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第二章 函数
第1讲 函数的概念及其表示
课标要求 考情分析
1.了解构成函数的要素，会求简单函数的定义域. 2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数，理解函数图象的作用. 3.了解简单的分段函数，并能简单地应用. 命题形式 常以选择题或填空题的形式出现，难度较低. 常考内容 分段函数.
必备知识 自主排查
理一理
1．函数的有关概念
（1）函数的概念
（2） 函数的表示法：表示函数的常用方法有 ①_ _ _ _ _ _ 、图象法和列表法.
（3） 同一个函数：如果两个函数的②_ _ _ _ _ _ 相同，并且③_ _ _ _ _ _ _ _ 完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数.
提醒 若两个函数的值域与对应关系相同，这两个函数不一定是同一个函数，如：与.
【答案】（2） 解析法
（3） 定义域；对应关系
2．分段函数
若函数在其定义域的④_ _ 子集上,因⑤_ _ _ _ _ _ _ _ 不同而分别用几个不同的式子来表示,这种函数称为分段函数.
提醒 分段函数是一个函数,而不是几个函数,分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值域的并集.
【答案】不同； 对应关系
常用结论
1.直线（是常数）与函数的图象至多有1个交点.
2.判断两个函数是同一个函数的依据是两个函数的定义域和对应关系完全一致.
练一练
1．判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1） 函数与是同一个函数.（ ）
（2） 是一个函数.（ ）
（3） 函数就是定义域到值域的对应关系.（ ）
（4） 若,，，其对应是从到的函数.（ ）
【答案】（1） √
（2） ×
（3） ×
（4） ×
2．（必修第一册P66例3改编）下列函数中，与函数是同一个函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
3．（多选）下列所给图象是函数图象的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】CD
【解析】选.由函数的概念知，题图A，均不是函数图象，，是函数图象.
4．函数的定义域为 _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】由 解得,所以 的定义域为.
5．已知函数则_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】因为,所以.
核心考点 师生共研
考点一 函数的定义域
［例1］
（1） [2025·酒泉期末]函数的定义域为（ ）
A. ， B. C. ， D. ，
（2） 已知函数的定义域为,则函数的定义域是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】（1） C
（2） C
【解析】
（1） 要使函数有意义，则 解得,所以函数 的定义域为 ，.
（2） 因为函数 的定义域为，所以 解得 且.所以函数 的定义域为.
［感悟进阶］
（1）求给定解析式的函数定义域的方法
求给定解析式的函数的定义域，其实质就是以函数解析式中所含式子（运算）有意义为准则，列出不等式（组）求解.对于实际问题，定义域应使实际问题有意义.
注意 定义域要用集合或区间表示，如果定义域是多个区间，要用符号“ ”连接.
［对点训练］
1．函数的定义域为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】由 解得 且,所以函数 的定义域为.
2．[2025·惠州模拟]若函数的定义域为，则实数_ _ _ _ ，实数的取值范围为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ．
【答案】2；
【解析】由函数，
得 即
因为函数 的定义域为，故,.
考点二 函数的解析式
［例2］
（1） 已知,求的解析式；
（2） 已知是二次函数，若方程有两个相等实根，且，求的解析式；
（3） 已知函数对于任意的都有,求的解析式.
【答案】
（1） 【解】令,，
则,
所以,.
即,.
（2） 设，
则,
所以,
则,,
所以.
又 有两个相等实根,
所以,则.
故.
（3） 因为,①
所以,②
由 化简得,.
［感悟进阶］
求函数解析式的四种方法
［对点训练］
1．若函数,则_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】函数,
又 的值域为，所以.
2．已知一次函数满足，则_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】设，则,所以 解得
所以.
考点三 分段函数
角度1 分段函数求值
［例3］ [2025·益阳模拟]已知则（ ）
A. B. 0 C. D.
【答案】D
【解析】根据已知得,所以.
［感悟进阶］
求分段函数的函数值的方法
先确定自变量的取值属于哪一段区间，再代入该段区间所对应的解析式求值.当出现的形式时，应从内到外依次求值.
角度2 分段函数与方程、不等式问题
［例4］ 已知函数则_ _ _ _ _ _ ;若,则_ _ _ _ ;不等式的解集为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】； 2； ，
【解析】由题意得,
所以.
当 时，,
解得（舍去），当 时，,
解得,所以若,则.
当 时，由，
解得,
当 时，由,解得,故不等式 的解集为.
［感悟进阶］
分段函数与方程、不等式问题的求解思路
解与分段函数有关的方程、不等式时，若自变量取值不确定，往往要分类讨论求解；若自变量取值确定，但分段函数中含有参数时，只需依据自变量的情况，直接代入相应解析式求解.
［对点训练］
1．[2025·合肥六校联考]设则（ ）
A. 10 B. 11 C. 12 D. 13
【答案】C
【解析】选..
2．[2024·上海春季高考]已知函数,若满足，则的取值范围为_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】根据题意知
当 时，,即,解得,则;当 时，，即,解得，即 时，不等式 恒成立.综上所述，的 的取值范围为.
课后达标 分级演练
A 基础达标
1．函数的定义域是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】选.因为,
所以 解得,且,所以函数 的定义域为.
2．下列选项中为同一个函数的是（ ）
A. ,
B. ,
C. ,
D. ,
【答案】B
【解析】选.对于，和 的定义域均为,,与 的对应关系不同，所以 和 不是同一个函数，故 错误；对于，和 的定义域均为,与 的对应关系相同，所以 和 是同一个函数，故 正确；
对于，的定义域为,的定义域为，故 和 的定义域不相同，和 不是同一个函数，故 错误；
对于，的定义域为，的定义域为,故 和 的定义域不相同，和 不是同一个函数，故 错误.
3．已知函数的定义域是，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】选.因为函数 的定义域是，所以不等式 对任意 恒成立，当 时，,对任意 恒成立，符合题意；当 时，即 解得,综上，,即实数 的取值范围是.
4．[2025·高三名校联考]设 若,则（ ）
A. 14 B. 16 C. 2 D. 6
【答案】A
【解析】选.的定义域为，则 解得.若,则,可得,不合题意；若,则,可得,解得.综上所述，.所以.
5．[2025·安阳段考]（多选）已知函数则下列说法正确的是（ ）
A. 的定义域为 B. 的值域为
C. 若,则 D. 的解集为
【答案】BC
【解析】选.由题意知函数 的定义域为，故 错误；当 时，的取值范围是，当 时，的取值范围是，因此 的值域为，故 正确；当 时，,解得（舍去），当 时，,解得 或（舍去），故 正确；当 时，,解得,当 时，,解得,因此 的解集为，故 错误.
6．若函数在闭区间上的图象如图所示，则此函数的解析式为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】由题图可知，当 时，;当 时，,所以
7．若函数,则_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】,因为，所以.
8．若函数则_ _ _ _ ,不等式的解集是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】3；
【解析】因为
所以,
所以.
当 时，,则,
解得 或,所以;
当 时，恒成立，所以不等式 的解集是.
9．（13分）求下列函数的解析式.
（1） 已知是一次函数，且满足;（6分）
（2） 已知,对任意的实数,都有.（7分）
【答案】
（1） 解：设,所以,
可得 解得 或
所以 或.
（2） 令,得,
所以.
B 综合运用
10．已知,且的定义域为，值域为，设函数的定义域为，值域为，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】选.因为,且 的定义域为，值域为,所以 的定义域为，值域为.由，得,所以 的定义域为，值域为，则，,所以.
11．（13分）已知函数
（1） 求,,的值；（6分）
（2） 若,求的取值范围.（7分）
【答案】（1） 解：,,因为,所以.
（2） 当 时，,解得,所以;当 时，，解得,所以;当 时，,解得,所以.
综上所述，实数 的取值范围为.
12．(15分)行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离y(单位：m)与汽车的车速x(单位：km/h)满足关系：y＝＋mx＋n(m，n是常数).根据多次试验数据绘制的刹车距离y(m)与汽车的车速x(km/h)的关系图如图所示．
(1)求y关于x的函数解析式；(7分)
(2)如果要求刹车距离不超过25.2 m，求汽车行驶的最大速度．(8分)
解：(1)由题意及题图，得
解得所以y＝＋(x≥0).
(2)由题意，令＋≤25.2，
解得－72≤x≤70.
因为x≥0，所以0≤x≤70.
所以汽车行驶的最大速度是70 km/h.
C 素养提升
13．[2025·德阳模拟]已知函数的定义域为，且,则（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 025 D. 2 026
【答案】D
【解析】选.对于题中等式，令 可得,所以,再令 可得,即,①
将①式中的 全部换成 可得,②
联立①②可得,所以.
14．已知函数若且,则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】选.设,则,为直线 与函数 图象的两个交点的横坐标，且,
由 且,得
则,根据对勾函数的性质可知 在 上单调递减，
在 上单调递增，且,,，
所以 的取值范围是，.
第2讲 函数的单调性与最值
课标要求 考情分析
1.借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最值. 2.理解函数的单调性、最值的实际意义，掌握函数单调性的简单应用. 命题形式 题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度中等偏上. 常考内容 函数单调性的判断及应用. 创新考法 以基本初等函数为载体，与导数结合，考查函数的单调性与最值.
必备知识 自主排查
理一理
1．函数的单调性
（1） 单调递增和单调递减
类别 增函数 减函数
定义 要求, 一般地，设函数的定义域为，区间如果,,当时
要求与 都有①_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 都有②_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
结论 函数在区间上③_ _ _ _ _ _ _ _ 函数在区间上④_ _ _ _ _ _ _ _
图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的
（2） 单调区间的定义
如果函数在区间上单调⑤_ _ 或单调⑥_ _ ，那么就说函数在这一区间具有（严格的）单调性，区间叫做函数的⑦_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】（1） ；；单调递增；单调递减
（2） 递增；递减；单调区间
提醒 （1）单调区间只能用区间表示，不能用不等式表示；
（2）有多个单调区间应分开写，不能用“ ”和“或”连接，只能用“,”或“和”连接.
2．函数的最值
前提 一般地，设函数的定义域为,如果存在实数满足
条件 ,都有 ⑧_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ; ,使得⑨_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ,都有 ⑩_ _ _ _ _ _ _ _ ; ,使得 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
结论 为最大值 为最小值
【答案】； ； ；
常用结论
1.函数单调性的两个等价结论
设,,则
（1）(或)在上单调递增.
（2）(或)在上单调递减.
