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第八章 平面解析几何
第1讲 直线的方程
课标要求 考情分析
1.在平面直角坐标系中，结合具体图形掌握确定直线位置的几何要素. 2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式. 3.掌握直线方程的几种形式（点斜式、斜截式、两点式、截距式及一般式），了解斜截式与一次函数的关系. 命题形式 多以选择题、填空题为主，难度中档. 常考内容 求直线的方程. 创新考法 直线与其他知识的交汇融合，以运算为主.
必备知识 自主排查
理一理
1．直线的倾斜角
（1）定义：当直线与轴相交时，以轴为基准，轴①_ _ 与直线向上的方向之间所成的角 叫做直线的倾斜角.
（2）规定：当直线与轴平行或重合时，规定它的倾斜角为②_ _ _ _ _ _ .
（3）范围：直线的倾斜角 的取值范围是 ③_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】正向； ；
2.斜率公式
（1）定义式：直线的倾斜角为，则斜率 .
（2）坐标式：设，在直线上，且，则的斜率.
提醒 如果且，则直线与轴平行或重合，斜率等于0;如果且，则直线与轴垂直，倾斜角等于 ，斜率不存在.
3．直线方程的五种形式
名称 方程 适用范围
点斜式 ④_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 不含直线
斜截式 ⑤_ _ _ _ _ _ _ _ 不含垂直于轴的直线
两点式 ⑥_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 不含直线和直线
截距式 ⑦_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式 ⑧_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ （其中，不同时为0） 平面直角坐标系内的直线都适用
【答案】； ； ； ；
提醒 截距式中“截距”不是距离，在用截距式时，应先判断截距是否为0，若不确定，则需分类讨论.
常用结论
1.直线的倾斜角 和斜率之间的对应关系
0
0 不存在
2.直线的一个方向向量为.
3.识记几种特殊位置的直线方程
（1）轴：.
（2）轴:.
（3）平行于轴的直线：.
（4）平行于轴的直线：.
（5）过原点且斜率存在的直线：.
练一练
1．判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1） 在平面直角坐标系内，任何一条直线均有倾斜角与斜率.（ ）
（2） 直线的倾斜角越大，其斜率就越大.（ ）
（3） 若直线的斜率为 ，则其倾斜角为 .（ ）
（4） 斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等.（ ）
（5） 经过点的直线都可以用方程表示.（ ）
【答案】（1） ×
（2） ×
（3） ×
（4） ×
（5） ×
2．（选择性必修第一册P55 T4改编）已知点，，则直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】选.由题意得，直线 的斜率，设直线 的倾斜角为 ,则,因为 ,所以 .
3．（选择性必修第一册P62 T3改编）倾斜角为 ，在轴上的截距为的直线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】选.由题意得，直线的斜率，所以直线方程为,即.
4．过点且方向向量的坐标为的直线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】选.由题意可知直线的斜率，由点斜式方程得，所求直线的方程为，即.
5．（用结论）如图，设直线,,的斜率分别为,,，则,,的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】选.由题图可知，,的倾斜角为锐角，且 比 的倾斜程度大，的倾斜角为钝角，故.
核心考点 师生共研
考点一 直线的倾斜角与斜率
［例1］
（1） 直线,,的倾斜角的取值范围是（ ）
A. , B. , C. , D. ,
（2） 已知过点斜率存在的直线与以，为端点的线段有公共点，则直线的斜率的取值范围为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】（1） B
（2）
【解析】
（1） 直线 的斜率 .由于,，所以,.设直线的倾斜角为 ，则有.又，所以,.
（2） 如图，因为，,所以直线 的斜率.
［感悟进阶］
（1）求倾斜角的取值范围的方法
①利用 求解;
②利用三角函数的单调性，借助图象，确定倾斜角 的取值范围.求倾斜角时要注意斜率是否存在.
（2）斜率的两种求解策略
数形结合法 作出直线在平面直角坐标系中可能的位置，借助图形，结合正切函数的单调性确定（过一定点作直线与已知线段无交点或有交点时，常借助数形结合的方法求解）
函数图象法 根据正切函数图象，由倾斜角范围求斜率范围，反之亦可
［对点训练］．将直线绕着点沿逆时针方向旋转，得到直线，则的斜率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】选.直线 的斜率为,故 的倾斜角，则由题意得，直线 的倾斜角为，故 的斜率.
考点二 直线的方程
［例2］ 求适合下列条件的直线方程.
（1） 经过点,且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形；
（2） 经过点，倾斜角为直线的倾斜角的2倍；
（3） 已知直线的一个方向向量为,且过点.
【答案】（1） 【解】由题意可知，所求直线的斜率为.又过点，由点斜式，得.故所求直线的方程为 或.
（2） 设直线 的倾斜角为 ,
则所求直线的倾斜角为 .
因为，所以.
又直线经过点，
故所求直线的方程为,
即.
（3） 方法一：因为直线 的一个方向向量为,所以直线 的斜率,故直线 的方程为,即.
方法二：设 是直线 上的任意一点（不同于点），则,因为直线 的一个方向向量为，所以,所以直线 的方程为.
［感悟进阶］
求直线方程的两种方法
注意 在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件，特别是点斜式、截距式方程，使用时应注意分类讨论.
［对点训练］
1．已知点,,,则的边上的高所在的直线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】选.因为,,所以，故 边上的高所在直线的斜率，又高线经过点，所以所求直线方程为.
2．过点且在轴上的截距是在轴上截距的2倍的直线的方程为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ．
【答案】或
【解析】由题意可知，直线的斜率存在且不为0，设直线方程为，令，解得；令，解得.
可得，解得 或，所以所求直线的方程为 或.
考点三 直线方程的综合应用
［例3］ 已知直线过点，且分别与轴的正半轴、轴的正半轴交于，两点，为坐标原点.
（1） 当取最小值时，求直线的方程;
（2） 当取最小值时，求直线的方程.
【答案】（1） 【解】设所求直线 的方程为，则,所以,当且仅当,即,时，等号成立，所以当 取最小值时，直线 的方程为.
（2） 方法一：由题意，设直线 的方程为,易知,,，.
所以.
当且仅当,即 时等号成立.此时直线 的方程为.
方法二：如图，设直线 的倾斜角为 ，则 ,所以,,
所以,
所以当 时,,此时直线 的方程为,即.
［感悟进阶］
与直线方程有关的最值问题的解题策略
［对点训练］．已知，直线的斜率小于0，且经过点与坐标轴交于，两点，试问的面积是否存在最值？若存在，求出相应的最值；若不存在，请说明理由．
解：设直线 的方程为，因为直线 过点，且斜率小于0，所以，即，且，.
所以,当且仅当，即，时取等号，故 的面积存在最小值，不存在最大值，且最小值为．
课后达标 分级演练
A 基础达标
1．已知直线与轴相交于点，且直线向上的方向与轴负半轴的夹角为 ，则直线的斜率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】选.由题意知，直线 的斜率是.
2．已知直线的斜率为，在轴上的截距为直线的斜率的倒数，则直线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】选.直线 的斜率为,所以直线 在 轴上的截距为2.故直线 的方程为.
3．若且，则直线不经过（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】D
【解析】选.因为 且，所以,，又直线 可化为，斜率为，在 轴上的截距为，因此直线经过第一、二、三象限，不经过第四象限.
4．若直线经过，两点，则直线的倾斜角的取值范围为（ ）
A. , B. ,,
C. , D. ,,
【答案】B
【解析】选.由题意可得，直线 的斜率,因为，所以,所以直线 的倾斜角的取值范围为,,.
5．（多选）已知直线的方程为，则（ ）
A. 直线恒过定点
B. 直线的斜率必定存在
C. 当时，直线的倾斜角为
D. 当时，直线与两坐标轴围成的三角形的面积为
【答案】AD
【解析】选.因为直线 的方程为，把 代入得，恒成立，故 正确；当 时，直线方程为，直线的斜率不存在，故 错误；当 时，直线 的方程为，直线的斜率，所以直线 的倾斜角为，故 错误；当 时，直线 的方程为，则直线与 轴的交点为，与 轴的交点为,，所以直线 与两坐标轴围成的三角形的面积为，故 正确.
6．已知直线与两坐标轴所围成的三角形的面积为1，则实数的值为_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】1或
【解析】令，得；令，得.所以直线与两坐标轴所围成的三角形的面积，所以 或.
7．在平面直角坐标系中，已知为等腰三角形，，，点在轴的非负半轴上，则直线的方程为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】因为，所以，又点 在 轴的非负半轴上，所以，所以直线 的方程为，即.
8．已知,,,中有三个点在直线上，则_ _ _ _ .
【答案】5
【解析】由题意可得，，且直线,有公共点，所以点,,在同一条直线上，且该直线方程为，即，又点 不在直线 上，故直线 的方程为，所以,，所以.
9．（13分）求过点，且满足下列条件的直线方程.
（1） 倾斜角为直线的倾斜角的4倍的直线的方程.（6分）
（2） 在两坐标轴上截距相等的直线的方程.（7分）
【答案】（1） 解：设直线 的倾斜角为 ，则由题意可知，所以 ，则直线 的斜率为，所以直线 的方程为,即.
（2） 当直线 过原点时，可设直线 的方程为,因为直线 过点，所以，即，所以直线 的方程为,即;当直线 不过原点时，可设直线 的方程为,,因为直线 过点，所以,可得,所以直线 的方程为,即.综上可得，直线 的方程为 或.
B 综合运用
10．已知,，若点在线段上，则的最大值为（ ）
A. 1 B. C. D.
【答案】C
【解析】选.设，则,,因为点 是线段 上的任意一点，所以 的取值范围是,，故 的最大值为.
11．如图，在矩形中，，直线的斜率为，则直线的斜率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】选.由题意，在 中，，,,所以.
设直线 的倾斜角为 ，则，
又，所以,所以直线 的倾斜角为，故.
12．斜拉桥是桥梁建筑的一种形式，在桥梁平面上有多根拉索，所有拉索的合力方向与中央索塔一致.如图是某大桥的平面示意图，共有10对永久拉索，在索塔两侧对称排列.已知拉索上端相邻两个锚的间距均为，拉索下端相邻两个锚的间距,均为，最短拉索的锚,满足,,则最长拉索所在直线的斜率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】选.由题可知，，,则,所以最长拉索所在直线的斜率为.
13．（13分）已知坐标平面内三点，，.
（1） 求直线，，的斜率和倾斜角；（6分）
（2） 若为的边上一动点，求直线的斜率的取值范围.（7分）
【答案】
（1） 解：因为，，，
由斜率公式，可得，，，
再由直线倾斜角的定义得，
直线 的倾斜角为 ，直线 的倾斜角为 ，直线 的倾斜角为 .
