资源简介

第七章 命题与证明提升卷一北师大版数学八(上)单元分层测
一、选择题（本大题共8小题, 每小题3分, 共24分, 每小题有四个选项, 其中只有一个是正确的）
1．（7.2第3课时 定理与证明 —数学北师大版八年级上册）下列不是公理的是（　　）
A．对顶角相等
B．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
C．同位角相等，两直线平行
D．三边分别相等的两个三角形全等
【答案】A
【知识点】三角形全等的判定-SSS；三角形全等的判定-ASA；对顶角及其性质；同位角相等，两直线平行；公理的概念
【解析】【解答】解： 对顶角相等通常作为定理存在。在欧几里得几何中，对顶角相等需通过“等角的补角相等”等公理推导得出，因此属于定理而非公理；
“两角及其夹边分别相等的两个三角形全等”（ASA公理）是三角形全等的基本公理之一，无需证明，属于公理；
“同位角相等，两直线平行”是平行公理的直接表述，属于公理范畴；
“三边分别相等的两个三角形全等”（SSS公理）是三角形全等的公理之一，无需证明，属于公理。
故答案为：A.
【分析】 公理是无需证明的基本事实，而定理需要通过公理或已证命题推导得出。
2．（7.3第2课时 平行线的性质—数学北师大版八年级上册）如图，直线l∥AB，∠A＝2∠B.若∠1＝108°，则∠2的度数为（　　）
A．36° B．46° C．72° D．82°
【答案】A
【知识点】两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：如图，
∵ 直线l∥AB ，
∴∠3+∠A=180°，∠2=∠B，
又∵∠3=∠1=108°，
∴∠A=180°-∠3=72°，
∵ ∠A＝2∠B ，
∴∠B=36°，
∴∠2=36°，
故答案为：A.
【分析】根据平行线性质知∠3+∠A=180°，∠2=∠B，结合题意计算∠2的度数即可.
3．（2025八上·石家庄月考）如图，，添加下列条件，还不能使成立的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形全等的判定；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：，
，
A．添加可得，可利用判定，故此选项不合题意；
B．添加可利用判定，故此选项不合题意；
C．添加不能判定，故此选项符合题意；
D．添加可利用判定，故此选项不合题意；
故答案为：C．
【分析】利用三角形全等的判定方法：ASA（两角及其夹边分别相等的两个三角形全等）、SAS（两边及其夹角分别相等的两个三角形全等）、AAS（两角及其一角对应的边相等的两个三角形全等）、SSS（三边分别相等的两个三角形全等）和HL（在直角三角形中，斜边和直角边对应相等的两个三角形全等）逐项分析判断即可.
4．（7.3第2课时 平行线的性质—数学北师大版八年级上册）如图，直线a∥b，一个三角尺的直角顶点在直线a上，两直角边均与直线b相交，若∠1＝40°，则∠2＝（　　）
A．40° B．50° C．60° D．65°
【答案】B
【知识点】两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：据题意知：∠1+∠3=90°，
∵ ∠1＝40°，
∴∠3=50°，
∵a∥b，
∴∠2=∠3=50°，
故答案为：B.
【分析】根据题意知∠1与∠3互余，再根据平行线性质知∩3=∠2，从而计算出∠2的度数即可.
5．为说明命题“若m＜n，则m2＜n2”是假命题，下列反例正确的是（　　）
A．m＝﹣2，n＝1 B．m＝2，n＝1
C．m＝﹣1，n＝2 D．m＝﹣1，n＝﹣2
【答案】A
【知识点】举反例判断命题真假
【解析】【解答】解：如果满足条件，不满足结论，即为“若m＜n，则m2＜n2”是假命题，由此可得：
A、∵m＝﹣2，n＝1，则满足m＜n，但不满足m2＜n2，故该选项符合题意；
B、∵m＝2，n＝1，则不满足m＜n，也不满足m2＜n2，故该选项不符合题意；
C、∵m＝﹣1，n＝2，则满足m＜n，但满足m2＜n2，故该选项不符合题意；
D、∵m＝﹣1，n＝﹣2，则不满足m＜n，但满足m2＜n2，故该选项不符合题意．
故选：A．
【分析】如果满足条件，不满足结论，即为“若m6．（北师大版数学八年级上册 7.1 第1课时分层练习）能说明“n2＋3n＋1一定是质数”不正确的反例是（　　）
A．n＝4 B．n＝5 C．n＝6 D．n＝7
【答案】C
【知识点】举反例判断命题真假；猜想与证明
【解析】【解答】解：A.n=4，n2+3n+1=16+12+1=29，故本选项错误；
B.n=5，n2+3n+1=25+15+1=41，故本选项错误；
C.n=6，n2+3n+1=36+18+1=55，故本选项正确；
D.n=7，n2+3n+1=49+21+1=71，故本选项错误；
故答案为：D.
【分析】将各选项中的n值代入表达式n2+3n+1，计算结果并判断是否为质数，若结果不是质数则为反例.
7．（北师大版数学八年级上册 7.1 第1课时分层练习）图中小圆圈表示网络的结点，结点之间的连接表示它们有网线相连，相连标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量.现从结点A向结点B传递信息，若信息可以分开沿不同路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为（　　）
A．11 B．10 C．8 D．7
【答案】C
【知识点】推理与论证
【解析】【解答】解：由于信息可以分开沿不同路线同时传递，
∴从结点A向结点B传递信息可经过结点D和结点B；
又∵从结点A到结点D的最大信息量为5，从结点到结点B的最大信息量为3，
∴从结点A向结点B传递信息，若信息可以分开沿不同路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为5+3=8.