2.若函数，在区间上具有单调性，则在区间上具有以下性质：
（1）当，都是增（减）函数时，是增（减）函数.
（2）若，则与单调性相同；若，则与单调性相反.
（3）函数在公共定义域内与，的单调性相反.
（4）复合函数的单调性与和的单调性有关.简记为“同增异减”.
练一练
1．判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1） 若定义在上的函数满足,则函数在上为增函数.（ ）
（2） 函数在上单调递增，则函数的单调递增区间是.（ ）
（3） 函数的单调递减区间是.（ ）
（4） 所有的单调函数都有最值.（ ）
【答案】（1） ×
（2） ×
（3） ×
（4） ×
2．已知的图象如图所示，则该函数的单调递增区间为（ ）
A. B. 和
C. D. 和
【答案】B
3．（多选）下列函数在上单调递增的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】选.对于，是一次函数，所以 在 上是减函数，故 错误；对于，因为 图象的对称轴为 轴，所以 在 上单调递增，故 正确；对于，因为 在 上单调递增，所以 在 上单调递增，故 正确；对于，函数 函数 在 上单调递增，故 正确.
4．（必修第一册例5改编）已知函数,,则的最大值为_ _ _ _ ，最小值为_ _ _ _ _ _ .
【答案】2；
【解析】因为函数 在 上单调递减，
所以,.
5．（用结论）已知函数的定义域为，且对任意两个不等的实数,,总有,则满足的实数的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】由题意知，函数 为增函数，因为,所以,解得,故实数 的取值范围是.
核心考点 师生共研
考点一 函数的单调性
角度1 函数单调性的判断或证明
［例1］ 判断函数,的单调性，并用单调性的定义证明你的结论.
【解】 函数 在 上单调递增.证明如下：,任取,,且,则,又,且,，所以,,,所以,即,故函数 在 上单调递增.
［感悟进阶］
利用定义法证明或判断函数单调性的步骤
角度2 求函数的单调区间
［例2］
（1） 函数的单调递增区间为（ ）
A. B. C. D.
（2） 函数的单调递减区间是 _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】（1） C
（2）
【解析】
（1） 由题意可得，即,解得 或.令 或,则,在 上单调递减，在 上单调递增，因为 在定义域内单调递增，所以 在 上单调递减，在 上单调递增.
（2） 由题知，作出 的大致图象如图中实线部分，由图象知 的单调递减区间是.
［感悟进阶］
求函数单调区间的方法
(1)基本初等函数法：根据常用基本初等函数的单调性确定单调区间．
(2)图象法：作出函数图象，由图象的升降情况确定单调区间．
(3)复合函数法：根据“同增异减”确定函数的单调区间．
注意　求函数的单调区间，应先求定义域，再在定义域内求单调区间．
［对点训练］
1．已知函数在上单调递减，则函数的单调递增区间为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】选.由函数 在 上单调递减，可知,所以函数 的图象开口向下，对称轴为直线,因此 的单调递增区间为.
2．已知函数．若函数在区间上单调递增，利用函数单调性的定义，求实数的取值范围．
解：任取,且，设，则，
因为，，
所以，即．
因为，所以，所以，即实数 的取值范围为.
考点二 函数单调性的应用
角度1 比较函数值的大小
［例3］ 已知函数对任意实数都有,并且对任意,总有,则下列不等式正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】因为对任意,总有,所以 在 上单调递增，故,错误；对于,分别令,2,可得,,又,所以，正确，错误；又,所以,错误.
［感悟进阶］
比较函数值大小的方法
利用函数的单调性比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，则要利用函数的性质，将自变量的值转化到同一个单调区间上再进行比较，或采用中间量法比较大小．
角度2 解不等式
［例4］ 已知,则使成立的实数的取值范围是（ ）
A. , B. ,
C. , D. ,
【答案】A
【解析】因为,所以 是增函数，又因为,所以,即,所以 的取值范围为.
［感悟进阶］
角度3 求函数的值域（最值）
［例5］
（1） 函数的最小值为_ _ _ _ .
（2） 已知函数,,,用表示,中的较小者，记为,,则的最大值为_ _ _ _ _ _ .
【答案】（1）
（2）
【解析】
（1） 函数 的定义域为，因为 与 在 上均单调递增，所以 在 上单调递增，所以当 时，.
（2） 令,即,解得,所以 作出函数图象如图所示，由图象易得函数 的最大值为.
［感悟进阶］
求函数值域（最值）的常用方法
（1）配方法：主要用于和一元二次函数有关的函数求值域问题.
（2）单调性法：利用函数的单调性，再根据所给定义域来确定函数的值域.
（3）数形结合法：对于易作图象的函数，可利用其图象来确定函数的值域.
（4）换元法：引进一个（几个）新的量来代替原来的量，实行“变量代换”.
（5）分离常数法：分子、分母同次的分式形式采用配凑分子的方法，把函数分离成一个常数和一个分式和（差）的形式.
角度4 求参数的范围（值）
［例6］ [2024·新课标Ⅰ卷]已知函数在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为函数 在 上单调递增，且当 时，,所以 在 上单调递增，所以,即;当 时，为增函数.若函数 在 上单调递增，则,即.综上，实数 的取值范围是.
细研真题 本题以分段函数的单调性为素材，考查利用函数单调性求参数，提升学生的逻辑推理能力、运算求解能力，可突出数学教学本质，夯实学生学习基础，此类题目，可变为已知分段函数及其性质，求参数.
真题变式．已知函数在上存在最大值，则的取值范围为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】当 时，.当 时，是减函数，令,,所以,即.
若，即 时，要使 存在最大值，则，即.
若,即 时，,所以.所以 的取值范围为.
［感悟进阶］
利用函数的单调性求参数的思路
（1）根据函数单调性直接构建参数满足的方程式（组）（不等式（组））或先得到函数图象的升降趋势，再结合图象求解；
（2）对于分段函数，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值.
［对点训练］
1．若是定义在上的减函数，则不等式的解集为（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ,
【答案】A
【解析】选.根据题意，可得 解得.
2．已知函数在区间上的最大值为5，则（ ）
A. 2 B. 3 C. 15 D. 3或15
【答案】B
【解析】选..因为,所以函数 在 上单调递减，所以函数 在区间 上的最大值为,解得.
课后达标 分级演练
A 基础达标
1．下列函数在区间上单调递增的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】选.对于，在定义域 上单调递增，故 符合题意；
对于，在定义域 上单调递减，故 不符合题意；
对于，在定义域 上单调递减，故 不符合题意；
对于，结合对勾函数的性质易知 在 上单调递减，故 不符合题意.
2．函数,的值域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】选.因为 和 在 上单调递增，所以 在 上单调递增，所以,,所以函数的值域为.
3．若函数在上是减函数，则与的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】选.因为函数 在 上是减函数，所以,得,所以.
4．[2025·广东七校联考]函数在区间上不单调，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】选.函数 的大致图象如图所示，由于函数 在区间 上不单调，因此需满足图象的顶点在直线 的右侧，则.
5．（多选）设函数,的定义域都为，且,,是减函数，是增函数，则下列说法正确的有（ ）
A. 是增函数 B. 是减函数
C. 是增函数 D. 是减函数
【答案】BD
【解析】选.对于，如,,,,不单调，因此函数 不一定为增函数，错误；对于，是增函数，则 为减函数，又 是减函数，则 为减函数，正确；
对于，如,,,因此函数 不一定是增函数，错误；
对于，设,,,
由 是增函数，且,得,则,由,为减函数，得,于是,故 是减函数，正确.
6．写出一个符合“对任意,,当时，”的函数解析式为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】（答案不唯一）
【解析】设,则.
由，
得，所以函数 在 上为增函数，所以函数,等都满足.
7．函数的单调递增区间为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】和
【解析】由，可得 且,因为 的图象开口向下，对称轴为直线,所以 的单调递减区间为 和，所以 的单调递增区间为 和.
8．已知则_ _ _ _ ;
若函数的值域为，则实数的最小值为_ _ _ _ _ _ .
【答案】2；
【解析】,要使得函数 的值域为，则满足 解得,所以实数 的最小值为.
9．（13分）已知函数.
（1） 写出函数的定义域和值域；（6分）
（2） 证明函数在上为减函数，并求在区间上的最大值和最小值.（7分）
【答案】
（1） 解：函数 的定义域为.
又,所以值域为.
（2） 由题意可设,
则
.
又,所以,,
所以,即,
所以函数 在 上为减函数.
当 时，的最大值为,
最小值为.
B 综合运用
10．[2025·青岛联考]已知函数
若,则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】选.由题意知
易知函数 在,上单调递增，且,所以函数 在 上单调递增.
则由,得,解得 或,所以实数 的取值范围是.
11．如果函数在区间上是减函数，且函数在区间上是增函数，那么称函数是区间上的“可变函数”，区间叫做“可变区间”.若函数是区间上的“可变函数”，则“可变区间”为（ ）
A. 和 B.
C. D.
【答案】A
【解析】选.因为函数 图象的对称轴为直线，
所以函数 在区间 上是减函数，
又当 且 时，,
令 且,
则 在 和 上单调递增，故 的“可变区间”为 和.
12．设函数若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】函数 的图象如图所示，由图象可知要使 在 上单调递增，需满足 或，即 或.
13．（13分）已知函数 且在区间上单调递增，在区间上单调递减.
（1） 求的值以及的取值范围；（6分）
（2） 若恒成立，求不等式的解集.（7分）
【答案】
（1） 解：由题意知，当 时，单调递减；当 时，,所以，二次函数 的图象的对称轴为直线,解得.
即
且,即 的取值范围是.
（2） 由（1）可得,
所以,解得,
又,所以,
此时
则不等式 等价于
或
解得 或.
综上可得，不等式 的解集为.
14．（15分）已知定义在上的函数满足：
;
②当时，.
（1） 求的值，并证明是增函数；（7分）
（2） 若,解关于的不等式.（8分）
【答案】
（1） 解：令,得.
在 上任取，,且令,
则,.
又,所以函数 是增函数.
（2） 由，得,.
由,
得,
又由（1）知函数 是增函数，
故,解得 或，
故原不等式的解集为 或.
第3讲 函数的奇偶性、周期性与对称性
课标要求 考情分析
1.了解奇偶性的概念和几何意义，会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性. 2.了解周期性的概念和几何意义，会判断、应用简单函数的周期性解决问题. 3.能综合运用函数的奇偶性、周期性、对称性等解决相关问题. 命题形式 常以选择题、填空题的形式出现，难度中等偏上. 常考内容 函数的奇偶性及对称性. 创新考法 以抽象函数为载体，结合函数新定义，考查函数的奇偶性、周期性和图象的对称性及其应用.
