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第七章 立体几何与空间向量
第1讲 基本立体图形及其表面积与体积
课标要求 考情分析
1.利用实物、计算机软件等观察空间图形，认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构． 2．知道球、棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积的计算公式，能用公式解决简单的实际问题． 3．会用斜二测画法画出简单立体图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱及其简单组合体)的直观图． 命题形式 多以选择题或填空题的形式出现，难度中档. 常考内容 求简单几何体的表面积与体积. 创新考法 融合数学文化及社会问题，求几何体的体积和表面积.
必备知识 自主排查
理一理
1．空间几何体的结构特征
（1）多面体的结构特征
名称 棱柱 棱锥 棱台
图形
底面 互相①_ _ 且②_ _ 多边形 互相③_ _ 且④_ _
侧棱 ⑤_ _ _ _ _ _ _ _ 相交于⑥_ _ ，但不一定相等 延长线交于 ⑦_ _
侧面形状 ⑧_ _ _ _ _ _ _ _ ⑨_ _ _ _ _ _ ⑩_ _
（2）旋转体的结构特征
名称 圆柱 圆锥 圆台 球
图形
母线 互相平行且相等， _ _ 于底面 相交于一点 延长线交于一点
轴截面 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
侧面展开图 _ _ _ _ _ _
【答案】平行； 全等； 平行； 相似； 平行且相等； 一点； 一点； 平行四边形； 三角形； 梯形； 垂直； 矩形； 等腰三角形； 等腰梯形； 圆； 矩形； 扇形； 扇环
2．直观图
（1）画法：常用 _ _ _ _ _ _ _ _ .
（2）规则：①原图形中轴、轴、轴两两垂直，直观图中，轴、轴相交于点,且 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ,轴与轴和轴所在平面 _ _ .②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ，平行于轴和轴的线段在直观图中保持原长度 _ _ ，平行于轴的线段在直观图中长度变为原来的 _ _ .
【答案】斜二测画法； 或； 垂直； 分别平行于坐标轴； 不变； 一半
3．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
名称 圆柱 圆锥 圆台
侧面展开图
侧面积公式 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
【答案】； ；
提醒 几何体的侧面积是指（各个）侧面面积之和，而表面积是侧面积与所有底面面积之和.
4．柱体、锥体、台体、球的表面积和体积
名称 表面积 体积
柱体（棱柱和圆柱）
锥体（棱锥和圆锥） _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
台体（棱台和圆台）
球 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
【答案】； ；
常用结论
1.与体积有关的几个结论
（1）一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差.
（2）底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等（祖暅原理）.
2.原图形与直观图面积的关系
按照斜二测画法得到的平面图形的直观图与原图形面积的关系：
（1）；
（2）.
练一练
1．判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1） 有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱.（ ）
（2） 有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥.（ ）
（3） 用两平行平面截圆柱，夹在两平行平面间的部分仍是圆柱.（ ）
（4） 菱形的直观图仍是菱形.（ ）
（5） 在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，这两点的连线是圆柱的母线.（ ）
【答案】（1） ×
（2） ×
（3） ×
（4） ×
（5） ×
2．[2025· 八省联考]底面直径和母线长均为2的圆锥的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】选.由题意得，圆锥的底面半径，则圆锥的高为,所以圆锥的体积为 .
3．（用结论）水平放置的的直观图如图所示，在直观图中，，则的面积是（ ）
A. 4 B. C. D. 8
【答案】A
【解析】选.由常用结论2知，.
4．如图，三棱柱的体积为1，则四棱锥的体积是_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】因为,所以.
5．（必修第二册P116T1改编）已知正四棱台的上、下底面边长分别为和，侧棱长为，则其表面积为_ _ _ _ .
【答案】1 012
【解析】易知正四棱台侧面为等腰梯形，其高为，所以正四棱台的表面积.
核心考点 师生共研
考点一 基本立体图形
角度1 结构特征
［例1］ （多选）以下结论正确的有（ ）
A. 侧棱垂直于底面的棱柱一定是直棱柱
B. 等底面积、等高的两个柱体，体积相等
C. 经过圆锥顶点的平面截圆锥所得截面一定是三角形，且轴截面面积最大
D. 有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体为棱台
【答案】AB
【解析】对于，侧棱垂直于底面的棱柱一定是直棱柱，正确；对于，根据柱体的体积公式可知，等底面积、等高的两个柱体，体积相等，正确；对于，如图，在圆锥 中，经过圆锥顶点的平面截圆锥所得截面一定是等腰三角形，
设截面为，设 为底面圆 的一条直径，若 为钝角，则当 时，截面三角形的面积最大，错误；对于，有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形，只有当底面互相平行且相似，侧棱的延长线交于一点时，这样的几何体才是棱台，错误.
［感悟进阶］
辨别空间几何体的两种方法
角度2 直观图
［例2］ 如图，是水平放置的的直观图，但部分图象被茶渍覆盖，已知为坐标原点，顶点，均在坐标轴上，且的面积为12，则的长度为_ _ _ _ .
【答案】2
【解析】因为，均在坐标轴上，易得原图形中，设，则，，所以，解得，所以.
［感悟进阶］
在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段.平行于轴的线段平行性不变，长度不变；平行于轴的线段平行性不变，长度减半.