（2） 如图所示，当直线 由 绕点 逆时针转到 时，直线 与线段 恒有交点，即 在线段 上，此时直线 的斜率 由 增大到，所以直线 的斜率 的取值范围为，.
14．（15分）已知直线过定点．
（1） 求过点且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线的方程；（7分）
（2） 若直线交轴正半轴于点，交轴负半轴于点，的面积为（为坐标原点），求的最小值，并求此时直线的方程．（8分）
【答案】
（1） 解：直线，则直线 过定点，
①设直线 在 轴上的截距为，在 轴上的截距为，当，时，的方程为．
因为点 在直线 上，所以．
若，则，
所以直线 的方程为；
若，则，，所以直线 的方程为.
②当 时，直线 过原点，且过点，所以直线 的方程为.
综上所述，所求直线 的方程为 或 或.
（2） 由题意得，令，则；
令，则，所以,，，，则，当且仅当，即 时，等号成立，故当 时，取得最小值，最小值为24，此时直线 的方程为．
第2讲 两直线的位置关系
课标要求 考情分析
1.能根据斜率判定两条直线平行或垂直. 2.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标. 3.探索并掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离. 命题形式 以选择题、填空题为主，难度中档. 常考内容 两条直线的位置关系的判定，点到直线的距离公式.
必备知识 自主排查
理一理
1．两条直线的位置关系
（1）两条直线的位置关系
类别 斜截式 一般式
方程 , ,
相交
垂直 ①_ _ _ _ _ _ ②_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
平行 ,且③_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 或
重合 ,且④_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
【答案】； ； ；
提醒 在判定两条直线平行或垂直的情况时不要忽略了两条直线或一条直线斜率不存在的情形.
（2）两条直线的交点坐标
已知两条直线,相交，则交点的坐标是方程组的解.
2．三种距离
点点距 点，之间的距离 ⑤_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
点线距 点到直线的距离 ⑥_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
线线距 两条平行线与间的距离 ⑦_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
【答案】； ；
提醒 利用两平行直线间的距离公式时，需要先将两条平行直线方程化为,的系数对应相等的一般式方程.
常用结论
与对称问题相关的四个结论
（1）点关于点的对称点为；
（2）点关于直线的对称点为，关于直线的对称点为；
（3）点关于直线的对称点为，关于直线的对称点为；
（4）点关于直线的对称点为，关于直线的对称点为.
练一练
1．判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1） 当直线和的斜率都存在时，一定有.（ ）
（2） 若两直线的解析式组成的方程组有唯一解，则两直线相交.（ ）
（3） 点到直线的距离为.（ ）
（4） 直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离.（ ）
【答案】（1） ×
（2） √
（3） ×
（4） √
2．点到直线的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】选.由题意得点 到直线 的距离.
3．若直线与直线垂直，则实数的值为（ ）
A. 3 B. 0 C. D. 0或
【答案】D
【解析】选.因为直线 与直线 垂直，所以，整理得,解得 或.
4．过点且与直线平行的直线方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】选.由题意，设所求直线方程为，因为直线经过点，所以，解得，所以所求直线方程为.
5．（选择性必修第一册P79 T9改编）若三条直线,,相交于一点，则的值为_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】由 得 所以点 满足方程,即,所以.
核心考点 师生共研
考点一 两条直线的位置关系
［例1］
（1） （多选）已知直线，直线，则（ ）
A. 当时，与的交点是
B. 直线与都恒过点
C. 若，则
D. ,使得
（2） 经过两条直线和的交点，并且垂直于直线的直线方程为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】（1） ABC
（2）
【解析】
（1） 对于，当 时，，，联立 解得 所以交点为，故 正确；对于，，恒过定点，，当 时，解得，所以直线 也恒过定点，故 正确；对于，当 时，与 不垂直，当 时，由 可得，解得，故 正确；对于，由 可得，解得 或，当 时，，，两直线重合，不符合题意，当 时，，，两直线重合，不符合题意，故 错误.
（2） 方法一：联立 解得 即交点坐标为，.因为所求直线与直线 垂直，所以所求直线的斜率为.由点斜式得所求的直线方程为，即.方法二：由垂直关系可设所求的直线方程为.联立 可得交点坐标为，，代入，解得,故所求的直线方程为.方法三：由题意可设所求直线的方程为,即.①又因为所求直线与直线 垂直，所以,解得,代入①式得所求的直线方程为.
［感悟进阶］
（1）两直线平行、垂直的判定方法
若已知两直线的斜率存在：①两直线平行 两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不同；②两直线垂直 两直线的斜率之积等于.
（2）解决两直线平行与垂直的参数问题要“前思后想”
注意 过直线和交点的直线系方程为.
（这个直线系方程不包括直线,解题时注意检验是否满足题意.）
［对点训练］
1．对于任意的实数，直线都经过一定点，则该定点的坐标为 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】选.即为，故此直线过直线 和 的交点.由 得定点的坐标为.
2．[2025·烟台诊断]“直线与平行”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】选.若直线 与 平行，则,即，且,，解得,，故充分性不成立；
当 时，，,成立，所以直线 与 平行，故必要性成立.
故“直线 与 平行”是“”的必要不充分条件.
考点二 距离问题
［例2］
（1） 若,,，则的面积为（ ）
A. 28 B. 14 C. 56 D. 20
（2） [2025·江苏联考]（多选）已知直线经过点，且点，到直线的距离相等，则直线的方程可能为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】（1） A
（2） AC
【解析】
（1） 根据两点间的距离公式得,所在直线方程为,即,则点 到直线 的距离,所以.
（2） 当直线 的斜率不存在时，显然不满足题意.当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为，即.由已知得,解得 或，所以直线 的方程为 或.
［感悟进阶］
两种距离的求解思路
（1）点到直线的距离：可直接利用点到直线的距离公式来求解，但要注意此时直线方程必须为一般式.
（2）两平行直线间的距离：①利用“转化法”将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离；②利用两平行线间的距离公式（利用公式前需把两平行线方程化为,的系数对应相等的一般式方程）.
注意 点到直线的距离，到直线的距离.
［对点训练］
1．[2025·六安月考]若直线与平行，则直线,之间的距离是_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】因为两直线平行，所以 且，解得,所以,,即,故直线,之间的距离.
2．若点为直线上的动点，则的最小值为_ _ _ _ .
【答案】4
【解析】 即为点 到点 的距离的平方，因为点 到直线 的距离,所以 的最小值为4.
考点三 对称问题
角度1 中心对称
［例3］ 直线关于点对称的直线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】设直线 关于点 对称的直线上任意一点为，则 关于点 对称的点为，又因为 在直线 上，所以，即.
［感悟进阶］
中心对称问题的解题策略
（1）若点关于的对称点为,则
（2）直线关于点的对称问题可转化为点关于点的对称问题来解决.
角度2 轴对称
［例4］
（1） 点关于直线的对称点的坐标是_ _ _ _ _ _ _ _ .
（2） 已知直线关于直线的对称直线为轴，则的方程为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】（1）
（2） 或
【解析】
（1） 设 关于直线 的对称点 的坐标为，则 解得 即所求对称点的坐标是.
（2） 直线 交 轴于点，，交 轴于点.设直线 的方程为,则点 关于直线 的对称点 在 轴上，所以,则 的中点，在直线 上，所以 ①.又 ②,联立①②可得 或,所以直线 的方程为 或,即 或.
［感悟进阶］
轴对称问题的解题策略
(1)若点A(a，b)关于直线Ax＋By＋C＝0(B≠0)的对称点为A′(m，n)，则有
　
(2)直线关于直线的对称问题可转化为点关于直线的对称问题来解决．
(3)特别地，当对称轴直线的斜率k＝±1时，可妙用“换代法”．先在对称轴直线方程中用x表示y，用y表示x，再将所得表达式代入原直线方程，即可求得所求直线方程．
角度3 对称问题的应用
［例5］ 在平面直角坐标系中，已知点,，直线.在直线上找一点使得最小，并求这个最小值和点的坐标.
【解】 设点 关于直线 的对称点为,
则 解得
即，所以直线 的方程为，即.当 为直线 与直线 的交点时，最小.联立 解得
所以点,,故 的最小值为.
［感悟进阶］
解决直线上动点到两定点距离之和或差的取值范围的问题，关键是要能够通过对称变换，充分利用数形结合、转化等思想，借助直线及三角形的相关知识解决问题.
［对点训练］
1．已知直线与关于点对称，则_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】在直线 上取点，，则，关于点 的对称点分别为,.
由题意知点，在直线 上，所以 解得 所以.
2．已知点在直线上运动，,，则的最大值是_ _ _ _ ．
【答案】
【解析】设点 关于 的对称点为，
则
解得 即，
故,
,
当且仅当,，三点共线时，等号成立，
所以 的最大值是.
课后达标 分级演练
A 基础达标
1．已知直线,若直线与垂直，则的倾斜角是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】选.直线 即,因为 与 垂直，所以 的斜率为,故 的倾斜角为 .
2．已知直线经过直线与的交点，且直线的斜率为，则直线的方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】选.解方程组 得 所以直线 与 的交点坐标为.因为直线 的斜率为，所以直线 的方程为，即.
3．在平面直角坐标系中，某菱形的一组对边所在的直线方程分别为和,另一组对边所在的直线方程分别为和，则（ ）
A. B. C. 2 D. 4
【答案】B
【解析】选.因为菱形四条边都相等，所以每条边上的高也相等，且菱形对边平行，直线 和 之间的距离为，直线 和 之间的距离为,于是有，
则.
4．已知,，点在轴上，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】选.如图，点 关于 轴的对称点为，则当点 为 与 轴的交点时，取得最小值，即.
5．（多选）已知直线，则下列结论正确的是（ ）
A. 直线的倾斜角是
B. 点到直线的距离是2
C. 若直线，则
D. 过点与直线平行的直线方程是
【答案】BD
【解析】选.对于，直线，即，则其斜率，则其倾斜角是，故 错误；对于，点 到直线 的距离，故 正确；对于，直线，即，其斜率，而，故直线 与直线 不垂直，故 错误；对于，依题意，设所求直线的方程为，将 代入，得，故，则所求直线方程为，故 正确.
6．已知两条直线和的交点在轴上，那么实数的值是_ _ _ _ .
【答案】6
【解析】由 可得直线与 轴的交点坐标为,将点 代入，得.
7．直线关于直线对称的直线的方程为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】设直线 上任意一点 关于直线 对称的点为，
则 所以
代入，得，
整理得.
8．已知在梯形中，，且和所在直线的方程分别是与，则梯形的面积为_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】直线 和 之间的距离，即梯形的高为，又，所以梯形 的面积为.
9．（13分）已知直线，，且直线与垂直.