必备知识 自主排查
理一理
1．函数的奇偶性
类别 偶函数 奇函数
定义 一般地，设函数的定义域为，如果,都有①_ _ _ _ _ _
且②_ _ _ _ _ _ _ _ 且③_ _ _ _ _ _ _ _
图象特征 关于④_ _ _ _ _ _ 对称 关于⑤_ _ 对称
提醒 函数存在奇偶性的前提条件是定义域关于原点对称.
【答案】 ； ； ； 轴； 原点
2．函数的周期性
（1）周期函数：设函数的定义域为，如果存在一个非零常数,使得对每一个都有,且⑥_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ,那么函数就叫做周期函数.非零常数叫做这个函数的周期；
（2）最小正周期：如果在周期函数的所有周期中存在一个⑦_ _ 的正数,那么这个最小正数就叫做的最小正周期.
【答案】； 最小
3．函数的对称性
（1）函数与的图象关于 ⑧_ _ _ _ _ _ 对称；
（2）函数与的图象关于 ⑨_ _ _ _ _ _ 对称；
（3）函数与的图象关于⑩_ _ 对称;
（4）若函数满足,则的图象关于直线 _ _ _ _ _ _ _ _ 对称；
（5）若函数满足,则函数的图象关于点 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 对称.
【答案】 轴； 轴； 原点； ；
常用结论
1.奇、偶函数定义的等价形式：
（1）为偶函数；
（2）为奇函数.
2.函数奇偶性的常用结论
（1）如果函数是奇函数且在处有定义，则一定有;如果函数是偶函数，那么.
（2）奇函数在两个关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个关于原点对称的区间上具有相反的单调性.
3.函数的周期性
对定义域内任一自变量的值：
（1）若,则;
（2）若,则;
（3）若,则.
4.函数图象的对称性
（1）若函数是偶函数，则函数的图象关于直线对称；
（2）若函数是奇函数，则函数的图象关于点中心对称.
练一练
1．判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1） 函数在上是偶函数.（ ）
（2） 若函数为奇函数，则一定有成立.（ ）
（3） 若是函数的一个周期，则也是函数的周期.（ ）
【答案】（1） ×
（2） ×
（3） √
2．(多选)(必修第一册P84例6改编)给出下列函数，其中是奇函数的有(　　)
A．f(x)＝x4 B．f(x)＝x5 C．f(x)＝x＋ D．f(x)＝
解析：选BC.对于f(x)＝x4，f(x)的定义域为R，由f(－x)＝(－x)4＝x4＝f(x)，
可知f(x)＝x4是偶函数，同理可知f(x)＝x5是奇函数，f(x)＝x＋是奇函数，f(x)＝是偶函数．
3．已知函数是偶函数，且在上单调递增，设,,,则,,的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】选.由题知，函数 的图象关于直线 对称，所以,因为函数 在 上单调递增且,所以.
4．（必修第一册P86T11改编）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】,又 为奇函数，
所以.
5．（用结论）若函数满足,且当时，,则_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】由,可得,所以 是周期为4的周期函数，.因为,且当 时，，所以，即.
核心考点 师生共研
考点一 函数的奇偶性
角度1 奇偶性的判断
［例1］ 判断下列函数的奇偶性：
（1） ;
（2） ;
（3）
【答案】（1） 【解】函数 的定义域为，，关于原点对称，且,又,,所以 既是奇函数又是偶函数.
（2） 由,解得,则函数 的定义域为，关于原点对称，又,所以,即,所以函数 为奇函数.
（3） 方法一（定义法） 的定义域关于原点对称，当 时，,,
则;
当 时，,,则.所以 为奇函数.
方法二（图象法） 作出函数 的图象，由奇函数的图象关于原点对称的特性知函数 为奇函数.
［感悟进阶］
判断函数奇偶性的3种常用方法
（1）定义法
（2）图象法
（3）性质法
设,的定义域分别是，，那么在它们的公共定义域上：奇奇奇，奇×奇偶，偶偶偶，偶×偶偶,奇×偶奇.
角度2 奇偶性的应用
［ 例2］ [2023·全国乙卷]已知是偶函数，则（ ）
A. B. C. 1 D. 2
【答案】D
【解析】方法一：因为 是偶函数，
所以
,
所以,所以.
方法二：因为 是偶函数，所以,所以,所以.
细研真题　本题源于教材人教A版必修第一册P161T12，考查函数的奇偶性，体现了逻辑推理、数学运算等核心素养．还可以把函数f(x)变为以对数函数为载体的函数考查此类问题．
真题变式．已知函数是偶函数，则实数的值为_ _ _ _ .
【答案】2
【解析】由题意知函数的定义域为,，即,
即,
化简得,解得.
［感悟进阶］
函数奇偶性的应用类型及解题策略
（1）求解析式：先将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出的解析式，或利用奇偶性构造关于的方程式（组），从而得到的解析式.
（2）求函数值：将待求函数值利用函数的奇偶性转化为已知区间上的函数值求解.
（3）求参数值：利用待定系数法求解，根据得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性，得出参数的值.对于在处有定义的奇函数，可考虑列等式求解.
［对点训练］
1．[2025·景德镇模拟]已知函数是奇函数，则当时，（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】选.设,则,所以,又函数 是奇函数，所以,即，所以.即当 时，.
2．设函数是定义在上的奇函数，且，若,则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】选.因为 是奇函数，所以,即,
即.
因为,所以.
所以.
考点二 函数的周期性
［例3］
（1） 函数是定义在上的奇函数，满足,当时，有,则（ ）
A. 0 B. 1 C. D.
（2） 若函数满足,且时，,则时的函数解析式是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】（1） C
（2）
【解析】
（1） 由题意，函数 是 上的奇函数，所以,,又,所以.所以,因此函数 为周期函数，周期为6，所以.
（2） 由函数 满足 可知,因此函数 的周期是2.由,得,因此,根据函数 的周期是2可知,因此.
［感悟进阶］
函数周期性的判定与应用
（1）判断函数的周期性只需证明，周期为,函数的周期性常与函数的其他性质综合命题.
（2）根据函数的周期性,可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若是函数的周期，则且也是函数的周期.
［对点训练］
1．定义在上的函数满足,则下列是周期函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】选.依题意，定义在 上的函数 满足,所以,所以 是周期为1的周期函数.
2．已知是上最小正周期为2的周期函数，且当时，,则函数的图象在区间上与轴的交点有_ _ _ _ 个.
【答案】5
【解析】当 时，令,得 的图象与 轴交点的横坐标分别为,.当 时，,又 的最小正周期为2，所以,所以当 时，的图象与 轴交点的横坐标分别为,.又,综上，共有5个交点.
考点三 函数的对称性
[例4]　(1)(2025·新疆模拟)若函数f(x)＝的图象关于点(1，2)对称，则a＝(　　)
A．－2 B．－1 C．1 D．2
(2)(多选)已知定义域为R的函数f(x＋1)为奇函数，f(x)的图象关于直线x＝2对称，则(　　)
A．f(x)的图象关于点(1，0)中心对称
B．f(x)为奇函数
C．f(x)是周期为4的函数
D．f(2 025)＝0
【解析】　(1)f(x)＝＝a＋，图象关于点(1，2)对称，则f(x)＋f(2－x)＝4，即a＋＋a＋＝4，解得a＝2.
(2)因为f(x＋1)为奇函数，f(x＋1)的图象向右平移1个单位长度得到f(x)的图象，所以f(x)的图象关于点(1，0)中心对称，故A正确；
由f(x＋1)为奇函数，得f(x＋1)＝－f(－x＋1)，则f(x)＋f(－x＋2)＝0，又f(x)的图象关于直线x＝2对称，则f(－x＋2)＝f(x＋2)，则f(x)＝－f(x＋2)，则f(x＋2)＝－f(x＋4)，即f(x)＝f(x＋4)，则f(x)是周期为4的函数，故C正确；
令x＝1，则由f(x)＋f(－x＋2)＝0，得2f(1)＝0，则f(1)＝0，f(2 025)＝f(2 025－4×506)＝f(1)＝0，故D正确；
由f(－x＋2)＝f(x＋2)，得f(－x)＝f(x＋4)＝f(x)，所以f(x)是偶函数，故B错误．
【答案】　(1)D　(2)ACD
［感悟进阶］
函数对称性有关问题的解题策略
（1）求解与函数对称性有关的问题时，应根据题目特征和对称性的定义，求出函数图象的对称轴或对称中心.
（2）解决与函数对称性有关的问题，一般结合函数图象，利用对称性解决求值或参数问题.
［对点训练］
1．函数与的图象（ ）
A. 关于轴对称 B. 关于直线对称
C. 关于直线对称 D. 关于直线对称
【答案】B
【解析】选.设,,显然,故 与 的图象关于直线 对称.
2．已知函数满足,,与的图象有4个交点，则这4个交点的纵坐标之和为_ _ _ _ .
【答案】4
【解析】因为,所以 的图象关于点 对称，又 的图象也关于点 对称，则两个函数图象的交点关于点 对称，所以4个交点的纵坐标之和为.
课后达标 分级演练
A 基础达标
1．已知定义在上的奇函数的周期为4，若，则（ ）
A. B. C. 1 D. 2
【答案】A
【解析】选.因为 为定义在 上的奇函数且周期为4，所以,.
2．下列函数是偶函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】选.对于,定义域为,关于原点对称，，故 不是偶函数；对于，定义域为，关于原点对称，且,故 是偶函数；对于,的定义域为,不关于原点对称，故 不是偶函数；对于，定义域为，关于原点对称，且,故 是奇函数.
3．已知函数是奇函数，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】选.由于函数 是 上的奇函数，所以，即，解得，所以.又因为，所以 为奇函数，满足题意，故，故.
4．函数的图象关于（ ）
A. 点对称 B. 直线对称
C. 点对称 D. 直线对称
【答案】C
【解析】选.方法一：因为,所以 的图象关于点 对称.
方法二： 的图象向左平移2个单位长度得 的图象,又,且 的定义域 关于原点对称，所以 是奇函数，其图象关于点 对称，所以 的图象关于点 对称.