［对点训练］
1．（多选）下列说法错误的是（ ）
A. 棱柱是有且仅有两个平面平行，其他平面为平行四边形的多面体
B. 圆柱是由一个四边形绕着其中一条边旋转得到的
C. 棱台的所有侧棱所在的直线相交于同一点
D. 用一个平面去截圆锥，这个平面和圆锥的底面之间的部分是圆台
【答案】ABD
【解析】选.对于，由棱柱的定义易知 错误；对于，圆柱是由一个矩形绕着它的一条边旋转得到的旋转体，故 错误； 对于，由棱台的结构特征知，棱台的各条侧棱所在的直线一定相交于同一点，故 正确； 对于，当截面与圆锥底面不平行时，底面与截面之间的部分不是圆台，故 错误.
2．已知一个正三角形的边长为2，用斜二测画法画出该三角形的直观图，则所得直观图的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】选.方法一：如图1，是边长为2的正三角形，取 的中点为，连接，以 为坐标原点，，所在直线分别为 轴、轴建立平面直角坐标系.再建立一个平面直角坐标系，使 ，如图2，在
轴上取点，，且使，在 轴上取点，且使,
连接,，
则 即为 的直观图，
所以
.
方法二：,
则.
考点二 空间几何体的表面积
［例3］
（1） 某几何体如图所示，则该几何体的表面积为（ ）
A. B. C. D.
(2)(2025·湘潭质检)小明将一个小球放置在圆柱形的杯口处固定(杯口支撑着小球)，观察到小球恰好接触到杯子底部．已知杯子的底面半径为2，小球的表面积为25π，若杯子的厚度不计，则杯子的侧面积为(　　)
A．π B．2π C．3π D．4π
【答案】（1） B
（2） D
【解析】
（1） 由题意可知，该几何体的表面积为 .
（2） 设小球的半径为，则 ，解得.设圆柱形杯子的高为，由勾股定理可得,解得 或（舍去），所以杯子的侧面积为 .
［感悟进阶］
空间几何体的表面积的求法
(1)旋转体的表面积问题应注意其轴截面及侧面展开图的应用，并弄清底面半径、母线长与对应侧面展开图中边的关系．
(2)多面体的表面积是各个面的面积之和，组合体的表面积应注意衔接部分的处理．
［对点训练］．[2025·南京联考]用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截得的圆台上底面半径为1，下底面半径为2，且该圆台的侧面积为 ，则原圆锥的母线长为（ ）
A. 2 B. C. 4 D.
【答案】D
【解析】选.设圆台的母线长为，因为该圆台的侧面积为 ，所以由圆台侧面积公式可得 ，解得.设截去的圆锥的母线长为，由三角形相似可得，解得，所以原圆锥的母线长为.
考点三 空间几何体的体积
角度1 直接法
［例4］ [2024· 新课标Ⅱ卷]已知正三棱台的体积为，，，则与平面所成角的正切值为（ ）
A. B. 1 C. 2 D. 3
【答案】B
【解析】如图，延长，，交于一点，
过点 作 平面，垂足为，与平面 交于点，连接，，易知，
因为 是正三棱台，所以三棱锥 是正三棱锥，为 的中心.
设，的面积分别为，，
则,
，
所以
.
所以.
因为，所以.
又因为，所以，
所以，所以，
因为 平面，所以 是 与平面 所成的角.
，
在 中，.
细研真题 试题源于教材人教版必修第二册,本题考查正三棱台的体积及线面角，试题将正三棱台的三个关键量——上底边长、下底边长、高转化成平面几何关系，试题可作如下变化.
真题变式．如图，已知正三棱台的上底面边长为2，下底面边长为6，且侧棱与下底面所成角的正切值为2，则正三棱台的体积为_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】如图，延长，，交于一点，过点 作 平面，垂足为，与平面 交于点，连接，，作 于点.
因为 是正三棱台，所以三棱锥 为正三棱锥，,分别是,的中心，易知 为侧棱与下底面所成的角.
由题意可知，，，所以，又因为，所以，设，的面积分别为，，因为，，所以.
角度2 等积法
［例5］ 在棱长为2的正方体中，，分别为棱，的中点，则三棱锥的体积为_ _ _ _ .
【答案】1
【解析】如图，由正方体的棱长为2，得,
又易知 为三棱锥 的高，
且，所以.
角度3 割补法
［例6］ [2024·天津卷]一个五面体.已知，且两两之间距离为1，，，，则该五面体的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】方法一（补形法）：用一个完全相同的五面体 与该五面体相接，使 与,与,与 重合，则形成的新组合体 为一个三棱柱，该三棱柱的体积等于底面边长为1，高为4的直三棱柱的体积，故该五面体的体积.
方法二（分割法）：因为，，两两平行，且两两之间距离为1，则该五面体可以分成一个侧棱长为1的三棱柱和一个底面为梯形的四棱锥，其中三棱柱的体积等于棱长均为1的直三棱柱的体积，四棱锥的高为，底面是上底为1、下底为2、高为1的梯形，故该五面体的体积.
［感悟进阶］
几何体体积的计算要点
注意　求一些不规则几何体的体积常用割补法将其转化成已知体积公式的几何体进行解决．
［对点训练］
1．[2024· 新课标Ⅰ卷]已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】选.设圆柱和圆锥的底面半径均为，因为它们的高均为，且侧面积相等，所以，得，所以圆锥的体积 .
