资源简介

河北枣强中学 2026届高三上学期 11月期中数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1.下列函数中，既是偶函数又在(0,+∞)上单调递减的为( )
A. = 1 B. = 4 C. = ln D. = 2| |
2.若复数 = + ( , ∈ )满足： + = 2 + 2 ，则 + =( )
A. 0 B. 2 C. 3 D. 4
3.设 = { | = 6 2. ∈ }， = { | = 3 + 1, ∈ }，则( )
A. B. C. = D.
4.已知 ( )是定义在[0,2]上的函数，则“对 ∈ (0,2], ( ) > (0)都成立”是 ( )在[0,2]上是增函数”的
( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.在等比数列{ 2 }中， 1, 19是方程 + 6 + 4 = 0的两根，则 3 17 + 10等于( )
A. 6 B. 2 C. 2或6 D. 2
6.已知函数 ( ) = + ( , ∈ ), ( ) = 2 + ，若这两个函数的图象在公共点 (1,2)处有相同的
切线，则 + 的值为( )
A. 4 B. + 2 C. D. 2
7.若 ∈ (0, )，且sin cos = sin cos ，则sin cos =( )
A. 1 + √ 2 B. √ 2 + 1 C. √ 2 ± 1 D. 1 ± √ 2
8.“不以规矩，不能成方圆”出自《孟子·离娄章句上》，“规”指圆规，“矩”指由相互垂直的长短两条
直尺构成的方尺，是古人用来测量、画圆和方形图案的工具，今有一块圆形木板，按图中数据，以“矩”
3
量之，然后将这块圆形木板截成一块四边形形状的木板，且这块四边形木板的一个内角 满足cos = ，
5
则这块四边形木板周长的最大值为( )
A. 20 B. 20√ 3 C. 30√ 3 D. 30
第 1 页，共 8 页
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列不等式成立的是( )
1 2.1 1 1.3 3 2√ 2
A. ( ) < ( ) B. (√ 2) > (√ 2)
2 2
1 1

C. 2 3 < 3 3 D. ( 1.2)3 < ( 0.8)3

10.函数 ( ) = sin( + ) ( > 0, > 0, | | < )的部分图象如图所示，则( )
2

A. ( ) = 3sin (2 + )
6

B. ( )的图象关于直线 = 对称
3
3 10
C. 若方程 ( ) = 在(0, )上有且只有6个根，则 ∈ (3 , ]
2 3

D. ( )的图象向左平移 个单位长度后得到函数 ( ) = 3cos2
3
11.已知等差数列{ }的公差为 ( ≠ 0)，等比数列{ }的公比为 ( ≠ 1)，且 1 = 1 = 1， 2 = 2, 5 =
3，则下列结论正确的是( )
A. = 2
B. 数列{ }是递增数列
C. 存在正整数 ，使得 = +1
D. 存在正整数 ，使得 +1 = +1
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12. = ( 1, √ 3)， = (√ 3, 3)的夹角为 ．
13.已知等差数列{ }中， 3 + 5 = 4 + 7, 10 = 19，则数列{ cos }的前10项和为 ．
1 1
14.已知正数 ， 满足 + = 1，则 的最大值是 ．
(2 + ) ( +4 )
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
在 中，设角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 ， ， 成等差数列，且 = √ 5．
第 2 页，共 8 页
(1)求 外接圆的面积；
√ 30
(2)若 = ，求 ， ．
3
16.(本小题15分)
已知函数 ( ) = 32 , ( ) = √ + ．
(1)若直线 = ( > 0)与直线 = 2 交于点 ，与 ( )的图象交于点 ，求| |的最小值；
(2)设函数 = √ ( ) 1的定义域为 , ( )的定义域为 ，且 ∩ = ，求 的取值集合．
17.(本小题15分)
在等差数列{ }中， 3 = 8, 8 = 1 + 2 + 3；记 为数列{ }的前 项和，且 = 2 + 1．
(1)分别求数列{ }, { }的通项公式；

