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四川省合江县马街中学校2026届高三上学期第一次诊断性模拟数学试题
一、单选题
1．已知集合，，则集合为（ ）
A． B．
C． D．
2．已知，则（ ）
A．0 B．1 C． D．2
3．已知实数成等比数列，则（ ）
A． B． C． D．
4．设，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数，若，则（ ）
A． B．0 C．2 D．4
6．奇函数在上单调递增，若正数满足，则的最小值为（ ）
A．3 B． C． D．
7．设函数，若对任意的，存在，使得，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
8．已知函数的导函数为，若对任意的，都有，且，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列命题正确的有（ ）
A．与表示同一函数
B．“”是“”的充分不必要条件
C．命题“”的否定为“”
D．若，则
10．下列说法正确的是（ ）
A．的展开式中的系数为-4
B．将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有36种
C．已知，则
D．数据7，12，13，17，18，20，32的上四分位数为19
11．已知三次函数的对称中心为，则下列说法中正确的有（ ）
A．若，则，
B．函数既有极大值又有极小值
C．若是的极大值点，则在区间单调递增
D．当时，函数有三个零点时
三、填空题
12． ．
13．函数且的图象恒过点 ．
14．已知函数的定义域为，当时，，且对任意的都满足．若函数与的图象恰有两个交点，则实数的取值范围是 ．
四、解答题
15．在平面直角坐标系中，若角的始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点.
(1)求和的值；
(2)若，化简并求值.
16．已知数列的前项和为，且．
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
17．已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)若，对任意，都有恒成立，求的取值范围．
18．某县承包了一块土地，已知土地的使用面积与相应的管理时间的关系如下表所示：
土地使用面积亩 1 2 3 4 5
管理时间月 8 10 13 25 24
并调查了某村300位村民参与管理的意愿，得到的部分数据如下表所示：
单位：人
愿意参与管理 不愿意参与管理 合计
男性村民 150 50
女性村民 50
合计
(1)求出样本相关系数的大小，并判断管理时间与土地使用面积是否线性相关（当时，即可认为线性相关）；
(2)依据的独立性检验，分析村民的性别与参与管理的意愿是否有关；
(3)以该村村民的性别与参与管理意愿的情况估计该县的情况，从该县中任取3人，记取到不愿意参与管理的男性村民的人数为，求的分布列及数学期望.
参考公式：，其中.
临界值表：
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
参考数据：.
19．已知函数.
(1)若，求的单调区间.
(2)若是函数的两个零点.
（i）求实数的取值范围；
（ii）证明：.
参考答案
1．B
【详解】因为，又，
则.
故选：B.
2．C
【详解】若，则.
故选：C.
3．C
【详解】设等比数列的公比为，则，且，解得.
故选：C
4．A
【详解】，
，
，
所以.
故选：A.
5．B
【详解】，所以，
则.
故选:B.
6．D
【详解】解：因为奇函数在上单调递增，且，
所以，即，
所以，即，
所以，
当且仅当，即时，取等号，
所以的最小值为.
故选：D.
7．A
【详解】因为，最小值在处为，
根据题目，函数在区间上的值域为，
对任意的，存在，使得等价于要求的值域是的值域的子集，
由于是一次函数，需要满足：
当时，单调递增，值域为，要求且，解得，
当时，单调递减，值域为，要求且，解得 ，
综上，的取值范围为 或，即，
故选：A.
8．C
【详解】设函数，
所以，因为，
所以，即，所以在上单调递减，因为，
所以，因为，整理得，
所以，因为在上单调递减，所以.
故选：C.
9．BD
【详解】对于A，与定义域不同，故不是同一函数，故A错误；
对于B，，则有，但，则或，
所以“”是“”的充分不必要条件，故正确；
对于C，由含全称量词命题的否定知，命题“，”的否定是“，”，故C错误；
对于D：，，故D项正确；
故选：BD.
10．AC
【详解】对于A，由二项式定理可知的展开式的通项公式为：，，
令，解得，
∴的展开式中的系数为，故A正确；
对于B，先将标号为，的卡片放入同一信封，有种不同的方法；
再将标号为，，，的张卡片平均分成两组放入另外两个信封里，有种不同的方法，
由分步乘法计数原理可知：共有种方法，故B错误；
对于C，∵，
∴由排列数和组合数公式可得，解得，故C正确；
对于D，由7×75%=5.25，得第75百分位数为第6个数，为20，故D错误；
故选：AC.
