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湖北省楚天协作体2025-2026学年高三上学期11月期中考试数学试题
一、单选题
1．设集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．在中，已知，，则的面积为（ ）
A． B．2 C． D．
3．已知实数a，b，c，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．任意一个复数都可以表示成三角形式，即.法国数学家棣莫弗创立的棣莫弗定理是：设两个复数，，则，已知复数，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知向量，满足，，，则在方向上的投影向量是（ ）
A． B． C． D．
6．与圆相切，且在两坐标轴上截距相等的直线共有（ ）
A．2条 B．3条 C．4条 D．6条
7．有四个半径为的小球，球，球，球放置在水平桌面上，第四个小球放在这三个小球的上方，且四个小球两两外切.在四个小球之间有一个小球，与这四个小球均外切.则球的半径为（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数，，则在下列哪个区间上一定存在极值点（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A．数据，，3，7，8，9，11，15的下四分位数是1
B．若用不同的模型拟合同一组数据，则决定系数越大的模型，拟合效果越好
C．已知随机变量，若，，则
D．依据分类变量与的成对样本数据，计算得到，则依据的独立性检验，可以认为两个变量没有关联
10．中，角，，所对的边分别为，，且，下列说法正确的是（ ）
A． B．若且有唯一解，则
C．若，则 D．若，则面积最大值为
11．数列满足，且，数列的前项和为，从的前项中任取两项，它们的和为奇数的概率为，数列的前项积为，则（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
12．5名同学站成一排，甲身高最高，排在中间，其他4名同学身高均不相等，甲的左边和右边均由高到低排列，共有 种排法.
13．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在双曲线上，且，，则双曲线的离心率 .
14．已知数列共有项，其中项为，项为.若数列满足对任意中的的个数不少于的个数，则称数列为“规范数列”.当，时，“规范数列”的个数为 ，记表示数列是“规范数列”的概率，则的最小值为 .
四、解答题
15．已知数列满足，.
(1)证明：为等比数列；
(2)求数列的前项和.
16．如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，.
(1)证明：平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值.
17．欲从甲、乙两个无线通信设备中选出一个稳定设备作为应急通信设备，现对这两个设备轮流发送信号进行测试，每次发送一组信号.已知甲设备每次发送信号成功的概率为，乙设备每次发送信号成功的概率为，且每次信号发送结果互不影响.
约定1：任选一个设备发送一组信号，若信号发送成功，便成为稳定设备；
约定2：从甲设备开始发送信号，轮流发送进行测试，先发送信号成功的设备为稳定设备，当决定出稳定设备或两设备都发送信号3次均失败，结束测试.
(1)按照约定1，求在发送一次信号就成功的条件下，甲设备成为稳定设备的概率；
(2)按照约定2，
（i）两个设备共发送信号不超过4次时，求甲设备成为稳定设备的概率；
（ii）测试结束时，求乙设备发送信号次数的分布列与数学期望.
18．已知椭圆：过点，长轴长为4
(1)求椭圆的方程；
(2)过点的直线交椭圆于，两点（异于点），设直线，的斜率分别为，.证明：为定值.
19．已知函数.
(1)若对任意的，，求实数的取值范围；
(2)设，
（i）对任意正整数，证明：函数有唯一的零点；
（ii）证明：.
参考答案
1．D
【详解】，，
故选：D.
2．A
【详解】由，，则，，
，
，
因，故，则，
所以的面积为.
故选：A.
3．B
【详解】若，当时，无论，为何值，成立，此时无法判断，的大小，则充分条件不成立，
若，两边同乘以大于等于零的数，根据不等式的性质可知，则必要性成立，
故选：.
4．C
由题意可得，
故，
所以，
故选：C.
5．D
【详解】由于，，，
所以，解得，
则在方向上的投影向量为.
故选：D
6．B
【详解】因为直线在两坐标轴上截距相等，所以
①当直线不经过原点时，设截距为，.
则直线过点，，那么直线斜率为.
所以直线方程为.
因为该直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于圆的半径.
即，化简得，求解得或（舍去）.
此情况下有一条直线符合题意，直线方程为.
②当直线经过原点时，设直线方程为，即.
因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于圆的半径.
即，化简得，求解得.
此情况下有两条直线符合题意，直线方程为，.
综上，共有3条直线符合题目要求.
故选：B.
7．C
【详解】连接四个球的球心可以得到一个棱长为的正四面体，
根据正四面体的外接球的半径公式得到半径，
因为小球与这四个小球均外切，
则所求的小球的半径为，
故选：C.