2．[2024·全国甲卷]已知圆台甲、乙的上底面半径均为，下底面半径均为，圆台甲、乙的母线长分别为，，则圆台甲与乙的体积之比为_ _ _ _ _ _ ．
【答案】
【解析】两圆台的上、下底面积对应相等，则两圆台的体积之比为高之比，根据母线与半径的关系可得圆台甲与乙的体积之比为.
3．如图所示，已知多面体中，，，两两互相垂直，平面平面，平面平面，，，则该多面体的体积为_ _ _ _ .
【答案】4
【解析】方法一（分割法） 因为几何体有两对相对面互相平行，如图所示，过点 作 于点，连接，即把多面体分割成一个直三棱柱 和一个斜三棱柱.由题意知，,.
故所求几何体的体积为.
方法二（补形法） 因为几何体有两对相对面互相平行，如图所示，将多面体补成棱长为2的正方体，显然所求多面体的体积为该正方体体积的.又正方体的体积，故所求几何体的体积为.
课后达标 分级演练
A 基础达标
1．一个菱形的边长为，一内角为 ，用斜二测画法画出的这个菱形的直观图的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】选.直观图的面积为.
2．下面关于空间几何体的叙述正确的是（ ）
A. 直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体一定是圆锥
B. 用平面截圆柱得到的截面只能是圆和矩形
C. 直平行六面体是长方体
D. 存在每个面都是直角三角形的四面体
【答案】D
【解析】选 中，不一定，当以斜边所在直线为旋转轴时，直角三角形旋转一周所围成的几何体不是圆锥，如图1所示，它是由两个同底圆锥组成的几何体，不正确；中，当平面与圆柱的母线平行或垂直时，截得的截面才为矩形或圆，否则为椭圆或椭圆的一部分，不正确；中，直平行六面体是平行六面体的侧棱与底面垂直，所以底面可以是平行四边形，它不是长方体，不正确;中，如图2，在正方体 中的四面体 的四个面都是直角三角形，正确.
3．[2025·昆明模拟]已知圆锥的底面半径为，侧面展开图的圆心角为，则圆锥的表面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】选.因为圆锥的底面半径，所以侧面展开图的弧长为 ，又侧面展开图的圆心角为，得圆锥母线长，则圆锥的表面积 .
4．如图，直三棱柱的体积为4，的面积为，则三棱锥的高为（ ）
A. 4 B. C. 2 D.
【答案】D
【解析】选.由直三棱柱 的体积为4，可得，设点 到平面 的距离为，由 得，所以,解得.
5．[2025·阜阳模拟]降水量是指水平地面上单位面积的降水深度（单位：）.气象学中，把24小时内的降水量叫做日降雨量，等级划分如下：
降水量/
等级 小雨 中雨 大雨 暴雨
某数学建模小组为了测量当地某日的降水量，制作了一个上口直径为，底面直径为，深度为的圆台形水桶（轴截面如图所示）.若在一次降水过程中用此桶接了24小时的雨水，水深恰好是桶深的，则当日的降雨所属等级是（ ）
A. 小雨 B. 中雨 C. 大雨 D. 暴雨
【答案】C
【解析】选.设上口半径为，底面半径为,桶深为，水面半径为，则，降水量的体积，降水深度为,属于大雨等级.
6．[2025·广州综合测试]已知正四棱台的上、下底面边长分别为1和2，且，则该棱台的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】选.如图，将正四棱台 补形为正四棱锥.
记，分别为正四棱台上、下底面的中心，连接，，，由题意，得，均为等腰直角三角形，，，，.
方法一（直接法），所以正四棱台 的体积.
方法二（分割法）:所以正四棱台 的体积.
7．[2023· 新课标Ⅱ卷]（多选）已知圆锥的顶点为，底面圆心为，为底面直径， ，，点在底面圆周上，且二面角为 ，则（ ）
A. 该圆锥的体积为 B. 该圆锥的侧面积为
C. D. 的面积为
【答案】AC
【解析】选.在 中，由余弦定理得,如图，连接，易知圆锥的高，底面圆的半径.
对于,该圆锥的体积 ,故 正确；对于,该圆锥的侧面积 ，故 错误；对于，取 的中点，连接,,因为，所以，同理可得,则二面角 的平面角为 ，所以，,所以,故 正确；对于，,，故 错误.
8．已知球的一个截面的面积为 ，球心到该截面的距离比球的半径小1，则球的表面积为_ _ _ _ .
【答案】
【解析】依题意设截面圆的半径为，球的半径为，因为截面的面积为 ，所以，又,即,解得，所以球 的表面积 .
9．如图，一个装有某种液体的圆柱形容器固定在墙面和地面的角落内，容器与地面所成的角为 ，液面呈椭圆形，椭圆长轴上的顶点，到容器底部的距离分别是10和16，则容器内液体的体积为_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】将含液体部分的几何体补成如图所示的圆柱，过点 作底面的平行平面，与过点 的母线交于点，连接，，由题意知 ，则，故圆柱底面的半径为,则容器内液体的体积为 .
10．如图，设正三棱锥的侧面积是底面积的2倍，正三棱锥的高，则此正三棱锥的表面积为_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】如图，设正三棱锥的底面边长为，斜高为，过点 作，与 交于点，连接，则，.
因为，
所以，所以.
因为,所以，
即，
所以,.
所以，.
所以.
