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第七章 命题与证明培优卷一北师大版数学八(上)单元分层测
一、选择题（本大题共8小题, 每小题3分, 共24分, 每小题有四个选项, 其中只有一个是正确的）
1．如图，探照灯、锅形天线、汽车灯以及其他很多灯具都与抛物线形状有关，如图所示是一探照灯灯碗的纵剖面，从位于O点的灯泡发出的两束光线OB，OC经灯碗反射以后平行射出.如果图中∠ABO=α，∠DCO=β，则∠BOC的度数为(　　)
A．180°-α-β B．α+β
C．(α+β) D．90°+(β-α)
【答案】B
【知识点】平行公理的推论；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：过O点向左作射线OE，使 ，则OE∥CD，
即
故选： B.
【分析】过O点向左作射线OE，使 ，利用平行线的性质，得内错角相等，从而得到结论
2．（北师大版数学八年级上册 7.1 第1课时分层练习）布鲁斯先生、他的妹妹、他的儿子，还有他的女儿都是网球选手.这四人中有以下情况：①最佳选手的孪生同胞与最差选手性别不同：②最佳选手与最差选手年龄相同.则这四人中最佳选手是（　　）
A．布鲁斯先生 B．布鲁斯先生的妹妹
C．布鲁斯先生的儿子 D．布鲁斯先生的女儿
【答案】D
【知识点】推理与论证
【解析】【解答】解：由①和②可知，最佳选手的孪生同胞与最差选手不是同一个人，因此一定是其中的三个人的年龄相同，布鲁斯先生很显然比他的儿子和女儿大，则其中年龄相同的三个人是布鲁斯先生的儿子、女儿和妹妹，由此，布鲁斯先生的儿子和女儿必定是①中所指的孪生同胞，所以布鲁斯先生的儿子或女儿是最佳选手，最差选手是布鲁斯先生的妹妹.由①知，最佳选手的孪生同胞一定是布鲁斯先生的儿子，则最佳选手就是布鲁斯先生的女儿.
故选：D.
【分析】根据题意，可以判断出其中的三个人年龄相同，再根据实际可知其中年龄相同的三个人是布鲁斯先生的儿子、女儿和妹妹，从而可以得到最差选手和最佳选手，本题得以解决.
3．小强在证明“角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上”给出如下过程：
关于这个证明，下面说法正确的是(　　)
A．小强用到了从特殊到一般的方法证明该定理
B．只要测量一百个到角的两边的距离相等的点都在角的平分线上，就能证明该定理
C．不能只用这个角，还需要用其它角度进行测量验证，该定理的证明才完整
D．小强的方法可以用作猜想，但不属于严谨的推理证明
【答案】D
【知识点】角平分线的性质；推理与论证
【解析】【解答】解：小强通过测量得∠AOC＝23°，∠BOC＝23°，得出∠AOC＝∠BOC，这种测量的方法证明结论，具有偶然性，缺少推理的依据，不严谨，
所以小强的方法可以用作猜想，但不属于严谨的推理证明．
故选：D．
【分析】根据“角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上”的推理过程即可求解.
4．如图，AB、CD是两面平行放置的平面镜，一束光线MP在点P处经平面镜CD反射后得到光线PN，PN在点N处经平面镜AB反射后得到光线NQ，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，若∠MPN＝70°，则∠4的度数为（　　）
A．35° B．40° C．50° D．55°
【答案】D
【知识点】角的运算；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵两块平面镜平行放置，
∴AB∥CD，
∴∠2＝∠3（两直线平行，内错角相等），
∵∠MPN＝70°，
∴，
∴∠3＝∠2＝55°，
∴∠4＝∠3＝55°（等量代换），
即∠4的度数为55°，
故选：D．
【分析】由平行线的性质得出∠2=∠3，由平角的性质得出∠1=∠2=55°，进而即可得解.
5．（7.3第2课时 平行线的性质—数学北师大版八年级上册）一把直尺和一个含30°角的直角三角板按如图所示的方式放置.若∠1＝20°，则∠2＝（　　）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【答案】B
【知识点】两直线平行，内错角相等；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：如图，
据题意知，∠2+∠3=60°，
据图知，∠3=∠1=20°，
∴∠2=60°-20°=40°.
故答案为：B.
【分析】据题意知∠2+∠3=60°，根据平行线性质知∠3=∠1，从而得∠2的度数.
6．（2025八上·义乌期末）下列选项中，可以用来说明命题是假命题的反例是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】举反例判断命题真假
【解析】【解答】解：A、满足，故该选项不符合题意；
B、不满足，故该选项符合题意；
C、满足，故该选项不符合题意；
D、满足，故该选项不符合题意；
故选：B
【分析】
当命题的条件成立时，结论也一定成立的命题叫做真命题；当命题的条件成立时，不能保证命题的结论总是成立的命题叫做假命题．可利用举反例法逐项分析即可．
7．（2023八上·宜都月考）如图，在和中，，，．连接，连接并延长交，于点，．若恰好平分，则下列结论；；；中，正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】平行线的判定；三角形内角和定理；角平分线的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：①，
，即，
在和中，
，
，
，故①选项符合题意；
，故④选项符合题意；
②，
，
，
，
平分，
，
，
，
（内错角相等，两直线平行），
故②选项符合题意；
根据已知条件无法证明，故③选项不符合题意．
故答案为：C．
【分析】先利用“SAS”证出，再利用全等三角形的性质可得，再利用平行线的判定方法和性质逐项分析判断即可.
8．如图，已知AB∥CD，点E在B，D连线的右侧，∠ABE与∠CDE 的平分线相交于点 F，则下列说法中正确的是 (　　)
①∠ABE+∠CDE+∠E=360°；②若∠E=80°，则∠BFD=140°；③若 则 6∠BMD+∠E=360°；④若∠E= 则
A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①②③④
【答案】C
【知识点】角平分线的概念；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：①如图，过点 E 作 EG∥AB，过点F作FH∥AB，则AB∥EG∥FH∥CD，
所以∠ABE+∠BEG= 180°，∠CDE+∠DEG= 180°，
所以∠ABE+∠BEG+∠CDE+∠DEG = 360°， 即∠ABE+∠BED+∠CDE=360°，故①正确.
②因为∠BED=80°，∠ABE+∠BED+∠CDE=360°，
所以∠ABE+∠CDE=280°.
因为 AB∥FH∥CD，
所以 ∠ABF = ∠BFH， ∠CDF =∠DFH，
所 以 ∠BFD = ∠BFH + ∠DFH = 故②正确.
③同理可得，∠BMD =∠ABM+
所以6∠BMD=2(∠ABF+∠CDF) = ∠ABE+∠CDE，
所以6∠BMD+∠BED=360°，故③正确.④由题意无法判断④是否正确，所以①②③正确.
