点D，以AC为边作等边△ACE，直线BE交直线AD于点F，连接FC交AE于点M，写出FE、FA、FC之间的数量关系，并加以说明．
（1）①CD=CE+CF
②CF=CE+CD
（2）FC=FA+FE

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