B 综合运用
11．[2025·潍坊模拟]如图所示的六角花灯是中国彩灯中富有特色的传统手工艺品之一.现制作一个三层六角花灯模型，三层均为正六棱柱（内部全空），其中模型上、下两层的底面周长均为，高为.现在其内部放入一个体积为的球形灯，且球形灯球心与花灯各面的距离不少于.则该模型的侧面积至少为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】选.由题意得，模型上、下两层是底面周长为，高为 的正六棱柱，所以这两层的侧面积.
考虑临界情况，当球形灯球心到花灯上、下底面的距离等于 时，中层正六棱柱的高为，由球心到花灯侧面距离为，可知中层正六棱柱的底面边长为，所以中层正六棱柱的侧面积.
故该模型的侧面积至少为.
12．（13分）如图所示，为四边形的直观图，其中，，.
（1） 求平面四边形的面积及周长；（6分）
（2） 若四边形以所在直线为旋转轴，旋转一周，求旋转形成的几何体的体积及表面积.（7分）
【答案】
（1） 解：把直观图还原为原平面图形，则四边形 是直角梯形，其中，，，如图所示，
所以平面四边形 的面积，又，所以四边形 的周长.
（2） 四边形 以 所在直线为旋转轴，旋转一周，旋转形成的几何体是圆柱与圆锥的组合体，其中圆柱的底面半径为2，高为2，圆锥的底面半径为2，高为1，母线长为，则旋转体的体积为，表面积为 .
13．（15分）如图，在正四棱锥中，，，其中为底面中心，为上靠近的三等分点.
（1） 求四棱锥的表面积；（7分）
（2） 求四面体的体积.（8分）
【答案】
（1） 解：取 的中点，连接，，则 ，所以，.
因为，所以，
所以，
，所以四棱锥 的表面积为.
（2） 因为，，所以，又 为 上靠近 的三等分点，所以，
则
.
C 素养提升
14．[2025·北京模拟]十字歇山顶是中国古代建筑屋顶的经典样式之一，图1中的故宫角楼的顶部即为十字歇山顶.其上部可视为由两个相同的直三棱柱交叠而成的几何体，如图2，这两个三棱柱有一个公共侧面.在底面中，若， ,则该几何体的体积为（ ）
A. B. C. 27 D.
【答案】C
【解析】选.
如图所示，该几何体可视为直三棱柱 与两个三棱锥，拼接而成. 记直三棱柱 的底面 的面积为，高为，所求几何体的体积为，则.
因为两个直三棱柱相同，故，
所以.
培优课 球的切、接问题
一、正方体与球
1.内切球：内切球直径正方体棱长.
2.棱切球：棱切球直径正方体的面对角线长.
3.外接球：外接球直径正方体体对角线长.
二、长方体与球
外接球：外接球直径长方体体对角线长（，，分别为长方体的长、宽、高）.
三、正棱锥与球
1.内切球：（等体积法），是内切球半径，为正棱锥的高.
2.外接球：外接球球心在其高上，底面正多边形的外接圆圆心为，半径为，（正棱锥外接球半径为，高为）.
四、正四面体与球
若正四面体的棱长为，高为，正四面体的外接球半径为，内切球半径为，则，，，.
五、正三棱柱的外接球
球心到正三棱柱两底面的距离相等，正三棱柱两底面中心连线的中点为其外接球球心，则（为正三棱柱外接球半径，为正三棱柱的高）.
六、圆柱的外接球
是圆柱外接球的半径，是圆柱的高，是圆柱底面圆的半径).
七、圆锥的外接球
是圆锥外接球的半径，是圆锥的高，是圆锥底面圆的半径).
类型一 外接球问题
技法1 定义法
［例1］ 如图，在四面体中，和都是等腰直角三角形，，，平面 平面，则四面体外接球的表面积为_ _ _ _ .
【答案】
【解析】如图所示，取，的中点，，连接，，，.在等腰直角三角形 中，，，所以，，在等腰直角三角形 中，，所以，，，，又因为平面 平面，平面 平面， 平面，所以，所以，即 为四面体 外接球的球心，外接球的半径，则四面体 外接球的表面积为 .
［感悟进阶］
到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其过该圆心的垂线，则球心一定在该垂线上，再根据球心到其他顶点的距离也等于半径，列关系式求解即可．
技法2 补形法
［例2］ [2025·济宁模拟]如图，在边长为4的正方形中，点，分别为，的中点，将，,分别沿，，折起，使，，三点重合于点，则三棱锥外接球的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】依题意，,,,且，，于是三棱锥 可以补形成以，，为相邻三条棱的长方体，该长方体的外接球与三棱锥 的外接球相同，设三棱锥 的外接球的半径为，则 为长方体的体对角线长，即，所以三棱锥 外接球的半径为，所以三棱锥 外接球的体积为 .
［感悟进阶］
补形法的常用策略
（1）正四面体可补形成正方体.
（2）三条侧棱两两垂直的三棱锥、相对的棱相等的三棱锥可补形成长方体.
（3）若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补形成棱柱.
技法3 截面法
［例3］ 已知，，是半径为1的球的球面上的三个点，且，，则三棱锥的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为，所以 为 所在截面圆的直径，且.取 的中点，则 为截面圆的圆心，连接，则 平面，
，
所以三棱锥 的体积.