(2)求数列{ }的前 项和．

18.(本小题17分)
在△ 中，角 ， ， 所对的边分别是 ， ， ，且3 = √ 3 sin + 3 cos ．
(1)求 ；
√ 19
(2)若 是边 的中点， = 2， = ，求△ 的面积；
2
(3)若△ 为锐角三角形，且 = √ 3，求2 的取值范围．
19.(本小题17分)
牛顿法( ’ )是牛顿在17世纪提出的一种用导数求方程近似解的方法，其过程如下：如图，
设 是 ( ) = 0的根，选取 0作为 的初始近似值，过点( 0, ( 0))作曲线 = ( )的切线 ， 的方程为 =
( 0) + ′( 0)( 0).如果 ′( 0) ≠ 0，则 与 轴的交点的横坐标记为 1，称 1为 的一阶近似值．再过点
( 1, ( 1))作曲线 = ( )的切线，并求出切线与 轴的交点横坐标记为 2，称 2为 的二阶近似值．重复
以上过程，得 的近似值序列： 1， 2，…， ，根据已有精确度 ，当| | < 时，给出近似解．对于
函数 ( ) = + ，已知 ( ) = 0．
第 3 页，共 8 页
(1)若给定 0 = 0，求 的二阶近似值 2；
(2)函数 ( ) = (ln 1) ln + ．
①试写出函数 ( )的最小值 与 的关系式；
②证明： > 2．
第 4 页，共 8 页
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.

12.
3
13.10
4
14.
7
15.【详解】(1) ∵ ， ， 成等差数列，

∴ 2 = + ，又 + + = ，故 = ，
3
√ 5 5 5
由正弦定理可得：2 = = = 2√ ，则 = √ ， sin sin 3 3
3
5
∴ 的外接圆面积为 = 2 = ；
3
5 √ 30 5 √ 2
(2)由(1)及正弦定理得 = = 2√ ，则sin = ÷ 2√ = ，
sin sin 3 3 3 2
2 5
而 < = < ，则 = ，故 = = ．
3 4 3 4 12
16.【详解】(1)直线 = ( > 0)与直线 = 2 交于点 ( , 2 )，
直线 = ( > 0)与 ( )的图象交于点 ( , 2 )，
1
所以| | = 2 2 ，设 ( ) = 2 2 ， ′( ) = 2 单调递增， ln2
1 1 1
令 0ln2 = , 0 = = ， ∈ (0, 0), ′( ) < 0, ( )单调递减； ∈ ( 0, +∞), ′( ) > 0, ( )单调递增； 2 2ln2 ln4
第 5 页，共 8 页
1
所以 ( )min = ( 0) = + 2ln4 = 2 + 2ln4 = 2( ln4)； ln2
(2)因为函数 ( ) = 2 ≥ 1，所以 ≥ 2，
则 = √ ( ) 1的定义域为 = [2,+∞)，因为 ∩ = ，所以 是 的子集，
函数 ( ) = √ 3 + 的定义域为 ， ∈ [2,+∞)，则 3 + ≥ 0成立，
因为 = 3, = 在 上均单调递增，则 = 3 + 单调递增，所以23 + 2 ≥ 0成立，所以 ≤
10．
所以 的取值集合{ | ≤ 10}．
17.【详解】(1)解：设数列{ }的首项为 1，公差为 ，
3 = 1 + 2 = 8{ ，则 1 = 4, = 2， 1 + 7 = 3 1 + 3
所以数列{ }的通项公式为 = 1 + ( 1) = 4 + ( 1) × 2 = 2 + 2．
因为 = 2 + 1，所以当 = 1时， 1 = 2 1 + 1，则 1 = 1．
当 ≥ 2时， = 1 = 2 + 1 (2 1 + 1) = 2 2 1，则 = 2 1，
所以{ }是以首项为 = 1，公比为2的等比数列，所以 = 2 1 1 ．
2 +2 1
1
(2)因为 = 1 = (2 + 2) ( ) ，设数列{ }的前 项和为 ， 2 2
1 0 1 1 1 2 1 2 1 1
= 4 × ( ) + 6 × ( ) + 8 × ( ) + +2 ( ) + (2 + 2) ( ) ① 2 2 2 2 2
1 1 1 1 2 1 3 1 1 1
= 4 × ( ) + 6 × ( ) + 8 × ( ) + +2 ( ) + (2 + 2) ( ) ② 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 2 1 1 1
① ②得 = 4 + 2 [( ) + ( ) + + ( ) ] (2 + 2) ( ) 2 2 2 2 2
1 1 1
( ) [1 ( ) ]
1 2 2 1
∴ = 4 + 2 (2 + 2) ( ) 2 11 2
2
1 1 1 1
= 4 + 2 4( ) (2 + 2) ( ) = 6 (2 + 6) ( ) ， 2 2 2 2
1 2
则 = ( + 3) ( ) 12． 2
18.【详解】(1)因为3 = √ 3 sin + 3 cos ，所以由正弦定理可得3sin = √ 3sin sin + 3sin cos ，
所以3sin( + ) = √ 3sin sin + 3sin cos ，
所以3sin cos + 3cos sin = √ 3sin sin + 3sin cos ，
第 6 页，共 8 页
所以3cos sin = √ 3sin sin ，又因为0 < < ，所以sin ≠ 0，
所以3cos = √ 3sin ，所以tan = √ 3，