故选：C.
【分析】先找出从结点A向结点B传递信息可沿A-C-B和A-D-B路线同时传递，再找出每条路线通过的最大信息量，然后相加即可得到答案.
8．（2025八上·西湖月考）如图，在中，，，，是边上的中线，过点C作的垂线交于点E，交于点F，连结．若记为α，为β，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS；平行线的应用-证明问题；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：过点B作交的延长线于点G，如图：
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
又∵，
∴，
∴．
∵点D是的中点，
∴，
∴．
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
故答案为：B．
【分析】过点B作交的延长线于点G，由同旁内角互补两直线平行得出BG∥AC，由二直线平行，内错角相等得 ，由角的构成、直角三角形两锐角互余及同角的余角相等得， 从而用“AAS”证明，由全等三角形的对应边相等可得BG=CD，结合中点定义得BG=BD，再用“SAS”证，得，即可得．
二、填空题（本大题共5小题, 每小题3分, 共15分）
9．（7.3第2课时 平行线的性质—数学北师大版八年级上册）如图，AB∥CD，BC∥ED，∠B＝80°，则∠D＝　 　.
【答案】100°
【知识点】两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：∵ AB∥CD，
∴∠C=∠B=80°，
∵BC∥ED，
∴∠C+∠D=180°，
∴∠D=180°-80°=100°.
故答案为：100°.
【分析】根据“两直线平行，内错角相等”得∠C=∠B，根据“两直线平行，同旁内角互补”得∠C+∠D=180°，从而知 ∠D 的度数.
10．（北师大版数学八年级上册7.1 第1课时 为什么要证明 同步练习）当n＝1，2，3，4，5，6，7，8，9，10时，代数式n2＋3n＋2的值总是一个合数，那么对于所有的自然数n，代数式n2＋3n＋2的值　 　(填“一定”或“不一定”)是合数.
【答案】不一定
【知识点】归纳与类比；猜想与证明
【解析】【解答】解：合数是除了它本身和1之外，还有别的约数的数，
当自然数n=0时，代数式n2+3n+2的值为：02+3×0+2=2.
而2的约数只有它本身和1，它是质数
∴对于所有的自然数n，代数式n2+3n-2的值不一定是合数，
故答案为：不一定.
【分析】先明确自然数的范围，再通过代入特殊值判断代数式的值是否一定为合数.
11．对于命题“若a＞b，则a2＞b2”，举出能说明这个命题是假命题的一组a，b的值，则a＝　 　，b＝　 　．
【答案】﹣2；﹣3
【知识点】有理数的乘方法则；举反例判断命题真假；有理数的大小比较-直接比较法
【解析】【解答】解：当a＝﹣2，b＝﹣3时，﹣2＞﹣3，而＜，
说明命题“若a＞b，则a2＞b2”是假命题，
故答案为：﹣2；﹣3(答案不唯一).
【分析】根据有理数的大小比较、有理数的乘方法则判断即可.
12．（7.1 为什么要证明 分层练习—数学北师大版八年级上册）联欢会有A，B，C，D四个节目需要彩排.所有演员到场后节目彩排开始.一个节目彩排完毕，下一个节目彩排立即开始.每个节目的演员人数和彩排时长(单位：min)如下：
节目 A B C D
演员人数 10 2 10 1
彩排时长 30 10 20 10
已知每位演员只参演一个节目，一位演员的候场时间是指从第一个彩排的节目开始彩排到这位演员参演的节目开始彩排的时间间隔(不考虑换场时间等其他因素).
若节目按“A-B-C-D”的先后顺序彩排，则节目D的演员的候场时间为　 　min；若使这23位演员的候场时间之和最小，则节目应按　 　的先后顺序彩排.
【答案】60；C-A-B-D
【知识点】归纳与类比；猜想与证明
【解析】【解答】解：节目D的演员的候场时间为30+10+20=60(min)；
由题意，得节目A和C演员人数一样，彩排时长不一样，那么时长长的节目应该放在后面，那么C在A的前面；B和D彩排时长一样，人数不一样，那么人数少的应该往后排，这样等待时长会短一些，那么B在D前面.
所以①按照C-B-A-D顺序，则候场时间为(10+2+1)×20+(10+1)×10+1×30=400(min)；
②按照C-B-D-A顺序，则候场时间为(10+2+1)×20+(10+1)×10+10×10=470(min)；
③按照C-A-B-D顺序，则候场时间为(10+2+1)×20+(2+1)×30+1×10=360(min)；
④按照B-C-A-D顺序，则候场时间为(10+10+1)×10+ (10+1)×20+1×30=460(min)；
⑤按照B-C-D-A顺序，则候场时间为(10+10+1)×10+(10+1)×20+10×10=530(min)；
⑥按照B-D-C-A顺序，则候场时间为(10+10+1)×10+(10+10)×10+10×20=610(min).
所以按照C-A-B-D顺序彩排，候场时间之和最小.
故答案为：60，C-A-B-D.
【分析】根据候场时间定义计算即可，若使这23位演员的候场时间之和最小，则节目应按：C-A-B-D顺序排序.
13．（7.1为什么要证明—数学北师大版八年级上册）下列推理正确的是　 　（填序号）.