故选：C.
【分析】过点 E 作 EG∥AB，过点F作FH∥AB，则AB∥EG∥FH∥CD，利用平行线同旁内角互补的性质得出∠ABE+∠CDE+∠E=360°，再结合角平分线的性质以及角度之间的关系分别求解∠BFD和∠M的度数.
二、填空题（本大题共5小题, 每小题3分, 共15分）
9．如图，已知，则的关系是　 　．
【答案】
【知识点】平行公理；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：过点作，过点作，
，
，
，，，
，，
由整理得：．
故答案为：．
【分析】过点C作CM//AB，过点D作DN//AB，由AB//EF，即可得AB//CM//DN//EF，然后由两直线平行，内错角相等，即可求得答案.
10．如图，已知AB∥CD，AE和CF分别平分∠BAF和∠DCE，若∠E＝57°，∠AFC＝63°，则∠BAF的度数为　 　.
【答案】46°
【知识点】平行公理及推论；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解： 过点F作FG∥AB， 如图所示，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥FG，
∴∠DCF=∠GFC， ∠BAF=∠GFA，
∵CF平分∠DCE，
∴设∠DCF=∠FCE=x， 则∠GFC=x， ∠GFA=∠AFC-∠GFC=63°-x，
∴∠BAF=∠AFG=63°-X，
在△CFH中，∠CHF=180°-∠FCE-∠AFC=180°-x-63°=117°-x，
∵AE平分∠BAF，
在△AEH中，
∵∠EHA=∠FHC，
解得： x=17°，
∴∠BAF=63°-17°=46°，
故答案为： 46°.
【分析】过点F作FG∥AB，根据平行线的性质得出∠DCF=∠GFC， ∠BAF=∠GFA， 设∠DCF=∠FCE=x， 则∠GFC=x， ∠GFA=∠AFC-∠GFC=63°-X，根据三角形内角和定理及对顶角相等建立方程求解即可.
11．当光线从空气中射入某种液体中时，光线的传播方向发生了变化，在物理学中这种现象叫做光的折射．如图，MN为液面，AB⊥MN于点D，一束光线沿CD射入液面，在点D处发生折射，折射光线为DE，点F为CD的延长线上一点，若入射角∠1＝50°，折射角∠2＝36°，则∠EDF的度数为　 　 ．
【答案】14°
【知识点】角的运算；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：∵点F为CD的延长线上一点，
∴∠1＝∠FDB＝50°，
∴∠EDF＝∠FDB﹣∠2＝50°﹣36°＝14°，
即∠EDF的度数为14°，
故答案为：14°．
【分析】根据对顶角相等求出∠FDB=50°，再计算角的差即可.
12．（2023八上·合川期末）“爆竹声中一岁除，春风送暖入屠苏.千门万户曈曈日，总把新桃换旧符.”春节将至，置办年货是中国寻常百姓家不可或缺的大事.小明随妈妈去置办年货，购买了灯笼、窗花、坚果，其中灯笼每只20元，窗花每张8元，坚果每包150元，若小明和妈妈一共用了428元（三种年货都有购买），则最多能买灯笼　 　只.
【答案】6
【知识点】推理与论证
【解析】【解答】解：先用总价钱减去至少每种年货都买一件的价钱：
(元)，
剩余的250元是三种年货中重复购买部分的价钱，
根据题意，重复购买的年货单价乘它的数量之和必须等于250元；
(只)…10（元），即250元不是全部都买灯笼，则有可能买窗花或坚果，当250元减去买窗花或坚果的价钱后，剩余买灯笼的价钱必须能整除20，
因为20是整十数，
所以，只有再买1包坚果后剩余的钱能整除20：
(元) ，
(只)，
5+1=6(只)，
最多能买灯笼6只.
故答案为：6.
【分析】先利用总价钱减去至少每种年货都买一件的价钱，可知剩余的250元是三种年货中重复购买部分的价钱，根据题意可知重复购买的年货单价乘它的数量之和必须等于250元，根据商品的单价知250元不是全部都买灯笼，则有可能买窗花或坚果，当250元减去买窗花或坚果的价钱后，剩余买灯笼的价钱必须能整除20，由于20是整十数，所以，只有再买1包坚果后剩余的钱能整除20，据此即可求解.
13．（2024八上·北京市期中）2019年11月，联合国教科文组织将每年的3月14日定为“国际数学日”，也被许多人称为“节”．附中今年“节”策划了五个活动，规则如下：
“节”活动规则
·活动前每人先发放两枚“币”
·每参与一个活动消耗两枚“币”
·没有“币”不能参与活动
·每个活动至多参与一次
·挑战成功，按右表发放奖励
·挑战失败，谢谢参与
活动名称 奖励的“币”数量/枚
数独 4
魔方 4
华容道 6
鲁班锁 6
汉诺塔 8
小达参与了所有活动．
（1）若小达只挑战成功一个，则挑战成功的活动名称为　 　；
（2）若小达共挑战成功两个，且他参与的第四个活动成功，则小达最终剩下的“币”数量的所有可能取值为　 　
【答案】汉诺塔；2，4，6
【知识点】推理与论证
【解析】【解答】解：（1）∵小达参与了所有活动，且共有5个活动，
∴小达一共消耗了10枚“币”，
∵活动前小达有两枚“币”，
∴小达通过成功参与活动获得了8枚 “币”，
又∵小达只挑战成功一个，
∴挑战成功的活动名称为汉诺塔，
故答案为：汉诺塔；
（2）∵活动前小达有两枚“币”， 每参与一个活动消耗两枚“币”，且小达参与了所有活动，
∴第一次活动小达必定挑战成功，
∵他参与的第四个活动成功，且他只挑战成功了2次，
∴他参与的第二个，第三个，第五个活动都失败，
∵第一次挑战成功获取的“币”数量能够支持他参与第二，第三，第四次活动，
∴第一次挑战成功获取的“币”数量要大于等于6枚，
∴第一次参加的活动可以为华容道或鲁班锁或汉诺塔；
当第一次参加的活动为华容道时，
若第四次参加的活动为数独或者魔方时，则剩下的“币”数量为枚；
若第四次参加的活动为鲁班锁时，则剩下的“币”数量为枚；
若第四次参加的活动为汉诺塔时，则剩下的“币”数量为枚；
当第一次参加的活动为鲁班锁时，
若第四次参加的活动为数独或者魔方时，则剩下的“币”数量为枚；
若第四次参加的活动为华容道时，则剩下的“币”数量为枚；
若第四次参加的活动为汉诺塔时，则剩下的“币”数量为枚；
当第一次参加的活动为汉诺塔时，
若第四次参加的活动为数独或者魔方时，则剩下的“币”数量为枚；
若第四次参加的活动为华容道时，则剩下的“币”数量为枚；
若第四次参加的活动为鲁班锁时，则剩下的“币”数量为枚；
综上所述，小达最终剩下的“币”数量的所有可能取值为2，4，6，
故答案为：2，4，6．
【分析】（1）由于小达参与了所有活动，则小达一共消耗了10枚“币”，据此可得小达通过成功参与活动获得了8枚 “币”，而小达只挑战成功一个，故挑战成功的活动名称为汉诺塔；
（2）根据题意可得第一次活动小达必定挑战成功，根据他参与的第四个活动成功，且他只挑战成功了2次，那么他参与的第二个，第三个，第五个活动都失败，则第一次挑战成功获取的“币”数量要大于等于6枚，则第一次参加的活动可以为华容道或鲁班锁或汉诺塔；据此讨论第一次参加的活动，在此基础上再讨论第四次参与的活动，用总获得“币”数量加上初始“币”数量减去参与五个活动消耗的“币”数量即可得到答案．
三、解答题（共7题；共61分)
14．如图，已知AB⊥BC于点B，CD⊥BC于点C，∠1＝∠2.求证：BE∥CF.