5．（多选）已知函数是定义在上的偶函数，当时，,则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 在定义域上为增函数
C. 当时，
D. 不等式的解集为
【答案】CD
【解析】选.对于，因为 是定义域为 的偶函数，所以,
又当 时，,所以,故 错误；
对于，由二次函数 可知，在 上单调递增，又因为函数 是定义在 上的偶函数，即 的图象关于 轴对称，所以 在 上单调递减，故 错误；
对于，当 时，,则,故 正确；
对于，由 的奇偶性与单调性可知，可化为,所以,解得,故 正确.
6．[2025·开封质检]若函数 是奇函数，则实数_ _ _ _ .
【答案】1
【解析】方法一（定义法） 因为函数 是奇函数，所以,
当 时，，,
又,
则,可得.
方法二（特殊值法） 因为函数 是奇函数，所以,即,解得 或,经检验 符合题意.
7．已知定义在上的函数满足,且当时，,则_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】由 可得,所以，故 是周期为8的周期函数，所以.
8．[2025· 八省联考]已知曲线，两条直线，均过坐标原点，和交于，两点,和交于,两点,若的面积为，则的面积为_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】令，则 的定义域为，在 和 上单调递增.又因为，定义域关于原点对称，所以 为奇函数.
,都是过原点的直线，则，关于原点对称，，关于原点对称，则四边形 为平行四边形，又,则.
9．（13分）设是定义在上的奇函数，且对任意实数,恒有.当时，.
（1） 求证：是周期函数；（6分）
（2） 当时，求的解析式.（7分）
【答案】
（1） 解：证明：因为,
所以.
所以 是周期为4的周期函数.
（2） 因为,所以,
所以,
所以.
因为,
所以,
即当 时，.
B 综合运用
10．已知定义在上的不恒为零的偶函数满足,且,则（ ）
A. 30 B. 60 C. 90 D. 120
【答案】D
【解析】选.由题意可知，当 且 时，有,且,
则,
所以,
因为函数 为偶函数，所以,
则.
11．（多选）已知是定义在上的奇函数，的图象关于直线对称，当时，,则（ ）
A. B. 的周期为4
C. 的值域为 D. 是偶函数
【答案】ABD
【解析】选.因为 是定义在 上的奇函数，所以,又 的图象关于直线 对称，所以,则,即,即,则,则,所以 的周期为4，正确；
,正确；
当 时，,则，由奇函数的性质，可得当 时，,且,又 的图象关于直线 对称，且 的周期为4，所以 的值域为,错误；
因为 的图象向左平移1个单位长度得到 的图象，又 的图象关于直线 对称，所以 的图象关于 轴对称，则 是偶函数，正确.
12．已知函数对满足,且.若的图象关于直线对称，,则_ _ _ _ .
【答案】2
【解析】因为 的图象关于直线 对称，所以 的图象关于直线 对称，即 是偶函数.
对于,
令,可得,
又,所以,
则,所以函数 对 满足,
所以,
所以,
即 是周期为4的周期函数，
所以.
13．（13分）已知函数的定义域为,且满足对于任意,,有.
（1） 求的值；（6分）
（2） 判断的奇偶性并证明你的结论.（7分）
【答案】
（1） 解：因为对于任意,，
有,
所以令,得,
所以.
（2） 为偶函数，证明如下：
令,
有,
所以.
令,,得,
所以,又 的定义域关于原点对称，所以 为偶函数.
14．（15分）已知函数.
（1） 判断并证明函数图象的对称性；（7分）
（2） 求的单调区间.（8分）
【答案】
（1） 解：的图象关于直线 对称.证明如下：
由,得,所以 的定义域为.
因为,
，
所以,
所以 的图象关于直线 对称.
（2） 设,,当 时，单调递增，也单调递增，故 在 上单调递增.
又 的图象关于直线 对称，
故 的单调递增区间为，单调递减区间为.
第4讲 函数性质的综合应用
类型一 函数的奇偶性与单调性
［例1］
（1） 已知函数,则不等式的解集是（ ）
A. B. ，
C. D. ，，
（2） 设，函数是定义在上的奇函数，且当时，.若是上的增函数，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】（1） A
（2） B
【解析】
（1） 显然 是偶函数，当 时，是增函数.又,所以 可化为,可得,解得.
（2） 因为函数 是定义在 上的奇函数，所以函数 的图象关于原点对称，且,当 时，函数,当 时，,则,则,即当 时，函数,所以 因为函数 是 上的增函数，则有 解得,所以实数 的取值范围为.
［感悟进阶］
综合应用奇偶性与单调性解题的技巧
（1）比较函数值的大小问题，可以利用奇偶性，把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间上，再利用函数的单调性比较大小.
（2）对于抽象函数不等式的求解，应变形为的形式，再结合单调性，脱去“”变成常规不等式，转化为（或）求解.
［对点训练］
1．（多选）已知是定义在上的奇函数，且在上单调递增，若,则下列不等式成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】选.根据题意可得函数 在 上单调递增，因为 是 上的奇函数，由，可得.由 在 上单调递增，得,故 正确；由,,得,故 正确；由函数 在 上单调递增，得,,故 正确，错误.
2．已知函数是定义在上的奇函数，且当时，,则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】选.易知 在 上单调递增，且当 时，恒成立，因为 为 上的奇函数，所以 在 上单调递增，且当 时，恒成立，又，故 在 上单调递增.原不等式可化为,即,所以,解得.
类型二 函数的奇偶性与周期性
［例2］ （多选）已知函数的定义域为，且是偶函数，是奇函数，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】因为 是偶函数，所以,即,即函数 的图象关于直线 对称，则.
因为 是奇函数，所以,则,即,则,即,即函数 的周期是8，则 成立，故 正确；
令,由,得,得,由,得,
则,故 正确；
成立，故 正确；
,故 错误.
［感悟进阶］
综合应用奇偶性与周期性解题的技巧
（1）根据已知条件及相关函数的奇偶性推出函数的周期.
（2）利用函数的周期性将自变量较大的函数值转化为自变量较小的函数值，直到自变量的值进入已知解析式的区间内或与已知的函数值相联系，必要时可再次运用奇偶性将自变量的符号进行转化.
（3）代入已知的解析式求解，即得需求的函数值.
［对点训练］
[对点训练]　1.(2025·全国一卷)已知f(x)是定义在R上且周期为2的偶函数，当2≤x≤3时，f(x)＝5－2x，则f＝(　　)
A．－ B．－ C． D．
解析：选A.由f(x)是定义在R上且周期为2的偶函数可得，f(－)＝f()＝f(＋2)＝f().因为当2≤x≤3时，f(x)＝5－2x，所以f()＝5－2×＝－，即f(－)＝－.故选A.
2．已知定义在上的奇函数满足,当时，单调递增，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】选.因为,所以函数 是周期为4的周期函数，又 是定义在 上的奇函数，所以,,,
又当 时，单调递增，
所以,
即.
类型三 函数的周期性与对称性
［例3］ [2025·贵阳适应性考试]（多选） 已知非零函数的定义域为，为奇函数，且,则（ ）
A.
B. 4是函数的一个周期
C.
D. 在区间上至少有1 012个零点
【答案】ABD
【解析】对于，由题意知，,所以,令,则,所以,故 正确;
对于,因为,所以,则,所以,故,故 正确;
对于，假设,则,由 选项知，,又函数 的定义域为，所以 既是奇函数又是偶函数，则 恒成立，与题干矛盾，故 错误;
对于，因为,,所以,所以 在 上至少有2个零点.又 是一个周期为4的偶函数，，所以 在 上至少有 个零点，故 正确.
［感悟进阶］
综合应用对称性与周期性解题的技巧
函数满足关系表明的是函数图象的对称性，函数满足关系表明的是函数的周期性，在使用这两个关系时不要混淆.
［对点训练］
1．[2025·盐城模拟]（多选）已知非常数函数为上的奇函数，为偶函数，下列说法正确的有（ ）
A. 的图象关于直线对称
B.
C. 的最小正周期为4
D. 对任意都有
【答案】ABD
【解析】选.因为 为 上的奇函数，且 为偶函数，所以 的图象关于点 中心对称，关于直线 和直线 对称，所以,，正确；由上分析知,故,所以,所以 是一个周期为4的周期函数，则,正确；但不能说明 的最小正周期为4，错误.
2．已知奇函数的定义域为，,当时，,则_ _ _ _ .
【答案】0
【解析】因为,
所以 的图象关于直线 对称，
又奇函数 的图象关于原点对称，
所以,
所以，,则 是以2为周期的周期函数，所以.
课后达标 分级演练
A 基础达标
1．已知奇函数的图象关于直线对称且，则（ ）
A. B. 1 C. 0 D. 3
【答案】B
【解析】选.因为 的图象关于直线 对称，所以,又 为奇函数，所以,所以,所以,所以 是周期为4的周期函数，又,所以.
2．已知为偶函数，且在上单调递增，若,则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】选.因为 为偶函数，所以函数 的图象关于直线 对称，又 在 上单调递增，,所以,解得.
3．[2025·石家庄质检]设是定义在上的奇函数，且,当时，,则的值为（ ）
A. B. C. 2 D. 1
【答案】B
【解析】选.因为,所以函数 的图象关于直线 对称.因为函数 是定义在 上的奇函数，所以函数 的图象关于点 对称，所以函数 是以4为周期的周期函数，又当 时，,
所以
.
4．(2025·辽宁开学考)已知定义在R上的函数f(x)， x∈R，都有f(x＋4)＝－f(x)＋4.若函数f(x－1)的图象关于直线x＝1对称，则f(4 050)＝(　　)
A．－2 B．－1 C．2 D．1
解析：选C.因为函数f(x－1)的图象关于直线x＝1对称，又f(x)的图象由f(x－1)的图象向左平移一个单位长度得到，所以f(x)的图象关于直线x＝0对称，故f(x)为偶函数．
因为f(x＋4)＝－f(x)＋4，所以f(x＋8)＝－f(x＋4)＋4＝－[－f(x)＋4]＋4＝f(x)，所以f(x)是以8为周期的偶函数，所以f(4 050)＝f(8×506＋2)＝f(2)，
由f(2)＝f(－2＋4)＝－f(－2)＋4＝－f(2)＋4，得f(2)＝2，则f(4 050)＝2.
5．（多选）已知定义在上的奇函数满足，且在上单调递增，则下列结论正确的是（ ）
A. 的周期是4 B. 是函数的一个最大值
C. 的图象关于点对称 D. 在上单调递减
【答案】BD
【解析】选.由于,所以 的图象关于直线 对称，又 在 上单调递增，所以 在 上单调递减，又 是奇函数，所以 在 上单调递减，在 上单调递增，所以 是周期为8的周期函数，是函数的一个最大值，故 错误，正确；的图象关于直线 对称，在 上单调递减，故 错误，正确.