①弟弟今年13岁，哥哥比弟弟大6岁，到了明年，哥哥比弟弟只大5岁了，因为明年弟弟长大了1岁；
②如果a＝b，b＝c，那么a＝c；
③全等三角形的对应角相等；
④∠A与∠B相等，原因是它们看起来大小差不多；
⑤因为对顶角必然相等，所以相等的角也必定是对顶角.
【答案】②③
【知识点】角的大小比较；推理与论证；对顶角及其性质；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：①、错误，因为哥哥和弟弟的年龄同时增长；
②、正确，如果a=b，b=c，则a=c；
③、正确，全等三角形的对应角相等；
④、错误，两角相等它们看起来应一样大；
⑤错误，相等角不一定是对顶角，
故答案为：②③.
【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案.
三、解答题（共7题；共61分)
14．（7.3第2课时 平行线的性质—数学北师大版八年级上册）如图，点E，F分别在AB，CD上，AF⊥CE于点O，∠1＝∠B，∠A＋∠2＝90°.求证：AB∥CD.请填空：
证明：∵AF⊥CE（已知），
∴∠AOE＝90°（　 　）.
∵∠1＝∠B（　 　），
∴　 　（　 　）.
∴∠AFB＝∠AOE（　 　）.
∴∠AFB＝90°（　 　）.
又∵∠AFC＋∠AFB＋∠2＝　 　（平角的定义），
∴∠AFC＋∠2＝　 　.
又∵∠A＋∠2＝90°（已知），
∴∠A＝∠AFC（　 　）.
∴　 　（内错角相等，两直线平行）.
【答案】垂直的定义；已知；CE∥BF；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；等量代换；180°；90°；同角的余角相等；AB∥CD
【知识点】同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】证明：∵AF⊥CE（已知），
∴∠AOE＝90°（ 垂直的定义 ）.
∵∠1＝∠B（ 已知 ），
∴CE∥BF（ 同位角相等，两直线平行 ）.
∴∠AFB＝∠AOE（ 两直线平行，同位角相等 ）.
∴∠AFB＝90°（等量代换）.
又∵∠AFC＋∠AFB＋∠2＝180°（平角的定义），
∴∠AFC＋∠2＝90°.
又∵∠A＋∠2＝90°（已知），
∴∠A＝∠AFC（同角的余角相等）.
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）.
故答案为： 垂直的定义； 已知；CE∥BF； 同位角相等，两直线平行； 两直线平行，同位角相等；等量代换；180°；90°；同角的余角相等；AB∥CD.
【分析】根据 垂直得定义、平行线的判定定理（如同位角相等、内错角相等）知∠AFB＝∠AOE=90°，从而得∠AFC＋∠2＝∠A＋∠2＝90°，即∠A＝∠AFC，再根据“内错角相等，两直线平行”得AB∥CD.
15．（北师大版数学八年级上册7.1 第1课时 为什么要证明 同步练习）一个三位正整数，它的百位数字与个位数字相等，我们把这样的三位正整数叫作“对称数”，如101，232，555等都是“对称数”.
观察：101－(1＋0＋1)＝99＝9×11；
232－(2＋3＋2)＝225＝9×25；
555－(5＋5＋5)＝540＝9×60；…
猜想：将“对称数”减去其各位数字之和，所得结果能够被 9 整除.
验证：
（1）若这个“对称数”是979，请通过计算验证猜想；
（2）设一个对称数的百位数字与个位数字均为a，十位数字为b，请你通过推理说明猜想是正确的.
【答案】（1）解：979－(9＋7＋9)＝954＝9×106，
故“对称数”979满足这个猜想
（2）解：设三位数，则：
100a+10b+a-(a+b+a)
=100a+10b+a-a-b-a
=99a+9b
=9(11a+b)，
∵9(11a+b)能被9整除
∴100a+10b+a-(a+b+a)能被9整除
∴小红的猜想是正确的
【知识点】有理数混合运算的实际应用；猜想与证明
【解析】【分析】(1)根据题意，举出两个对称数并进行计算验证即可；
(2)设三位数，则100+10b+a-(a+b+a)去括号合并化简即可说明小红的猜想是正确的.
16．（2025八上·石家庄月考）如图，在中，点D是边上一点，点E是边延长线上一点，，点F为外一点，连接，，，，求证：．
【答案】证明：∵，
∴，即，
∵，
∴，
在与中，
，
∴．
【知识点】三角形全等的判定-AAS；线段的和、差、倍、分的简单计算；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】先利用线段的和差及等量代换可得，再利用平行线的性质可得，最后利用“AAS”证出即可.
17．（北师大版初中数学八年级上学期单元练第7章命题与证明测评）
（1）如图，DE∥BC，∠1=∠3，CD⊥AB，试说明FG⊥AB.
（2）若把(1)中的题设中的“DE∥BC”与结论“FG⊥AB”对调，所得命题是不是真命题 试说明理由.
【答案】（1）解：∵DE∥BC，
∴∠1=∠2.
∵∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∴CD∥FG，
∴∠BFG=∠BDC.
又∵CD⊥AB，
∴∠BFG=∠BDC=90°，
∴FG⊥AB.
（2）解：所得命题是真命题.理由：
∵FG⊥AB，CD⊥AB，
∴∠BFG=∠BDC=90°，
∴FG∥CD，
∴∠2=∠3.
∵∠1=∠3，
∴∠1=∠2，
∴DE∥BC.
【知识点】真命题与假命题；证明的含义与一般步骤；同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】(1)由DE||BC得∠1=∠2，结合∠1=∠3得CD||FG，由CD⊥AB得FG⊥AB；
(2)由FG⊥AB，CD⊥AB得FG||CD，由此得∠2=∠3，又∠1=∠3得∠1=∠2，即得DE||BC.