（1） 求的值；（6分）
（2） 若直线过直线与的交点，且原点到该直线的距离为3，求直线的方程.（7分）
【答案】（1） 解：由直线 与 垂直，得，即，解得.
（2） 由（1）得，直线 的方程为，
即，
联立 解得
即点 坐标为，
①当直线 的斜率不存在时，其直线方程为，满足题意；
②当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为，即，
则原点到该直线的距离，
所以，则直线 的方程为.
综上所述，直线 的方程为 或.
B 综合运用
10．[2024· 九省联考]已知为直线上的动点，点满足，记的轨迹为，则（ ）
A. 是一个半径为的圆 B. 是一条与相交的直线
C. 上的点到的距离均为 D. 是两条平行直线
【答案】C
【解析】选.设,,，故,所以 整理得 消去 可得，所以轨迹 的方程为,易知 为一条与直线 平行的直线，所以，,错误;直线 与直线 的距离,因此 上的点到 的距离均为，所以 正确.
11．[2025·郑州段考]已知直线过定点，直线过定点，与的交点为，则面积的最大值为（ ）
A. B. C. 5 D. 10
【答案】C
【解析】选.直线 过定点，则.直线，即 过定点，则，所以.因为,所以 与 垂直，所以点 在以 为直径的圆周上（，点除外），所以当点 位于 的垂直平分线与该圆的交点时，的面积最大，此时.
12．[2025·沈阳月考]（多选）已知直线，点，，点为直线上任意一点，则下列说法正确的是（ ）
A. 直线与直线平行
B. 存在两条过点且到，两点距离相等的直线
C. 存在点，使得（为坐标原点）
D. 的最小值为
【答案】ABD
【解析】选.对于，直线 的斜率,直线 的斜率,直线 的方程为,即,因为,且两直线不重合，所以直线 与直线 平行，故 正确；
对于，设过点 且到，两点距离相等的直线为,当 的斜率不存在时，即,此时，两点到直线 距离相等且为1，符合题意；当 的斜率存在时，设直线 的方程为,即,因为，两点到直线 的距离相等，所以,解得,即,综上，存在两条过点 且到，两点距离相等的直线，故 正确；
对于，原点 到直线 的距离,所以不存在点，使得，故 错误；
对于，如图，作点 关于直线 的对称点,连接，设，
则
解得 即，当且仅当,,三点共线时，取得最小值，则 的最小值为，故 正确.
13．（13分）已知光线经过直线和的交点，且射到轴上一点后被轴反射.求：
（1） 点关于轴的对称点的坐标；（3分）
（2） 反射光线所在的直线的方程；（4分）
（3） 与的距离为的直线方程.（6分）
【答案】
（1） 解：由 解得
所以.
所以点 关于 轴的对称点 的坐标为.
（2） 方法一：设直线 的倾斜角为 ,则直线 的倾斜角为 ，易知,所以直线 的斜率为.故反射光线所在的直线 的方程为,即.
方法二：由题意知反射光线所在的直线 的方程就是直线 的方程.易知直线 的方程为,整理得.故反射光线所在的直线 的方程为.
（3） 设与 平行的直线方程为，，根据两平行线之间的距离公式得,解得 或,所以与 的距离为 的直线方程为 或.
14．（15分）如图所示，,,是三条公路,与互相垂直，它们在点相交，与，的交点分别是，，且,,工厂在公路上，，工厂到，的距离分别为2，4.货车在公路上.
（1） 要把工厂，的物品装上货车，问：在什么位置时，搬运工走的路程最少？（7分）
（2） 在什么位置时，工厂的搬运工与工厂的搬运工走的路程差距最多？（假设货物一次性搬运完）（8分）
【答案】
14．解：以 为坐标原点,,所在直线分别为 轴、轴建立平面直角坐标系（图略），
则有,,,,
故公路 所在直线的方程为.
（1） 的值最小时 的位置即为所求.
设点 关于直线 的对称点为，
则 解得
所以.
又 为直线 上的一点，则,
当且仅当,,三点共线时等号成立，
此时 取得最小值，
点 就是直线 与直线 的交点，
直线 的方程为,联立
解得
所以,即 在公路 上且到公路 的距离为2，到公路 的距离为3的位置.
（2） 由题意可知，原问题等价于求点 的位置，使 的值最大.，两点在直线 的同侧，是直线 上的点，则，当且仅当,,三点共线时等号成立，此时 取得最大值，点 即为直线 与直线 的交点.又直线 的方程为,由 得 所以.
即 在公路 上且到公路 的距离为12，到公路 的距离为10的位置.
第3讲 圆的方程及位置关系
课标要求 考情分析
1.回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程与一般方程. 2.能根据给定的直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系. 命题形式 以选择题、填空题为主，难度中档. 常考内容 求圆的方程及判断直线与圆、圆与圆的位置关系.
必备知识 自主排查
理一理
1．圆的定义和圆的方程
定义 平面上到①_ _ 的距离等于②_ _ 的点的集合叫做圆
标准方程 圆心
半径为
一般方程 充要条件：
圆心③_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
半径
【答案】定点； 定长； ,
提醒 当时，此方程表示的图形是圆；当时，此方程表示一个点，；当时，它不表示任何图形.
2．直线 与圆 的位置关系的判定
位置关系 相交 相切 相离
公共点个数 ④_ _ _ _ 个 ⑤_ _ _ _ 个 ⑥_ _ _ _ _ _ 个
判定方法 几何法：设圆心到直线的距离 ⑦_ _ _ _ ⑧_ _ _ _ _ _ ⑨_ _ _ _
代数法：由 消元得到一元二次方程根的判别式 ⑩_ _ 0 _ _ _ _ 0 _ _ 0
【答案】； ； ； ； ； ； ； ；
3．圆与圆位置关系的判定
（1）几何法
若两圆的半径分别为，，两圆的圆心距为,则两圆的位置关系的判定方法如下：
位置关系 外离 外切 相交 内切 内含
图示
与，的关系
（2）代数法
通过两圆方程组成的方程组的公共解的个数进行判定.
【答案】； ； ； ； ； 相交； 内切或外切； 内含或外离
提醒 两圆相切应注意是内切还是外切.
常用结论
1.以,为直径端点的圆的方程为.
2.二元二次方程表示圆的充要条件为：且且.
练一练
1．判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1） 点在圆的内部.（ ）
（2） 方程表示圆.（ ）
（3） 若两圆相切，则有且只有一条公切线.（ ）
（4） 过圆上一点的圆的切线方程是.（ ）
【答案】（1） √
（2） ×
（3） ×
（4） √
2．直线与圆的位置关系为（ ）
A. 相切 B. 相交但直线不过圆心
C. 相交且直线过圆心 D. 相离
【答案】B
【解析】选.圆的圆心为，半径为1，圆心到直线 的距离.又，圆心不在直线 上，所以直线与圆相交，但直线不过圆心.
3．（选择性必修第一册P102 T7改编）若方程表示圆，则实数的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】方程 可化为,它表示圆，需满足，故.
4．（选择性必修第一册P84 例3改编）已知圆的圆心在轴上，且过和两点，则圆的标准方程是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】设圆心 的坐标为,由，可得，即，解得，可得圆心为，半径为，故圆 的标准方程为.
5．（选择性必修第一册P98练习T1改编）圆与圆的位置关系为_ _ .
【答案】内切
【解析】由题意知，圆 的圆心为,半径,圆 的圆心为,半径，由于，所以两圆内切.
核心考点 师生共研
考点一 圆的方程
［例1］
（1） 设点在直线上，点和均在上，则的方程为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
（2） 已知圆与直线相切于点，且圆心在直线上，则圆的方程为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】（1）
（2）
【解析】
（1） 方法一：设 的方程为,则 解得 所以 的方程为.方法二：因为点 在直线 上，所以设点 为，又因为点 和 均在 上，所以点 到两点的距离相等且为半径，所以，即，解得，所以，，所以 的方程为.方法三：设点,,的半径为,则，的中点坐标为,,所以 垂直平分线的方程为，即.联立 解得 所以,所以,所以 的方程为.
（2） 设圆 的标准方程为,则有 解得 所以圆 的方程为.
［感悟进阶］
求圆的方程的两种方法
（1）几何法:根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径.
（2）待定系数法:①若已知条件与圆心和半径有关，则设圆的标准方程;②若已知条件没有明确给出圆的圆心或半径，则设圆的一般方程.
［对点训练］
1．（多选）设圆的方程是，其中,,则下列说法中正确的是（ ）
A. 该圆的圆心坐标为
B. 该圆过原点
C. 该圆与轴相交于两个不同的点
D. 该圆的半径为
【答案】BC
【解析】选.由圆的标准方程可知，该圆的圆心坐标为，半径为,故，不正确；因为，所以该圆过原点，故 正确；在圆的方程 中，令，有，解得 或，因为,所以该圆与 轴相交于两个不同的点，故 正确.
2．已知半径为2的圆的圆心在第四象限，且与直线和均相切，则该圆的标准方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】选.由题意，设圆心坐标为，则圆心到直线 的距离,解得（负值已舍去）,所以该圆的标准方程为.
考点二 直线与圆的位置关系
［例2］
（1） [2025· 湘豫名校联考]已知圆,则直线与圆的位置关系是_ _ .
（2） 若圆上恰有4个点到直线的距离为2，则实数的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】（1） 相交
（2） ,
【解析】
（1） 圆 的方程可化为，所以，即.方法一：因为圆 的圆心 到直线 的距离为,所以直线 与圆 相交.方法二：①当 时，，直线方程可化为,易知,故直线与圆 相交；②当 时，联立 消去 得,则,所以直线与圆 相交.综上，直线 与圆 相交.
（2） 由圆，可得圆心，半径，如图所示，过圆心 作直线 的垂线，垂足为，延长 交圆 于点，要使得圆 上有4个点到直线 的距离为2，则满足，又由圆心 到直线 的距离，解得，即实数 的取值范围是,.
［感悟进阶］
判定直线与圆的位置关系的两种方法
［对点训练］
1．已知圆，直线，若直线与圆相交，则（ ）
A. 点在上 B. 点在圆上
C. 点在圆内 D. 点在圆外
【答案】D
【解析】选.由已知直线 与圆 相交,可知圆心 到直线 的距离小于半径，则有，故，把 代入 的方程得，所以点 不在直线 上，故 错误；又，则点 在圆 外，故 正确，，错误.
2．已知直线与曲线有两个公共点，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】选.由,得,如图，当直线 与曲线 相切时，,当直线 过点 时，直线与曲线有两个交点，此时,所以若直线 与曲线 有两个公共点，则实数 的取值范围是.
