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浙教版数学八年级上册第5章 一次函数 单元检测培优卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．下列y 与x之间的函数关系式：①y=x；②y= x2-x；③y= -1；④y=-x+10；⑤y= kx+b；⑥y=x（x-1）.其中一定是一次函数的有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】C
【知识点】一次函数的概念
【解析】【解答】解：①y=x是正比例函数，是特殊的一次函数； 不是一次函数； 1不是一次函数；④y=-x+10是一次函数；⑤y= kx+b，当k=0时，不是一次函数；⑥y= 不是一次函数.综上所述，一定是一次函数的有2个.
故选 C.
【分析】根据形如y=kx+b(k≠0，k、b是常数)的函数，叫做一次函数进行分析即可.
2．（2025八上·柯城期末）若正比例函数的图象经过点，则k的值为（　　）
A． B． C．3 D．
【答案】A
【知识点】正比例函数的图象
【解析】【解答】解：正比例函数的图象经过点，
，
解得：
故答案为：A.
【分析】根据正比例函数图象上点的坐标特点，将点(2，-6)代入y=kx即可求出k的值.
3．（2025八上·慈溪期末）在国内投寄平信应付邮资如下表：
信件质量x（克） 0邮资y（元/封） 1.20 2.40 3.60
某人投寄平信花费2.40元，则此平信的质量可能为（　　）
A．15 克 B．20克 C．37克 D．50克
【答案】C
【知识点】用表格表示变量间的关系
【解析】【解答】解：∵ 投寄平信花费2.40元，则此平信的质量 20符合要求的是37克 ，
故答案为：C.
【分析】根据表格可知平信的质量范围为 204． 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(0，3)，△ABO沿x轴向右平移得到△A'B'O'，点A的对应点A'在直线 上，则点B与其对应点B'间的距离是(　　)
A． B．3 C．4 D．5
【答案】C
【知识点】坐标与图形变化﹣平移；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点A的坐标为(0，3)， △ABO沿x轴向右平移得到△A'B'O'，
∴平移后对应点A'的纵坐标为3 ，
∵ 点A的对应点A'在直线 上 ，
∴，
解得 x=4，
即A'的坐标为（4，0），
∴AA'=4，
∴ 点B与其对应点B'间的距离也是4 ( 平移的性质：所有对应点的距离相等 ).
故答案为：C.
【分析】 平移的性质，所有点的平移距离相等，因此要求 点B与其对应点B'之间的距离， 只需确定平移的水平距离即可 .根据“ A(0，3)平移后的对应点A'在直线 y = 3 4 x 上”，通过代入点A'的坐标可求出平移距离，从而得到BB'的距离 .
5．（2025八上·余姚期末）如图，已知一次函数 和 的图象交于点 ，则关于 的二元一次方程经 的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【解答】解：∵ 一次函数 和 的图像交于点 ，
∴ 二元一次方程 的解就是M点的坐标，即x=1，y=3.
故答案为：C。
【分析】计算两条直线的交点，即将两条直线对应的一次函数联立为二元一次方程组，求解即可。所以将两条直线对应的一次函数联立为二元一次方程组求出的解，就是该两条直线的交点坐标。本题从图中即可得出答案。
6．（2025八下·雷州期末）若点A（﹣2，y1），B（3，y2），C（1，y3）在一次函数y＝﹣3x+m（m是常数）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y1＞y3＞y2 D．y3＞y2＞y1
【答案】C
【知识点】一次函数的性质；比较一次函数值的大小
【解析】【解答】解：∵k=-3<0，
∴y随x的增大而减小，
∵点A（﹣2，y1），B（3，y2），C（1，y3）在一次函数y=-3x +m(m是常数)的图象上，且-2 <1 < 3，
∴y1＞y3＞y2
故答案为：C.
【分析】根据一次函数的性质k=-3<0，可得y随x的增大而减小，再根据-2 <1 < 3解答即可.