又因为0 < < ，所以 = ；
3
1
(2)因为 是边 的中点，所以 = ( + )，
2
2
1
2 2
所以 = ( + 2 +
√ 19
)，又因为 = 2， = ， = ，
4 2 3
2
√ 19 1 2 2 19 1所以( ) = ( + 2 × 2 × cos + 2 )，化简得 = ( 2 + 2 + 4)，即 2 + 2 15 = 0，
2 4 3 4 4
所以( + 5)( 3) = 0，解得 = 3或 = 5(舍去)，
1 1 3√ 3
所以 = sin = × 2 × 3sin = ； 2 2 3 2
√ 3
(3)由正弦定理可得 = = = = 2， sin sin sin sin
3
所以 = 2sin , = 2sin ，
2
所以2 = 4sin 2sin = 4sin 2sin( ) = 4sin 2sin ( )
3
2 2
= 4sin 2sin cos + 2cos sin = 3sin √ 3cos
3 3
√ 3 1
= 2√ 3 ( sin cos ) = 2√ 3sin ( )，
2 2 6

0 < <
2
因为△ 为锐角三角形，所以{ 2 ，解得 < < ，
0 < = < 6 2
3 2
√ 3
所以0 < < ，所以0 < sin ( ) < ，
6 3 6 2

所以0 < 2√ 3sin ( ) < 3，所以2 的取值范围(0,3)．
6
19.【详解】(1)函数 ( ) = + ，求导得 ′( ) = 1 + ，
( 0) +
0 0(
依题意， = = 0 = 0
1) 1
1 0 ，当 = 0时， = ， ′( ) 0 1+ 0 1+ 0 0 10 2
1( 1 1) 1 3同理 2 = 1+ ，而 1 1 = ，所以 2 2 = ； 2+2√
(2)①因为 ( ) = (ln 1) ln + ，
1 1
所以 ′( ) = ln + + ，令 ( ) = ln + + , > 0，

1 1
求导得 ′( ) = +
2
+ > 0，所以 ′( )在(0,+∞)上单调递增，
第 7 页，共 8 页
1 1 1 1
函数 ( ) = + 单调递增， ( ) = + > 0, ( 1) = 1 + < 0，
2 2 √
1 1
由 ( ) = 0，得 1 < < ，且 = ，则 = ， = ln( )，
2
1
所以 ′( ) = ln( ) + + + = 0，

当0 < < 时， ′( ) < 0，当 > 时， ′( ) > 0，
于是函数 ( )在(0, )上单调递减，在( ,+∞)上单调递增，
函数 ( )在 = 处取得最小值 = ( ) = ln( ) + ln( ) + = 2 + + ，
1
即 = 2 + 2 , 1 < < ．
2
②由①知， = 2 + +
1
, 1 < < ，
2
令 ( ) = 2 + + , < 0，求导得 ′( ) = 2 + 1，
令 = 2 + 1, < 0，求导得 ′ = 2，
当 ln2 < < 0时， ′ < 0，当 < ln2时， ′ > 0，
则函数 ′( )在( ln2,0)上单调递减，在( ∞, ln2)上单调递增，
而 ′(0) = 0, ′( 1) = + 3 > 0，
则当 < < 0时， ′( ) > 0恒成立，即函数 ( )在( 1,0)上单调递增，
1
而 1 < < ，因此 ( ) > ( 1) = 2，所以 > 2．
2
第 8 页，共 8 页

展开更多......

收起↑