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2025年秋学期期中检测
高二数学试卷
考生注意：客观题请用2B铅笔填涂在答题卡上，主观题用黑色水笔书写在答题卷上
一 单项选择题（本题包括8小题，每小题5分，共40分）
1. 直线倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
2.已知圆关于直线对称，则实数（ ）
A. B. 1 C. D. 2
3.已知双曲线的焦点在轴上，两条渐近线互相垂直，实轴长为4，双曲线的标准方程为（ ）
A. B. C. D.
4. 若两直线平行，则实数取值集合是（ ）
A. B. C. D.
5. 在正方体中，分别是棱的中点，则点到直线的距离为（ ）
A. B. 1 C. D.
6. 已知直线与，过点的直线被截得的线段恰好被点平分，则这三条直线围成的三角形面积为（ ）
A. B. C. 8 D.
7. 已知椭圆：的左、右焦点分别为、，是上一点，且轴，直线与椭圆的另一个交点为，若，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知实数满足，，则的最大值为（ ）
A. B. 4 C. D. 8
二、多项选择题（本题包含3小题，每小题6分，共18分）
A. 已知是空间的一个基底，若，则也是空间的一个基底
B. 在空间直角坐标系中，点关于坐标平面的对称点是
C. 若，则是锐角
D 若对空间中任意一点，有，则M，A，B，C四点共面
A. 点的轨迹的方程是
B. 直线与点的轨迹相离
过点的直线被点的轨迹所截得的弦的长度的最小值是
D. 已知点，点是直线上的动点，过点作点的轨迹的两条切线，切点为C，D，则四边形面积的最小值是
11. 已知椭圆的两个焦点分别为，点是椭圆上的动点，点是圆上任意一点．若的最小值为，则下列说法中正确的是（ ）
A. 的最小值为5 B. 的最大值为5
C. 存在点使得 D. 的最小值为
三 填空题（本题包含3小题，每小题5分，共15分）
12. 已知为平面的一个法向量，为内的一点，则点到平面的距离为_________．
13. 已知曲线与直线有两个相异的交点，那么实数的取值范围是__________．
14. 历史上最早系统研究圆锥曲线的是古希腊学者梅纳库莫斯，大约100年后，阿波罗尼斯更详尽地研究了圆锥曲线，他的研究涉及圆锥曲线的光学性质，其中一条是：如图（1），从右焦点发出的光线交双曲线右支于点，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过左焦点．已知图（2）中，双曲线的中心在坐标原点，左、右焦点分别为，直线平分，过点作的垂线，垂足为，且.则当反射光线经过点时，______.
四 解答题（本题包含5小题，共77分）
15. 已知的三个顶点是.
（1）求BC边上的高所在直线的方程;
（2）若直线过点，且点A，B到直线的距离相等，求直线的方程.
16.如图，在平行六面体中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱的长为2，且.
求：（1）的长；
（2）直线与所成角的余弦值.
17.已知动点与定点的距离和M到定直线的距离的比是常数.
（1）求动点M的轨迹C；
（2）过点的直线与曲线C交于两点，且，求直线的方程.
18.已知圆，直线：.
（1）求证：直线与圆O有两个不同的交点；
（2）记直线与圆交于两点，
①当时，求直线的方程；
②记圆与轴的正半轴交点为，直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值.
19. 在中，，，，分别是上的点，满足且经过的重心，将沿折起到的位置，使，是的中点，如图所示.
（1）求证：平面；
（2）求与平面所成角的大小；
（3）在线段上是否存在点，使平面与平面成角余弦值为？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由.
2025年秋学期期中检测
高二数学试卷（参考答案）
一、单选题
B A B D C A C D
二、多选题
AD AC ABD
三、填空题
9
11、【分析】设，首先由圆得到圆心的坐标与半径，即可判断点在椭圆外部，再由，求出，得到，得到椭圆的方程；根据椭圆的定义及椭圆的有界性可判断A；由极化恒等式得可判断B；由知以为圆心为半径的圆在椭圆内，可判断C；将转化成求其最小值可判断D.
【详解】椭圆，则，所以，圆的圆心为，半径，
因为，所以，所以点在椭圆外部.
，当且仅当、、三点共线（在、之间）时等号成立，
设，则所以，解得，
所以，∴椭圆
对于A：∵， 设则，，所以，当1或5时，取得最小值5，所以A正确；
对于B：
又，∴，当且仅当在左、右顶点时取最大值5，故B正确；
对于C：∵，∴以为圆心为半径的圆在椭圆内，所以不存在点使得，故C不正确；
对于D：因为
，当且仅当、、、四点共线（且、在、之间）时取等号，故D正确.