7．（2025八上·诸暨期末）两条直线与在同一直角坐标系中的图像位置可能是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：A.由图像可知，两直线应满足和，两直线解析式不满足此条件，本选项错误，不符合题意；
B. 由图像可知，两直线应满足和，两直线解析式不满足此条件，本选项错误，不符合题意；
C. 由图像可知，两直线应满足和，两直线解析式满足此条件，本选项正确，符合题意；
D. 由图像可知，两直线应满足和，两直线解析式不满足此条件，本选项错误，不符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据一次函数的图象判断b的正负解题即可．
8．（2023七下·萧县期末）某学校劳动实践基地要围一个长方形菜园，菜园的一边利用足够长的墙，用篱笆围成的另外三边总长度恰好为24米，如图．设边的长为x米，边的长为y米，则y与x之间的关系式是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】一次函数的概念；列一次函数关系式
【解析】【解答】三边长度24米，即x+y+y=24，y=（24-x）/2，改写成一般式即为D。
【分析】逻辑关系简单，注意改写一般式时系数的处理。
9．（2022八上·诸暨期中）已知，，若规定，则的最小值为（　　）
A．0 B．1 C． D．2
【答案】B
【知识点】解一元一次不等式组；一次函数的性质；比较一次函数值的大小
【解析】【解答】解：∵，，
且，
∴当时，，
解得：．
∴时，；
当，．
∴，
可化为：，
∵，其函数值随自变量的增大而增大，故其在时取得最小值，即；
，其函数值随自变量的增大而减小，故．
∴y的最小值是1．
故答案为：B．
【分析】根据规定可得：当时，，解得x的范围，再将原不等式化为关于x的不等式组，再根据一次函数的性质即可求得y的最小值．
10．（2025八上·海曙期末）关于函数，给出下列说法正确的是：（　　）
①当时，该函数是一次函数；
②若点在该函数图象上，且，则；
③若该函数不经过第四象限，则；
④该函数恒过定点．
A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③
【答案】A
【知识点】一次函数的概念；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：当时，该函数是一次函数，正确，故①符合题意；
若点在该函数图象上，且，
，
y随x的增大而增大，则正确，故②符合题意；
若该函数不经过第四象限，则，
原说法错误，故③不符合题意；
令，则该函数恒过定点，正确，故④符合题意；
故符合题意的有①②④，
故答案为：A．
【分析】 根据一次函数的定义判断①、利用一次函数的增减性判断②、根据一次函数的图象经过的象限判断③，根据一次函数图象上点的坐标特征判断④即可．
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2025八上·海曙期末）某一次函数的图象经过点，且该函数随的增大而减小．请写出一个符合条件的一次函数的表达式　 　．
【答案】（答案不唯一）
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的性质
【解析】【解答】解：设一次函数的解析式为，∵函数的值随值的增大而减小，
∴，
∵函数图象经过点，
∴，
取，
此时一次函数的解析式为．
故答案为：（答案不唯一）．
【分析】根据一次函数的增减性得到，设y=-x+b，把点代入解析式得到的值解题即可．
12．（2025八上·宁波期末）已知直线y=x+2与直线y=x-6相交于点P（-2，-3），则二元一次方程组的解是　 　.
【答案】
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【解答】解：直线 与直线 相交于点
∴二元一次方程组的解是
故答案为：
【分析】直接根据函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解得到答案.
13．（2024八上·杭州期中）若一次函数不经过第三象限，则的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】解一元一次不等式组；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵一次函数不经过第三象限，
∴，
解得：，
故答案为：．
【分析】对于一次函数，当时，函数图象必过一、二、三象限；当时，函数图象必过一、三、四象限；当时，函数图象必过一、二、四象限；当时，函数图象必过二、三、四象限.据此得关于的不等式组，解不等式组即可求解.
14．（2025八上·慈溪期末）对于一次函数y=kx-k-l（k为常数，k≠0），当1≤x≤2时，y有3个整数值，则符合条件的整数k的值为　 　.
【答案】2或-2
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：因为
所以一次函数的图象过定点(
又因为当 时，y有3个整数值，
则当 时，
解得
则整数k的值为2.
当 时，
解得
则整数k的值为
综上所述，符合条件的整数k的值为2或-2.
故答案为：2或
【分析】根据所给函数解析式，得出函数图象过定点( ，再根据 时，y有3个整数值，结合分类讨论的数学思想即可解决问题.
15．（2024八上·温州期末）已知点 在一次函数 的图象上．当 时， ，则该函数图象不经过第　 　象限。
【答案】三
【知识点】一次函数的性质
【解析】【解答】解：∵点(x1，y1)，(x2，y2)在一次函数y = kx + 2(k ≠0)的图象上，当x1y2，
∴y随x的增大而减小，
∴k<0，
∵b=2>0，
∴函数的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，
故答案为：三.
【分析】根据一次函数的增减性判断出k；的符号，再根据一次函数的性质即可得出结论.
16．（2025八上·诸暨期末）在平面直角坐标系中，四个点坐标依次为，，，，点为线段上一动点，点为线段上一动点，点为轴上一动点．当三点运动到最短时，点的坐标是　 　．
【答案】
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；垂线段最短及其应用；等腰三角形的判定与性质；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：如下图，作线段关于轴的对称线段，且点关于的对称点为点，
则，，，
∴，
过点作的平行线，由图可知线段在直线上方，
故当点与点重合，点在同一直线上，且时，取最小值，即取最小值，
设直线交轴于点，延长交轴于点，过点作轴于点，过点作轴于点，
设直线的解析式为，
将点，代入，
可得，解得，
∴直线的解析式为，
令，可得，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵轴，，
∴，，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】作线段关于轴的对称线段，且点关于的对称点为点，根据轴对称可得当点与点重合，点在同一直线上，取最小值，设直线交轴于点，延长交轴于点，过点作轴于点，过点作轴于点，利用待定系数法求出直线的解析式，即可得到点，然后得到为等腰直角三角形，为等腰直角三角形，即可求出的值解题即可．
三、解答题（共8题，共72分）
17．（2024八上·嘉兴期末）已知一次函数的图象经过点．
（1）求此一次函数的表达式．
（2）判断点是否在该函数图象上，并说明理由．
【答案】（1）解：把点A(-1，2)代入y=x+b得：2=-1+b，
解得：b=3，
故一次函数表达式为y=x+3；
（2）解：当x=-2时，y=-2+3=1，
故点(-2，1)在该函数图象上．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的性质
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）把x=－2代入y=x+3，得y=1，即可判断点在函数图象上.