［感悟进阶］
通过作截面，解决与球有关的切、接问题，即将空间几何问题转化为平面几何问题求解，解题的思路如下：
［对点训练］
1．已知高为4的圆锥的外接球的体积为 ，则圆锥的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】选.设圆锥外接球的球心为，半径为，圆锥的底面圆的半径为.由题意得 ，所以，所以球心 到圆锥底面的距离,所以，所以该圆锥的体积为.
2．[2025·重庆模拟]已知正四棱锥各棱的长度均为2，其顶点都在同一个球面上，则该球的表面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】选.设球的半径为.如图，正四棱锥 的外接球的球心 在高 上，，，，在 中，，解得，所以所求外接球的表面积为 .
3．如图，在四棱锥中，四边形为矩形， 平面，，，则该四棱锥的外接球的表面积为 _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】如图所示，可以将四棱锥 补形成一个长方体，故长方体的外接球即为四棱锥的外接球，的中点 即为外接球球心，设四棱锥的外接球半径为，所以半径,所以该四棱锥的外接球的表面积 .
类型二 内切球问题
［例4］
（1） [2025·秦皇岛模拟]如图，该几何体为两个底面半径为1，高为1的相同的圆锥形成的组合体，设它的体积为，它的内切球的体积为，则（ ）
A. B. C. D.
(2)(2025·全国二卷)一个底面半径为4 cm，高为9 cm的封闭圆柱形容器(容器壁厚度忽略不计)内有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为________cm.
【答案】（1） D
（2）
【解析】
（1） 如题图，四边形 为该几何体的轴截面，则四边形 的内切圆的半径即为该几何体内切球的半径，设内切球的半径为，由，得,则,,所以.
(2)设铁球的半径为R(0＜R＜4)，情形一：两个铁球的球心都在圆柱的轴上，且两球分别与圆柱的上、下底面相切，其轴截面如图①，则4R＝9，则R＝；情形二：两球均分别与圆柱的一个底面和侧面相切，其轴截面如图②，则解得R＝或R＝(舍去).
由于＜，故R的最大值为.
［感悟进阶］
几何体与球相切问题的解题策略
(1)利用体积分割法求内切球半径；
(2)作出合适的截面(过球心、切点等)，在平面上求解；
(3)多球相切问题，通过连接各球球心，将其转化为多面体问题．
［对点训练］
1．一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积为，那么这个正三棱柱的体积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】选.设球的半径为，由,得.因为球与正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，所以正三棱柱的高等于球的直径2，正三棱柱的底面三角形的内切圆的半径等于球的半径1.设正三棱柱的底面三角形的边长为，则，所以,所以这个正三棱柱的体积.
2．[2025·岳阳模拟]已知球与圆台的上、下底面和侧面都相切.若圆台的侧面积为 ，上、下底面的面积之比为，则球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】选.依据题意，球内切于圆台，画出球与圆台的轴截面，球的截面为圆，圆台的轴截面为等腰梯形，如图所示，过点 作 的垂线，垂足为，设球的半径为，则.设圆台的母线为，即.设上底面的半径为,下底面的半径为,由上、下底面的面积之比为，得,即.由圆的切线长定理可知，，即,圆台的侧面积为 ,解得,则,即,则球的表面积 .
课后达标 分级演练
A 基础达标
1．正方体的外接球与内切球的表面积的比值为（ ）
A. B. C. 3 D.
【答案】C
【解析】选.设正方体的外接球的半径为，内切球的半径为,棱长为1，则正方体的外接球的直径为正方体的体对角线长，即，所以，正方体内切球的直径为正方体的棱长，即，即，所以，所以正方体的外接球与内切球的表面积的比值为.
2．若圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球的半径为1，则圆锥的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】选.过圆锥的旋转轴作轴截面，得 及其内切圆 和外接圆（图略），且两圆同圆心，即 的内心与外心重合，易得 为正三角形，由题意得 的半径为，所以 的边长为，所以圆锥的底面半径为，高为3，所以 .
3．如图， 圆锥的顶点及底面圆的圆周都在球的球面上，且圆锥的母线长和底面圆的直径均为2，则球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】选.如图， 连接，由题意可得，，由勾股定理得，
设.
因为，
所以，解得，所以球 的表面积为.
4．[2025·潍坊模拟]已知直三棱柱外接球的直径为6，且，，则该三棱柱体积的最大值为（ ）
A. 8 B. 12 C. 16 D. 24
【答案】C
【解析】选.设,.因为三棱柱为直三棱柱且，所以可将其补形为一个长方体，如图，则该长方体的外接球即三棱柱 的外接球，所以外接球的直径为，所以.该三棱柱的体积，当且仅当 时等号成立.
5．已知圆柱的下底面在半球的底面上，上底面圆周在半球的球面上，记半球的底面圆面积与圆柱的侧面积分别为，，半球与圆柱的体积分别为，，则当的值最小时，的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】选.设圆柱底面半径为,高为，球的半径为,则,,,,,所以,
当且仅当 时等号成立，此时,
所以.
6．（多选）某公司设计了一种圆柱形包装盒，每盒可装7个球形巧克力，每盒只装一层，相邻的球形巧克力相切，与包装盒接触的6个球形巧克力与包装盒相切，如图是平行于底面且过圆柱母线中点的截面.设包装盒的底面半径为，球形巧克力的半径为，每个球形巧克力的体积为，包装盒的体积为，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】AD
【解析】选.由题图知，故 正确，错误；易知包装盒的高为，故，又，所以，故 错误，正确.