补全下面的证明过程.
证明：∵AB⊥BC，CD⊥BC，
∴∠　 　＝90°，∠　 　＝90°(　 　)，
∴∠1＋∠3＝90°，∠2＋∠4＝90°.
又∵∠1＝∠2，
∴∠3＝∠4(　 　)，
∴BE∥CF(　 　).
【答案】ABC；BCD；垂直的定义；等角的余角相等；内错角相等，两直线平行
【知识点】内错角相等，两直线平行
【解析】【解答】解：∵AB⊥BC，CD⊥BC，
∴∠ABC＝90°，∠BCD＝90°(垂直的定义)，
∴∠1＋∠3＝90°，∠2＋∠4＝90°.
又∵∠1＝∠2，
∴∠3＝∠4(等角的余角相等)，
∴BE∥CF(内错角相等，两直线平行)
【分析】根据余角的性质和平行性质解题.
15．如图，已知点E、F在直线AB上，点G在线段CD上，ED与FG交于点H，∠C＝∠1，∠2＝∠3．
（1）求证：AB∥CD；
（2）若∠3＝75°，∠D＝35°，求∠AEM的度数．
【答案】（1）证明：∵点E、F在直线AB上，ED与FG交于点H，∠2＝∠3，
∴CE∥GF，
∴∠C＝∠FGD，
又∵∠C＝∠1，
∴∠FGD＝∠1，
∴AB∥CD；
（2）解：由（1）知AB∥CD，
∴∠BED＝∠D＝35°，
∵∠CEB＝∠2+∠BED，∠2＝∠3＝75°，
∴∠CEB＝75°+35°＝110°，
∴∠AEM＝∠CEB＝110°．
【知识点】内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】(1)先证明CE//GF，则∠C=∠FGD，所以∠FGD=∠1，再由平行线的判定即可求证；
(2)根据平行线的性质得出∠BED=∠D=35°，由角度和差得出∠CEB=110°，最后再由对顶角相等即可求解.
16．如图，点E在平行线AB，CD之间，且在线段AC的左侧.
（1）求证：∠BAE+∠ECD+∠AEC=360°.
（2）若点E向右移动到线段AC的右侧，此时∠BAE，∠AEC，∠ECD之间的关系仍然满足(1)中的结论吗 若满足，给出证明；若不满足，请你写出正确的结论并证明.(要求：画出相应的图形)
（3）继续移动点E的位置，还能得到哪些新论断 写出你的论断.
【答案】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠BAC+∠DCA=180°.
∵∠EAC+∠AEC+∠ECA=180°，
∴∠BAE+∠ECD+∠AEC=∠BAC+∠EAC+∠ECA+∠ACD+∠AEC=(∠BAC+∠ACD)+(∠EAC+∠ECA+∠AEC)=360°.
（2）解：不满足原结论，正确的结论是∠BAE+∠ECD=∠AEC，证明如下：
如图，连接AE，
∵AB∥CD，
∴∠BAC+∠DCA=180°.
∵∠EAC+∠AEC+∠ECA=180°，
∴∠BAE+∠ECD=∠BAC－∠EAC+∠DCA－∠ECA=(∠BAC+∠DCA)－(180°－∠AEC)=∠AEC.
即∠BAE+∠ECD=∠AEC.
（3）解：当点E移动到直线AB上方时，如图：
有∠BAE+∠AEC=∠ECD，
当点E移动到直线CD下方时，如图：
有∠BAE=∠AEC+∠ECD.
【知识点】三角形内角和定理；证明的含义与一般步骤；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【分析】（1）由AB∥CD，得∠BAC+∠DCA=180°.而∠EAC+∠AEC+∠ECA=180°，即可得∠BAE+∠ECD+∠AEC=360°.
（2）由AB∥CD，得∠BAC+∠DCA=180°.而∠EAC+∠AEC+∠ECA=180°，即可得∠BAE+∠ECD=∠AEC.
（3）分别移动点E的位置到直线AB上方和直线CB下方，观察结论即可.
17．（2023八上·端州开学考）（1）如图1，，，．求度数；
（2）如图2，，点在射线上运动，当点在，两点之间运动时，，．则，，之间有何数量关系？请说明理由；
（3）在（2）的条件下，如果点在，两点外侧运动时（点与点，，三点不重合），请你写出，，之间的数量关系，并说明理由．
【答案】解：（1）过P作，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴；
（2），理由如下：
如图3，过P作交于E，
∵，
∴，
∴，，
∴；
（3）当P在延长线时，；
理由：如图4，过P作交于E，
∵，
∴，
∴，，
∴；
当P在之间时，．
理由：如图5，过P作交于E，
∵，
∴，
∴，，
∴．
综上所述，，，之间的数量关系为或．
【知识点】平行公理及推论；平行线的性质
【解析】【分析】（1）过P作PE∥AB，由平行于同一直线的两条直线互相平行得PE∥AB∥CD，由二直线平行，同旁内角互补可得∠APE=180°-∠A=40°，∠CPE=180°-∠C=50°，进而根据角的构成可得∠APC的度数；
（2）过P作PE∥AD交CD于E，由平行于同一直线的两条直线互相平行得PE∥AD∥CB，由二直线平行内错角相等得，，进而根据角的构成即可得出答案；
（3）分两种情况：①点P在BA的延长线上，过P作PE∥AD交CD于E，由平行于同一直线的两条直线互相平行得PE∥AD∥CB，由二直线平行内错角相等得，，进而根据角的构成即可得出答案；②点P在AB的延长线上，过P作PE∥AD交CD于E，由平行于同一直线的两条直线互相平行得PE∥AD∥CB，由二直线平行内错角相等得，，进而根据角的构成即可得出答案.