18．（2025八上·宁波期末）已知y是x的一次函数，根据右表提供的数据：
x 3 -4
y 5 -9
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）求该函数图象和坐标轴围成的三角形面积
【答案】（1）解：设一次函数的表达式为y=kx+b(k≠0)，
将x=3，y=5和x=-4，y=-9分别代入上式，得， 解得
∴一次函数的表达式为y=2x-1
（2）解：取x=0，得y=-1，得到点(0，-1)，
取y=0，得x=得到点(，0)
∴三角形的面积S=××|-1|=
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数中的面积问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式；
（2）先求出直线与x轴的交点坐标，然后利用分割法求三角形的面积即可.
19．（2025八上·余姚期末）一辆客车从甲地开往乙地，一辆出租车从乙地开往甲地，两车同时出发．设客车与甲地的距离为（千米），出租车与甲地的距离为（千米），两车行驶的时间为x（小时），、与x的函数关系图象如图所示：
（1）根据图象，直接写出、与x的函数表达式，并写出相应的自变量取值范围．
（2）运用（1）的结论，求当时两车之间的距离．
（3）若在出租车到达甲地之前，两车间的距离为S，求S与x的函数表达式．
【答案】（1）解：设，由图可知，函数图象经过点，∴，
解得：，
∴，
设由图可知，函数图象经过点，，
则，
解得：，
∴；
（2）解：当时，，，∴，
答：当时两车之间的距离为200千米；
（3）解：当两车相遇时，即，解得，
故两车相遇之前S与x的函数关系式为：；
两车相遇之后S与x的函数关系式为：．
【知识点】一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【分析】（1）直接运用待定系数法就可以求出、与x之间的函数图关系式；
（2）将代入（1）中的关系式，再由得出结果；
（3）先求出两车相遇时所需时间，再分别根据相遇前和相遇后两种情况列出函数表达式即可．
（1）解：设，由图可知，函数图象经过点，
∴，
解得：，
∴，
设由图可知，函数图象经过点，，
则，
解得：，
∴；
（2）解：当时，，，
∴，
答：当时两车之间的距离为200千米；
（3）解：当两车相遇时，即，解得，
故两车相遇之前S与x的函数关系式为：；
两车相遇之后S与x的函数关系式为：．
20．（2025八上·丽水期末）如图，直线过点，．
（1）求直线的解析式．
（2）若直线与直线相交于点，求点的坐标．
（3）根据图象，写出关于的不等式的解集．
【答案】（1）解：直线过点，．
，
解方程组得，
直线的解析式为
（2）直线与直线相交于点，
解方程组，
解得，
点的坐标为
（3）由图可知，时，
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求一次函数解析式解答即可；
（2）求两条直线的交点坐标，只需联立两直线解析式，解方程组即可；
（3）根据图象，利用数形结合的思想，不等式的解集，就是点C左边的部分的x的取值范围即可．
21．在平面直角坐标系xOy中，点 P 的坐标为(m+1，m-1).
（1）试判断点 P 是否在一次函数y=x-2的图象上，并说明理由.
（2）如图，一次函数 的图象与x轴、y轴分别相交于点A，B，若点 P 在△AOB 的内部，求 m 的取值范围.
【答案】（1）解： 点 P 在一次函数y=x-2的图象上， 理由如下：
把x=m+1代入 y=x-2 中，得：y=m+1-2=m-1，
∴ 点 P (m+1，m-1) 在 一次函数y=x-2的图象上 。
（2）解：联立直线AB的解析式和直线 y=x-2 ，可组成方程组：，解得
∴两直线交点为
又∵直线 y=x-2与x轴交点为(2，0)，点 P (m+1，m-1) 在 一次函数y=x-2的图象上 ，且 在△AOB 的内部
∴解得：
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）在 y=x-2 中，令x=m+1，可求得y= m-1 ，即可得出 点 P 在一次函数y=x-2的图象上；
（2）联立直线AB的解析式和直线 y=x-2 ，求出两直线的交点，又直线 y=x-2与x轴交点为(2，0)，然后根据点P的位置，即可得出关于m的不等式组，解不等式组，即可得出 m 的取值范围.
22．（2025八上·西湖期末）已知一次函数（a为常数，）的图象过点．
（1）求一次函数的表达式．
（2）若点，都在该函数的图象上．
①当时，求的取值范围．
②请判断，的大小关系，并说明理由．
【答案】（1）解：(1)∵一次函数y=(a+1)x+a-2(a为常数，a≠-1)的图象过点(-2，4)，
∴4=-2a-2+a-2，
解得a=-8，
∴一次函数的表达式为：y=-7x-10.
（2）解：(2)①由一次函数解析式y=-7x-10可知：
当-1②因为一次函数k=-7<0，y随x的增大而减小，
又∵m∴y1>y2.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的性质
【解析】【分析】(1)将点(-2，4)坐标代入直线解析式求出a值，还原解析式即可；
(2)①根据-1②根据一次函数的增减性判定即可.