7．（多选）已知在三棱锥中，，，，，则（ ）
A. 三棱锥的外接球的体积为 B. 三棱锥的外接球的体积为
C. 三棱锥的体积的最大值为 D. 三棱锥的体积的最大值为
【答案】AC
【解析】选.如图，因为，，，所以，因为，由 可知，所以 的中点 为三棱锥的外接球的球心，且球的半径为1，所以球的体积为，故 正确，错误；当平面 平面 时，点 到平面 的距离最大，故此时三棱锥的体积最大，此时高为，三棱锥体积的最大值为，故 正确，错误.
8．已知球的表面积为 ，球与一圆柱的两个底面和侧面均相切，则该圆柱的侧面积为_ _ _ _ .
【答案】
【解析】设球 的半径为，则 ，解得，由题意得，圆柱的底面半径为1，高为2，所以圆柱的侧面积为 .
9．[2025·昆明质检]已知正六棱锥的侧棱长为，其各顶点都在同一球面上，若该球的表面积为 ，则该正六棱锥的体积为_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】如图，记该正六棱锥的顶点为，底面正六边形的中心为，连接.记外接球的球心为，由题意得外接球的球心在直线 上，连接，.记外接球的半径为，则 ，得.设正六棱锥的高为，底面边长为,则在 中，有,即,所以.又，所以,,则该正六棱锥的体积.
10．[2025·菏泽模拟]如图，在正四棱台中，，，该棱台的体积，则该棱台外接球的表面积为_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】连接，，取，的中点，，连接，，，则外接球球心在直线 上，设球心为，如图所示，连接，，则，
则 平面，
因为在正四棱台 中，，，
故，，所以，，
设正四棱台的高为,
故，
解得,故，
设,则,
,
故,
解得,故半径，
故该棱台外接球的表面积为 .
B 综合运用
11．[2025·邵阳模拟]已知三棱锥中， 平面， ，，则此三棱锥外接球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】选.设 外接圆的圆心为，三棱锥 外接球的球心为，连接，，，
则 平面.
因为 平面，
所以.
作，连接，又 ，所以四边形 是矩形，
所以，又，
则，即.
设 外接圆的半径为，三棱锥外接球的半径为.
由正弦定理得,
可得,所以,则外接球的表面积为.
12．(多选)将正三棱锥P ABC置于水平反射镜面上，得一“倒影三棱锥”P ABC Q，如图．下列关于该倒影三棱锥的说法中正确的有(　　)
A．PQ⊥平面ABC
B．若P，A，B，C在同一球面上，则Q也在该球面上
C．若该倒影三棱锥存在外接球，则AB＝PA
D．若AB＝PA，则PQ的中点必为倒影三棱锥外接球的球心
解析：选AD.由倒影三棱锥的几何特征可知PQ⊥平面ABC，故A正确；当P，A，B，C在同一球面上时，若△ABC的外接圆不是球的大圆，则点Q不在该球面上，故B错误；若该倒影三棱锥存在外接球，则三棱锥P ABC的外接球的半径与等边三角形ABC外接圆的半径相等，设其为R，则AB＝R，PA＝R，则AB＝PA，故C错误；由C的推导可知该倒影三棱锥外接球的球心为△ABC的中心，即PQ的中点，故D正确．
13．（15分）如图，半球内有一内接正四棱锥，该四棱锥的体积为.
（1） 求该半球的体积；（7分）
（2） 若从半球中把正四棱锥挖去，求所得几何体的表面积.（8分）
【答案】
（1） 解：如图，连接，交于点，连接.设半球的半径为，由题意可知，则，四棱锥的体积为，解得，则该半球的体积为.
（2） 由（1）知，，所得几何体的表面积为.
14．（15分）如图，圆台的上底面直径，下底面直径，母线.
（1） 求圆台的表面积与体积；（7分）
（2） 若圆台内放入一个圆锥和一个球，其中在圆台下底面内，当圆锥的体积最大时，求球体积的最大值.（8分）
【答案】（1） 解：由上、下底面直径可得上底面面积 ，下底面面积 ，圆台侧面积 ，所以圆台的表面积 .取圆台轴截面，易知 为等腰梯形，高为，即为圆台的高，可得圆台的体积 .
（2） 如图所示，圆锥 的高为，当其底面圆的半径最大时，其体积最大.圆锥 底面圆的最大半径为，此时圆锥 底面右侧以 为直径的圆最大，而，则以圆台上底面与该圆为底面可得一个倾斜的圆柱，
且轴截面为菱形，当球 与上述倾斜圆柱轴截面各边都相切时，其体积最大.易知 为等边三角形，可得 ，作 于点，易知，因此球 的直径为 时，体积最大，此时圆台的高也能满足条件，所以球 体积的最大值为 .
第2讲 空间点、直线、平面之间的位置关系
课标要求 考情分析
1.借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义. 2.了解四个基本事实和一个定理、三个推论，能运用四个基本事实和一个定理、三个推论判断有关命题的真假，并解决一些简单的证明问题. 命题形式 多以选择题或填空题的形式出现，难度中、低档. 常考内容 与点、线、面位置关系有关的命题真假的判断.
必备知识 自主排查
理一理
1．与平面有关的基本事实及推论
（1）四个基本事实
基本事实1：过①_ _ 一条直线上的三个点，有且只有一个平面.