18．（2024八上·西安期中）【思维启迪】
（1）如图1，是的中线，延长到点．使，连接，则与的数量关系为________，位置关系为________．
【思维应用】
（2）如图2，在中，，点为内一点，连接，，延长到点，使，连接，若，请用等式表示，，之间的数量关系，并说明理由；
【思维探索】
（3）如图3，在中，，，点为中点，点在射线上（点不与点，点重合），连接，过点作，垂足为点，连接．若，，请直接写出的长．
【答案】解：（1）相等，平行；
（2）延长至点F，使得，连接，
∵，即，
∴是的垂直平分线，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴在中，由勾股定理得：，
∴；
（3）的长为或．
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS；平行线的应用-证明问题
【解析】【解答】解：（1）由题意得，
∵，
∴，
∴AC=BE，∠CAD=∠E，
∴，
故答案为：相等，平行；
（3）当点在线段上时，延长至点H，使得，连接并延长交于点G，
同上可得：，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
在中，
由勾股定理求得，
∴，
∴中，由勾股定理求得，
∴；
当点在延长线上时，构造上述辅助线，
同上可得：，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理求得，
∴，
∴中，由勾股定理求得，
∴，
综上所述，的长为或．
【分析】（1）直接利用“SAS”判断出△ADC≌△EDB，由全等三角形的性质得AC=BE，∠CAD=∠E，进而根据内错角相等，两直线平行得AC∥BE；
（2）①延长BC至点F，使得CF=BC，连接DF、AF，则AC是BF的垂直平分线，由垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得到AF=AB；用“SAS”证△FCD≌△BCE，得BE=FD，∠1=∠2，由内错角相等，两直线平行得DF∥BE，在Rt△ADF中，由勾股定理得：，由等量代换出；
（3）当点E在线段DB上时，延长FD至点H，使得DH=DF，连接AH并延长交CF于点G，同上可得△ADH≌△BDF，AH∥BF，由同角的余角相等得∠CAG=∠BCF，从而用AAS判读出△CAG≌△BCF，由全等三角形的性质得AG=CF，CG=BF=AH=2，则HG=FG，在Rt△BFC中，利用勾股定理算出CF，从而可求出HG，进而在Rt△HGF中利用勾股定理算出HF，即可得到DF的长；当点E在DB延长线上时，构造上述辅助线，同理可求．
19．（2020八上·二道期中）如图，AE与BD相交于点C，AC＝EC，BC＝DC，AB＝4cm，点P从点A出发，沿A→B→A方向以3cm/s的速度运动，点Q从点D出发，沿D→E方向以1cm/s的速度运动，P、Q两点同时出发．当点P到达点A时，P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为t（s）．
（1）求证：AB DE．
（2）写出线段AP的长（用含t的式子表示）．
（3）连结PQ，当线段PQ经过点C时，求t的值．
【答案】（1）证明：在 ABC和 EDC中，
，
∴ ABC≌ EDC（SAS），
∴∠A＝∠E，AB=DE=4
∴AB DE
（2）解：当0≤t≤ 时，AP＝3tcm；
当 ＜t≤ 时，BP＝（3t-4）cm，
则AP＝4-（3t-4）＝（8-3t）cm；
综上所述，线段AP的长为3tcm或（8-3t）cm
（3）解：由（1）得：∠A＝∠E，ED＝AB＝4cm，
在 ACP和 ECQ中，
，
∴ ACP≌ ECQ（ASA），
∴AP＝EQ，
当0≤t≤ 时，3t＝4-t，
解得：t＝1；
当 ＜t≤ 时，8-3t＝4-t，
解得：t＝2；
综上所述，当线段PQ经过点C时，t的值为1s或2s．
【知识点】平行线的判定；三角形全等的判定；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）根据SAS可证△ABC≌△EDC，可得∠A＝∠E，根据内错角相等，两直线平行即证结论；
（2） 分两种情况：①当0≤t≤ 时，②当 ＜t≤ 时 ，据此分别解答即可；
（3）先证明△ACP≌△ECQ，可得AP＝EQ，分两种情况：①当0≤t≤ 时，3t＝4-t，②当 ＜t≤ 时，8-3t＝4-t，据此分别求解即可.
20．（2024八上·潮阳开学考）如图①，已知AD∥BC，∠B=∠D=120°．
（1）请问：AB与CD平行吗？为什么？
（2）若点E、F在线段CD上，且满足AC平分∠BAE，AF平分∠DAE，如图②，求∠FAC的度数．
（3）若点E在直线CD上，且满足∠EAC=∠BAC，求∠ACD：∠AED的值（请自己画出正确图形，并解答）．
【答案】解：（1）平行，理由如下：
如图①：
∵AD∥BC，
∴∠A+∠B=180°
又∵∠B=∠D
∴∠D+∠A=180°
∴AB∥CD
（2）
∵AD∥BC，∠B=∠D=120°
∴∠DAB＋∠B=180°
∴∠DAB=60°
∵AC平分∠BAE，
∴∠EAC=∠BAE
同理：∠EAF=∠DAE
∴∠FAC=∠EAC+∠EAF=（∠BAE+∠DAE）=∠DAB=30°
（3）
①如图：
当点E在线段CD上时，如图3
∵ ∠EAC=∠BAC
由（1）知：AB∥CD
∴∠ACD=∠BAC=2∠EAC，∠AED=∠BAE=3∠EAC
∴∠ACD：∠AED=2：3
②如图4，当点E在DC的延长线上时，
同理（1）可得：
∠ACD=∠BAC=2∠EAC，∠AED=∠BAE=∠EAC
∴∠ACD：∠AED=2：1．
综上所述：∠ACD：∠AED=2：3或2：1．
（1）平行，理由见解析；（2）∠FAC =30°；（3）∠ACD：∠AED=2：3或2：1．
【知识点】角平分线的概念
【解析】【分析】（1）先根据AD∥BC，得出∠A+∠B=180°，再根据∠B=∠D，可得：∠D+∠A=180°因此AB∥CD
（2）先根据AD∥BC，∠DAB＋∠B=180°求出∠DAB=60°，再根据角平分线的定义得出：∠EAC=∠BAE，∠EAF=∠DAE，因此∠FAC=∠EAC+∠EAF=（∠BAE+∠DAE）=∠DAB=30°
（3）分两种情况讨论：当点E在线段CD上时，根据1）知：AB∥CD和∠EAC=∠BAC，得出：∠ACD=∠BAC=2∠EAC，∠AED=∠BAE=3∠EAC，因此得到：∠ACD：∠AED=2：3，当点E在DC的延长线上时，同理（1）可得：∠ACD=∠BAC=2∠EAC，∠AED=∠BAE=∠EAC，因而∠ACD：∠AED=2：1．
1 / 1第七章 命题与证明培优卷一北师大版数学八(上)单元分层测
一、选择题（本大题共8小题, 每小题3分, 共24分, 每小题有四个选项, 其中只有一个是正确的）
1．如图，探照灯、锅形天线、汽车灯以及其他很多灯具都与抛物线形状有关，如图所示是一探照灯灯碗的纵剖面，从位于O点的灯泡发出的两束光线OB，OC经灯碗反射以后平行射出.如果图中∠ABO=α，∠DCO=β，则∠BOC的度数为(　　)