（1）解：根据题意，将点代入一次函数中，
则，
解得：，
∴一次函数的表达式为；
（2）解：①由（1）知一次函数的表达式为，
∵，
∴随的增大而减小，
当时，则，
当时，则，
∴当时，的取值范围为；
②，理由如下：
由①知一次函数，随的增大而减小，
∵，
∴．
23．（2025八上·苍南期末）根据提供的材料解决问题．
材料一 内容
某商贸公司经销甲、乙两个品种的葡萄，甲种葡萄进价为5元斤：乙品种葡萄的进货总金额（单位：元）与乙品种葡萄的进货量（单位：斤）之间的关系如图所示，经过试销，在城市销售甲、乙两个品种葡萄的售价分别为7元斤和14元斤．
材料二 在葡萄节开节当日，该商贸公司收购了甲、乙两个品种的葡萄共2000斤，其中乙品种的收购量不低于400斤，且不高于1000斤．
材料三 葡萄运到城市，商场发现顾客对甲、乙两个品种葡萄都很喜欢，于是决定把两种葡萄进行混合销售，并适当让利给消费者．
任务一 求图中直线函数解析式．
任务二 若从收购点运到商场的其他各种费用还需要200元，收购的葡萄能够全部卖完，设销售完甲、乙两个品种的葡萄所获总利润为元（利润销售额成本）．求出（单位：元）与乙品种葡萄的进货量（单位：斤）之间的函数关系式，并为该商贸公司设计出获得最大利润的收购方案．
任务三 在任务二获得的最大利润的基础上，商场把最大利润的让利给购买者，那么混合销售葡萄的销售价应定为多少？
【答案】解：任务一：设直线函数解析式为
由题意可得：，
直线函数解析式为
任务二：由题意可得：乙葡萄的进货量为，甲葡萄的进货量为
乙葡萄的利润
甲葡萄的利润
因为
时，利润最大
即乙葡萄的进货量为1000斤，甲葡萄的进货量为1000斤．
任务三：当利润最大时，甲、乙葡萄的进货量都为1000斤
总成本（元）
让利给购买者后的利润（元）
总销售额为：（元）
销售价 =19100÷2000=9.55（元/斤）
即销售价应定为：9.55（元/斤）
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象、性质与系数的关系；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）本题考查了根据待定系数法求函数解析式，利用函数图象点的坐标求解函数. 需要根据给出的两点M(50，600)和N(100，1100)代入一次函数通式y=kx+b（k≠0），构造二元一次方程组，求解即可求出函数解析式；
（2）本题考考查了一次函数的实际应用-销售问题及一次函数图象的性质.一次函数y=kx+b（k≠0），k＞0时，y随x的增大而增大；k＜0时，y随x的增大而减小.本题解题的关键是根据题意列出400≤x≤1000，再根据题目中数量关系表示出总利润w的函数关系式，利用一次函数的性质即可求出w的最大值.
（3）根据（1）、（2）的结论，计算出总成本和让利后的总利润，再求出总销售额.最后用总销售额除以总重量即可求出混合销售价格.
24．（2024八上·南湖月考）如图1，在中，，，，以点O为原点建立平面直角坐标系，点A，C关于y轴对称．
（1）判断是什么特殊三角形，并说明理由．
（2）如图2，若点D为x轴下方平面内一动点，且，连接，求线段的最大值．
（3）如图2，若点D坐标为，过点D的直线，将四边形分成面积相等的两部分时，请直接写出b的值．
【答案】（1）解：是等边三角形，理由如下：
∵，点关于轴对称，
∴，，
∴，
∴是等边三角形；
（2）解：如图，连接，
∵，点关于轴对称，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴当共线时，线段有最大值为；
（3）解：设过点的直线交于点，过点作轴于点，过点作轴于点，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
由（1）得是等边三角形，
∴，
∴，
∴四边形是梯形，
∵，
∴，
∴，
由（2）得，
∴，
∴四边形的面积为，
又∵过点的直线，将四边形分成面积相等的两部分，
∴，
∴，即，
解得：，
∵轴，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
将，代入，得，
解得：，
∴．
【知识点】三角形的面积；等边三角形的判定与性质；轴对称的性质；一次函数的实际应用-几何问题；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）根据轴对称的性质求得，，从而得，进而根据等边三角形的判定得是等边三角形；
（2）连接，根据轴对称的性质求得，则，然后由直角三角形斜边上的中线性质得，利用含30°的直角三角形的性质得，由勾股定理求出，最后得当共线时，求出线段的最大值；
（3）设过点的直线交于点，过点作轴于点，过点作轴于点，先证明是等边三角形，结合（1）中的结论得，从而得，进而得四边形是梯形，然后求出，利用勾股定理得，于是根据梯形的面积公式求得四边形的面积，则求出的面积，利用三角形面积公式得，接下来求出，根据含30°的直角三角形的性质得的值，即可求得点坐标，最后将坐标代入直线解析式，解方程组即可.