考点三 圆与圆的位置关系
［例3］ [2025·保定模拟]（多选）已知圆，圆，则下列结论正确的是（ ）
A. 若和外离，则或
B. 若和外切，则
C. 当时，有且仅有一条直线与和均相切
D. 当时，和内含
【答案】ABC
【解析】圆 的圆心为，半径，圆 的圆心为，半径，所以，若 和 外离，则，解得 或，故 正确；
若 和 外切，则，解得，故 正确；
当 时，，则 和 内切，故有且仅有一条公切线，故 正确；
当 时，，则 和 相交，故 错误.
［感悟进阶］
圆与圆的位置关系的求解策略
（1）判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法.
（2）若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去,项得到.
［对点训练］
1．[2025·广州模拟]若直线与圆相切，则圆与圆（ ）
A. 外切 B. 相交 C. 内切 D. 外离或内含
【答案】B
【解析】选.设圆心 到直线 的距离为，由题意，知,得.圆 的圆心坐标为,半径为，其圆心在圆 上且半径小于圆 的半径，所以两圆相交.
2．[2025·山东联考]圆和圆的公切线方程是（ ）
A. B. 或
C. D. 或
【答案】A
【解析】选.由题意知，圆,圆心，半径，
圆，圆心，半径.
因为，所以两圆相内切，公切线只有一条.
因为圆心的连线与切线相互垂直，,所以公切线斜率为.
由
解得
故圆 与圆 的切点坐标为.
故公切线方程为,
即.
培优点 圆系方程
（1）过直线与圆交点的圆系方程为；
（2）过两圆,交点的圆系方程为，此圆系不含
特别地，当时，上述方程为一次方程，两圆相交时，表示公共弦所在的直线方程；两圆相切时，表示公切线所在的直线方程.
［典例］ 已知点，圆（为坐标原点）,求经过点，圆与圆交点的圆的方程.
【解】 设圆的方程为，因为点 在所求圆上，所以，且圆 不过点，所求圆的方程是.
［对点训练］．经过直线与圆的两个交点，且面积最小的圆的方程是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】设过直线与圆的两个交点的圆的方程为，整理得,若要使得所求圆的面积最小，则只需半径最小，即 取到最小值，而,当 时取到最小值，
此时圆的方程为.
课后达标 分级演练
A 基础达标
1．圆心在轴上，半径长为1，且过点的圆的方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】选.根据题意可设圆的方程为.因为圆过点，所以,解得,所以所求圆的方程为.
2．[2025·长春模拟]已知圆，圆，则这两圆的位置关系为（ ）
A. 内含 B. 内切 C. 相交 D. 外离
【答案】A
【解析】选.圆 的圆心为，半径；
圆 的圆心为，半径，则，故，所以两圆内含.
3．已知点在圆外，则的取值范围为（ ）
A. B. 或
C. D.
【答案】A
【解析】选.由题意知圆 的标准方程为,所以圆心坐标为，半径.因为点 在圆 外，则，且,即 且,即.
4．如图，点，，在圆 上，点在圆 内，,,，若，且与共线，则圆 的周长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】选.以点 为坐标原点，和 所在直线分别为 轴、轴建立平面直角坐标系，
则点,,，设圆的一般方程为，
则
解得
所以.
所以圆的周长为 .
5．（多选）已知的三个顶点为，，，则下列关于的外接圆圆的说法正确的是（ ）
A. 圆的圆心坐标为 B. 圆的半径为
C. 圆关于直线对称 D. 点在圆内
【答案】ABD
【解析】选.设 的外接圆圆 的方程为,
则 解得
所以 的外接圆圆 的方程为,即.故圆 的圆心坐标为，半径为，故，正确.因为直线 不经过圆 的圆心,所以圆 不关于直线 对称，故 错误.因为，所以点 在圆 内，故 正确.
6．已知某圆圆心的坐标为，且一条直径的两个端点恰好在两个坐标轴上，则这个圆的一般方程为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】因为直径所对的圆周角是直角，所以圆恰好过原点，故半径为，所以圆的标准方程为，化为一般方程为.
7．若圆关于直线对称的圆恰好过点，则实数的值为_ _ _ _ .
【答案】4
【解析】依题意，点 关于直线 的对称点 在圆 上，则
解得 因此点 在圆 上，则,解得,所以实数 的值为4.
8．[2025·长沙模拟]已知圆，点在直线上运动，以线段为直径的圆与圆相交于，两点，则直线过定点_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】,
【解析】由题意得，.
设点，则圆 的方程为，
即.
圆 的方程可化为，两圆方程相减，得直线 的方程为，即.
由 得
所以直线 过定点,.
9．（13分）已知动圆经过点和.
（1） 当圆面积最小时，求圆的方程；（6分）
（2） 若圆的圆心在直线上，求圆的方程.（7分）
【答案】（1） 解：要使圆 的面积最小，则 为圆 的直径，圆心，半径，所以所求圆 的方程为.
（2） 设所求圆 的方程为，根据已知条件得，
解得
所以所求圆 的方程为.
B 综合运用
10．[2025·湖北联考]在平面直角坐标系中，已知点,,其中,若圆上存在点满足，则实数的取值范围是（ ）
A. ， B. ， C. ， D.
【答案】D
【解析】选.设，则,所以,即点 在以原点为圆心，为半径的圆上，又因为点 在以点 为圆心，为半径的圆上，所以点 为两圆的公共点，因此,解得.
11．（多选）已知圆与直线相切于点，圆被轴所截得的弦长为2，则下列结论正确的是（ ）
A. 圆的圆心在定直线上
B. 圆的面积的最大值为
C. 圆的半径的最小值为1
D. 满足条件的所有圆的半径之积为8
【答案】AB
【解析】选.因为圆 与直线 相切于点,所以直线 与直线 垂直，所以直线 的斜率为1，则点 在直线，即 上，故 正确；设点,所以圆 的半径,因为圆 被 轴截得的弦长为2，所以，解得 或.当 时，圆 的面积最大，为 ,故 正确；当 时，圆 的半径最小，为，故 错误；满足条件的所有圆 的半径之积为,故 错误.
12．由曲线围成的图形的面积为_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】将 或 代入方程，方程不发生改变，故曲线 关于 轴、轴对称，因此只需求出第一象限中曲线与 轴、轴围成的图形的面积即可，当，时，曲线 可化为，
画出图形如图所示，则第一象限中图形的面积为 ，将第一象限的图形关于 轴、轴对称，得曲线所围成的完整的图形，故曲线 围成的图形的面积为 .
13．（13分）已知圆，直线.
（1） 试判断直线与圆的位置关系；（6分）
（2） 若直线将圆周分成长度之比为的两部分，求直线的方程.（7分）
【答案】
（1） 解：直线 过定点，
定点在圆外，易知当直线 与圆 相切时，斜率，
此时 或，
即当 或 时，直线 与圆 相切；
当直线 的斜率，，此时 或，直线 与圆 相离；
当直线 的斜率 或 或斜率不存在，
此时，直线 与圆 相交.
（2） 直线 将圆周分成长度之比为 的两部分，即劣弧所对的圆心角为 ，
所以圆心 到直线 的距离为，
即，
解得，
所以直线 的方程为.
14．[2025·徐州期末]（15分）如图，在平面直角坐标系中，点，直线，设圆的半径为1，圆心在上.
（1） 若圆心也在直线上，过点作圆的切线，求切线方程；（7分）
（2） 若圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围.（8分）
【答案】
（1） 解：由 得圆心，
因为圆 的半径为1，
所以圆 的方程为，
显然切线的斜率一定存在，
设所求圆 的切线方程为，
即.
所以，所以，
所以 或.所以所求圆 的切线方程为 或.
（2） 由题意得，圆心，则圆 的方程为.
设，因为，
所以，
整理得，设为圆.
所以点 应该既在圆 上又在圆 上，
即圆 和圆 有交点，
所以，由，得，由，
得.
综上所述，圆心 的横坐标 的取值范围为,.
第4讲 直线、圆的几何性质
课标要求 考情分析
1.能解决与圆有关的切线、弦长、最值问题. 2.通过求与圆有关的轨迹问题，体会求轨迹方程的一般方法. 命题形式 多以选择题、填空题为主，难度中档. 常考内容 切线问题、弦长问题、最值问题. 创新考法 圆的方程与平面向量交汇.
考点一 圆的切线与弦长问题
角度1 切线问题
［例1］ [2023· 新课标Ⅰ卷]过点与圆相切的两条直线的夹角为 ，则（ ）
A. 1 B. C. D.
【答案】B
【解析】如图，由 得，所以圆心坐标为，半径，所以圆心到点 的距离为，
由于圆心与点 的连线平分角 ，
所以，
又，所以，
所以.
细研真题 试题源于教材人教版选择性必修第一册例2.本题考查直线和圆的位置关系、两点间的距离公式、两条直线夹角的概念和计算，以及三角函数的基本关系.此类题目可进行面积计算.
真题变式．过点作圆的两条切线，切点分别为，，则四边形的面积为（ ）
A. 4 B. C. 8 D.
【答案】C
【解析】选.由，得,则圆心为，半径,又，则，则四边形 的面积为.
［感悟进阶］
解决直线与圆相切问题的策略
提醒 （1）过圆上一点的圆的切线方程为.
（2）过圆外一点作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为.
易错点 设切线方程时，易忽略斜率不存在的情况.<><>
角度2 弦长问题
［例2］ [2024·全国甲卷]已知是,的等差中项，直线与圆交于,两点，则的最小值为（ ）
A. 1 B. 2 C. 4 D.
【答案】C
【解析】根据题意有，即，所以直线 过点，点 在圆内.设圆 的圆心为,连接（图略）,则当 时，最小，将圆的方程化为，则，所以，所以 的最小值为．
［感悟进阶］
弦长的两种求法
（1）代数法：将直线和圆的方程联立，消元后得到一个一元二次方程.在判别式的前提下，利用根与系数的关系，根据弦长公式求弦长.
（2）几何法：若弦心距为，圆的半径为，则弦长.
［对点训练］
1．已知直线,与圆分别交于点，和，，则四边形的面积为（ ）
A. B. C. 8 D. 4
【答案】A
【解析】选.圆 的圆心为，半径为2，直线 经过圆 的圆心，所以.圆心到直线 的距离,所以.
由于直线 和 互相垂直，
所以，所以四边形 的面积为.
2．已知圆，直线在两坐标轴上的截距相等且与圆相切，则直线的方程为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】或或
【解析】圆 的标准方程为,则圆心为，半径为，因为直线 在两坐标轴上的截距相等，所以直线 的斜率存在且不为0.
当直线 过原点时，设直线 的方程为,,由直线 与圆 相切，得,解得,所以直线 的方程为;
当直线 不过原点时，设直线 的方程为,由直线 与圆 相切得,解得,所以直线 的方程为 或.
综上，直线 的方程为 或 或.