A．180°-α-β B．α+β
C．(α+β) D．90°+(β-α)
2．（北师大版数学八年级上册 7.1 第1课时分层练习）布鲁斯先生、他的妹妹、他的儿子，还有他的女儿都是网球选手.这四人中有以下情况：①最佳选手的孪生同胞与最差选手性别不同：②最佳选手与最差选手年龄相同.则这四人中最佳选手是（　　）
A．布鲁斯先生 B．布鲁斯先生的妹妹
C．布鲁斯先生的儿子 D．布鲁斯先生的女儿
3．小强在证明“角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上”给出如下过程：
关于这个证明，下面说法正确的是(　　)
A．小强用到了从特殊到一般的方法证明该定理
B．只要测量一百个到角的两边的距离相等的点都在角的平分线上，就能证明该定理
C．不能只用这个角，还需要用其它角度进行测量验证，该定理的证明才完整
D．小强的方法可以用作猜想，但不属于严谨的推理证明
4．如图，AB、CD是两面平行放置的平面镜，一束光线MP在点P处经平面镜CD反射后得到光线PN，PN在点N处经平面镜AB反射后得到光线NQ，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，若∠MPN＝70°，则∠4的度数为（　　）
A．35° B．40° C．50° D．55°
5．（7.3第2课时 平行线的性质—数学北师大版八年级上册）一把直尺和一个含30°角的直角三角板按如图所示的方式放置.若∠1＝20°，则∠2＝（　　）
A．30° B．40° C．50° D．60°
6．（2025八上·义乌期末）下列选项中，可以用来说明命题是假命题的反例是（　　）
A． B． C． D．
7．（2023八上·宜都月考）如图，在和中，，，．连接，连接并延长交，于点，．若恰好平分，则下列结论；；；中，正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．如图，已知AB∥CD，点E在B，D连线的右侧，∠ABE与∠CDE 的平分线相交于点 F，则下列说法中正确的是 (　　)
①∠ABE+∠CDE+∠E=360°；②若∠E=80°，则∠BFD=140°；③若 则 6∠BMD+∠E=360°；④若∠E= 则
A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①②③④
二、填空题（本大题共5小题, 每小题3分, 共15分）
9．如图，已知，则的关系是　 　．
10．如图，已知AB∥CD，AE和CF分别平分∠BAF和∠DCE，若∠E＝57°，∠AFC＝63°，则∠BAF的度数为　 　.
11．当光线从空气中射入某种液体中时，光线的传播方向发生了变化，在物理学中这种现象叫做光的折射．如图，MN为液面，AB⊥MN于点D，一束光线沿CD射入液面，在点D处发生折射，折射光线为DE，点F为CD的延长线上一点，若入射角∠1＝50°，折射角∠2＝36°，则∠EDF的度数为　 　 ．
12．（2023八上·合川期末）“爆竹声中一岁除，春风送暖入屠苏.千门万户曈曈日，总把新桃换旧符.”春节将至，置办年货是中国寻常百姓家不可或缺的大事.小明随妈妈去置办年货，购买了灯笼、窗花、坚果，其中灯笼每只20元，窗花每张8元，坚果每包150元，若小明和妈妈一共用了428元（三种年货都有购买），则最多能买灯笼　 　只.
13．（2024八上·北京市期中）2019年11月，联合国教科文组织将每年的3月14日定为“国际数学日”，也被许多人称为“节”．附中今年“节”策划了五个活动，规则如下：
“节”活动规则
·活动前每人先发放两枚“币”
·每参与一个活动消耗两枚“币”
·没有“币”不能参与活动
·每个活动至多参与一次
·挑战成功，按右表发放奖励
·挑战失败，谢谢参与
活动名称 奖励的“币”数量/枚
数独 4
魔方 4
华容道 6
鲁班锁 6
汉诺塔 8
小达参与了所有活动．
（1）若小达只挑战成功一个，则挑战成功的活动名称为　 　；
（2）若小达共挑战成功两个，且他参与的第四个活动成功，则小达最终剩下的“币”数量的所有可能取值为　 　
三、解答题（共7题；共61分)
14．如图，已知AB⊥BC于点B，CD⊥BC于点C，∠1＝∠2.求证：BE∥CF.
补全下面的证明过程.
证明：∵AB⊥BC，CD⊥BC，
∴∠　 　＝90°，∠　 　＝90°(　 　)，
∴∠1＋∠3＝90°，∠2＋∠4＝90°.
又∵∠1＝∠2，
∴∠3＝∠4(　 　)，
∴BE∥CF(　 　).
15．如图，已知点E、F在直线AB上，点G在线段CD上，ED与FG交于点H，∠C＝∠1，∠2＝∠3．
（1）求证：AB∥CD；
（2）若∠3＝75°，∠D＝35°，求∠AEM的度数．
16．如图，点E在平行线AB，CD之间，且在线段AC的左侧.
（1）求证：∠BAE+∠ECD+∠AEC=360°.
（2）若点E向右移动到线段AC的右侧，此时∠BAE，∠AEC，∠ECD之间的关系仍然满足(1)中的结论吗 若满足，给出证明；若不满足，请你写出正确的结论并证明.(要求：画出相应的图形)
（3）继续移动点E的位置，还能得到哪些新论断 写出你的论断.
17．（2023八上·端州开学考）（1）如图1，，，．求度数；
（2）如图2，，点在射线上运动，当点在，两点之间运动时，，．则，，之间有何数量关系？请说明理由；
（3）在（2）的条件下，如果点在，两点外侧运动时（点与点，，三点不重合），请你写出，，之间的数量关系，并说明理由．
18．（2024八上·西安期中）【思维启迪】
（1）如图1，是的中线，延长到点．使，连接，则与的数量关系为________，位置关系为________．
【思维应用】
（2）如图2，在中，，点为内一点，连接，，延长到点，使，连接，若，请用等式表示，，之间的数量关系，并说明理由；
【思维探索】
（3）如图3，在中，，，点为中点，点在射线上（点不与点，点重合），连接，过点作，垂足为点，连接．若，，请直接写出的长．
19．（2020八上·二道期中）如图，AE与BD相交于点C，AC＝EC，BC＝DC，AB＝4cm，点P从点A出发，沿A→B→A方向以3cm/s的速度运动，点Q从点D出发，沿D→E方向以1cm/s的速度运动，P、Q两点同时出发．当点P到达点A时，P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为t（s）．
（1）求证：AB DE．
（2）写出线段AP的长（用含t的式子表示）．
（3）连结PQ，当线段PQ经过点C时，求t的值．
20．（2024八上·潮阳开学考）如图①，已知AD∥BC，∠B=∠D=120°．
（1）请问：AB与CD平行吗？为什么？
（2）若点E、F在线段CD上，且满足AC平分∠BAE，AF平分∠DAE，如图②，求∠FAC的度数．
（3）若点E在直线CD上，且满足∠EAC=∠BAC，求∠ACD：∠AED的值（请自己画出正确图形，并解答）．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】平行公理的推论；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：过O点向左作射线OE，使 ，则OE∥CD，
即
故选： B.