（1）解：∵，点A，C关于y轴对称，
∴，，
∴，
∴是等边三角形；
（2）解：连接，
∵，点A，C关于y轴对称，
∴，
∵，
∴，
∵，，，
∴，，
∵，
∴当共线时，线段有最大值，
∴线段的最大值为；
（3）解：过点作轴于点，
∵点D坐标为，
∴，，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，，，
∴四边形的面积，
设过点的直线交于点，
由题意得的面积的面积，
∴，即，
解得，
过点作轴于点，
∵，
∴，
∴，，，
∴点坐标为，
∴，
解得，
∴．
1 / 1浙教版数学八年级上册第5章 一次函数 单元检测培优卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．下列y 与x之间的函数关系式：①y=x；②y= x2-x；③y= -1；④y=-x+10；⑤y= kx+b；⑥y=x（x-1）.其中一定是一次函数的有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
2．（2025八上·柯城期末）若正比例函数的图象经过点，则k的值为（　　）
A． B． C．3 D．
3．（2025八上·慈溪期末）在国内投寄平信应付邮资如下表：
信件质量x（克） 0邮资y（元/封） 1.20 2.40 3.60
某人投寄平信花费2.40元，则此平信的质量可能为（　　）
A．15 克 B．20克 C．37克 D．50克
4． 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(0，3)，△ABO沿x轴向右平移得到△A'B'O'，点A的对应点A'在直线 上，则点B与其对应点B'间的距离是(　　)
A． B．3 C．4 D．5
5．（2025八上·余姚期末）如图，已知一次函数 和 的图象交于点 ，则关于 的二元一次方程经 的解是（ ）
A． B． C． D．
6．（2025八下·雷州期末）若点A（﹣2，y1），B（3，y2），C（1，y3）在一次函数y＝﹣3x+m（m是常数）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y1＞y3＞y2 D．y3＞y2＞y1
7．（2025八上·诸暨期末）两条直线与在同一直角坐标系中的图像位置可能是（　　）
A． B．
C． D．
8．（2023七下·萧县期末）某学校劳动实践基地要围一个长方形菜园，菜园的一边利用足够长的墙，用篱笆围成的另外三边总长度恰好为24米，如图．设边的长为x米，边的长为y米，则y与x之间的关系式是（　　）
A． B． C． D．
9．（2022八上·诸暨期中）已知，，若规定，则的最小值为（　　）
A．0 B．1 C． D．2
10．（2025八上·海曙期末）关于函数，给出下列说法正确的是：（　　）
①当时，该函数是一次函数；
②若点在该函数图象上，且，则；
③若该函数不经过第四象限，则；
④该函数恒过定点．
A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2025八上·海曙期末）某一次函数的图象经过点，且该函数随的增大而减小．请写出一个符合条件的一次函数的表达式　 　．
12．（2025八上·宁波期末）已知直线y=x+2与直线y=x-6相交于点P（-2，-3），则二元一次方程组的解是　 　.
13．（2024八上·杭州期中）若一次函数不经过第三象限，则的取值范围是　 　．
14．（2025八上·慈溪期末）对于一次函数y=kx-k-l（k为常数，k≠0），当1≤x≤2时，y有3个整数值，则符合条件的整数k的值为　 　.
15．（2024八上·温州期末）已知点 在一次函数 的图象上．当 时， ，则该函数图象不经过第　 　象限。
16．（2025八上·诸暨期末）在平面直角坐标系中，四个点坐标依次为，，，，点为线段上一动点，点为线段上一动点，点为轴上一动点．当三点运动到最短时，点的坐标是　 　．
三、解答题（共8题，共72分）
17．（2024八上·嘉兴期末）已知一次函数的图象经过点．
（1）求此一次函数的表达式．
（2）判断点是否在该函数图象上，并说明理由．
18．（2025八上·宁波期末）已知y是x的一次函数，根据右表提供的数据：
x 3 -4
y 5 -9
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）求该函数图象和坐标轴围成的三角形面积
19．（2025八上·余姚期末）一辆客车从甲地开往乙地，一辆出租车从乙地开往甲地，两车同时出发．设客车与甲地的距离为（千米），出租车与甲地的距离为（千米），两车行驶的时间为x（小时），、与x的函数关系图象如图所示：
（1）根据图象，直接写出、与x的函数表达式，并写出相应的自变量取值范围．
（2）运用（1）的结论，求当时两车之间的距离．
（3）若在出租车到达甲地之前，两车间的距离为S，求S与x的函数表达式．
20．（2025八上·丽水期末）如图，直线过点，．
（1）求直线的解析式．
（2）若直线与直线相交于点，求点的坐标．
（3）根据图象，写出关于的不等式的解集．
21．在平面直角坐标系xOy中，点 P 的坐标为(m+1，m-1).
（1）试判断点 P 是否在一次函数y=x-2的图象上，并说明理由.
（2）如图，一次函数 的图象与x轴、y轴分别相交于点A，B，若点 P 在△AOB 的内部，求 m 的取值范围.