6．已知是定义在上且以3为周期的偶函数，若,,则实数的取值范围为_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】因为 是定义在 上的周期为3的偶函数，所以,因为,所以,即.
7．已知函数,若,则的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】由,可得 为奇函数，又,所以 为 上的增函数，故由 可得,即,所以,即 的取值范围是.
8．函数对任意都有成立，且函数的图象关于点对称，,则的值为_ _ _ _ .
【答案】4
【解析】因为 的图象关于点 对称，所以函数 的图象关于原点对称，即函数 是 上的奇函数，所以.
因为,所以,故 的周期为4，所以,,,所以.
9．（13分）已知定义在上的函数满足下面三个条件：
①对任意正数,，都有;
②当时，;
.
（1） 求和的值；（6分）
（2） 试用单调性的定义证明：函数在上是减函数.（7分）
【答案】
（1） 解：令 得,
则，
而,
且,则.
（2） 证明：取任意,,
且,所以,
当 时，,所以,
所以
,
即,
所以函数 在 上是减函数.
B 综合运用
10．若函数的定义域为，且为偶函数，的图象关于点成中心对称，则（ ）
A. 56 B. 57 C. 58 D. 59
【答案】B
【解析】选.的图象向左平移1个单位长度得到 的图象，再将横坐标缩小为原来的一半，得到 的图象，由于 为偶函数，图象关于直线 对称，所以 的图象关于直线 对称，即.
由于 的图象向右平移1个单位长度得到 的图象，又 的图象关于点 成中心对称，所以 的图象关于点 成中心对称.
则,,
，
所以 是周期为4的周期函数.
,
所以,
,
则,
所以.
11．[2025·阜阳模拟]已知函数满足，，且，则的值为（ ）
A. 96 B. C. 102 D.
【答案】C
【解析】选.由函数 满足，可得函数 的图象关于点 成中心对称，又由函数 满足，
即,所以函数 的图象关于直线 对称，所以函数 的图象既关于直线 成轴对称，又关于点 成中心对称，
所以，且函数 是周期为4的周期函数，又因为，所以,, ，
可得，
所以
.
12．（多选）已知是定义域为的偶函数，为奇函数，当时，,则（ ）
A. 当时，
B. 当时，
C. 在上单调递增
D.
【答案】ACD
【解析】选.对于，由 为偶函数，得,当 时，,则,即当 时,,故 正确；
对于，由 为奇函数，得,即,即,当 时，,
则,
即当 时，,故 错误；
对于，由,
得,,即,故 是周期为4的周期函数，由当 时,,可得 在 上单调递增，故 在 上单调递增，故 正确；
对于，,故 正确.
13．（13分）设是定义在上的奇函数，且对任意,，当时，都有.
（1） 若,试比较与的大小关系；（6分）
（2） 若,求实数的取值范围.（7分）
【答案】
（1） 解：因为,所以,
由题意得,
所以.
又 是定义在 上的奇函数，
所以,
所以,即.
（2） 由（1）知 为 上的增函数，
因为,
所以,
即,
所以,所以.
所以实数 的取值范围为.
14．（15分）对于定义在上的函数,可以证明“点是的图象的一个对称中心”的充要条件是“,”.
（1） 求函数的图象的一个对称中心；（7分）
（2） 函数在上是奇函数，求,满足的条件；并讨论在区间上是否存在常数，使得恒成立.（8分）
【答案】
（1） 解：设 为函数 的图象的一个对称中心，
则 对于
恒成立，即 对 恒成立，
所以.
所以 解得
故函数 的图象的一个对称中心为.
（2） 由 是奇函数，知,.
所以.
假设存在常数，使,
对任意的 恒成立，则，当 时，恒成立；
当 时，;
当 时，.
令,，
则
,
令，解得 或（舍去）.
当，时，;
当 时，.
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，当 时，,当 时，,所以.所以，在区间 上，存在常数，使得 恒成立.
培优课 破解抽象函数问题的两种方法
所谓抽象函数，是指没有明确给出函数表达式，只给出它具有的某些特征或性质，并用一种符号表示的函数.抽象函数是由特殊的、具体的函数抽象而得到的，我们所遇到的抽象函数都是以中学阶段所学的基本初等函数为背景抽象而得.
在处理抽象函数的问题时，我们可以通过赋值法把握函数特殊点的特征，或者通过类比、猜想将抽象函数模型化，会起到事半功倍的效果.
技法一 赋值法
［例1］ [2023· 新课标Ⅰ卷]（多选）已知函数的定义域为，,则（ ）
A. B.
C. 是偶函数 D. 为的极小值点
【答案】ABC
【解析】因为,对于，令,则,故 正确；
对于，令,则,则,故 正确；
对于，令,则,则,令,则，又函数 的定义域为，所以 为偶函数，故 正确；
对于，不妨令,显然符合题设条件，此时 无极值，故 错误.
［例2］ [2024· 新课标Ⅰ卷]已知函数的定义域为，，且当时，则下列结论中一定正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】因为当 时，，所以,．对于，令，得；令，得；依次类推，得；；；;；;;;;；；….显然，所以．
［感悟进阶］
对已知等式中的变量赋值或代数式，经过恰当的运算和推理，即可求得某些特定的函数值，或得出函数所满足的特定关系式，推出函数的相关性质，从而解决问题.
［对点训练］．设函数满足,且对任意,，都有,则（ ）
A. 0 B. 18 C. 17 D. 1
【答案】B
【解析】选.因为,所以令,得.
又,所以.
令,得,
即,所以,
所以.
技法二 函数模型法
常见的抽象函数对应的基本初等函数模型如下：
基本初等函数模型 抽象函数性质
一次函数
幂函数 或
二次函数
指数函数且 或
对数函数且 或或
类型1 一次函数模型
［例3］ [2024·重庆调研]已知定义在上的函数满足:,且当时，.则关于的不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】方法一：因为,所以可令,又当 时，,所以,所以 可转化为,即,解得,即.
方法二：因为,所以,不妨令,则，因为当 时，,所以,所以,即,所以函数 在 上单调递减.在 中，令,则,得.由题意知，,又,所以 即,又 在 上单调递减，所以,解得,即.
类型2 幂函数模型
［例4］ 已知函数对任意实数,都有,且,,当时，.若且,则的取值范围为_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】方法一：由，可设函数，由,,得,即,满足当 时，.由,得,即,又,所以,解得,故 的取值范围为.
方法二：设,所以,,因为当 时，,所以,所以,故 在 上单调递增.因为,又,所以,所以,因为,所以,又,所以,解得,故 的取值范围为.
类型3 二次函数模型
［例5］ 已知函数的定义域为，且满足,,则下列结论正确的是（ ）
A. B. 方程有解
C. 是偶函数 D. 是偶函数
【答案】C
【解析】方法一：由 得.
设,由 得,所以.
对于，,故 错误；
对于，令,得,此方程无解，故 错误；
对于，，已知，
所以 是偶函数，不是偶函数，故 正确，错误.
方法二：对于，因为函数 的定义域为，且满足,,取，得,则,取,得,则,故 错误；
对于，取,得,则,所以,, ,,以上各式相加得,所以,令,得,此方程无解，故 错误.
下同方法一.
类型4 指数函数模型
［例6］ 已知函数满足,,则的值为（ ）
A. 15 B. 30 C. 60 D. 75
【答案】B
【解析】由,
可设函数,且,
由 得,所以.
因此 .
类型5 对数函数模型
［例7］ 已知函数是定义域为的增函数，满足,，若,则的取值范围为_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】方法一：由题意，可设函数,且.由,得,则,由,得,即,故 解得,故 的取值范围为.
方法二： ,又 是定义域为 的增函数，所以 解得,所以 的取值范围为.
［感悟进阶］
寻找函数模型：根据函数所满足的条件，结合学过的各类函数，找到符合已知条件的一个函数模型，利用这个函数模型对相关问题分析，获得函数的相关性质，从而解决问题.
［对点训练］
1．已知函数满足,,,,则（ ）
A. 0 B. 1 C. D. 2
【答案】C
【解析】选.方法一（赋值法）：令,则,解得;
令,则,又,所以 为奇函数.因为，所以.
方法二（函数模型法）：因为,,,所以可设,又因为,所以,即.
2．已知函数对于一切实数,满足,,且当时，.则当时，的取值范围为_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】方法一（常规解法）：因为对于一切,,且,令,则.设,则,所以,又,所以,所以.
方法二（函数模型法）：由,可设函数,且,当 时，,结合指数函数的图象特征知,取,则 满足题意，故当 时，的取值范围为.
课后达标 分级演练
1．已知定义在上的函数满足,,则（ ）
A. 2 B. 3 C. 6 D. 9
【答案】C
【解析】选.方法一（赋值法） 因为,,
所以,又,所以.
方法二（函数模型法） 由,可设函数,又由,得,所以,.
2．已知函数的定义域为,且,则（ ）
A. B.
C. 是偶函数 D. 没有极值点
【答案】D
【解析】选.令，则,所以，且,为定义域内任意值，故 为常函数.令,则,,为奇函数且没有极值点，错误，正确；不恒成立，不一定成立，，错误.
3．[2025·新乡模拟]已知定义在上的函数满足,,,,则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】选.令，得.
令,得,解得.
则不等式 转化为,因为 是增函数，且当 时，,所以不等式 的解集为.
4．[2025·合肥检测]已知函数的定义域为,且,,记,,,则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】选.方法一：因为,所以令,
得,则.
令,，得，
所以.
因为,所以，
所以,即.
方法二：因为,所以令,,其中 且,则 满足条件,又因为,所以,所以,.
因为,当 时，,当 时，,所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增，所以,即.
5．已知函数对于任意,，总有,且当时,,若,则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】选.方法一（赋值法） 令,则,对任意的,，总有,则,令,可得,可得,令,则,即.当 时，,即,任取,且,则,即,即,所以函数 在 上为增函数，且有,由,可得,即,所以,所以,解得.因此，不等式 的解集为.
方法二（函数模型法） 依题意，可设函数,因为,所以,即,满足当 时，,所以 可转化为,解得.