11．ABD
【详解】由三次函数的对称中心为，得，
则，
整理得，因此，
对于A，由，得，解得，A正确；
对于B，，而，则由，得或，
显然是函数的变号零点，由二次函数图象性质知，当时，分别是的
极大值点和极小值点，当时，分别是的极小值点和极大值点，
因此函数既有极大值又有极小值，B正确；
对于C，由选项B知，当时，是的极大值点，而当时，，
当时，，函数在上递减，在上递增，在上不单调，C错误；
对于D，由，得，由选项B知，当时，函数在取得极大值，
在取得极小值，由函数有三个零点，得，
即，解得，D正确.
故选：ABD
12．/0.5
【详解】.
故答案为：
13．
【详解】因为函数经过定点，即时，，
所以函数经过定点为时，，
即函数恒过点.
14．或
【详解】因为，所以关于对称，且的图象是过点的折线，
由时，，作出与的图象如下图所示，
当时，函数是过定点，开口向上的折线，
如图，只有当直线与在上的图象相切时，函数与的图象恰有两个交点，
设切点，其中，的导数为，所以处切线斜率为，
所以，解得，满足条件，所以；
当时，函数与的交点情况如下图所示，
所以时，函数与的图象有个交点，满足条件；
当时，函数是过定点，开口向下的折线，如图所示，
此时函数与的图象恒有两个交点，满足条件；
综上所述，实数的取值范围是或，
故答案为：或.
15．(1)，；
(2)化简结果为，值为
【详解】（1）由三角函数定义可知，，
；
（2）
，
将代入得
16．(1)
(2)
【详解】（1）已知，当时，有，
用减去，根据，
可得：，即，
当时，，
又，所以，此时，满足，
所以数列是以为首项，3为公比的等比数列，即，
（2）由（1）可得，
又，所以，化简可得，
则，
所以．
所以数列的前项和为：
．
17．(1)
(2)
【详解】（1）已知，将代入函数可得．
又，
将代入导数中，得到切线的斜率．
已知点，斜率，代入可得切线方程，即．
（2）要使恒成立，只需．
，则．
令，．
因为时，，所以，即在上单调递增．
又，
，
所以存在，使得．
当时，，即单调递减；
当时，，即单调递增．
由上述分析可知，在处取得最小值，即．
因为，即，整理得，
两边同时除以，可得，即，
将代入中：
所以，要使对恒成立，只需．
18．(1)，管理时间与土地使用面程线性相关.
(2)认为村民的性别与参与管理的意愿有关.
(3)分布列见解析，
【详解】（1）由题知，，
，
，
，
，
则，
故管理时间与土地使用面程线性相关.
（2）依题意，完蟙表格如下：
单位：人
愿意参与管理 不愿意参与管理 合计
男性村民 150 50 200
女性村民 50 50 100
合计 200 100 300
零假设为：村民的性别与参与管理的意愿无关.
计算可得.
依据的独立性检验，推断不成立，即认为村民的性别与参与管理的意愿有关.
（3）法一：依题意，的可能取值为，从该县中随机抽取一位村民，取到不愿意参与管理的男性村民的概率为，
故，
故的分布列为
0 1 2 3
则数学期望.
法二：依题意，从该县中随机抽取一位村民，取到不愿意参与管理的男性村民的概率为，
则，故.
19．(1)答案见解析；
(2)（i）；（ii）证明见解析；
【详解】（1）由题意可知，的定义域为，
当时，，所以，
令，得.
当时，，单调递减区间为；
当时，单调递增区间为.
（2）（i），的定义域为.
当时，，所以在上单调递减，不合题意.
当时，令，解得，
令，得，令，得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以的最小值为，
函数存在两个零点的必要条件是，
即，又，
所以在上存在一个零点.
当时，，
所以在上存在一个零点.
综上，实数的取值范围是.
（ii）不妨设，
由，得，
所以，所以.
要证，只需证，只需证.
由，
故只需证，只需证，只需证.
令，只需证.
令，则，
所以在上单调递增，
所以，即成立，所以成立.

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