22．（2025八上·西湖期末）已知一次函数（a为常数，）的图象过点．
（1）求一次函数的表达式．
（2）若点，都在该函数的图象上．
①当时，求的取值范围．
②请判断，的大小关系，并说明理由．
23．（2025八上·苍南期末）根据提供的材料解决问题．
材料一 内容
某商贸公司经销甲、乙两个品种的葡萄，甲种葡萄进价为5元斤：乙品种葡萄的进货总金额（单位：元）与乙品种葡萄的进货量（单位：斤）之间的关系如图所示，经过试销，在城市销售甲、乙两个品种葡萄的售价分别为7元斤和14元斤．
材料二 在葡萄节开节当日，该商贸公司收购了甲、乙两个品种的葡萄共2000斤，其中乙品种的收购量不低于400斤，且不高于1000斤．
材料三 葡萄运到城市，商场发现顾客对甲、乙两个品种葡萄都很喜欢，于是决定把两种葡萄进行混合销售，并适当让利给消费者．
任务一 求图中直线函数解析式．
任务二 若从收购点运到商场的其他各种费用还需要200元，收购的葡萄能够全部卖完，设销售完甲、乙两个品种的葡萄所获总利润为元（利润销售额成本）．求出（单位：元）与乙品种葡萄的进货量（单位：斤）之间的函数关系式，并为该商贸公司设计出获得最大利润的收购方案．
任务三 在任务二获得的最大利润的基础上，商场把最大利润的让利给购买者，那么混合销售葡萄的销售价应定为多少？
24．（2024八上·南湖月考）如图1，在中，，，，以点O为原点建立平面直角坐标系，点A，C关于y轴对称．
（1）判断是什么特殊三角形，并说明理由．
（2）如图2，若点D为x轴下方平面内一动点，且，连接，求线段的最大值．
（3）如图2，若点D坐标为，过点D的直线，将四边形分成面积相等的两部分时，请直接写出b的值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】一次函数的概念
【解析】【解答】解：①y=x是正比例函数，是特殊的一次函数； 不是一次函数； 1不是一次函数；④y=-x+10是一次函数；⑤y= kx+b，当k=0时，不是一次函数；⑥y= 不是一次函数.综上所述，一定是一次函数的有2个.
故选 C.
【分析】根据形如y=kx+b(k≠0，k、b是常数)的函数，叫做一次函数进行分析即可.
2．【答案】A
【知识点】正比例函数的图象
【解析】【解答】解：正比例函数的图象经过点，
，
解得：
故答案为：A.
【分析】根据正比例函数图象上点的坐标特点，将点(2，-6)代入y=kx即可求出k的值.
3．【答案】C
【知识点】用表格表示变量间的关系
【解析】【解答】解：∵ 投寄平信花费2.40元，则此平信的质量 20符合要求的是37克 ，
故答案为：C.
【分析】根据表格可知平信的质量范围为 204．【答案】C
【知识点】坐标与图形变化﹣平移；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点A的坐标为(0，3)， △ABO沿x轴向右平移得到△A'B'O'，
∴平移后对应点A'的纵坐标为3 ，
∵ 点A的对应点A'在直线 上 ，
∴，
解得 x=4，
即A'的坐标为（4，0），
∴AA'=4，
∴ 点B与其对应点B'间的距离也是4 ( 平移的性质：所有对应点的距离相等 ).
故答案为：C.
【分析】 平移的性质，所有点的平移距离相等，因此要求 点B与其对应点B'之间的距离， 只需确定平移的水平距离即可 .根据“ A(0，3)平移后的对应点A'在直线 y = 3 4 x 上”，通过代入点A'的坐标可求出平移距离，从而得到BB'的距离 .
5．【答案】C
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【解答】解：∵ 一次函数 和 的图像交于点 ，
∴ 二元一次方程 的解就是M点的坐标，即x=1，y=3.
故答案为：C。
【分析】计算两条直线的交点，即将两条直线对应的一次函数联立为二元一次方程组，求解即可。所以将两条直线对应的一次函数联立为二元一次方程组求出的解，就是该两条直线的交点坐标。本题从图中即可得出答案。
6．【答案】C
【知识点】一次函数的性质；比较一次函数值的大小
【解析】【解答】解：∵k=-3<0，
∴y随x的增大而减小，
∵点A（﹣2，y1），B（3，y2），C（1，y3）在一次函数y=-3x +m(m是常数)的图象上，且-2 <1 < 3，
∴y1＞y3＞y2
故答案为：C.
【分析】根据一次函数的性质k=-3<0，可得y随x的增大而减小，再根据-2 <1 < 3解答即可.
7．【答案】C
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：A.由图像可知，两直线应满足和，两直线解析式不满足此条件，本选项错误，不符合题意；
B. 由图像可知，两直线应满足和，两直线解析式不满足此条件，本选项错误，不符合题意；
C. 由图像可知，两直线应满足和，两直线解析式满足此条件，本选项正确，符合题意；
D. 由图像可知，两直线应满足和，两直线解析式不满足此条件，本选项错误，不符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据一次函数的图象判断b的正负解题即可．
8．【答案】D
【知识点】一次函数的概念；列一次函数关系式
【解析】【解答】三边长度24米，即x+y+y=24，y=（24-x）/2，改写成一般式即为D。
【分析】逻辑关系简单，注意改写一般式时系数的处理。
9．【答案】B
【知识点】解一元一次不等式组；一次函数的性质；比较一次函数值的大小
【解析】【解答】解：∵，，
且，
∴当时，，
解得：．
∴时，；
当，．
∴，
可化为：，
∵，其函数值随自变量的增大而增大，故其在时取得最小值，即；
，其函数值随自变量的增大而减小，故．
∴y的最小值是1．
故答案为：B．
【分析】根据规定可得：当时，，解得x的范围，再将原不等式化为关于x的不等式组，再根据一次函数的性质即可求得y的最小值．
10．【答案】A
【知识点】一次函数的概念；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：当时，该函数是一次函数，正确，故①符合题意；
若点在该函数图象上，且，
，
y随x的增大而增大，则正确，故②符合题意；
若该函数不经过第四象限，则，
原说法错误，故③不符合题意；
令，则该函数恒过定点，正确，故④符合题意；
故符合题意的有①②④，
故答案为：A．
【分析】 根据一次函数的定义判断①、利用一次函数的增减性判断②、根据一次函数的图象经过的象限判断③，根据一次函数图象上点的坐标特征判断④即可．
11．【答案】（答案不唯一）
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的性质
【解析】【解答】解：设一次函数的解析式为，∵函数的值随值的增大而减小，
∴，
∵函数图象经过点，
∴，
取，
此时一次函数的解析式为．
故答案为：（答案不唯一）．
【分析】根据一次函数的增减性得到，设y=-x+b，把点代入解析式得到的值解题即可．
12．【答案】
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【解答】解：直线 与直线 相交于点
∴二元一次方程组的解是
故答案为：
【分析】直接根据函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解得到答案.