8．C
【详解】由，则，，要使存在极值点，则一定有两个变号零点，
可设，则
因为，函数开口向上，且，
对于A，要使在上存在极值点，
则，即，
而的取值不确定，则在上不一定存在极值点；
对于B，要使在上存在极值点，
则，即，
而的取值不确定，则在上不一定存在极值点；
对于C，要使在上存在极值点，
则或，
即或，则，
所以在上一定存在极值点；
对于D，要使在上存在极值点，
则或，
即或，而的取值不确定，
所以在上不一定存在极值点.
综上所述，函数在一定存在极值点.
故选：C.
9．ABC
【详解】A：8个数从小到大排列，因为，且，可得下四分位数是1，故A正确；
B：由决定系数越大，残差平方和越小，即模型的拟合效果越好，B对；
C：因为，，，
则，解得：，，故C正确；
D：由，依据的独立性检验，可以认为两个变量有关联的可信度越高，错.
故选：ABC
10．ACD
【详解】由，则，
则，
由于，所以，，，故A正确；
由正弦定理得，即，
又有唯一解，所以或，故B错误；
由，则，，
则，即，,
所以，则，所以，故C正确；
若，则由余弦定理得，
所以有，即，当且仅当时取等号，
的面积为，故D正确.
故选：ACD.
11．ACD
对于A，当时，，又，，
又，，，
的奇数项所成的数列是首项为，公差为的等差数列，偶数项所成的数列是首项为4，公差为2的等差数列，
，故A正确；
对于B，，
故B错误；
对于C，，故C正确；
对于D，当，时，，又，，故D正确.
故选：ACD.
12．6
将除甲外的4名同学全排列，甲左边2名同学与右边2名同学顺序一定，
所以排法共有种.
故答案为：6.
13．
【详解】设，，由双曲线定义可得，
即，所以，，
又，，
在中，由余弦定理得，
即，解得，故离心率，
故答案为：.
14． 5
【详解】（1）当时，满足要求的“规范数列”有
；；；； ；
所以当，时，“规范数列”的个数为.
（2），，时，具有“规范数列”数列特征的数列的个数为，
当，，时，由已知数列共有项，其中项为，项为，
所以满足条件的数列的个数为，
若数列为“规范数列”，则第一项为，
若第一项为，第二项为时，“规范数列”个数为，
当第一项为，第二项为，第三项必然为，此时“规范数列”个数为，
所以.
故，
因为函数在上单调递增，
所以当时，取最小值，，
故答案为：；.
15．(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）因为，，所以，
所以，
又因为，所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列；
（2）（2）由（1）可知，即，
所以.
16．(1)证明见解析
(2).
【详解】（1）取中点，连接，如图所示，
则，，所以四边形为平行四边形，
，.
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
又平面，所以，又，与相交，
，平面，所以平面；
（2）由（1）可知平面，，所以，，两两垂直，如图建立空间直角坐标系，
则，，，，
，，
设平面的一个法向量，则，，
令，则，，；
，，
设平面的一个法向量，则，，
令，则，，，
设平面与平面夹角为，
则.
故平面与平面夹角的余弦值为.
17．(1)
(2)（i）；（ii）分布列见解析，
【详解】（1）设“任选一个设备发送信号，该设备是甲设备”为事件，“任选一设备发送信号，该设备是乙设备”为事件，“任选一个设备发送信号，该设备发送信号成功”为事件，
所以，，，
在发送一次信号就成功的条件下，甲设备成为稳定设备的概率为
.
（2）（i）发送信号1次，甲设备成为稳定设备的概率为，
发送信号3次，甲设备成为稳定设备的概率为，
两个设备共发送不超过4次时，甲设备成为稳定设备的概率为
（ii）随机变量的所有可能取值为0，1，2，3，
，，
，，
所以的分布列为：
0 1 2 3
所以数学期望为.
18．(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）由题意可得，，，
故，，
所以椭圆的方程为.
（2）证明：由已知直线过点，且交椭圆于，两点，所以直线的斜率存在，
当直线的斜率为0时，：，此时，两点坐标为，，
则
当直线的斜率不为0时，由已知设直线：，点，，
联立直线与椭圆的方程，
整理得，则，即，
解得或，且，，
所以
．
综上，为定值，且．
19．(1)
(2)（i）证明见解析 ；（ii）证明见解析
【详解】（1）由可得，记，则，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
故当时，取到最大值，且最大值为，故，
实数的取值集合为；
（2）（i）证明：，则，
当时，由，，得，此时无零点，
当时，，在上单调递增，
由于，，
由零点存在性定理得在有唯一的零点，
综上可知：对任意正整数，函数有唯一的零点
（ii）设，
则当时，，在单调递减，
当时，，在单调递增，
故，故，当且仅当时取等号，
由（i）知，是函数唯一的零点，且，则，得，故，
所以，则，又因为，
所以，
即，
再由可得，当且仅当时取等号，
由得，
，即，则，
当且仅当时取等号，
当时，
，
由得，，
所以，
故，
则，当且仅当时取等号.

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