故选：ABD.
四 解答题（本题包含5小题，共77分）
15. 已知的三个顶点是.
（1）求BC边上的高所在直线的方程;
（2）若直线过点，且点A，B到直线的距离相等，求直线的方程.
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）根据垂直关系得出高所在直线斜率，点斜式得出直线方程；
（2）由题意转化为所求直线与AB平行或过AB的中点，分别求解即可.
【小问1详解】
因为，所以BC边上的高所在直线的斜率为1---------2
所以BC边上高所在直线为，即.----------------------5
【小问2详解】
因为点A，B到直线的距离相等，
所以直线与AB平行或过AB的中点，----------------------------------7
①当直线与AB平行，
所以，
所以，即.----------------------------------------------10
②当直线过AB的中点，
所以，
所以，即.
综上，直线的方程为或.-------------------------------------13
16.如图，在平行六面体中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱的长为2，且.
求：（1）的长；
（2）直线与所成角的余弦值.
【分析】：基底法
（1）令，则=-------------------------2
所以=-------------------4,
,故-------------------------7
（2）=,-------------------------------------------9
|=, ,-------------------------------------------11,
=--------------------------------------------------13
----------------------------------------------------------------15-
17. 动点与定点的距离和M到定直线的距离的比是常数.
求动点M的轨迹C；
过点的直线与曲线C交于两点，且，求直线的方程.
【解析】：
（1）由题知=,故：----------------------------------------3
化简得：；------------------------------------------------------6
（2）---------------------------------------8
令直线方程为时，
由韦达定理得到：①------------------------------------10
又因为③
由①②③地关于的方程为：---------------------------------12
解之得：，即
综上：直线的方程为--------------------------------------15
18.已知圆，直线：.
（1）求证：直线与圆O有两个不同的交点；
（2）记直线与圆交于两点，
①当时，求直线的方程；
②记圆与轴的正半轴交点为，直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值.
【解析】（1）原方程可化为，令
解之得：定点P----------------------------------------------------------------------------------2
,所以定点P在圆内，所以，直线与圆相交--------------------------------4
（2）①由弦长公式得：,即，解之得---------------6
，解之得
带入直线方程得：-------------------------------------------------------------------9
②由题意知，------------------------------------------------------------------------------------10
当直线斜率不存在时，，，
不妨取，
则，此时-----------------12
直线斜率存在时，设方程为，
代入圆的方程可得，
设，则，---------------------------------14
又，
所以
综上，为定值.-----------------------------------------------------------------------------17
19. 在中，，，，分别是上的点，满足且经过的重心，将沿折起到的位置，使，是的中点，如图所示.
（1）求证：平面；
（2）求与平面所成角的大小；
（3）在线段上是否存在点，使平面与平面成角余弦值为？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）存在，或
【解析】
【分析】（1）应用线面垂直的判定定理证明线面垂直关系，再由性质定理得到线线垂直关系，进而再利用判定定理证明所求证的线面垂直关系；
（2）以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系.用向量法求与平面所成角的大小；
（3）假设存在点，使平面与平面成角余弦值为，设，分别求解两平面的法向量，用表示余弦值解方程可得.
【小问1详解】
因为在中，，，且，
所以，，则折叠后，，
又平面，
所以平面，平面，所以，
又已知，且都在面内，所以平面；-----4
【小问2详解】
由（1），以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系.
因为，故，
由几何关系可知，，，，
故，，，，，，
，，，---------------------6
设平面的法向量为，则，即，-
不妨令，则，，.---------------------------------------------8
设与平面所成角的大小为，
则有，
设为与平面所成角，故，
即与平面所成角的大小为；----------------------------------------10
【小问3详解】
假设在线段上存在点，使平面与平面成角余弦值为.
在空间直角坐标系中，，，，
设，则，，
设平面的法向量为，则有，即，
不妨令，则，，所以，--------------12
设平面的法向量为，则有，即，
不妨令，则，，所以，------------------------14
若平面与平面成角余弦值为.
则满足，
化简得，解得或，即或，------------16
故在线段上存在这样的点，使平面与平面成角余弦值为. 此时的长度为或.-----------------------------------------------------------------------------------17

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