考点二 与圆有关的最值问题
角度1 借助几何性质求最值
［例3］ 已知实数，满足方程.求：
（1） 的最大值和最小值；
（2） 的最小值；
（3） 的最大值和最小值.
【答案】
（1） 【解】方程 可化为，即表示以点 为圆心，为半径的圆.如图.
设,即,则圆心 到直线 的距离为半径时直线 与圆相切，此时斜率取得最大值或最小值.
由，解得,
所以,.
所以,.
（2） 设,则，当且仅当直线 与圆的切点位于第四象限时，截距 取最小值，由点到直线的距离公式，得,
即,故.
（3） 是圆上点与原点的距离的平方，设圆与 轴相交于点 和（点 在点 左侧）（图略），则,，所以,.
［感悟进阶］
与圆有关的最值问题的三种几何转化法
角度2 建立函数关系求最值
［例4］ 设点是圆上的动点，定点，，则的最大值为.
【答案】12
【解析】由题意知，，所以,由于点 是圆 上的点，故其坐标满足方程，故,所以.由圆 的方程，易知,所以当 时，的值最大，最大值为.
［感悟进阶］
建立函数关系式求最值
根据题目条件列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法等，利用二次函数或基本不等式等方法求解.
［对点训练］
1．[2025·北京期末]在平面直角坐标系中，已知点，，动点满足，则的最大值为（ ）
A. 1 B. C. 2 D.
【答案】D
【解析】选.设,则,,由 可得，整理得,故动点 的轨迹是以 为圆心，1为半径的圆.
又，可得 的最大值为 到圆心 的距离再加上半径长，
即.
2．设点是圆上的动点，定点，，则的最小值为_ _ _ _ .
【答案】2
【解析】由题意，知,,所以,由于点 是圆上的点，故点 的坐标满足方程,即,所以.由圆的方程,易知,所以当 时，的值最小，最小值为.
考点三 与圆有关的轨迹问题
［例5］ 已知的斜边为，且点，.求：
（1） 直角顶点的轨迹方程；
（2） 直角边的中点的轨迹方程.
【答案】
（1） 【解】方法一：设点，因为，，三点不共线，所以.
因为，且，的斜率均存在，
所以,所以,
化简得.
因此，直角顶点 的轨迹方程为.
方法二：设 的中点为，则,
所以.
易知动点 的轨迹是以 为圆心，2为半径的圆（由于，，三点不共线，所以应除去与 轴的交点）.所以直角顶点 的轨迹方程为.
（2） 设点,,
因为点，是线段 的中点，
所以 所以 由（1）知，点 的轨迹方程为,
将 代入得,即.
因此中点 的轨迹方程为.
［感悟进阶］
求与圆有关的轨迹问题的常用方法
［对点训练］
1．[2024· 新课标Ⅱ卷]已知曲线，从上任意一点向轴作垂线段，为垂足，则线段的中点的轨迹方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】选.设点，，则，因为 为 的中点，所以，即，又点 在圆 上，所以,即,即点 的轨迹方程为.
2．已知圆,点是圆上的动点，与圆相切，且，则点的轨迹方程为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】因为圆,所以圆心，半径,因为点 是圆上的动点，所以，又 与圆相切，且，则，设,则,即,所以点 的轨迹方程为.
课后达标 分级演练
A 基础达标
1．若直线与圆相交于，两点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】选.因为圆 的圆心为，半径为，所以圆心到直线 的距离，所以.
2．已知为圆上的动点，点满足，记的轨迹为，则的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】选.设，因为，
所以，又 在圆 上，故，
即 的方程为.
3．已知直线是圆的对称轴，过点作圆的一条切线，切点为，则（ ）
A. 1 B. 2 C. 4 D. 8
【答案】C
【解析】选.由题意得圆,则直线 过圆心，故，
解得，
所以点，.又半径，所以.
4．[2025·贵阳适应性考试]已知圆,直线,,则下列说法正确的是（ ）
A. 直线过定点
B. 直线与圆一定相交
C. 若直线平分圆，则
D. 直线被圆截得的最短弦的长度为
【答案】B
【解析】选.对于，由 对于任意的 恒成立，可得 所以,直线 过定点，，错误；对于，将定点，代入圆 的方程得，可知点，在圆 的内部，所以直线 与圆 一定相交，正确；对于，直线 平分圆，即直线 过圆 的圆心，将圆心坐标 代入直线 的方程得,解得,错误；对于，记直线 被圆 截得的弦长为,圆心 到直线 的距离为,圆 的半径为,根据弦长、半径与圆心到直线的距离之间的关系，得,又，所以,错误.
5．（多选）已知圆和圆的交点为，，则（ ）
A. 两圆的圆心距
B. 直线的方程为
C. 圆上存在两点和使得
D. 圆上的点到直线的最大距离为
【答案】BD
【解析】选.由题意，可得圆 和圆,则圆 的圆心坐标为,半径为2，圆 的圆心坐标为，半径为,对于，两圆的圆心距,故 错误；对于，将两圆方程作差可得，即得公共弦 所在直线的方程为,故 正确；对于，直线 经过圆 的圆心，所以线段 是圆 的直径，故圆 中不存在比线段 长的弦，故 错误；对于,圆 的圆心坐标为，半径为2，圆心到直线 的距离为,所以圆 上的点到直线 的最大距离为，故 正确.
6．若为圆的弦的中点，则直线的方程是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】因为圆心，所以直线 的斜率为，所以直线 的斜率为1.故直线 的方程为，即.
7．直线与圆交于，两点，为坐标原点，则_ _ _ _ ．
【答案】1
【解析】联立
得，
则，即，解得.
设，，
则，，
.
8．[2025·天津模拟]圆与圆的公共弦所在直线被圆所截得的弦长为_ _ _ _ _ _ ．
【答案】
【解析】由题知圆 与圆，则两圆方程作差得，即公共弦所在直线方程为.
又圆 的圆心为，半径，所以圆心 到直线 的距离，则直线 被圆 所截得的弦长为.
9．（13分）已知点，圆，过点的动直线与圆交于,两点，线段的中点为，为坐标原点.
（1） 求点的轨迹方程；（6分）
（2） 若，求的方程及的面积.（7分）
【答案】
（1） 解：设点，当点 不与点 重合时，
即当 且 时，
由垂径定理可知,即，
又圆 的圆心为，，
则，，
所以，
即，
当点 与点 重合时，点 的坐标也满足方程，
故点 的轨迹方程为.
（2） 方法一：当 时，点 与点 满足圆 的方程，
记 为圆，
又点 与点 在圆 上，所以 为圆 和圆 的公共弦，
则直线 的方程为，即，
所以 的方程为，点 到直线 的距离，
又圆 的半径，所以弦长，
所以 的面积.
方法二：设，
由题意可得
解得 即点,,
又，所以直线 的方程为，，则直线 的方程为，且，
点 到直线 的距离，
故 的面积.
B 综合运用
10．若一条光线从点射出，经轴反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ）
A. 或 B. 或 C. 或 D. 或
【答案】D
【解析】选.点 关于 轴的对称点为，由题意知，反射光线所在的直线一定过点.
设反射光线所在直线的斜率为，则反射光线所在直线的方程为,
即.
由反射光线与圆相切，得,解得 或.
11．[2025·潍坊模拟]已知直线和曲线有公共点，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】选.因为,
所以直线 恒过定点，
曲线 化简即为 过点 作曲线 的切线，,如图所示.
由图可知，若直线 与曲线 有交点，则直线 介于 与 之间，由圆心 到直线 的距离等于半径得,整理得,解得 或（舍去）.同理，由圆心 到直线 的距离等于半径得,整理得，解得（舍去）或，所以实数 的取值范围为.
12．（多选）已知圆和圆交于，两点，则（ ）
A. 两圆有两条公切线
B. 垂直平分线段
C. 直线的方程为
D. 线段的长为
【答案】ACD
【解析】选.对于，因为圆 和圆 交于，两点，所以两圆有两条公切线，故 正确；对于，数形结合可知 垂直于线段 但不平分线段，故 错误；对于，圆 和圆 的方程相减得，所以直线 的方程为，故 正确；对于，圆心 到直线 的距离,所以线段 的长为，故 正确.
13．（13分）已知圆与圆相交于，两点.
（1） 求公共弦的长；（6分）
（2） 求圆心在直线上，且过，两点的圆的方程.（7分）
【答案】
（1） 解：由两圆方程相减即得,
此为公共弦 所在的直线方程.
因为圆心，半径,
点 到直线 的距离,
所以公共弦长.
（2） 由题易知，过点，的直线方程为,即.
由 得所求圆的圆心为,
它到直线 的距离为,
则所求圆的半径为，
所以所求圆的方程为.
14．（15分）已知直线与圆心为坐标原点的圆相切.
（1） 求圆的方程；（4分）
（2） 过点的直线与圆交于，两点，若弦长，求直线的斜率；（4分）
(3)过点Q(1，1)作两条相异直线分别与圆O相交于M，N，且直线QM和直线QN的倾斜角互补，试判断向量和是否共线，并说明理由．(7分)
【答案】（1） 解：因为直线 与圆心为坐标原点的圆 相切,所以圆 的半径,所以圆 的方程为.
（2） 由题知直线 的斜率存在且不为0，设直线 的斜率为，则直线 的方程为,即,圆心 到直线 的距离,因为弦长，所以，
解得 或.
（3） 向量 与 共线，理由如下：
由题意知，直线 和直线 的斜率存在，且互为相反数，故可设,
则,由
得.
因为点 的横坐标1一定是该方程的解，故可得.
同理可得,
所以
,
所以向量 和 共线.
第5讲 椭 圆
课标要求 考情分析
1.了解椭圆的实际背景，感受椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用. 2.体会从具体情境中抽象出椭圆的过程，掌握椭圆的定义、标准方程及简单的几何性质. 命题形式 常以选择题或填空题的形式出现，一般难度较大. 常考内容 椭圆的标准方程及离心率. 创新考法 椭圆与其他知识模块的交汇，如平面向量、解三角形等.
必备知识 自主排查
理一理
1．椭圆的定义
条件 结论1 结论2
平面内与两个定点，的距离的和等于常数（大于）的点 M点的轨迹为椭圆 ①_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 为椭圆的焦点； ②_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 为椭圆的焦距
【答案】；
提醒 若，则动点的轨迹是线段；若，则动点的轨迹不存在.
2．椭圆的标准方程及几何性质
焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上
图形
标准方程
范围 且 且
顶点 ,,, ,,,
轴长 短轴长为③_ _ _ _ _ _ ，长轴长为④_ _ _ _ _ _
焦点 ⑤_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ⑥_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
焦距 ⑦_ _ _ _ _ _
对称性 对称轴：轴和轴，对称中心：⑧_ _
离心率
，，的关系
【答案】； ； ； ； ； 原点
提醒 焦点在轴上 标准方程中项的分母较大；焦点在轴上 标准方程中项的分母较大.