13．【答案】
【知识点】解一元一次不等式组；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵一次函数不经过第三象限，
∴，
解得：，
故答案为：．
【分析】对于一次函数，当时，函数图象必过一、二、三象限；当时，函数图象必过一、三、四象限；当时，函数图象必过一、二、四象限；当时，函数图象必过二、三、四象限.据此得关于的不等式组，解不等式组即可求解.
14．【答案】2或-2
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：因为
所以一次函数的图象过定点(
又因为当 时，y有3个整数值，
则当 时，
解得
则整数k的值为2.
当 时，
解得
则整数k的值为
综上所述，符合条件的整数k的值为2或-2.
故答案为：2或
【分析】根据所给函数解析式，得出函数图象过定点( ，再根据 时，y有3个整数值，结合分类讨论的数学思想即可解决问题.
15．【答案】三
【知识点】一次函数的性质
【解析】【解答】解：∵点(x1，y1)，(x2，y2)在一次函数y = kx + 2(k ≠0)的图象上，当x1y2，
∴y随x的增大而减小，
∴k<0，
∵b=2>0，
∴函数的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，
故答案为：三.
【分析】根据一次函数的增减性判断出k；的符号，再根据一次函数的性质即可得出结论.
16．【答案】
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；垂线段最短及其应用；等腰三角形的判定与性质；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：如下图，作线段关于轴的对称线段，且点关于的对称点为点，
则，，，
∴，
过点作的平行线，由图可知线段在直线上方，
故当点与点重合，点在同一直线上，且时，取最小值，即取最小值，
设直线交轴于点，延长交轴于点，过点作轴于点，过点作轴于点，
设直线的解析式为，
将点，代入，
可得，解得，
∴直线的解析式为，
令，可得，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵轴，，
∴，，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】作线段关于轴的对称线段，且点关于的对称点为点，根据轴对称可得当点与点重合，点在同一直线上，取最小值，设直线交轴于点，延长交轴于点，过点作轴于点，过点作轴于点，利用待定系数法求出直线的解析式，即可得到点，然后得到为等腰直角三角形，为等腰直角三角形，即可求出的值解题即可．
17．【答案】（1）解：把点A(-1，2)代入y=x+b得：2=-1+b，
解得：b=3，
故一次函数表达式为y=x+3；
（2）解：当x=-2时，y=-2+3=1，
故点(-2，1)在该函数图象上．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的性质
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）把x=－2代入y=x+3，得y=1，即可判断点在函数图象上.
18．【答案】（1）解：设一次函数的表达式为y=kx+b(k≠0)，
将x=3，y=5和x=-4，y=-9分别代入上式，得， 解得
∴一次函数的表达式为y=2x-1
（2）解：取x=0，得y=-1，得到点(0，-1)，
取y=0，得x=得到点(，0)
∴三角形的面积S=××|-1|=
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数中的面积问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式；
（2）先求出直线与x轴的交点坐标，然后利用分割法求三角形的面积即可.
19．【答案】（1）解：设，由图可知，函数图象经过点，∴，
解得：，
∴，
设由图可知，函数图象经过点，，
则，
解得：，
∴；
（2）解：当时，，，∴，
答：当时两车之间的距离为200千米；
（3）解：当两车相遇时，即，解得，
故两车相遇之前S与x的函数关系式为：；
两车相遇之后S与x的函数关系式为：．
【知识点】一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【分析】（1）直接运用待定系数法就可以求出、与x之间的函数图关系式；
（2）将代入（1）中的关系式，再由得出结果；
（3）先求出两车相遇时所需时间，再分别根据相遇前和相遇后两种情况列出函数表达式即可．
（1）解：设，由图可知，函数图象经过点，
∴，
解得：，
∴，
设由图可知，函数图象经过点，，
则，
解得：，
∴；
（2）解：当时，，，
∴，
答：当时两车之间的距离为200千米；
（3）解：当两车相遇时，即，解得，
故两车相遇之前S与x的函数关系式为：；
两车相遇之后S与x的函数关系式为：．
20．【答案】（1）解：直线过点，．
，
解方程组得，
直线的解析式为
（2）直线与直线相交于点，
解方程组，
解得，
点的坐标为
（3）由图可知，时，
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求一次函数解析式解答即可；
（2）求两条直线的交点坐标，只需联立两直线解析式，解方程组即可；
（3）根据图象，利用数形结合的思想，不等式的解集，就是点C左边的部分的x的取值范围即可．
21．【答案】（1）解： 点 P 在一次函数y=x-2的图象上， 理由如下：
把x=m+1代入 y=x-2 中，得：y=m+1-2=m-1，
∴ 点 P (m+1，m-1) 在 一次函数y=x-2的图象上 。
（2）解：联立直线AB的解析式和直线 y=x-2 ，可组成方程组：，解得
∴两直线交点为
又∵直线 y=x-2与x轴交点为(2，0)，点 P (m+1，m-1) 在 一次函数y=x-2的图象上 ，且 在△AOB 的内部
∴解得：
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）在 y=x-2 中，令x=m+1，可求得y= m-1 ，即可得出 点 P 在一次函数y=x-2的图象上；
（2）联立直线AB的解析式和直线 y=x-2 ，求出两直线的交点，又直线 y=x-2与x轴交点为(2，0)，然后根据点P的位置，即可得出关于m的不等式组，解不等式组，即可得出 m 的取值范围.