6．已知函数的定义域为，且对任意,都有，则下列结论一定正确的是（ ）
A. 是偶函数
B. 是周期函数
C. 存在常数，对任意，都有
D. 对任意,存在,使得
【答案】C
【解析】选.令,因为,,所以 满足.对于，因为 不是偶函数，故 错误；对于，因为 不是周期函数，故 错误；对于，令,，则,令,所以存在常数，对任意，都有,故 正确；对于，因为，故当 时，不存在，使得,故 错误.
7．（多选）若定义在上的函数满足,且,则下列结论中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】选.方法一（赋值法） 对于，令，得,得,所以 正确；
对于，令,得,得,所以 正确；
对于，，令,得,由 得.令，得,所以,所以 错误，正确.
方法二（函数模型法） 依题意，可设函数 且,由 可得，即,容易验证，，正确.
8．（多选）已知函数的定义域为，满足,.则（ ）
A. B. 函数为偶函数
C. D. 的一个周期为2
【答案】BC
【解析】选.令,则,所以,选项错误；
令,则,即,又 的定义域为,故 是偶函数，选项正确；由 可得,令,则.
令,则,所以,,所以,即.因为,所以,选项正确；
令,则,所以,故,所以,所以 的一个周期为12，选项错误.
9．（多选）已知定义在上的连续函数满足,,,且,则（ ）
A.
B. 当,时，
C. 若,则为偶函数
D. 当时，
【答案】BC
【解析】选.对于，令,则 满足题中所给条件，但此时,错误；对于，当,时，取,则,所以,所以,正确；对于，由题意得，的定义域关于原点对称，且,则令，有,所以 为偶函数，正确；对于，令,则 满足题中所给条件，但当 时，,故 不成立，错误.
10．[2025·太原模拟]（多选）已知定义在上的函数满足以下条件：①对于任意的,,;;,其中是正常数.则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. 是偶函数 D.
【答案】ACD
【解析】选.方法一（特殊函数法） 因为，联想到函数,又,所以构造函数.所以有,,是偶函数，,即.综上，，，正确，错误.
方法二（赋值法） 对于，令,得,因为,所以,所以 正确；对于，令,得,因为,,所以,所以 错误；对于，令,得,因为,所以，又 的定义域为，所以函数 是偶函数，所以 正确；对于，令,用 代换,得,因为,所以,所以 正确.
11．设函数的定义域为,,若,则_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】因为,所以,所以.因为,所以.
12．已知函数是定义在上的增函数，并且满足,．则不等式的解集为_ _ _ _ _ _ _ _ ．
【答案】
【解析】因为，所以，又因为，即由，得，即，，又因为 在 上为增函数，所以，解得，故不等式 的解集为．
第5讲 幂函数与二次函数
课标要求 考情分析
1.通过具体实例，结合,,,,的图象，理解它们的变化规律，了解幂函数. 2.理解并掌握二次函数的图象与性质（单调性、对称性、最值、顶点等）. 命题形式 高考题型一般为选择题、填空题，中档难度. 常考内容 二次函数的图象和性质. 创新考法 与方程、不等式、导数等知识交汇命题.
必备知识 自主排查
理一理
1．幂函数
（1） 幂函数的定义
一般地，函数_ _ _ _ _ _ _ _ 叫做幂函数，其中是自变量， 是常数.
（2）常见的五种幂函数的图象
（3） 幂函数 的性质
①幂函数在上都有定义；
② 当时，幂函数的图象都过点②_ _ _ _ _ _ _ _ 和③_ _ _ _ _ _ _ _ ，且在上单调递增；
③ 当时，幂函数的图象都过点④_ _ _ _ _ _ _ _ ，且在上单调递减.
【答案】（1）
（3） ② ；
③
2．二次函数
（1）二次函数解析式的三种形式
一般式：；
顶点式：；
两根式：.
（2）二次函数的图象和性质
解析式
图象
定义域
值域 ⑤_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ⑥_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
单调性 在上单调递减; 在上单调递增 在上单调递增; 在上单调递减
对称性 函数的图象关于直线⑦_ _ _ _ _ _ _ _ 对称
【答案】； ；
点拨 注意二次项系数对函数性质的影响，经常分二次项系数大于零与小于零两种情况讨论.
常用结论
1.幂函数 的图象在第一象限内的变化规律
（1）直线的右侧，图象由上至下，指数 由大到小；
（2）轴和直线之间，图象由上至下，指数 由小到大.
2.二次函数在闭区间上的最值
设二次函数，闭区间为.
（1）当时，最小值为，最大值为;
（2）当时，最小值为，最大值为;
（3）当时，最小值为，最大值为;
（4）当时，最小值为，最大值为.
练一练
1．判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1） 函数是幂函数.（ ）
（2） 幂函数在上单调递增.（ ）
（3） 二次函数不可能是偶函数.（ ）
（4） 若幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.（ ）
【答案】（1） ×
（2） √
（3） ×
（4） √
2．（必修第一册 改编）函数,的值域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】选.函数 图象的对称轴为直线,则 在 上单调递增，在 上单调递减，所以,,即 的值域为.
3．（用结论）若幂函数,与在第一象限内的图象如图所示，则与的取值情况为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】选.幂函数 ,当 时， 在 上单调递增，且 时，图象上凸，所以；当 时， 在 上单调递减.由结论可知，不妨令，由题干中图象得,则.综上可知，.
4．（必修第一册 练习 改编）已知幂函数的图象经过点,,则的值为 _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】因为幂函数 的图象经过点,所以,解得,所以,故.
5．已知为二次函数，若在处取得最小值，且的图象经过原点，则函数解析式为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】由题意，可设,又图象过原点，所以,解得,所以.
核心考点 师生共研
考点一 幂函数的图象与性质
［例1］
（1） 已知函数则的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
（2） 已知幂函数在区间上单调递增，则（ ）
A. 27 B. 9 C. D.
【答案】（1） C
（2） A
【解析】
（1） 结合题意，当 时，易知 为幂函数，在 上单调递增且 恒成立；当 时，易知 为幂函数，在 上单调递增，且，在 上恒大于0.故函数 的图象如图所示.只需将 的图象沿 轴对称即可得到 的图象.
（2） 由题意得，,即,解得 或.当 时，可得函数,此时函数 在区间 上单调递增，符合题意；当 时，可得,此时函数 在区间 上单调递减，不符合题意.即幂函数,则.
［感悟进阶］
幂函数的性质与图象特征的关系
（1）幂函数的形式是，其中只有一个参数 ，因此只需一个条件即可确定其解析式.
（2）判断幂函数的奇偶性时，当 是分数时，一般将其先化为根式，再判断.
［对点训练］
1．已知幂函数的图象过点,设,,,则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】选.因为 为幂函数，故.因为函数 的图象过点，所以,解得.故函数,且函数为增函数.因为,故.
2．如图所示是函数（,且互质）与的图象，则（ ）
A. ,是奇数，且
B. 是偶数，是奇数，且
C. 是偶数，是奇数，且
D. ,是偶数，且
【答案】C
【解析】选.函数 的图象关于 轴对称,故 为偶数，为奇数.当 时，的图象在 的图象的上方，当 时，的图象在 的图象的下方，故.
考点二 二次函数的解析式
［例2］ 已知二次函数满足,,且的最大值是8，求二次函数的解析式.
【解】 方法一（利用一般式）：
设.
由题意得 解得
所以所求二次函数的解析式为.
方法二（利用顶点式）：
设.
因为,所以抛物线的对称轴为直线，所以.根据题意，函数有最大值8,所以,
所以.
因为,所以,
解得,
所以.
方法三（利用两根式）：
由已知得 的两根为,,
故可设，
即.
又函数 有最大值8，
即.
解得.故所求函数的解析式为.
［感悟进阶］
求二次函数解析式的策略
［对点训练］．已知二次函数的图象过点,,且顶点到轴的距离等于2，则二次函数的解析式为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】或
【解析】因为二次函数的图象过点,,所以可设二次函数为,整理得,顶点的纵坐标为,由于二次函数图象的顶点到 轴的距离为2，所以,即,所以二次函数的解析式为 或.
考点三 二次函数的图象与性质
角度1 二次函数的图象
［例3］ （多选）已知函数的图象如图所示，则（ ）
A.
B.
C.
D. 不等式的解集是 ,
【答案】BCD
【解析】由题图，知,，，,即，,,因为函数 图象的对称轴为直线,则，所以 错误，，正确.
不等式 可化为,即，解得 或，所以不等式的解集是 ,,正确.
［感悟进阶］
识别二次函数图象应学会“三看”
角度2 二次函数的性质
［例4］ 已知函数.
（1） 当,时，求函数的值域；
（2） 若函数在上的最大值为1，求实数的值.
【答案】（1） 【解】当 时，,,函数 图象的对称轴为直线，所以,,所以 的值域为.
（2） 函数 图象的对称轴为直线.
当,即 时，,
所以,即,满足题意；
当，即 时，,
所以，
即,满足题意.
综上可知，或.
二次函数性质问题的类型及求解策略
（1）类型：①对称轴和区间都是固定的；②对称轴动，区间固定；③对称轴固定，区间动.
（2）求解策略：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴.结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成.
［对点训练］
1．若，则二次函数的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】选 中，,,，不符合题意；中，，,，不符合题意；中，,，,不符合题意；中，,，,符合题意.
2．[2025· 八省联考]已知函数,若当时，，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】选.
当 时，,所以.
当 时，在 上恒成立.
因为 图象的对称轴方程为,,图象开口向上，所以只需，
即，解得.
课后达标 分级演练
A 基础达标
1．已知幂函数的图象经过点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】选.依题意可得,所以,又 的图象经过点，所以,解得,所以.
2．已知,,,则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】选.由题意得,,所以.
3．在同一平面直角坐标系中，函数和函数是常数，且的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】选.选项 中，直线位置表示,此时抛物线开口方向应向上，故 错误；选项 中，直线位置表示，此时抛物线开口方向向上，对称轴方程为,且，故 错误，由此可得 满足要求，故 正确；选项 中，直线位置表示,此时抛物线开口方向应向下，故 错误.
4．若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】选.当 时，在 上单调递减，满足题意；
当 时，图象的对称轴为直线,由 在 上单调递减，
知 解得.综上，实数 的取值范围为.
5．（多选）已知函数是定义在上的偶函数，当时，,则下列说法正确的是（ ）
A. 的最大值为 B. 在上单调递增
C. 的解集为 D. 的解集为
【答案】AD
【解析】选.由题意，当 时，，则当 时，,,所以 的最大值为，正确；在，上单调递减，错误；的解集为，错误；当 时，的解集为，当 时，无解，故 正确.