常用结论
1.若点在椭圆上，为坐标原点，为椭圆的一个焦点，则
（1）;
（2）.
2.焦点三角形
椭圆上的点与两焦点,构成的叫做焦点三角形， ，的面积为.
（1）当为短轴端点时， 最大；
（2），当时，即点为短轴端点时，取最大值，最大值为；
（3）焦点三角形的周长为.
3.焦点弦（过焦点的弦）
焦点弦中通径（垂直于长轴的焦点弦）最短，弦长.
4.焦半径公式
若为椭圆上任一点，,分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆离心率，则,.
练一练
1．判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1） 平面内与两个定点,的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆.（ ）
（2） 椭圆的离心率越大，椭圆就越圆.（ ）
（3） 与的焦距相同.（ ）
（4） 方程表示的曲线是椭圆.（ ）
【答案】（1） ×
（2） ×
（3） √
（4） ×
2．（选择性必修第一册P109T1改编）已知椭圆上一点到焦点的距离为3，则点到另一个焦点的距离为 （ ）
A. 2 B. 3 C. 5 D. 7
【答案】D
【解析】选.由椭圆的定义得,又，所以.
3．（选择性必修第一册P115T3改编）已知椭圆，则下列结论正确的是（ ）
A. 长轴长为 B. 焦距为
C. 短轴长为 D. 离心率为
【答案】D
【解析】选.把椭圆方程 化为标准方程可得，
所以,,,
则长轴长,焦距,
短轴长,离心率.
4．（用结论）已知是椭圆的右焦点，过且垂直于轴的直线交椭圆于，两点，且，则椭圆的方程为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】由题意可知,
又，解得,，
所以椭圆 的方程为.
5．若方程表示椭圆，则实数的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】由已知得 解得 且，故实数 的取值范围是.
核心考点 师生共研
考点一 椭圆的定义及其应用
［例1］ 已知是椭圆上的点，，分别是椭圆的左、右焦点，若，则的面积为_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】由题意知，，,，所以，
因为，，
且， ，所以 ，
由余弦定理可得
，
解得，则.
［感悟进阶］
椭圆定义的应用技巧
椭圆定义的应用主要有两个方面： 一是确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆；二是当点在椭圆上时，与椭圆的两焦点，组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长，利用定义和余弦定理可求的值,通过整体代入可求其面积等.
［对点训练］
1．已知椭圆的方程为，其中，， ，依次将椭圆的下半部分分成10等份，若是椭圆的右焦点，则（ ）
A. 10 B. 16 C. 20 D. 12
【答案】C
【解析】选.因为 是椭圆的右焦点，且，可得，设椭圆 的左焦点为，连接，，由椭圆的对称性，可得，，
所以.
2．已知,为椭圆的两个焦点，点在上，若,则（ ）
A. 1 B. 2 C. 4 D. 5
【答案】B
【解析】选.由题知,,.因为,所以,所以,平方得,所以.
考点二 椭圆的标准方程
［例2］
（1） 已知两圆,,动圆在圆内部且和圆相内切，和圆相外切，则动圆圆心的轨迹方程为（ ）
A. B.
C. D.
（2） [2025·成都段考]如图，为椭圆的左焦点，为上一点，满足且，则椭圆的标准方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】（1） D
（2） C
【解析】
（1） 设圆 的半径为，则,所以点 的轨迹是以,为焦点的椭圆.因为,,所以,,.故动圆圆心 的轨迹方程为.
（2） 由题意可得，设右焦点为，连接（图略），由 知，，，所以 ，即.在 中，，又,从而,于是，所以椭圆 的标准方程为.
［感悟进阶］
求椭圆方程的方法与步骤
注意 当椭圆焦点位置不明确时，可设为，也可设为,,且.
［对点训练］
1．[2025·河南模拟]若方程表示焦点在轴上的椭圆，则（ ）
A. B.
C. D. 或
【答案】C
【解析】选.因为方程 表示焦点在 轴上的椭圆，所以 解得.
2．[2025·甘孜模拟]已知曲线是焦点在轴上的椭圆，曲线的左焦点为，上顶点为，右顶点为，过点作轴的垂线，该垂线与直线交点为.若且的面积为，则曲线的标准方程为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】设所求曲线 的标准方程为，如图，
因为，所以，即.
由 得，即.
联立 解得 所以曲线 的标准方程为.
考点三 椭圆的几何性质
角度1 离心率
［例3］
（1） [2025· 东北三校联考]已知平面直角坐标系中，椭圆的左顶点和上顶点分别为，，过椭圆的左焦点且平行于直线的直线交轴于点.若，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
（2） [2025·淮安段考]设，分别是椭圆的左、右焦点，过点作轴的垂线与椭圆交于，两点.若为钝角三角形，则离心率的取值范围为（ ）
A. B. C. , D. ,
【答案】（1） D
（2） A
【解析】
（1） 记椭圆 的半焦距为,由题意得，，，，因为，所以，，如图.方法一：因为，，,，所以,故,所以椭圆 的离心率.方法二：因为,所以，故,化简得,所以椭圆 的离心率.
（2） 由题意可得,即.因为 为钝角三角形，所以 ，可得,即，即.由，可得，即，即，且，解得.
［感悟进阶］
求椭圆离心率的三种方法
（1）直接求出,来求解.通过已知条件列方程组，解出,的值.
（2）构造,的齐次式，解出.由已知条件得出关于,的二元齐次方程，然后转化为关于离心率的一元二次方程求解.
（3）通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.
注意 在解关于离心率的二次方程时，要注意利用椭圆的离心率进行根的取舍，否则将产生增根.
角度2 最值（范围）问题
［例4］
（1） 已知椭圆的方程为，点是椭圆的上顶点，点是椭圆上任意一点，则的最大值是（ ）
A. 2 B. 4 C. D.
（2） 已知，分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆上的动点，点，则的最大值是_ _ _ _ .
【答案】（1） C
（2） 5
【解析】
（1） 方法一：因为椭圆 的方程为，则，设，由，得，且，所以，当 时，取得最大值，故.方法二：因为椭圆 的方程为，则,设， ,则,又,所以当 时，取得最大值，故.
（2） 设椭圆 的长半轴长为，半焦距为，则，，所以，，，所以．如图，因为（当 在 的延长线上时取等号），，所以．所以 的最大值为5.
［感悟进阶］
与椭圆有关的最值或范围问题的求解策略
［对点训练］
1．[2025·重庆一诊]（多选）已知椭圆和椭圆，则（ ）
A. 与的长轴长相等 B. 的长轴长与的短轴长相等
C. 与的离心率相等 D. 曲线与有4个公共点
【答案】BC
【解析】选.椭圆，
化为标准方程为，
椭圆，
化为标准方程为,
则 的长轴长为,短轴长为,的长轴长为,短轴长为,故 错误，正确；
的离心率,的离心率,故 正确；
因为 的长轴长与 的短轴长相等，且 的焦点在 轴上，的焦点在 轴上，则曲线 与 有2个公共点，故 错误.
2．已知椭圆的左、右焦点分别为,，若椭圆上存在点使得,则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A. ， B. ， C. ， D. ，
【答案】A
【解析】选.由椭圆的定义可知，又，
解得,.
因为，
所以，
又，得,解得.
课后达标 分级演练
A 基础达标
1．若椭圆的对称轴是坐标轴，长轴长为10，焦距为6，则椭圆的标准方程为（ ）
A. B.
C. 或 D.
【答案】C
【解析】选.由题意可得,,则,所以椭圆的标准方程为 或.
2．[2025·海口模拟]已知椭圆的两个焦点与椭圆的两个焦点构成正方形的四个顶点，则（ ）
A. B. C. 7 D. 5
【答案】A
【解析】选.根据题意，椭圆 的两个焦点为，，因为椭圆 的两个焦点与椭圆 的两个焦点构成正方形的四个顶点，所以椭圆 的两个焦点为，，所以，且，解得.
3．[2025·遵义模拟]设椭圆的左、右焦点分别为，，过作平行于轴的直线交于，两点，若，，则的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】选.由题意可知，
所以由椭圆定义得，解得，又由椭圆通径定义可知，
所以，即，
所以.
4．已知,分别是椭圆的左、右焦点，点是椭圆上的任意一点，若的最大值是4，则椭圆的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】选.由椭圆的定义得，所以．
又，所以当 时，取得最大值，，
即，解得，
所以椭圆 的方程为.
5．[2025·济南模拟]（多选）已知椭圆的两个焦点分别为，，是上任意一点，则（ ）
A. 的离心率为 B. 的周长为12
C. 的最小值为3 D. 的最大值为16
【答案】BD
【解析】选.由 得,所以,,，令，，对于，,故 错误；对于，的周长为,故 正确；对于，的最小值为,故 错误；对于，,即,当且仅当 时等号成立，故 正确.
6．若椭圆的焦点在轴上，且长轴长是短轴长的两倍，则的值为_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】将椭圆方程化为.
由题意，知,,所以,.
又,所以,即.
7．已知椭圆的两个焦点分别为，，与轴的一个交点为，若，则_ _ _ _ .
【答案】
【解析】在椭圆 中，,,.
如图，易知.
又，所以 为等边三角形，
即,所以，即.
8．[2025·滨州模拟]已知椭圆的焦点分别是，，点在椭圆上，如果，那么点到轴的距离是_ _ _ _ .
【答案】
【解析】不妨设,分别是椭圆的上、下焦点，由椭圆方程得，
，，
设，
则，
，
由 得，①
又点 在椭圆上，可得，②
①②联立消去 得，，即，
故点 到 轴的距离是．
9．(13分)(2025·全国二卷)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，长轴长为4.
(1)求C的方程；(6分)
(2)过点(0，－2)的直线l与C交于A，B两点，O为坐标原点．若△OAB的面积为，求|AB|.(7分)
解：(1)依题意，设椭圆C的焦距为2c(c＞0)，则解得
又b＝＝＝，
所以C的方程为＋＝1.
(2)依题意可知，直线l的斜率一定存在，设直线l的方程为y＝kx－2，A(x1，y1)，
B(x2，y2)，联立
消去y整理得(2k2＋1)x2－8kx＋4＝0，
由Δ＝64k2－16(2k2＋1)＝32k2－16＞0，解得k∈∪，
则
则|AB|＝＝＝4 .
又坐标原点O到直线l的距离d＝，所以△AOB的面积S＝|AB|·d＝×4 ×＝，则＝，解得k＝±，又±∈∪，
所以|AB|＝4 ＝.