【分析】过O点向左作射线OE，使 ，利用平行线的性质，得内错角相等，从而得到结论
2．【答案】D
【知识点】推理与论证
【解析】【解答】解：由①和②可知，最佳选手的孪生同胞与最差选手不是同一个人，因此一定是其中的三个人的年龄相同，布鲁斯先生很显然比他的儿子和女儿大，则其中年龄相同的三个人是布鲁斯先生的儿子、女儿和妹妹，由此，布鲁斯先生的儿子和女儿必定是①中所指的孪生同胞，所以布鲁斯先生的儿子或女儿是最佳选手，最差选手是布鲁斯先生的妹妹.由①知，最佳选手的孪生同胞一定是布鲁斯先生的儿子，则最佳选手就是布鲁斯先生的女儿.
故选：D.
【分析】根据题意，可以判断出其中的三个人年龄相同，再根据实际可知其中年龄相同的三个人是布鲁斯先生的儿子、女儿和妹妹，从而可以得到最差选手和最佳选手，本题得以解决.
3．【答案】D
【知识点】角平分线的性质；推理与论证
【解析】【解答】解：小强通过测量得∠AOC＝23°，∠BOC＝23°，得出∠AOC＝∠BOC，这种测量的方法证明结论，具有偶然性，缺少推理的依据，不严谨，
所以小强的方法可以用作猜想，但不属于严谨的推理证明．
故选：D．
【分析】根据“角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上”的推理过程即可求解.
4．【答案】D
【知识点】角的运算；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵两块平面镜平行放置，
∴AB∥CD，
∴∠2＝∠3（两直线平行，内错角相等），
∵∠MPN＝70°，
∴，
∴∠3＝∠2＝55°，
∴∠4＝∠3＝55°（等量代换），
即∠4的度数为55°，
故选：D．
【分析】由平行线的性质得出∠2=∠3，由平角的性质得出∠1=∠2=55°，进而即可得解.
5．【答案】B
【知识点】两直线平行，内错角相等；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：如图，
据题意知，∠2+∠3=60°，
据图知，∠3=∠1=20°，
∴∠2=60°-20°=40°.
故答案为：B.
【分析】据题意知∠2+∠3=60°，根据平行线性质知∠3=∠1，从而得∠2的度数.
6．【答案】B
【知识点】举反例判断命题真假
【解析】【解答】解：A、满足，故该选项不符合题意；
B、不满足，故该选项符合题意；
C、满足，故该选项不符合题意；
D、满足，故该选项不符合题意；
故选：B
【分析】
当命题的条件成立时，结论也一定成立的命题叫做真命题；当命题的条件成立时，不能保证命题的结论总是成立的命题叫做假命题．可利用举反例法逐项分析即可．
7．【答案】C
【知识点】平行线的判定；三角形内角和定理；角平分线的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：①，
，即，
在和中，
，
，
，故①选项符合题意；
，故④选项符合题意；
②，
，
，
，
平分，
，
，
，
（内错角相等，两直线平行），
故②选项符合题意；
根据已知条件无法证明，故③选项不符合题意．
故答案为：C．
【分析】先利用“SAS”证出，再利用全等三角形的性质可得，再利用平行线的判定方法和性质逐项分析判断即可.
8．【答案】C
【知识点】角平分线的概念；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：①如图，过点 E 作 EG∥AB，过点F作FH∥AB，则AB∥EG∥FH∥CD，
所以∠ABE+∠BEG= 180°，∠CDE+∠DEG= 180°，
所以∠ABE+∠BEG+∠CDE+∠DEG = 360°， 即∠ABE+∠BED+∠CDE=360°，故①正确.
②因为∠BED=80°，∠ABE+∠BED+∠CDE=360°，
所以∠ABE+∠CDE=280°.
因为 AB∥FH∥CD，
所以 ∠ABF = ∠BFH， ∠CDF =∠DFH，
所 以 ∠BFD = ∠BFH + ∠DFH = 故②正确.
③同理可得，∠BMD =∠ABM+
所以6∠BMD=2(∠ABF+∠CDF) = ∠ABE+∠CDE，
所以6∠BMD+∠BED=360°，故③正确.④由题意无法判断④是否正确，所以①②③正确.
故选：C.
【分析】过点 E 作 EG∥AB，过点F作FH∥AB，则AB∥EG∥FH∥CD，利用平行线同旁内角互补的性质得出∠ABE+∠CDE+∠E=360°，再结合角平分线的性质以及角度之间的关系分别求解∠BFD和∠M的度数.
9．【答案】
【知识点】平行公理；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：过点作，过点作，
，
，
，，，
，，
由整理得：．
故答案为：．
【分析】过点C作CM//AB，过点D作DN//AB，由AB//EF，即可得AB//CM//DN//EF，然后由两直线平行，内错角相等，即可求得答案.
10．【答案】46°
【知识点】平行公理及推论；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解： 过点F作FG∥AB， 如图所示，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥FG，
∴∠DCF=∠GFC， ∠BAF=∠GFA，
∵CF平分∠DCE，
∴设∠DCF=∠FCE=x， 则∠GFC=x， ∠GFA=∠AFC-∠GFC=63°-x，
∴∠BAF=∠AFG=63°-X，
在△CFH中，∠CHF=180°-∠FCE-∠AFC=180°-x-63°=117°-x，
∵AE平分∠BAF，
在△AEH中，
∵∠EHA=∠FHC，
解得： x=17°，
∴∠BAF=63°-17°=46°，
故答案为： 46°.
【分析】过点F作FG∥AB，根据平行线的性质得出∠DCF=∠GFC， ∠BAF=∠GFA， 设∠DCF=∠FCE=x， 则∠GFC=x， ∠GFA=∠AFC-∠GFC=63°-X，根据三角形内角和定理及对顶角相等建立方程求解即可.
11．【答案】14°
【知识点】角的运算；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：∵点F为CD的延长线上一点，
∴∠1＝∠FDB＝50°，
∴∠EDF＝∠FDB﹣∠2＝50°﹣36°＝14°，
即∠EDF的度数为14°，
故答案为：14°．
【分析】根据对顶角相等求出∠FDB=50°，再计算角的差即可.