18．（2024八上·东莞期中）我们定义：
【概念理解】
在一个三角形中，如果一个角的度数是另一个角度数的 4 倍，那么这样的三角形我们称之为“完美三角形”．如：三个内角分别为 130°，40°，10°的三角形是“完美三角形”.
【简单应用】
如图 1，∠MON=72°，在射线OM上找一点A，过点A作AB⊥OM 交ON于点B，以A为端点作射线AD，交线段OB 于点C（点 C不与 O，B重合）
（1）∠ABO＝ ，△AOB__________（填“是”或“不是”）“完美三角形”；
（2）若∠ACB＝90°，求证：△AOC是“完美三角形”．
【应用拓展】
如图 2，点D在△ABC 的边AB上，连接DC，作∠ADC的平分线交AC于点E，在DC上取点F，使，．若△BCD是“完美三角形”， 求∠B的度数．
【答案】【简单应用】：（1）18°，是；
（2）证明：
是“完美三角形”
（3）
是“完美三角形”
【知识点】三角形内角和定理；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】（1）∠ABO=90°-∠MON =18°，
∵∠MON=4∠ABO
∴△AOB是“完美三角形”；
故答案为：18°，是
【分析】本题考查三角形的角度计算，平行线的性质，角平分线的性质.
（1）根据直角三角形两锐角互余可求出∠ABO=18°，根据∠MON=4∠ABO，可推出 △AOB 完美三角形；
（2）根据垂直的性质与三角形的内角和可求出∠OAC，据此可得：，利用完美三角形的定义可推出△AOC是“完美三角形”
（3）先利用角的运算可得∠EFC=∠ADC，根据同位角相等，两直线平行可证明，利用平行线的性质两直线平行，同位角相等可得：∠DEF=∠ADE，进而可得：根据同位角相等，两直线平行可得：，利用平行线的性质：两直线平行，内错角相等可推出∠CDE=∠BCD，再根据△BCD是“完美三角形”，可得，再根据三角形的内角和可求出∠B的度数.
19．（2024八上·南山期末）【问题呈现】
如图①，已知线段，相交于点，连结，，我们把形如这样的图形称为“字型”．
（1）证明：．
（2）【问题探究】
继续探究，如图②，、分别平分、，、交于点，求与、之间的数量关系．为了研究这一问题，尝试代入、的值求的值，得到下面几组对应值：
表中　 　，猜想得到与、的数量关系为　 　；
（3）证明（）中猜想得到的与、的数量关系；
（单位：度）
（单位：度）
（单位：度）
【答案】（1）证明：在中，，
在中，，
∵，
∴；
（2）；
（3）证明：∵、分别平分、，
∴，
由（）得，①，②，
由，得：，
∴，
【知识点】角的运算；三角形内角和定理；对顶角及其性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（）解：由表格可得，
当时，有，
当时，有，
∴，
解得，
由此猜想，
故答案为：，；
【分析】（1）利用三角形内角和定理和对顶角相等，即可证明；
（2）根据表格中的数据可得，猜想得，即可得解；
（3）根据角平分线的定义得到，，再根据“字型”得到，，两等式相减得到，即可得解．
20．已知：如图，点C在∠AOB的一边OA上，过点C的直线DE∥OB，CF平分∠ACD，CG⊥CF于C．
（1）若∠O＝40°，求∠ECF的度数；
（2）求证：CG平分∠OCD；
（3）当∠O为多少度时，CD平分∠OCF，并说明理由．
【答案】（1）解：∵DE∥OB，
∴∠O＝∠ACE，（两直线平行，同位角相等）
∵∠O＝40°，
∴∠ACE＝40°，
∵∠ACD+∠ACE＝180°，（平角的定义）
∴∠ACD＝140°，
又∵CF平分∠ACD，
∴∠ACF＝70°，（角平分线定义）
∴∠ECF＝70°+40°＝110°；
（2）证明：∵CG⊥CF，
∴∠FCG＝90°，
∴∠DCG+∠DCF＝90°，
又∵∠AOC＝180°，（平角的定义）
∴∠GCO+∠FCA＝90°，
∵∠ACF＝∠DCF，
∴∠GCO＝∠GCD，（等角的余角相等）
即CG平分∠OCD．
（3）解：结论：当∠O＝60°时，CD平分∠OCF．
理由：当∠O＝60°时，
∵DE∥OB，
∴∠DCO＝∠O＝60°．
∴∠ACD＝120°．
又∵CF平分∠ACD，
∴∠DCF＝60°，
∴∠DCO＝∠DCF，
即CD平分∠OCF．
【知识点】角平分线的概念；余角；两直线平行，同位角相等
【解析】【分析】(1)根据平行线的性质，得到∠ACE=40°，根据平角的定义以及角平分线的定义，即可得到∠ACF=70°，进而得出∠ECF的度数；
(2)根据∠DCG+∠DCF＝90°，∠GCO+∠FCA＝90°，以及∠ACF＝∠DCF，运用等角的余角相等，即可得到∠GCO＝∠GCD，即CC平分∠OCD；
(3)当∠O＝60°时，根据平行线的性质，得出∠DCO＝∠O＝60°，再根据角平分线的概念，即可得到∠DCF＝60°，进而即可得出结论.