B 综合运用
10．[2025·黄山模拟]如图，在圆柱中过作与轴截面垂直的一个平面，所得截面图形为椭圆，将圆柱侧面沿母线展开，该椭圆曲线在展开图中恰好为函数一个周期的图象，则该截面椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】选.由题知，且函数的周期 ，设底面半径为，则，解得.设椭圆的长轴长为，短轴长为，则有，得到，又，得到，所以椭圆的离心率为.
11．[2025·河南联考]已知由椭圆与椭圆的交点连线可构成矩形（点，在轴下方），且，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】选.如图所示，根据椭圆的对称性及 可得直线 的方程为,
由
可得，则,
所以,当且仅当,即 时等号成立，则 的最小值为.
12．[2025·长沙适应性考试]（多选）某彗星的运行轨道是以太阳为一个焦点的椭圆.测得轨道的近日点（距离太阳最近的点）与太阳中心的距离为，远日点（距离太阳最远的点）与太阳中心的距离为，并且近日点、远日点及太阳中心在同一条直线上，则（ ）
A. 轨道的焦距为 B. 轨道的离心率为
C. 轨道的短轴长为 D. 当越大时，轨道越扁
【答案】BC
【解析】选.设该椭圆的长半轴长为,短半轴长为,半焦距为,由题意可知,，所以,,,即,椭圆的焦距为，离心率,短轴长为，所以 错误，，正确；因为,所以当 越大时，椭圆的离心率 越小，即椭圆越圆，所以 错误.
13．（13分）已知椭圆的左、右焦点分别是,,左、右顶点分别是，.
（1） 若椭圆上的点,到,两点的距离之和等于4，求椭圆的方程；（6分）
（2） 若是椭圆上异于，的任一点，记直线与的斜率分别为,，且,求椭圆的离心率.（7分）
【答案】（1） 解：由题知,解得,故椭圆 的方程为，将,代入方程,解得,所以椭圆 的方程为.
（2） 设点 的坐标为,则,又,,所以,又,所以,
即,又，所以.
14．(15分)给定椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)，称圆心在原点O，半径是的圆为椭圆C的“准圆”．已知椭圆C的一个焦点为F(，0)，其短轴的一个端点到点F的距离为.
(1)求椭圆C和其准圆的方程；(7分)
(2)若点A，B是椭圆C的准圆与x轴的两交点，P是椭圆C上的一个动点，求·的取值范围．(8分)
解：(1)由题意知c＝，且a＝＝，
可得b＝＝1，故椭圆C的方程为＋y2＝1，其准圆的方程为x2＋y2＝4.
(2)由题意，设P(m，n)(－≤m≤)，
则有＋n2＝1，不妨设A(2，0)，B(－2，0)，
所以＝(m－2，n)，＝(m＋2，n)，
所以·＝m2－4＋n2＝m2－4＋1－＝－3，又－≤m≤，则－3∈[－3，－1]，所以·的取值范围是[－3，－1].
第6讲 双曲线
课标要求 考情分析
1.了解双曲线的实际背景以及双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用. 2.了解双曲线的定义、标准方程及简单的几何性质. 命题形式 多以选择题、填空题为主，试题难度中等. 常考内容 双曲线的标准方程及几何性质. 创新考法 双曲线与其他知识模块的交汇，如平面向量、解三角形等.
必备知识 自主排查
理一理
1．双曲线的定义
条件 结论1 结论2
平面内与两个定点，的距离的差的绝对值等于非零常数（小于）的点 点的 轨迹为 双曲线 ①_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 为双曲线的焦点； ②_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 为双曲线的焦距
（为大于0的常数）
【答案】；
提醒 当时，点的轨迹是两条射线；
当时，点不存在.
2．双曲线的标准方程和几何性质
标准方程
图形
焦点 ③_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ④_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
焦距 ⑤_ _ _ _ _ _
范围 或， 或，
对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：⑥_ _
顶点 ， ，
轴 实轴：线段⑦_ _ _ _ _ _ _ _ ,长:⑧_ _ _ _ _ _ ;虚轴：线段⑨_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ，长：⑩_ _ _ _ _ _ ； 实半轴长： _ _ _ _ ,虚半轴长： _ _ _ _
离心率 _ _ _ _ _ _ _ _
渐近线 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
，，的关系 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
【答案】； ； ； 原点； ； ； ； ； ； ； ； ； ；
提醒 实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其渐近线方程为,离心率为.
常用结论
1.双曲线中的几个常用结论
（1）双曲线的焦点到其渐近线的距离为.
（2）若是双曲线右支上一点,,分别为双曲线的左、右焦点,则,.
（3）同支的焦点弦中最短的为通径（过焦点且垂直于实轴所在直线的弦）,其长为；异支的弦中最短的为实轴,其长为.
2.巧设双曲线方程
（1）与双曲线有共同渐近线的方程可表示为.
（2）过已知两个点的双曲线方程可设为.
3.焦点三角形
双曲线上的点与两焦点,构成的叫做焦点三角形， ,的面积为,则.
练一练
1．判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1） 平面内到点，距离之差等于6的点的轨迹是双曲线.（ ）
（2） 方程表示焦点在轴上的双曲线.（ ）
（3） 双曲线的渐近线方程是.（ ）
（4） 若双曲线的离心率，则该双曲线一定为等轴双曲线.（ ）
【答案】（1） ×
（2） ×
（3） √
（4） √
2．[选择性必修第一册P121 T3改编]已知曲线的方程为,若曲线是焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D. 或5
【答案】C
【解析】选.若曲线 是焦点在 轴上的双曲线，则 解得.
3．(2025·全国一卷)已知双曲线C的虚轴长是实轴长的倍，则C的离心率为(　　)
A． B．2 C． D．2
解析：选D.由题意知2b＝×2a，即b＝a，则b2＝7a2.又a2＋b2＝c2，所以c2－a2＝7a2，即c2＝8a2，得C的离心率e＝＝2，故选D.
4．(用结论)与双曲线－＝1有共同渐近线，且经过点(－3，2)的双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为________．
解析：根据题意，设双曲线方程为－＝λ(λ≠0)，将点(－3，2)代入双曲线方程，解得λ＝，所以符合条件的双曲线方程为－＝1，故－＝1的一个焦点坐标为，一条渐近线方程为y＝x，即4x－3y＝0，所以焦点到一条渐近线的距离是＝2.
答案：2
5．[选择性必修第一册P127 T8改编]与椭圆有公共焦点，且离心率的双曲线的方程为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】由题意可得，椭圆与双曲线的公共焦点坐标为,.设双曲线方程为，则 解得 所以,所以双曲线的方程为.
核心考点 师生共研
考点一 双曲线的定义及应用
［例1］ 设，分别是双曲线的左、右焦点，为坐标原点，点在上，且，则的面积为（ ）
A. B. 5 C. 10 D. 20
【答案】B
【解析】由，可知 是以原点为圆心，3为半径的圆与双曲线 的交点.又，，所以点,也在 点轨迹所在的圆上，且 为直径，所以 为直角三角形， .
如图，不妨设点 在第一象限，则，且,所以，
则，
故 的面积为.
［感悟进阶］
双曲线定义应用的两个方面
［对点训练］
1．已知动点满足，则动点的轨迹是（ ）
A. 射线 B. 直线
C. 椭圆 D. 双曲线的一支
【答案】A
【解析】选.设,，由题意知动点 满足，故动点 的轨迹是射线.
2．[2025·榆林模拟]设，是双曲线的左、右焦点，过的直线与轴和的右支分别交于点，.若是正三角形，则（ ）
A. 2 B. 4 C. 8 D. 16
【答案】B
【解析】选.对于双曲线，则，根据双曲线定义有，又，，
故.
考点二 双曲线的标准方程
［例2］
（1） [2025·北京模拟]若双曲线上的一点到焦点的距离比到焦点的距离大，则该双曲线的方程为（ ）
A. B. C. D.
（2） [2024·天津卷]已知双曲线的左、右焦点分别为，，是双曲线右支上一点，且直线的斜率为2，是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】（1） D
（2） C
【解析】
（1） 由题知，，又，所以，得到,，所以双曲线的方程为.
（2） 由题意可知， ，又直线 的斜率为2，可得，根据双曲线定义,得,,所以,所以,,所以,所以,所以双曲线的方程为.
［感悟进阶］
求双曲线标准方程的常用方法
（1）定义法:根据双曲线的定义确定，的值，再结合焦点位置，求出双曲线方程.
（2）待定系数法：先确定焦点在轴上还是轴上，设出标准方程，再由条件确定，的值，即“先定型，再定量”.如果焦点的位置不好确定，可将双曲线的方程设为或，再根据条件求解.
［对点训练］
1．中心在原点，实轴在轴上，一个焦点在直线上的等轴双曲线的方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】选.因为双曲线的实轴在 轴上且一个焦点在直线 上，故令 得，即.又因为 且，所以，所以该双曲线的方程是，即.
2．已知双曲线的离心率，且该双曲线经过点，则该双曲线的标准方程为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】由题意，知，整理得.当焦点在 轴上时，设双曲线的标准方程为，因为点 在该双曲线上，所以，即，此方程无解;当焦点在 轴上时，设双曲线的标准方程为，因为点 在该双曲线上，所以，即，解得，所以，所以该双曲线的标准方程为.
考点三 双曲线的几何性质
角度1 渐近线
［例3］ [2025·佛山模拟]已知双曲线的实轴长为8，且与椭圆有公共焦点，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】椭圆 的焦点在 轴上，易知焦点坐标为 和，，因为双曲线的实轴长，则，所以，所以双曲线 的渐近线方程为,即.
［感悟进阶］
求双曲线的渐近线方程的方法
注意 两条渐近线的倾斜角互补，斜率互为相反数，且两条渐近线关于轴、轴对称.
角度2 离心率
［例4］ [2024· 新课标Ⅰ卷]设双曲线的左、右焦点分别为，.过作平行于轴的直线交于，两点.若,，则的离心率为 _ _ _ _ _ _ ．
【答案】
【解析】由题可知,,三点横坐标相等，设 在第一象限，因为，由双曲线的对称性得，所以，解得，在 中，，即,解得，所以.
细研真题　本题源自教材人教A版选择性必修第一册P127习题3.2 T1，考查双曲线的定义、通径、离心率等基本性质．此类问题，一般难度不大，却是高考的热点也是重点．
真题变式．将本例“若,”改为“若为直角三角形”，其他条件不变，则的离心率为_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】依题意知，,故只能是.所以,.所以,所以.
［感悟进阶］
求双曲线离心率（或取值范围）的两种常用方法
［对点训练］
1．[2025·兰州诊断考试]已知双曲线与双曲线的离心率相同，且双曲线的顶点是双曲线的焦点，则双曲线的虚轴长为（ ）
A. B. C. D. 10
【答案】B
【解析】选.由题知，所以,易知双曲线 的右焦点为，所以,,则双曲线 的虚轴长.