6．已知二次函数满足，则与的大小关系是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .（用“ ”连接）
【答案】
【解析】因为，所以直线 为二次函数图象的对称轴，根据对称性知，,又函数 在 上单调递增，所以,即.
7．已知为奇函数，则的单调递增区间为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】易知函数 的定义域为.因为 为奇函数，所以,所以,即.所以,该二次函数的图象开口向上，对称轴为直线,所以 的单调递增区间是，.
8．已知两函数,,其中为实数.对任意,,都有,则的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】对任意,,都有,所以,.
由二次函数的性质可得,.故有,得,所以 的取值范围为.
9．（13分）已知幂函数在上单调递减.
（1） 求的值；（6分）
（2） 若，求的取值范围.（7分）
【答案】
（1） 解：由幂函数的定义可得,
即,解得 或.
因为 在 上单调递减，
所以,即,则.
（2） 由（1）可知,
即,
则,解得,
所以 的取值范围为.
B 综合运用
10．已知函数,若对于区间上任意两个不相等的实数,,都有,则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】选.二次函数 图象的对称轴为直线，因为对于任意,且,都有，即 在区间 上是单调函数，所以 或,所以 或,即实数 的取值范围为.
11．（多选）已知函数是幂函数，对任意,,且,满足.若,,且的值为负数，则下列结论可能成立的是（ ）
A. , B. ,
C. , D. ,
【答案】BC
【解析】选.由函数 为幂函数，得，解得 或.当 时，,当 时，.由题意知，函数 在 上单调递增，故.易得，且 的定义域为，故函数 是单调递增的奇函数.
由，得,得,所以，此时，若,则,故;若，则,故,故；若,由 知，或 或,即 或 或.综上可知，,且 或 或.
12．已知二次函数,满足为偶函数，且方程有两个相等的实数根，若存在区间使得的值域为,则_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】因为 为偶函数，
所以 图象的对称轴是直线，
所以，
又 有两个相等的实数根，
即 有两个相等的解,
所以,解得,
所以，所以,
所以,所以,，
所以 在 上单调递增，
所以 所以,为方程 的两根，即,为方程 的两根,所以.
13．（13分）已知函数.
（1） 若函数为偶函数，求的值；（6分）
（2） 当时，若函数在上的最小值为0，求的值.（7分）
【答案】（1） 解：若函数 为偶函数，则,即,所以,所以.
（2）
当 时，在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增，又,,所以,解得;
当 时，在 上单调递增，
所以,解得（舍去）.
综上，.
14．（15分）已知，若函数在上的值域是，则称是第类函数.
（1） 若是第类函数，求的取值范围；（7分）
（2） 若是第2类函数，求,的值.（8分）
【答案】
（1） 解：因为 在 上是增函数，且函数 在 上的值域是，
可得 即
则直线 与函数 的图象有两个交点.
因为 在 上单调递增，在 上单调递减，当 时，；
当 时，，所以要使直线 与函数 的图象有两个交点，只需，所以 的取值范围是.
（2） 因为，
当 时，在 上单调递增，因为 是第2类函数，
所以
因为，所以,；
当 时，在 上单调递减，
因为 是第2类函数，
所以
则，整理得，即，将 代入，可得，
因为，所以 没有实数解；
当 时，
可得当，，
因为 是第2类函数，
所以，解得（舍去）.
综上所述，,.
第6讲 指数与对数的运算
课标要求 考情分析
1.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算性质. 2.理解对数的概念和运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数. 命题形式 多以选择题或填空题的形式出现，难度较小. 常考内容 指数式与对数式的运算.
必备知识 自主排查
理一理
1．根式与有理数指数幂
（1） 根式
① 如果,那么①_ _ _ _ _ _ 叫做的次方根；
② 式子叫做②_ _ ，这里叫做根指数,叫做被开方数；
③ ③_ _ _ _ .当为奇数时，④_ _ _ _ ；当为偶数时，
（2） 有理数指数幂
概念 正分数指数幂：⑤_ _ _ _ _ _ _ _ ， ,,
负分数指数幂： ⑥_ _ _ _ _ _ _ _ _ _
0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义
运算性质 ,,,
【答案】①
② 根式
③ ；
（2） ；
2．对数
概念 如果⑦_ _ _ _ _ _ _ _ ，且，那么数叫做以为底的对数，记作⑧_ _ _ _ _ _ ,其中叫做对数的⑨_ _ ，叫做⑩_ _
性质 对数式与指数式的互化： _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
负数和0没有对数
1的对数是 _ _ ： _ _
底数的对数是 _ _ ： _ _
对数恒等式： _ _ _ _
运算性质 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ,且,,
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _
换底公式 ,且,,,且
【答案】； ； 底数； 真数； ； 0； 0； 1； 1； ； ； ；
常用结论 换底公式的变形
（1）,即（,均大于0且不等于1）；
（2）,均大于0且不等于1，,.
（3）,,均大于0且不等于1，.
练一练
1．判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1） .（ ）
（2） 分数指数幂可以理解为个相乘.（ ）
（3） .（ ）
（4） 若,则.（ ）
【答案】（1） ×
（2） ×
（3） ×
（4） ×
2．化简（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】选.因为,,所以.
3．（必修第一册P127T3（3）改编）计算：（ ）
A. 10 B. 1 C. 2 D.
【答案】B
【解析】选.原式.
4．计算：
（1） _ _ _ _ _ _ ;
（2） _ _ _ _ ;
（3） _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】（1）
（2） 2
（3）
【解析】
（1） .
（2） .
（3） .
5．（用结论）_ _ _ _ .
【答案】1
【解析】由结论知，.
核心考点 师生共研
考点一 指数幂的运算
［例1］ 化简下列各式：
（1） ；
（2） ;
（3） .
【答案】（1） 【解】原式.
（2） 原式
.
（3） 原式.
［感悟进阶］
［对点训练］
1．若,,则的值是（ ）
A. 0.9 B. 1.08 C. 2 D. 4
【答案】B
【解析】选.因为,,所以.
2．已知，则_ _ _ _ ,_ _ _ _ _ _ .
【答案】7；
【解析】将 两边平方，得,所以,因为,且,的大小不确定，所以.
3．化简与求值：
（1） ；
（2） .
【答案】（1） 解：原式.
（2） 原式
.
考点二 对数式的运算
［例2］ 计算下列各式：
（1） ;
（2） ;
（3） .
【答案】（1） 【解】原式.
（2） 原式.
（3） 原式.
［感悟进阶］
对数运算的一般思路
（1）拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数的运算性质化简、合并.
（2）合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数的真数的积、商、幂的运算.
［对点训练］．计算：
（1） ;
（2） .
【答案】
（1） 解：原式
.
（2） 原式.
考点三 指数式与对数式的综合应用
角度1 综合运算
［例3］
（1） 已知,则的值为（ ）
A. B. 3 C. 1 D. 2
（2） [2024·全国甲卷]已知且，则．
【答案】（1） C
（2） 64
【解析】
（1） 因为,则,,所以,,因此 .
（2） 根据题意有,即,设,则,故,解得 或（舍去），所以,所以,所以.
［感悟进阶］
指数与对数综合运算的方法技巧
（1）根据需要，利用指数式与对数式的关系且,对二者进行互化；
（2）不同底数的幂值相等时，经常设出幂的值，然后转化为对数式再进行化简求值；
（3）在幂的指数中含有对数时，一是运用对数恒等式化简计算，二是通过等式两边取对数的方法转化为对数式进行化简求值.
角度2 实际应用
［例4］ 生物学家测量了一些动物的体重和心率，并经过研究得到体重和心率的对数型关系式：,其中为心率（单位：心跳次数/），为体重（单位：）,为正常数，则体重为的豚鼠和体重为的小狗的心率的比值为（ ）
A. B. C. 3 D. 27
【答案】C
【解析】当 时，,
即,则；
当 时，,
即,则.
所以,即,
所以体重为 的豚鼠和体重为 的小狗的心率的比值为3.
［感悟进阶］
解决指数、对数运算实际应用问题的步骤
（1）理解题意，弄清楚条件和所求之间的关系；
（2）运用指数或对数的运算公式、性质等进行运算，把题目条件转化为所求.
［对点训练］
1．[2024·北京卷]生物丰富度指数是河流水质的一个评价指标，其中,分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数越大，水质越好.如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由2.1提高到，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】选.由题意，得,.
若 不变，则,
即,所以.
2．果农采摘水果，采摘下来的水果会慢慢失去新鲜度.已知某种水果失去的新鲜度与其采摘后时间（天）满足的函数关系式为.若采摘后10天，这种水果失去的新鲜度为，采摘后20天，这种水果失去的新鲜度为.那么这种水果失去新鲜度的采摘后时间为（ ）
A. 25天 B. 30天 C. 35天 D. 40天
【答案】B
【解析】选.依题意，得
解得,,当 时，,即,解得,于是得,解得，所以采摘下来的这种水果30天后失去 新鲜度.
3．[2025·八省联考]已知函数，若，则_ _ _ _ .
【答案】
【解析】由题意得，
所以,解得.
课后达标 分级演练
A 基础达标
1．下列运算正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】选.,错误；
,错误；
,正确；
,错误.
2．[2024·北京卷]已知，是函数的图象上两个不同的点，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】选.因为,是函数 的图象上两个不同的点，
所以,,且,,
所以,所以,
所以.
3．计算的结果为（ ）
A. B. C. 0 D.
【答案】D
【解析】选.原式.
4．某品牌计算器在计算对数时需按“”.某学生在计算时（其中且）将顺序弄错，误按成“”，所得结果为正确值的4倍，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】选.由题意，得,
所以，即.
因为 且,所以,
即.
5．（多选）已知，，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABC
【解析】选.因为，所以，故 正确；
易知,，由基本不等式得，所以，当且仅当 时取等号，又因为，即，所以等号不成立，所以，故 正确；
，故 正确；
由，得，故 错误.
6．求值：_ _ .
【答案】100
【解析】原式.
7．若,则_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】因为
,
所以.
8．已知，且,则_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】由,根据对数的性质可得,即,因为,于是,故,解得，故.
9．（13分）计算下列各式：
（1） ;（4分）
（2） ;（4分）
（3） .（5分）
【答案】
（1） 解：原式
.
（2） 原式.
（3） 原式
.