1 / 1第七章 命题与证明提升卷一北师大版数学八(上)单元分层测
一、选择题（本大题共8小题, 每小题3分, 共24分, 每小题有四个选项, 其中只有一个是正确的）
1．（7.2第3课时 定理与证明 —数学北师大版八年级上册）下列不是公理的是（　　）
A．对顶角相等
B．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
C．同位角相等，两直线平行
D．三边分别相等的两个三角形全等
2．（7.3第2课时 平行线的性质—数学北师大版八年级上册）如图，直线l∥AB，∠A＝2∠B.若∠1＝108°，则∠2的度数为（　　）
A．36° B．46° C．72° D．82°
3．（2025八上·石家庄月考）如图，，添加下列条件，还不能使成立的是（　　）
A． B． C． D．
4．（7.3第2课时 平行线的性质—数学北师大版八年级上册）如图，直线a∥b，一个三角尺的直角顶点在直线a上，两直角边均与直线b相交，若∠1＝40°，则∠2＝（　　）
A．40° B．50° C．60° D．65°
5．为说明命题“若m＜n，则m2＜n2”是假命题，下列反例正确的是（　　）
A．m＝﹣2，n＝1 B．m＝2，n＝1
C．m＝﹣1，n＝2 D．m＝﹣1，n＝﹣2
6．（北师大版数学八年级上册 7.1 第1课时分层练习）能说明“n2＋3n＋1一定是质数”不正确的反例是（　　）
A．n＝4 B．n＝5 C．n＝6 D．n＝7
7．（北师大版数学八年级上册 7.1 第1课时分层练习）图中小圆圈表示网络的结点，结点之间的连接表示它们有网线相连，相连标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量.现从结点A向结点B传递信息，若信息可以分开沿不同路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为（　　）
A．11 B．10 C．8 D．7
8．（2025八上·西湖月考）如图，在中，，，，是边上的中线，过点C作的垂线交于点E，交于点F，连结．若记为α，为β，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共5小题, 每小题3分, 共15分）
9．（7.3第2课时 平行线的性质—数学北师大版八年级上册）如图，AB∥CD，BC∥ED，∠B＝80°，则∠D＝　 　.
10．（北师大版数学八年级上册7.1 第1课时 为什么要证明 同步练习）当n＝1，2，3，4，5，6，7，8，9，10时，代数式n2＋3n＋2的值总是一个合数，那么对于所有的自然数n，代数式n2＋3n＋2的值　 　(填“一定”或“不一定”)是合数.
11．对于命题“若a＞b，则a2＞b2”，举出能说明这个命题是假命题的一组a，b的值，则a＝　 　，b＝　 　．
12．（7.1 为什么要证明 分层练习—数学北师大版八年级上册）联欢会有A，B，C，D四个节目需要彩排.所有演员到场后节目彩排开始.一个节目彩排完毕，下一个节目彩排立即开始.每个节目的演员人数和彩排时长(单位：min)如下：
节目 A B C D
演员人数 10 2 10 1
彩排时长 30 10 20 10
已知每位演员只参演一个节目，一位演员的候场时间是指从第一个彩排的节目开始彩排到这位演员参演的节目开始彩排的时间间隔(不考虑换场时间等其他因素).
若节目按“A-B-C-D”的先后顺序彩排，则节目D的演员的候场时间为　 　min；若使这23位演员的候场时间之和最小，则节目应按　 　的先后顺序彩排.
13．（7.1为什么要证明—数学北师大版八年级上册）下列推理正确的是　 　（填序号）.
①弟弟今年13岁，哥哥比弟弟大6岁，到了明年，哥哥比弟弟只大5岁了，因为明年弟弟长大了1岁；
②如果a＝b，b＝c，那么a＝c；
③全等三角形的对应角相等；
④∠A与∠B相等，原因是它们看起来大小差不多；
⑤因为对顶角必然相等，所以相等的角也必定是对顶角.
三、解答题（共7题；共61分)
14．（7.3第2课时 平行线的性质—数学北师大版八年级上册）如图，点E，F分别在AB，CD上，AF⊥CE于点O，∠1＝∠B，∠A＋∠2＝90°.求证：AB∥CD.请填空：
证明：∵AF⊥CE（已知），
∴∠AOE＝90°（　 　）.
∵∠1＝∠B（　 　），
∴　 　（　 　）.
∴∠AFB＝∠AOE（　 　）.
∴∠AFB＝90°（　 　）.
又∵∠AFC＋∠AFB＋∠2＝　 　（平角的定义），
∴∠AFC＋∠2＝　 　.
又∵∠A＋∠2＝90°（已知），
∴∠A＝∠AFC（　 　）.
∴　 　（内错角相等，两直线平行）.
15．（北师大版数学八年级上册7.1 第1课时 为什么要证明 同步练习）一个三位正整数，它的百位数字与个位数字相等，我们把这样的三位正整数叫作“对称数”，如101，232，555等都是“对称数”.
观察：101－(1＋0＋1)＝99＝9×11；
232－(2＋3＋2)＝225＝9×25；
555－(5＋5＋5)＝540＝9×60；…
猜想：将“对称数”减去其各位数字之和，所得结果能够被 9 整除.
验证：
（1）若这个“对称数”是979，请通过计算验证猜想；
（2）设一个对称数的百位数字与个位数字均为a，十位数字为b，请你通过推理说明猜想是正确的.
16．（2025八上·石家庄月考）如图，在中，点D是边上一点，点E是边延长线上一点，，点F为外一点，连接，，，，求证：．
17．（北师大版初中数学八年级上学期单元练第7章命题与证明测评）
（1）如图，DE∥BC，∠1=∠3，CD⊥AB，试说明FG⊥AB.