2．[2025·贵阳适应性考试]设，分别为双曲线的左、右焦点，过点且与该双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线于点若，则双曲线的离心率为_ _ _ _ .
【答案】
【解析】不妨设点 的位置如图所示，由题意知，，且,所以,.因为直线 与双曲线的一条渐近线平行，所以易得，则.在 中，由余弦定理得，即,得双曲线的离心率.
课后达标 分级演练
A 基础达标
1．[2025· 八省联考]双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】选.由题意可知双曲线的渐近线方程为.
2．已知双曲线的左、右焦点分别为，，为双曲线上一点，且，则双曲线的标准方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】选.由题意可设双曲线的标准方程为，焦距为,则由双曲线的左、右焦点分别为,,可知.由 知,即,故，故双曲线的标准方程为.
3．[2024·全国甲卷]已知双曲线的两个焦点分别为,，点在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（ ）
A. 4 B. 3 C. 2 D.
【答案】C
【解析】选.方法一：根据焦点坐标可知，
且焦点在 轴上，可设双曲线的方程为，
则 解得
所以离心率.
方法二：根据双曲线的定义，得
，所以,根据焦点坐标可知，所以离心率.
4．已知双曲线的上焦点为，点在的一条渐近线上，是面积为的等边三角形，其中为坐标原点，则的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】选.因为 是面积为 的等边三角形，所以，即半焦距，故点 的纵坐标为1，由对称性不妨设，
则点 所在的渐近线方程为,
故,即.
又，解得,,则 的方程为.
5．[2025·邯郸调研]（多选）已知双曲线，则（ ）
A. 的取值范围是
B. 的焦点可在轴上也可在轴上
C. 的焦距为6
D. 的离心率的取值范围为
【答案】AC
【解析】选.对于，因为 表示双曲线，所以，解得，故 正确；
对于，由 项可得，故，，所以 的焦点只能在 轴上，故 错误；
对于，设 的半焦距为，则，所以，即焦距为，故 正确；
对于，离心率，因为，所以，所以 的取值范围是，故 错误.
6．已知直线过双曲线的一个焦点，且与的一条渐近线平行，则的实轴长为_ _ _ _ .
【答案】2
【解析】直线 与 轴交点为，斜率为，
由题意可得 解得
所以 的实轴长为.
7．若双曲线的左、右焦点分别为，，是右支上的动点，则的最小值为_ _ _ _ .
【答案】3
【解析】由题意可知，,,，且，设，则，可得 在 上单调递增，所以当 时，取得最小值3.
8．如图1是一个“双曲狭缝”模型，直杆旋转时形成双曲面，双曲面的边缘为双曲线.已知某模型（如图2）左、右两侧的两段曲线与中间最窄处的距离为，点与点，点与点均关于该双曲线的对称中心对称，且线段，，则该双曲线的离心率是_ _ _ _ .
【答案】2
【解析】如图，以双曲线的对称中心 为坐标原点建立平面直角坐标系，设双曲线的方程为,则.易得，所以,解得,所以，所以，所以该双曲线的离心率.
9．（13分）已知双曲线与双曲线有相同的渐近线，且经过点.求：
（1） 双曲线的方程；（6分）
（2） 双曲线的实轴长、离心率、焦点到渐近线的距离.（7分）
【答案】
（1） 解：在双曲线 中，,,
则渐近线方程为,
因为双曲线 与双曲线 有相同的渐近线，
所以,即,
所以方程可化为,
又双曲线 经过点，
代入方程得,解得,故,
所以双曲线 的方程为.
（2） 由（1）知双曲线 的方程为,
因为,,，
所以实轴长,离心率为,
由对称性不妨设双曲线 的一个焦点为，一条渐近线方程为,所以焦点到渐近线的距离.
B 综合运用
10．已知动圆过定点，且与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】选.圆 的圆心为，半径为2，且.
设动圆 的半径为，则，,即.
即点 在以,为焦点，焦距长为，实轴长为，虚轴长为 的双曲线上，且点 在靠近于点 这一支上，故动圆圆心 的轨迹方程是.
11．(多选)(2025·全国二卷)双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别是F1，F2，左、右顶点分别为A1，A2，以F1F2为直径的圆与C的一条渐近线交于M，N两点，且∠NA1M＝，则(　　)
A．∠A1MA2＝
B．|MA1|＝2|MA2|
C．C的离心率为
D．当a＝时，四边形NA1MA2的面积为8
解析：选ACD.
不妨设点M在第一象限．因为M，N都在以O为圆心，F1F2为直径的圆上，所以根据对称性有|OM|＝|ON|，又因为|OA1|＝|OA2|，所以四边形MA1NA2为平行四边形，所以∠A1MA2＝π－∠NA1M＝，故A正确．
设M(x0＞0).根据|OM|＝c，得x＋x＝c2，解得x0＝a，
故M(a，b)，N(－a，－b)，所以∠MA2A1＝，又因为∠A1MA2＝，所以|MA2|＝|MA1|, 故B错误．在Rt△MA1A2中，|MA2|＝b，|A1A2|＝2a，∠A1MA2＝，
所以tan ∠A1MA2＝＝＝，即＝2，故e＝＝，故C正确．当a＝时，b＝2，则S＝2S＝2××2×2＝8，故D正确．故选ACD.
12．如图，点，是双曲线的左、右焦点，同时也是双曲线的左、右顶点，过点的直线交双曲线的左、右两支分别于，两点，交双曲线的右支于点（与点不重合），且与的周长之差为6，则双曲线的方程为 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】设双曲线 的半焦距为,因为 与 的周长之差为6，所以.又点，分别为双曲线 的左、右顶点，所以,所以，,,所以双曲线 的方程为.
13．（13分）已知圆，圆，动圆与圆和圆均外切，记动圆圆心的轨迹为曲线.
（1） 求曲线的方程；（6分）
（2） 若是上一点，且，求的面积.（7分）
【答案】
（1） 解：设动圆 的半径为，因为圆 与圆 和圆 均外切，所以，，则，根据双曲线的定义可知，的轨迹是以，为焦点的双曲线的一支.
设曲线 的方程为，
由，得，
又，得，
所以，
所以曲线 的方程为.
（2） 设，则.
因为，所以，即，解得 或（舍去），所以,,故 的面积为.
14．（15分）已知双曲线的右焦点为.
（1） 若双曲线的一条渐近线方程为且，求双曲线的标准方程；（7分）
（2） 以原点为圆心，为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为，过作圆的切线，斜率为,求双曲线的离心率.（8分）
【答案】
（1） 解：因为双曲线的渐近线方程为,由题意可知,所以,
所以,即,
所以双曲线的标准方程为.
（2） 设点 的坐标为,所以直线 的斜率满足,所以,①
依题意，圆的方程为,
将①代入圆的方程得,
即,
所以,
所以点 的坐标为,,
代入双曲线方程得,
即.②
将 代入②式，
整理得,所以,所以.
因为,所以,所以双曲线的离心率为.
第7讲 直线与椭圆、双曲线的位置关系
课标要求 考情分析
1.理解直线与椭圆、双曲线位置关系的判断方法. 2.掌握直线被椭圆、双曲线所截的弦长公式. 3.能利用方程及数形结合思想解决焦点弦、中点弦问题. 命题形式 题型以解答题为主，难度较大. 常考内容 直线被圆锥曲线所截弦长及中点弦问题的求解. 创新考法 与向量、圆等知识交汇在一起命题.
必备知识 自主排查
理一理
1．直线与圆锥曲线的位置关系
（1）直线与圆锥曲线的位置关系有①_ _ 、②_ _ 、③_ _ .
（2）判断直线与圆锥曲线的位置关系时，通常将直线的方程代入圆锥曲线的方程，消去（或）得到一个关于变量（或）的方程（或）.
①当时，可考虑一元二次方程的判别式 ，有时，直线与曲线④_ _ ；时，直线与曲线⑤_ _ ；时，直线与曲线⑥_ _ .
②当时，即得到一个一次方程，则与相交，且只有一个交点，此时，若为双曲线，则直线与双曲线的⑦_ _ _ _ _ _ 平行.
【答案】相交； 相切； 相离； 相交； 相切； 相离； 渐近线
2．圆锥曲线的弦长公式
设直线与圆锥曲线的交点坐标为,，则⑧_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ⑨_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 或⑩_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ，为直线斜率且.
【答案】； ； ；
常用结论
1.已知，是椭圆上的两点，点为坐标原点，且是，的中点，则.若曲线为双曲线（焦点在轴），其余条件不变，则.
2.设，，是椭圆上不同的三点，其中，关于原点对称，直线，斜率存在且不为0，则当椭圆的焦点在轴上时，直线与的斜率之积为定值，当椭圆的焦点在轴上时，直线与的斜率之积为定值.若曲线为双曲线，其余条件不变，则当双曲线的焦点在轴上时，直线与的斜率之积为定值，当双曲线的焦点在轴上时，直线与的斜率之积为定值.
练一练
1．判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1） 过椭圆外一点只能作一条直线与椭圆相切.（ ）
（2） 直线与椭圆一定相交.（ ）
（3） 与双曲线渐近线平行的直线一定与双曲线有公共点.（ ）
【答案】（1） ×
（2） √
（3） √
2．直线与椭圆的位置关系是（ ）
A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 不确定
【答案】A
【解析】选.因为直线 过点，且，所以点 在椭圆内，所以直线 与椭圆 相交.
3．（选择性必修第一册P114T2改编）椭圆被直线截得的弦长为_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】由 消去 并化简得.设直线与椭圆的交点分别为,，则,，
所以
.
4．（用结论）已知点，是双曲线上的两点，线段的中点是，则直线的斜率为_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】方法一：设，，因为点，是双曲线 上的两点，所以，，两式相减得，因为 是线段 的中点，所以，，所以，所以.
方法二：由，得.
核心考点 师生共研
考点一 位置关系的判断
［例1］
（1） 已知椭圆，直线，则直线与椭圆的位置关系为（ ）
A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 相交或相切
（2） 已知直线与双曲线有且仅有1个交点，则双曲线的离心率为（ ）
A. 5 B. C. D.
【答案】（1） A
（2） D
【解析】
（1） 对直线，整理得，令 解得 故直线 过定点.因为，则点 在椭圆 的内部，所以直线 与椭圆 相交.
（2） 因为直线 与双曲线 有且仅有1个交点，联立 可得.所以①直线 与双曲线 的渐近线平行，则可知，解得,则双曲线 的离心率.②直线 与双曲线 相切，所以 化简得,则，不符合题意.所以双曲线 的离心率为.
［感悟进阶］
直线与椭圆、双曲线的位

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