基本事实2：如果一条直线上的②_ _ _ _ _ _ 在一个平面内，那么这条直线在这个平面内.
基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有③_ _ 过该点的公共直线.
基本事实4：平行于同一条直线的两条直线④_ _ .
（2）三个推论
推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有⑤_ _ 平面.
推论2：经过两条⑥_ _ 直线，有且只有一个平面.
推论3：经过两条⑦_ _ 直线，有且只有一个平面.
【答案】不在； 两个点； 一条； 平行； 一个； 相交； 平行
提醒 三个点不一定能确定一个平面.当三点共线时，过这三点的平面有无数个，所以必须是不在一条直线上的三个点才能确定一个平面.
2．空间中直线与直线的位置关系
（1）
（2）异面直线所成的角
①定义：设,是两条异面直线,经过空间中任一点分别作直线,,我们把直线与所成的角叫做异面直线与所成的角（或夹角）.
②范围： .
提醒 两直线垂直有两种情况——异面垂直和相交垂直.
（3）等角定理：如果空间中两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角 .
【答案】平行； 相交； 任何一个； ，； 相等或互补
3.空间中直线与平面的位置关系
位置关系 符号
直线和平面 直线在平面内
直线在平面外 直线与平面相交
直线与平面平行
平面和平面 两平面平行
两平面相交
提醒　直线a和平面α相交，直线a和平面α平行，统称为直线a在平面α外，记作a α.
常用结论
1.异面直线的判定
过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线.
2.几个唯一性结论
（1）过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；
（2）过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直；
（3）过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直.
练一练
1．判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1） 若 ， ，且，则.（ ）
（2） 若直线,则直线与能够确定一个平面.（ ）
（3） 若,且 , ,则 .（ ）
（4） 分别在两个平面内的两条直线是异面直线.（ ）
【答案】（1） √
（2） √
（3） √
（4） ×
2．（必修第二册P131练习T1改编）已知 是一个平面，,是两条直线，是一个点，若 , ,且, ,则,的位置关系不可能是（ ）
A. 垂直 B. 相交 C. 异面 D. 平行
【答案】D
【解析】选.若 与 平行，由于, , ，可得 ,与 矛盾，故 与 不可能平行.
3．（用结论）如图，在直三棱柱的棱所在的直线中，直线异面直线的条数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】选.直线 的异面直线有，，，共3条.
4．若直线不平行于平面 ,且 ,则下列结论成立的是（ ）
A. 内的所有直线与是异面直线
B. 内不存在与平行的直线
C. 内存在唯一一条直线与平行
D. 内的所有直线与都相交
【答案】B
【解析】选.由题意可知直线 与平面 相交，所以平面 内的所有直线与 相交或异面，且平面 内不存在与直线 平行的直线,故，,不正确.
5．如图，在三棱锥中，，，，分别是棱，，，的中点，则当，满足条件_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 时，四边形是正方形.
【答案】且
【解析】由题意，知，且，，且，所以四边形 是平行四边形，
要使四边形 为正方形，则需满足 且，即 且.
核心考点 师生共研
考点一 基本事实的应用
［例1］ 已知在正方体中，，分别为，的中点，，.求证：
（1） ，，，四点共面；
（2） 若交平面于点，则，，三点共线；
（3） ，，三线交于一点.
【答案】
（1） 【证明】如图所示，连接.
因为 是 的中位线，所以.
在正方体 中，，
所以，
所以，确定一个平面，
即，，，四点共面.
（2） 在正方体 中，
设，，确定的平面为 ，
平面 为 .
因为，所以 .
又，所以 ，
所以 是 与 的公共点，
同理，是 与 的公共点.
所以.
又，
所以， ，且 ，
则，故，，三点共线.
（3） 因为 且，
所以 与 相交，设交点为，
则由， 平面，
得 平面，
同理， 平面.
又平面 平面，
所以.
所以，，三线交于一点.
［感悟进阶］
共面、共线、共点问题的证明方法
［对点训练］
1．在空间四边形的边，，，上分别取点，，，，若直线，相交于点，则（ ）
A. 点必在直线上 B. 点必在直线上
C. 点必在平面内 D. 点必在平面内
【答案】B
【解析】选.
如图，连接，，，因为，所在直线相交于点，所以 且，因为 平面， 平面，所以 平面，且 平面，又因为平面 平面，所以.
2．如图所示，平面 平面， ， ，， ，，则平面与平面 的交线是（ ）
A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线
【答案】C
【解析】选.由题意知，， ，所以 ，又因为，所以 平面，
所以点 在平面 与平面 的交线上.
又因为 平面， ，所以点 在平面 与平面 的交线上，所以平面 平面.
考点二 空间两条直线位置关系的判断
［例2］
（1） 给出下列判断，其中正确的是（ ）
A. 若直线上有无数个点不在平面 内，则
B. 三点可以确定一个平面
C. 如果两个平面相交，则它们有有限个公共点
D. 如果直线与平面 平行，则与平面 内任意一条直线都没有公共点
（2） （多选）如图，在正方体中，为正方形的中心，当点在线段上（不包含端点）运动时，下列直线中一定与直线异面的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】（1） D
（2） BCD
【解析】
（1） 当 与 相交时，直线 上存在无数个点不在平面 内，故 不正确；当三点共线时，可以确定无数个平面，故 不正确；若两个平面相交于一条直线，则直线上有无数个点，故 不正确；根据线面平行的性质可知 正确.