（2）若把(1)中的题设中的“DE∥BC”与结论“FG⊥AB”对调，所得命题是不是真命题 试说明理由.
18．（2024八上·东莞期中）我们定义：
【概念理解】
在一个三角形中，如果一个角的度数是另一个角度数的 4 倍，那么这样的三角形我们称之为“完美三角形”．如：三个内角分别为 130°，40°，10°的三角形是“完美三角形”.
【简单应用】
如图 1，∠MON=72°，在射线OM上找一点A，过点A作AB⊥OM 交ON于点B，以A为端点作射线AD，交线段OB 于点C（点 C不与 O，B重合）
（1）∠ABO＝ ，△AOB__________（填“是”或“不是”）“完美三角形”；
（2）若∠ACB＝90°，求证：△AOC是“完美三角形”．
【应用拓展】
如图 2，点D在△ABC 的边AB上，连接DC，作∠ADC的平分线交AC于点E，在DC上取点F，使，．若△BCD是“完美三角形”， 求∠B的度数．
19．（2024八上·南山期末）【问题呈现】
如图①，已知线段，相交于点，连结，，我们把形如这样的图形称为“字型”．
（1）证明：．
（2）【问题探究】
继续探究，如图②，、分别平分、，、交于点，求与、之间的数量关系．为了研究这一问题，尝试代入、的值求的值，得到下面几组对应值：
表中　 　，猜想得到与、的数量关系为　 　；
（3）证明（）中猜想得到的与、的数量关系；
（单位：度）
（单位：度）
（单位：度）
20．已知：如图，点C在∠AOB的一边OA上，过点C的直线DE∥OB，CF平分∠ACD，CG⊥CF于C．
（1）若∠O＝40°，求∠ECF的度数；
（2）求证：CG平分∠OCD；
（3）当∠O为多少度时，CD平分∠OCF，并说明理由．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】三角形全等的判定-SSS；三角形全等的判定-ASA；对顶角及其性质；同位角相等，两直线平行；公理的概念
【解析】【解答】解： 对顶角相等通常作为定理存在。在欧几里得几何中，对顶角相等需通过“等角的补角相等”等公理推导得出，因此属于定理而非公理；
“两角及其夹边分别相等的两个三角形全等”（ASA公理）是三角形全等的基本公理之一，无需证明，属于公理；
“同位角相等，两直线平行”是平行公理的直接表述，属于公理范畴；
“三边分别相等的两个三角形全等”（SSS公理）是三角形全等的公理之一，无需证明，属于公理。
故答案为：A.
【分析】 公理是无需证明的基本事实，而定理需要通过公理或已证命题推导得出。
2．【答案】A
【知识点】两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：如图，
∵ 直线l∥AB ，
∴∠3+∠A=180°，∠2=∠B，
又∵∠3=∠1=108°，
∴∠A=180°-∠3=72°，
∵ ∠A＝2∠B ，
∴∠B=36°，
∴∠2=36°，
故答案为：A.
【分析】根据平行线性质知∠3+∠A=180°，∠2=∠B，结合题意计算∠2的度数即可.
3．【答案】C
【知识点】三角形全等的判定；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：，
，
A．添加可得，可利用判定，故此选项不合题意；
B．添加可利用判定，故此选项不合题意；
C．添加不能判定，故此选项符合题意；
D．添加可利用判定，故此选项不合题意；
故答案为：C．
【分析】利用三角形全等的判定方法：ASA（两角及其夹边分别相等的两个三角形全等）、SAS（两边及其夹角分别相等的两个三角形全等）、AAS（两角及其一角对应的边相等的两个三角形全等）、SSS（三边分别相等的两个三角形全等）和HL（在直角三角形中，斜边和直角边对应相等的两个三角形全等）逐项分析判断即可.
4．【答案】B
【知识点】两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：据题意知：∠1+∠3=90°，
∵ ∠1＝40°，
∴∠3=50°，
∵a∥b，
∴∠2=∠3=50°，
故答案为：B.
【分析】根据题意知∠1与∠3互余，再根据平行线性质知∩3=∠2，从而计算出∠2的度数即可.
5．【答案】A
【知识点】举反例判断命题真假
【解析】【解答】解：如果满足条件，不满足结论，即为“若m＜n，则m2＜n2”是假命题，由此可得：
A、∵m＝﹣2，n＝1，则满足m＜n，但不满足m2＜n2，故该选项符合题意；
B、∵m＝2，n＝1，则不满足m＜n，也不满足m2＜n2，故该选项不符合题意；
C、∵m＝﹣1，n＝2，则满足m＜n，但满足m2＜n2，故该选项不符合题意；
D、∵m＝﹣1，n＝﹣2，则不满足m＜n，但满足m2＜n2，故该选项不符合题意．
故选：A．
【分析】如果满足条件，不满足结论，即为“若m6．【答案】C
【知识点】举反例判断命题真假；猜想与证明
【解析】【解答】解：A.n=4，n2+3n+1=16+12+1=29，故本选项错误；
B.n=5，n2+3n+1=25+15+1=41，故本选项错误；
C.n=6，n2+3n+1=36+18+1=55，故本选项正确；
D.n=7，n2+3n+1=49+21+1=71，故本选项错误；
故答案为：D.
【分析】将各选项中的n值代入表达式n2+3n+1，计算结果并判断是否为质数，若结果不是质数则为反例.