12．【答案】6
【知识点】推理与论证
【解析】【解答】解：先用总价钱减去至少每种年货都买一件的价钱：
(元)，
剩余的250元是三种年货中重复购买部分的价钱，
根据题意，重复购买的年货单价乘它的数量之和必须等于250元；
(只)…10（元），即250元不是全部都买灯笼，则有可能买窗花或坚果，当250元减去买窗花或坚果的价钱后，剩余买灯笼的价钱必须能整除20，
因为20是整十数，
所以，只有再买1包坚果后剩余的钱能整除20：
(元) ，
(只)，
5+1=6(只)，
最多能买灯笼6只.
故答案为：6.
【分析】先利用总价钱减去至少每种年货都买一件的价钱，可知剩余的250元是三种年货中重复购买部分的价钱，根据题意可知重复购买的年货单价乘它的数量之和必须等于250元，根据商品的单价知250元不是全部都买灯笼，则有可能买窗花或坚果，当250元减去买窗花或坚果的价钱后，剩余买灯笼的价钱必须能整除20，由于20是整十数，所以，只有再买1包坚果后剩余的钱能整除20，据此即可求解.
13．【答案】汉诺塔；2，4，6
【知识点】推理与论证
【解析】【解答】解：（1）∵小达参与了所有活动，且共有5个活动，
∴小达一共消耗了10枚“币”，
∵活动前小达有两枚“币”，
∴小达通过成功参与活动获得了8枚 “币”，
又∵小达只挑战成功一个，
∴挑战成功的活动名称为汉诺塔，
故答案为：汉诺塔；
（2）∵活动前小达有两枚“币”， 每参与一个活动消耗两枚“币”，且小达参与了所有活动，
∴第一次活动小达必定挑战成功，
∵他参与的第四个活动成功，且他只挑战成功了2次，
∴他参与的第二个，第三个，第五个活动都失败，
∵第一次挑战成功获取的“币”数量能够支持他参与第二，第三，第四次活动，
∴第一次挑战成功获取的“币”数量要大于等于6枚，
∴第一次参加的活动可以为华容道或鲁班锁或汉诺塔；
当第一次参加的活动为华容道时，
若第四次参加的活动为数独或者魔方时，则剩下的“币”数量为枚；
若第四次参加的活动为鲁班锁时，则剩下的“币”数量为枚；
若第四次参加的活动为汉诺塔时，则剩下的“币”数量为枚；
当第一次参加的活动为鲁班锁时，
若第四次参加的活动为数独或者魔方时，则剩下的“币”数量为枚；
若第四次参加的活动为华容道时，则剩下的“币”数量为枚；
若第四次参加的活动为汉诺塔时，则剩下的“币”数量为枚；
当第一次参加的活动为汉诺塔时，
若第四次参加的活动为数独或者魔方时，则剩下的“币”数量为枚；
若第四次参加的活动为华容道时，则剩下的“币”数量为枚；
若第四次参加的活动为鲁班锁时，则剩下的“币”数量为枚；
综上所述，小达最终剩下的“币”数量的所有可能取值为2，4，6，
故答案为：2，4，6．
【分析】（1）由于小达参与了所有活动，则小达一共消耗了10枚“币”，据此可得小达通过成功参与活动获得了8枚 “币”，而小达只挑战成功一个，故挑战成功的活动名称为汉诺塔；
（2）根据题意可得第一次活动小达必定挑战成功，根据他参与的第四个活动成功，且他只挑战成功了2次，那么他参与的第二个，第三个，第五个活动都失败，则第一次挑战成功获取的“币”数量要大于等于6枚，则第一次参加的活动可以为华容道或鲁班锁或汉诺塔；据此讨论第一次参加的活动，在此基础上再讨论第四次参与的活动，用总获得“币”数量加上初始“币”数量减去参与五个活动消耗的“币”数量即可得到答案．
14．【答案】ABC；BCD；垂直的定义；等角的余角相等；内错角相等，两直线平行
【知识点】内错角相等，两直线平行
【解析】【解答】解：∵AB⊥BC，CD⊥BC，
∴∠ABC＝90°，∠BCD＝90°(垂直的定义)，
∴∠1＋∠3＝90°，∠2＋∠4＝90°.
又∵∠1＝∠2，
∴∠3＝∠4(等角的余角相等)，
∴BE∥CF(内错角相等，两直线平行)
【分析】根据余角的性质和平行性质解题.
15．【答案】（1）证明：∵点E、F在直线AB上，ED与FG交于点H，∠2＝∠3，
∴CE∥GF，
∴∠C＝∠FGD，
又∵∠C＝∠1，
∴∠FGD＝∠1，
∴AB∥CD；
（2）解：由（1）知AB∥CD，
∴∠BED＝∠D＝35°，
∵∠CEB＝∠2+∠BED，∠2＝∠3＝75°，
∴∠CEB＝75°+35°＝110°，
∴∠AEM＝∠CEB＝110°．
【知识点】内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】(1)先证明CE//GF，则∠C=∠FGD，所以∠FGD=∠1，再由平行线的判定即可求证；
(2)根据平行线的性质得出∠BED=∠D=35°，由角度和差得出∠CEB=110°，最后再由对顶角相等即可求解.
16．【答案】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠BAC+∠DCA=180°.
∵∠EAC+∠AEC+∠ECA=180°，
∴∠BAE+∠ECD+∠AEC=∠BAC+∠EAC+∠ECA+∠ACD+∠AEC=(∠BAC+∠ACD)+(∠EAC+∠ECA+∠AEC)=360°.
（2）解：不满足原结论，正确的结论是∠BAE+∠ECD=∠AEC，证明如下：
如图，连接AE，
∵AB∥CD，
∴∠BAC+∠DCA=180°.
∵∠EAC+∠AEC+∠ECA=180°，
∴∠BAE+∠ECD=∠BAC－∠EAC+∠DCA－∠ECA=(∠BAC+∠DCA)－(180°－∠AEC)=∠AEC.
即∠BAE+∠ECD=∠AEC.
（3）解：当点E移动到直线AB上方时，如图：
有∠BAE+∠AEC=∠ECD，
当点E移动到直线CD下方时，如图：
有∠BAE=∠AEC+∠ECD.
【知识点】三角形内角和定理；证明的含义与一般步骤；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【分析】（1）由AB∥CD，得∠BAC+∠DCA=180°.而∠EAC+∠AEC+∠ECA=180°，即可得∠BAE+∠ECD+∠AEC=360°.
（2）由AB∥CD，得∠BAC+∠DCA=180°.而∠EAC+∠AEC+∠ECA=180°，即可得∠BAE+∠ECD=∠AEC.