22．【答案】（1）解：(1)∵一次函数y=(a+1)x+a-2(a为常数，a≠-1)的图象过点(-2，4)，
∴4=-2a-2+a-2，
解得a=-8，
∴一次函数的表达式为：y=-7x-10.
（2）解：(2)①由一次函数解析式y=-7x-10可知：
当-1②因为一次函数k=-7<0，y随x的增大而减小，
又∵m∴y1>y2.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的性质
【解析】【分析】(1)将点(-2，4)坐标代入直线解析式求出a值，还原解析式即可；
(2)①根据-1②根据一次函数的增减性判定即可.
（1）解：根据题意，将点代入一次函数中，
则，
解得：，
∴一次函数的表达式为；
（2）解：①由（1）知一次函数的表达式为，
∵，
∴随的增大而减小，
当时，则，
当时，则，
∴当时，的取值范围为；
②，理由如下：
由①知一次函数，随的增大而减小，
∵，
∴．
23．【答案】解：任务一：设直线函数解析式为
由题意可得：，
直线函数解析式为
任务二：由题意可得：乙葡萄的进货量为，甲葡萄的进货量为
乙葡萄的利润
甲葡萄的利润
因为
时，利润最大
即乙葡萄的进货量为1000斤，甲葡萄的进货量为1000斤．
任务三：当利润最大时，甲、乙葡萄的进货量都为1000斤
总成本（元）
让利给购买者后的利润（元）
总销售额为：（元）
销售价 =19100÷2000=9.55（元/斤）
即销售价应定为：9.55（元/斤）
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象、性质与系数的关系；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）本题考查了根据待定系数法求函数解析式，利用函数图象点的坐标求解函数. 需要根据给出的两点M(50，600)和N(100，1100)代入一次函数通式y=kx+b（k≠0），构造二元一次方程组，求解即可求出函数解析式；
（2）本题考考查了一次函数的实际应用-销售问题及一次函数图象的性质.一次函数y=kx+b（k≠0），k＞0时，y随x的增大而增大；k＜0时，y随x的增大而减小.本题解题的关键是根据题意列出400≤x≤1000，再根据题目中数量关系表示出总利润w的函数关系式，利用一次函数的性质即可求出w的最大值.
（3）根据（1）、（2）的结论，计算出总成本和让利后的总利润，再求出总销售额.最后用总销售额除以总重量即可求出混合销售价格.
24．【答案】（1）解：是等边三角形，理由如下：
∵，点关于轴对称，
∴，，
∴，
∴是等边三角形；
（2）解：如图，连接，
∵，点关于轴对称，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴当共线时，线段有最大值为；
（3）解：设过点的直线交于点，过点作轴于点，过点作轴于点，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
由（1）得是等边三角形，
∴，
∴，
∴四边形是梯形，
∵，
∴，
∴，
由（2）得，
∴，
∴四边形的面积为，
又∵过点的直线，将四边形分成面积相等的两部分，
∴，
∴，即，
解得：，
∵轴，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
将，代入，得，
解得：，
∴．
【知识点】三角形的面积；等边三角形的判定与性质；轴对称的性质；一次函数的实际应用-几何问题；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）根据轴对称的性质求得，，从而得，进而根据等边三角形的判定得是等边三角形；
（2）连接，根据轴对称的性质求得，则，然后由直角三角形斜边上的中线性质得，利用含30°的直角三角形的性质得，由勾股定理求出，最后得当共线时，求出线段的最大值；
（3）设过点的直线交于点，过点作轴于点，过点作轴于点，先证明是等边三角形，结合（1）中的结论得，从而得，进而得四边形是梯形，然后求出，利用勾股定理得，于是根据梯形的面积公式求得四边形的面积，则求出的面积，利用三角形面积公式得，接下来求出，根据含30°的直角三角形的性质得的值，即可求得点坐标，最后将坐标代入直线解析式，解方程组即可.
（1）解：∵，点A，C关于y轴对称，
∴，，
∴，
∴是等边三角形；
（2）解：连接，
∵，点A，C关于y轴对称，
∴，
∵，
∴，
∵，，，
∴，，
∵，
∴当共线时，线段有最大值，
∴线段的最大值为；
（3）解：过点作轴于点，
∵点D坐标为，
∴，，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，，，
∴四边形的面积，
设过点的直线交于点，
由题意得的面积的面积，
∴，即，
解得，
过点作轴于点，
∵，
∴，
∴，，，
∴点坐标为，
∴，
解得，
∴．
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