7．【答案】C
【知识点】推理与论证
【解析】【解答】解：由于信息可以分开沿不同路线同时传递，
∴从结点A向结点B传递信息可经过结点D和结点B；
又∵从结点A到结点D的最大信息量为5，从结点到结点B的最大信息量为3，
∴从结点A向结点B传递信息，若信息可以分开沿不同路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为5+3=8.
故选：C.
【分析】先找出从结点A向结点B传递信息可沿A-C-B和A-D-B路线同时传递，再找出每条路线通过的最大信息量，然后相加即可得到答案.
8．【答案】B
【知识点】三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS；平行线的应用-证明问题；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：过点B作交的延长线于点G，如图：
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
又∵，
∴，
∴．
∵点D是的中点，
∴，
∴．
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
故答案为：B．
【分析】过点B作交的延长线于点G，由同旁内角互补两直线平行得出BG∥AC，由二直线平行，内错角相等得 ，由角的构成、直角三角形两锐角互余及同角的余角相等得， 从而用“AAS”证明，由全等三角形的对应边相等可得BG=CD，结合中点定义得BG=BD，再用“SAS”证，得，即可得．
9．【答案】100°
【知识点】两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：∵ AB∥CD，
∴∠C=∠B=80°，
∵BC∥ED，
∴∠C+∠D=180°，
∴∠D=180°-80°=100°.
故答案为：100°.
【分析】根据“两直线平行，内错角相等”得∠C=∠B，根据“两直线平行，同旁内角互补”得∠C+∠D=180°，从而知 ∠D 的度数.
10．【答案】不一定
【知识点】归纳与类比；猜想与证明
【解析】【解答】解：合数是除了它本身和1之外，还有别的约数的数，
当自然数n=0时，代数式n2+3n+2的值为：02+3×0+2=2.
而2的约数只有它本身和1，它是质数
∴对于所有的自然数n，代数式n2+3n-2的值不一定是合数，
故答案为：不一定.
【分析】先明确自然数的范围，再通过代入特殊值判断代数式的值是否一定为合数.
11．【答案】﹣2；﹣3
【知识点】有理数的乘方法则；举反例判断命题真假；有理数的大小比较-直接比较法
【解析】【解答】解：当a＝﹣2，b＝﹣3时，﹣2＞﹣3，而＜，
说明命题“若a＞b，则a2＞b2”是假命题，
故答案为：﹣2；﹣3(答案不唯一).
【分析】根据有理数的大小比较、有理数的乘方法则判断即可.
12．【答案】60；C-A-B-D
【知识点】归纳与类比；猜想与证明
【解析】【解答】解：节目D的演员的候场时间为30+10+20=60(min)；
由题意，得节目A和C演员人数一样，彩排时长不一样，那么时长长的节目应该放在后面，那么C在A的前面；B和D彩排时长一样，人数不一样，那么人数少的应该往后排，这样等待时长会短一些，那么B在D前面.
所以①按照C-B-A-D顺序，则候场时间为(10+2+1)×20+(10+1)×10+1×30=400(min)；
②按照C-B-D-A顺序，则候场时间为(10+2+1)×20+(10+1)×10+10×10=470(min)；
③按照C-A-B-D顺序，则候场时间为(10+2+1)×20+(2+1)×30+1×10=360(min)；
④按照B-C-A-D顺序，则候场时间为(10+10+1)×10+ (10+1)×20+1×30=460(min)；
⑤按照B-C-D-A顺序，则候场时间为(10+10+1)×10+(10+1)×20+10×10=530(min)；
⑥按照B-D-C-A顺序，则候场时间为(10+10+1)×10+(10+10)×10+10×20=610(min).
所以按照C-A-B-D顺序彩排，候场时间之和最小.
故答案为：60，C-A-B-D.
【分析】根据候场时间定义计算即可，若使这23位演员的候场时间之和最小，则节目应按：C-A-B-D顺序排序.
13．【答案】②③
【知识点】角的大小比较；推理与论证；对顶角及其性质；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：①、错误，因为哥哥和弟弟的年龄同时增长；
②、正确，如果a=b，b=c，则a=c；
③、正确，全等三角形的对应角相等；
④、错误，两角相等它们看起来应一样大；
⑤错误，相等角不一定是对顶角，
故答案为：②③.
【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案.
14．【答案】垂直的定义；已知；CE∥BF；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；等量代换；180°；90°；同角的余角相等；AB∥CD
【知识点】同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】证明：∵AF⊥CE（已知），
∴∠AOE＝90°（ 垂直的定义 ）.
∵∠1＝∠B（ 已知 ），
∴CE∥BF（ 同位角相等，两直线平行 ）.
∴∠AFB＝∠AOE（ 两直线平行，同位角相等 ）.
∴∠AFB＝90°（等量代换）.
又∵∠AFC＋∠AFB＋∠2＝180°（平角的定义），
∴∠AFC＋∠2＝90°.
又∵∠A＋∠2＝90°（已知），
∴∠A＝∠AFC（同角的余角相等）.
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）.
故答案为： 垂直的定义； 已知；CE∥BF； 同位角相等，两直线平行； 两直线平行，同位角相等；等量代换；180°；90°；同角的余角相等；AB∥CD.
【分析】根据 垂直得定义、平行线的判定定理（如同位角相等、内错角相等）知∠AFB＝∠AOE=90°，从而得∠AFC＋∠2＝∠A＋∠2＝90°，即∠A＝∠AFC，再根据“内错角相等，两直线平行”得AB∥CD.