（3）分别移动点E的位置到直线AB上方和直线CB下方，观察结论即可.
17．【答案】解：（1）过P作，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴；
（2），理由如下：
如图3，过P作交于E，
∵，
∴，
∴，，
∴；
（3）当P在延长线时，；
理由：如图4，过P作交于E，
∵，
∴，
∴，，
∴；
当P在之间时，．
理由：如图5，过P作交于E，
∵，
∴，
∴，，
∴．
综上所述，，，之间的数量关系为或．
【知识点】平行公理及推论；平行线的性质
【解析】【分析】（1）过P作PE∥AB，由平行于同一直线的两条直线互相平行得PE∥AB∥CD，由二直线平行，同旁内角互补可得∠APE=180°-∠A=40°，∠CPE=180°-∠C=50°，进而根据角的构成可得∠APC的度数；
（2）过P作PE∥AD交CD于E，由平行于同一直线的两条直线互相平行得PE∥AD∥CB，由二直线平行内错角相等得，，进而根据角的构成即可得出答案；
（3）分两种情况：①点P在BA的延长线上，过P作PE∥AD交CD于E，由平行于同一直线的两条直线互相平行得PE∥AD∥CB，由二直线平行内错角相等得，，进而根据角的构成即可得出答案；②点P在AB的延长线上，过P作PE∥AD交CD于E，由平行于同一直线的两条直线互相平行得PE∥AD∥CB，由二直线平行内错角相等得，，进而根据角的构成即可得出答案.
18．【答案】解：（1）相等，平行；
（2）延长至点F，使得，连接，
∵，即，
∴是的垂直平分线，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴在中，由勾股定理得：，
∴；
（3）的长为或．
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS；平行线的应用-证明问题
【解析】【解答】解：（1）由题意得，
∵，
∴，
∴AC=BE，∠CAD=∠E，
∴，
故答案为：相等，平行；
（3）当点在线段上时，延长至点H，使得，连接并延长交于点G，
同上可得：，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
在中，
由勾股定理求得，
∴，
∴中，由勾股定理求得，
∴；
当点在延长线上时，构造上述辅助线，
同上可得：，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理求得，
∴，
∴中，由勾股定理求得，
∴，
综上所述，的长为或．
【分析】（1）直接利用“SAS”判断出△ADC≌△EDB，由全等三角形的性质得AC=BE，∠CAD=∠E，进而根据内错角相等，两直线平行得AC∥BE；
（2）①延长BC至点F，使得CF=BC，连接DF、AF，则AC是BF的垂直平分线，由垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得到AF=AB；用“SAS”证△FCD≌△BCE，得BE=FD，∠1=∠2，由内错角相等，两直线平行得DF∥BE，在Rt△ADF中，由勾股定理得：，由等量代换出；
（3）当点E在线段DB上时，延长FD至点H，使得DH=DF，连接AH并延长交CF于点G，同上可得△ADH≌△BDF，AH∥BF，由同角的余角相等得∠CAG=∠BCF，从而用AAS判读出△CAG≌△BCF，由全等三角形的性质得AG=CF，CG=BF=AH=2，则HG=FG，在Rt△BFC中，利用勾股定理算出CF，从而可求出HG，进而在Rt△HGF中利用勾股定理算出HF，即可得到DF的长；当点E在DB延长线上时，构造上述辅助线，同理可求．
19．【答案】（1）证明：在 ABC和 EDC中，
，
∴ ABC≌ EDC（SAS），
∴∠A＝∠E，AB=DE=4
∴AB DE
（2）解：当0≤t≤ 时，AP＝3tcm；
当 ＜t≤ 时，BP＝（3t-4）cm，
则AP＝4-（3t-4）＝（8-3t）cm；
综上所述，线段AP的长为3tcm或（8-3t）cm
（3）解：由（1）得：∠A＝∠E，ED＝AB＝4cm，
在 ACP和 ECQ中，
，
∴ ACP≌ ECQ（ASA），
∴AP＝EQ，
当0≤t≤ 时，3t＝4-t，
解得：t＝1；
当 ＜t≤ 时，8-3t＝4-t，
解得：t＝2；
综上所述，当线段PQ经过点C时，t的值为1s或2s．
【知识点】平行线的判定；三角形全等的判定；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）根据SAS可证△ABC≌△EDC，可得∠A＝∠E，根据内错角相等，两直线平行即证结论；
（2） 分两种情况：①当0≤t≤ 时，②当 ＜t≤ 时 ，据此分别解答即可；
（3）先证明△ACP≌△ECQ，可得AP＝EQ，分两种情况：①当0≤t≤ 时，3t＝4-t，②当 ＜t≤ 时，8-3t＝4-t，据此分别求解即可.
20．【答案】解：（1）平行，理由如下：
如图①：
∵AD∥BC，
∴∠A+∠B=180°
又∵∠B=∠D
∴∠D+∠A=180°
∴AB∥CD
（2）
∵AD∥BC，∠B=∠D=120°
∴∠DAB＋∠B=180°
∴∠DAB=60°
∵AC平分∠BAE，
∴∠EAC=∠BAE
同理：∠EAF=∠DAE
∴∠FAC=∠EAC+∠EAF=（∠BAE+∠DAE）=∠DAB=30°
（3）
①如图：
当点E在线段CD上时，如图3
∵ ∠EAC=∠BAC
由（1）知：AB∥CD
∴∠ACD=∠BAC=2∠EAC，∠AED=∠BAE=3∠EAC
∴∠ACD：∠AED=2：3
②如图4，当点E在DC的延长线上时，
同理（1）可得：
∠ACD=∠BAC=2∠EAC，∠AED=∠BAE=∠EAC
∴∠ACD：∠AED=2：1．
综上所述：∠ACD：∠AED=2：3或2：1．
（1）平行，理由见解析；（2）∠FAC =30°；（3）∠ACD：∠AED=2：3或2：1．
【知识点】角平分线的概念
【解析】【分析】（1）先根据AD∥BC，得出∠A+∠B=180°，再根据∠B=∠D，可得：∠D+∠A=180°因此AB∥CD
（2）先根据AD∥BC，∠DAB＋∠B=180°求出∠DAB=60°，再根据角平分线的定义得出：∠EAC=∠BAE，∠EAF=∠DAE，因此∠FAC=∠EAC+∠EAF=（∠BAE+∠DAE）=∠DAB=30°
（3）分两种情况讨论：当点E在线段CD上时，根据1）知：AB∥CD和∠EAC=∠BAC，得出：∠ACD=∠BAC=2∠EAC，∠AED=∠BAE=3∠EAC，因此得到：∠ACD：∠AED=2：3，当点E在DC的延长线上时，同理（1）可得：∠ACD=∠BAC=2∠EAC，∠AED=∠BAE=∠EAC，因而∠ACD：∠AED=2：1．
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