B 综合运用
10．(2025·江苏模拟)尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放的能量E(单位：J)与地震里氏震级M之间的关系为lg E＝4.8＋1.5M.2008年5月12日我国汶川发生里氏8.0级地震，它所释放出来的能量是2024年4月3日我国台湾发生里氏7.3级地震释放出来的能量的(　　)
A．倍 B．10倍 C．101.05倍 D．104.8倍
解析：选C.设里氏震级M＝8.0时释放的能量为E1，里氏震级M＝7.3时释放的能量为E2，则lg E1＝4.8＋1.5×8＝16.8，lg E2＝4.8＋1.5×7.3＝15.75，所以E1＝1016.8 J，E2＝1015.75 J，所以＝1016.8-15.75＝101.05，即2008年5月12日我国汶川发生的地震释放出的能量是2024年4月3日我国台湾发生的地震释放的能量的101.05倍．
11．[2025·伊春开学考]（多选）若,则（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABC
【解析】选.因为,所以,,所以,,，正确.
,,,,
因为,所以,正确，错误.
12．[2025·连云港调研]已知函数是偶函数，则实数的值是_ _ _ _ .
【答案】1
【解析】若 是偶函数，则,即,所以,所以,所以,所以.当 时，,定义域为,不关于原点对称，不符合题意，舍去;当 时，,定义域为,关于原点对称，符合题意.综上所述，.
13．（13分）某工厂产生的废气，过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：）之间的关系为,其中，是正的常数.如果在前消除了的污染物，请解决下列问题：
（1） 后还剩百分之几的污染物？（6分）
（2） 污染物减少大约需要花多长时间（精确到）？（参考数据：,）（7分）
【答案】
（1） 解：由题意知，当 时，,
当 时，,
于是有,
解得,则,
所以当 时，,
即 后还剩下 的污染物.
（2） 当 时，,解得,即污染物减少 大约需要花.
14．（15分）已知函数,.
（1） 分别计算,的值；（7分）
(2)根据(1)的计算过程，写出一个关于函数f(x)和g(x)的等式，使得对所有不等于0的实数x都成立，并证明．(8分)
【答案】
（1） 解：
,
.
（2） 由（1）的计算过程概括出对所有不等于0的实数 有,证明如下：
,因此，等式成立.
第7讲 指数函数
课标要求 考情分析
1.了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念. 2.会画具体指数函数的图象，理解指数函数的单调性与特殊点. 命题形式 常以选择题或填空题的形式出现，难度中档. 常考内容 指数函数的单调性及应用.
必备知识 自主排查
理一理
1．指数函数的定义
函数①_ _ _ _ _ _ ，且叫做指数函数，其中指数是自变量，定义域是.
【答案】
2．指数函数的图象与性质
底数
图象
性质 定义域为②_ _ _ _ _ _ ，值域为③_ _ _ _ _ _ _ _
图象过定点④_ _ _ _ _ _ _ _
当时，恒有；当时，恒有 当时，恒有；当时，恒有
在定义域上为⑤_ _ _ _ _ _ 在定义域上为⑥_ _ _ _ _ _
【答案】； ； ； 增函数； 减函数
提醒 指数函数,且的图象和性质跟的取值有关，要特别注意区分与来研究.
常用结论
1.指数函数图象的画法：画指数函数,且的图象，应抓住三个关键点：,,.
2.函数与，且的图象关于轴对称.
3.如图所示是指数函数,（2）,（3）,（4）的图象，则，即在第一象限内，指数函数的图象越高，底数越大.
练一练
1．判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1） 函数与都不是指数函数. （ ）
（2） 函数,且是上的增函数.（ ）
（3） 若,且，则.（ ）
【答案】（1） √
（2） ×
（3） ×
2．函数的大致图象是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】选.易知函数 的定义域为,且满足，可得其为偶函数，图象关于 轴对称；又当 时，,因此排除，又 利用指数函数的图象与性质可知其在 上单调递增，且增长速度越来越快，即排除，.
3．（用结论）若且，则函数的图象恒过的定点的坐标为_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】令，得，所以，所以函数 的图象恒过定点.
4．（必修第一册P119T3改编）已知,则的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】由指数函数的性质，得,解得,所以 的取值范围是.
5．若函数在上的最大值为2，则_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】2或
【解析】若,则;若,则,解得.综上，或.
核心考点 师生共研
考点一 指数函数的图象及应用
［例1］
（1） 若函数且的图象在第二、三、四象限内，则（ ）
A. B. 且
C. 且 D.
（2） 若函数在上单调递减，则的取值范围为_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】（1） C
（2）
【解析】
（1） 由题知，,可画函数的大致图象如图所示，图象与 轴的交点在 轴的负半轴上，即,得,所以，且.
（2） 函数 的图象是由函数 的图象向下平移一个单位长度后，再把位于 轴下方的图象沿 轴翻折到 轴上方得到的，函数图象如图所示.由图象知，其在 上单调递减.所以 的取值范围为.
［感悟进阶］
有关指数函数图象问题的解题策略
（1）已知函数解析式判断其图象，一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足，则排除.
（2）对于指数（型）函数图象的问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到所求函数的图象.特别地，当底数与1的大小关系不确定时应注意分类讨论.
［对点训练］．
1．指数函数
；;；的图象如图所示，,,,分别是下列四个数：，，，中的一个，则,,,的值分别是（ ）
A. ，，， B. ，，，
C. ，，， D. ，，，
2．已知函数的图象关于轴对称，则实数的值是_ _ _ _ .
【答案】1．C
2．0
【解析】
1．选.由题图可知，直线 与函数图象的交点的纵坐标从上到下依次为,,,，而,故,,,.
2．由于函数图象关于 轴对称，且定义域为,所以函数为偶函数，所以.根据指数函数的单调性可知，只有当 时，等式恒成立.故.
考点二 指数函数的性质及应用
角度1 比较指数幂的大小
［例2］ 若,则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为,所以函数 在 上为减函数，又因为,所以,则,所以函数 在 上为减函数，有，函数 在 上为增函数，有,可得.
［感悟进阶］
比较指数幂的大小的方法
（1）当底数相同，指数不同时，构造同一指数函数，然后利用指数函数的单调性比较大小.
（2）当指数相同，底数不同时，构造两个指数函数，利用图象比较大小；或构造同一幂函数，然后利用幂函数的单调性比较大小.
（3）当底数不同，指数也不同时，常借助1，0等中间量进行比较.
角度2 解简单的指数方程或不等式
［例3］
（1） 不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
（2） 已知实数,函数若,则的值为_ _ _ _ _ _ .
【答案】（1） B
（2）
【解析】
（1） 由不等式 等价于,可得,所以 或，解得 或,所以不等式 的解集为.
（2） ①当 时，由 得,即,所以,解得;②当 时，由 得,即,所以,无解.综上可知，.
［感悟进阶］
指数方程或不等式的解法
（1）解指数方程或不等式的依据
①.
②,当时，等价于；当时，等价于.
（2）解指数方程或不等式的方法
先利用指数幂的运算性质化为同底数幂，再利用函数的单调性转化为一般不等式求解.
［对点训练］．
1．设,,,则（ ）
A. B.
C. D.
2．设函数则使得成立的的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】1．C
2．
【解析】
1．选.由,,,因为 是增函数，所以.
2．当 时，由,得;当 时，由,得.所以使得 成立的 的取值范围为.
考点三 指数型函数的综合应用
［例4］ [2023· 新课标Ⅰ卷]设函数在区间单调递减，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】设，易知函数 是增函数.因为 在 上单调递减，所以由复合函数的单调性可知函数 在 上单调递减.因为函数 在 上单调递减，所以,即.
细研真题 本题源于教材人教版必修第一册习题、.考查指数函数与二次函数的复合函数的单调性，也可以变为对数函数来考查.
真题变式．
1．设函数在区间上单调递增，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
2．已知函数（为常数），若在区间上单调递增，则实数的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】1．C
2．
【解析】
1．选.由复合函数的单调性知只需 在区间 上单调递减，且 即可，即 解得,故 的取值范围为.
2．令，所以,因为 在 上单调递减，在 上单调递增.又 在 上为增函数，所以 在 上单调递减，在 上单调递增，所以.
［感悟进阶］
指数型函数问题的求解策略
对于指数型函数问题，关键是判断其单调性，对于形如的函数的单调性，它的单调区间与的单调区间有关：若，则函数的单调递增（减）区间即为函数的单调递增（减）区间；若，则函数的单调递增（减）区间即为函数的单调递减（增）区间.
［对点训练］．（多选）已知函数,则（ ）
A. 不等式的解集是
B. 是奇函数
C. 在上单调递减
D. 的值域为
【答案】ABD
【解析】选.对于，,即,即,即,即,即,所以，故 正确；对于，，又因为 的定义域是，所以 是奇函数，故 正确；对于，，因为 在 上单调递增，且,所以 在 时单调递增，所以 在 上单调递增，故 错误；对于，记,显然，则,由 得，,解得,所以函数 的值域为，故 正确.
课后达标 分级演练
A 基础达标
1．已知指数函数在上单调递增，则实数的值为（ ）
A. B. 3 C. D. 2
【答案】D
【解析】选.由题意得,所以,解得 或.
当 时，在 上单调递增，符合题意；
当 时，在 上单调递减，不符合题意,所以.
2．函数,且的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】选.根据题意，函数,且,当 时，,即函数经过点，排除，，.
3．设，,，则,,的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】选.易知幂函数 在 上单调递增，所以，即,又指数函数 在 上单调递减，所以,即,于是.
4．已知函数,且的定义域和值域都是，则（ ）
A. B. C. 1 D.
【答案】A
【解析】选.当 时，该方程组无解，不符合题意；当 时，
解得
所以.
5．（多选）对任意实数,函数的图象过定点，的定义域为,则下列结论正确的是（ ）
A. , B. 的定义域为
C. 的值域为 D. 的值域为
【答案】ABC
【解析】选.令，得,此时,所以函数 的图象过定点，即,，正确；
所以，,所以.
由 得,所以 的定义域为,正确；
易知 在 上单调递增，所以当 时，取得最小值，最小值为2，当 时，取得最大值，最大值为6，所以 的值域为，正确，错误.
6．若函数的图象关于原点对称，则_ _ _ _ .
【答案】2
【解析】由题易知函数 的定义域为.
因为函数 的图象关于原点对称，所以 为奇函数，即，
即，
所以，
即，
即，即，故.
7．已知，且，若函数在上单调递减，则在不等式中，的取值范围为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】 ,
【解析】因为函数 在 上单调递减，所以，即，因为，且，所以，所以 是减函数，又，所以,所以，即 的取值范围是.
8．定义区间的长度为.已

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