15．【答案】（1）解：979－(9＋7＋9)＝954＝9×106，
故“对称数”979满足这个猜想
（2）解：设三位数，则：
100a+10b+a-(a+b+a)
=100a+10b+a-a-b-a
=99a+9b
=9(11a+b)，
∵9(11a+b)能被9整除
∴100a+10b+a-(a+b+a)能被9整除
∴小红的猜想是正确的
【知识点】有理数混合运算的实际应用；猜想与证明
【解析】【分析】(1)根据题意，举出两个对称数并进行计算验证即可；
(2)设三位数，则100+10b+a-(a+b+a)去括号合并化简即可说明小红的猜想是正确的.
16．【答案】证明：∵，
∴，即，
∵，
∴，
在与中，
，
∴．
【知识点】三角形全等的判定-AAS；线段的和、差、倍、分的简单计算；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】先利用线段的和差及等量代换可得，再利用平行线的性质可得，最后利用“AAS”证出即可.
17．【答案】（1）解：∵DE∥BC，
∴∠1=∠2.
∵∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∴CD∥FG，
∴∠BFG=∠BDC.
又∵CD⊥AB，
∴∠BFG=∠BDC=90°，
∴FG⊥AB.
（2）解：所得命题是真命题.理由：
∵FG⊥AB，CD⊥AB，
∴∠BFG=∠BDC=90°，
∴FG∥CD，
∴∠2=∠3.
∵∠1=∠3，
∴∠1=∠2，
∴DE∥BC.
【知识点】真命题与假命题；证明的含义与一般步骤；同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】(1)由DE||BC得∠1=∠2，结合∠1=∠3得CD||FG，由CD⊥AB得FG⊥AB；
(2)由FG⊥AB，CD⊥AB得FG||CD，由此得∠2=∠3，又∠1=∠3得∠1=∠2，即得DE||BC.
18．【答案】【简单应用】：（1）18°，是；
（2）证明：
是“完美三角形”
（3）
是“完美三角形”
【知识点】三角形内角和定理；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】（1）∠ABO=90°-∠MON =18°，
∵∠MON=4∠ABO
∴△AOB是“完美三角形”；
故答案为：18°，是
【分析】本题考查三角形的角度计算，平行线的性质，角平分线的性质.
（1）根据直角三角形两锐角互余可求出∠ABO=18°，根据∠MON=4∠ABO，可推出 △AOB 完美三角形；
（2）根据垂直的性质与三角形的内角和可求出∠OAC，据此可得：，利用完美三角形的定义可推出△AOC是“完美三角形”
（3）先利用角的运算可得∠EFC=∠ADC，根据同位角相等，两直线平行可证明，利用平行线的性质两直线平行，同位角相等可得：∠DEF=∠ADE，进而可得：根据同位角相等，两直线平行可得：，利用平行线的性质：两直线平行，内错角相等可推出∠CDE=∠BCD，再根据△BCD是“完美三角形”，可得，再根据三角形的内角和可求出∠B的度数.
19．【答案】（1）证明：在中，，
在中，，
∵，
∴；
（2）；
（3）证明：∵、分别平分、，
∴，
由（）得，①，②，
由，得：，
∴，
【知识点】角的运算；三角形内角和定理；对顶角及其性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（）解：由表格可得，
当时，有，
当时，有，
∴，
解得，
由此猜想，
故答案为：，；
【分析】（1）利用三角形内角和定理和对顶角相等，即可证明；
（2）根据表格中的数据可得，猜想得，即可得解；
（3）根据角平分线的定义得到，，再根据“字型”得到，，两等式相减得到，即可得解．
20．【答案】（1）解：∵DE∥OB，
∴∠O＝∠ACE，（两直线平行，同位角相等）
∵∠O＝40°，
∴∠ACE＝40°，
∵∠ACD+∠ACE＝180°，（平角的定义）
∴∠ACD＝140°，
又∵CF平分∠ACD，
∴∠ACF＝70°，（角平分线定义）
∴∠ECF＝70°+40°＝110°；
（2）证明：∵CG⊥CF，
∴∠FCG＝90°，
∴∠DCG+∠DCF＝90°，
又∵∠AOC＝180°，（平角的定义）
∴∠GCO+∠FCA＝90°，
∵∠ACF＝∠DCF，
∴∠GCO＝∠GCD，（等角的余角相等）
即CG平分∠OCD．
（3）解：结论：当∠O＝60°时，CD平分∠OCF．
理由：当∠O＝60°时，
∵DE∥OB，
∴∠DCO＝∠O＝60°．
∴∠ACD＝120°．
又∵CF平分∠ACD，
∴∠DCF＝60°，
∴∠DCO＝∠DCF，
即CD平分∠OCF．
【知识点】角平分线的概念；余角；两直线平行，同位角相等
【解析】【分析】(1)根据平行线的性质，得到∠ACE=40°，根据平角的定义以及角平分线的定义，即可得到∠ACF=70°，进而得出∠ECF的度数；
(2)根据∠DCG+∠DCF＝90°，∠GCO+∠FCA＝90°，以及∠ACF＝∠DCF，运用等角的余角相等，即可得到∠GCO＝∠GCD，即CC平分∠OCD；
(3)当∠O＝60°时，根据平行线的性质，得出∠DCO＝∠O＝60°，再根据角平分线的概念，即可得到∠DCF＝60°，进而即可得出结论.
1 / 1

展开更多......

收起↑