（2） 对于，如图1，连接，，，当 为 的中点时，，故 不正确；对于，如图2，连接，，，因为 平面， 平面，， 平面，所以直线 与直线 一定是异面直线，故 正确；对于，如图2，因为 平面， 平面，， 平面，所以直线 与直线 一定是异面直线，故 正确；对于，如图3，连接，，，因为 平面， 平面，， 平面，所以直线 与直线 一定是异面直线，故 正确.
［感悟进阶］
空间两直线位置关系的判定方法
［对点训练］
1．已知空间三条不同的直线，,,若与异面，且与异面，则（ ）
A. 与异面
B. 与相交
C. 与平行
D. 与异面、相交、平行均有可能
【答案】D
【解析】选.如图所示，在长方体中，,与 都异面，,,与 都异面，且,也异面，,与 都异面，与 相交.
2．在底面半径为1的圆柱中，过旋转轴作圆柱的轴截面，其中母线，是的中点，是的中点，则（ ）
A. ，与是共面直线
B. ，与是共面直线
C. ，与是异面直线
D. ，与是异面直线
【答案】D
【解析】选.如图，在底面半径为1的圆柱 中，母线，，是 的中点，连接，则，因为 是 的中点，则，,,所以,在 中，是 的中点，是 的中点，连接，所以，所以 与 是共面直线，若 与 是共面直线，则，，，，在同一平面上，显然矛盾，故 与 是异面直线.
考点三 空间图形的折展问题
［例3］ [2025·郴州模拟]已知圆台上、下底面圆的半径分别为10和5，侧面积为 ，为圆台的一条母线（点在圆台的上底面圆周上），为的中点.一只蚂蚁从点出发，绕圆台侧面爬行一周到点，则蚂蚁爬行所经路程的最小值为（ ）
A. 30
B. 40
C. 50
D. 60
注意 利用空间几何体的表面展开图可求几何体的表面积及表面上两点间的距离问题.
【答案】C
【解析】设圆台母线长为，所以侧面积 ,解得.
将圆台所在圆锥的侧面展开如图所示，且设扇形所在圆的圆心为.
线段 就是蚂蚁经过的最短路径.
设，扇形的圆心角是 ，
则由题意知,①
,②
由①②解得，，
所以，，
则.
［感悟进阶］
几何体的表面展开图可以有不同的形状，应多实践，观察并大胆想象立体图形与表面展开图的关系，注意一定要先观察立体图形的每一个面的形状.
［对点训练］．如图，已知正三棱柱的底面边长为，侧面积为，则一质点自点出发，沿着三棱柱的侧面绕行一周到达点的最短路线的长为（ ）
A. B. C. D.
【解析】选.将正三棱柱 沿侧棱 展开，得到的侧面展开图如图所示，
依题意，则，又因为侧面积为，所以，得.
依题意沿着三棱柱的侧面绕行一周到达点 的最短路线为.
课后达标 分级演练
A 基础达标
1．已知,,是三条不同的直线， , 是两个不同的平面，, , ,则“,相交”是“,相交”的（ ）
A. 充要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】选.若,相交， , ,则其交点在交线 上，故,相交，充分性成立；若,相交，,可能为相交直线或异面直线，必要性不成立.综上所述，“,相交”是“,相交”的充分不必要条件.
2．如果点是两条异面直线，外一点，则过点且与，都平行的平面个数的所有可能值是（ ）
A. 1 B. 2 C. 0或1 D. 无数
【答案】C
【解析】选.若点 与直线 构成的平面与直线 平行，则过 且与，都平行的平面个数为0；若点 与直线 构成的平面与直线 平行，则过 且与，都平行的平面个数为0；若过点 与直线 构成的平面不与直线 平行，或过点 与直线 构成的平面不与直线 平行，则过点 且与，都平行的平面个数为1.
3．如图，两个正方形，不在同一个平面内，点，分别为线段，的中点，则直线与的关系是（ ）
A. 相交 B. 平行 C. 异面 D. 相交或异面
【答案】C
【解析】选.
取 的中点，连接，,,则，又，所以，则,,,确定平面，又 平面， 平面，，所以直线 与 是异面直线.
4．如图，圆柱的高为2，底面周长为16，四边形为该圆柱的轴截面，点为半圆弧的中点，则在此圆柱的侧面上，从到的路径中，最短路径的长度为（ ）
A. B. C. 3 D. 2
【答案】B
【解析】选.圆柱的部分侧面展开图如图所示，
由题得，,所以,所以在此圆柱的侧面上，从 到 的路径中，最短路径的长度为.
5．（多选）如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中，下列命题正确的是（ ）
A. 与平行 B. 与是异面直线
C. 与是异面直线 D. 与是异面直线
【答案】CD
【解析】选.
把正方体的平面展开图还原，如图所示，连接,,由正方体的结构特征可知，与 异面，与 平行，故，错误； 平面, 平面,,故 与 是异面直线，故 正确； 平面, 平面，,故 与 是异面直线，故 正确.
6．在平行六面体的所有棱中，既与共面，又与共面的棱的条数为_ _ _ _ .
【答案】5
【解析】如图，满足条件的有，，，，，共5条.
7．在四棱锥中，底面为平行四边形，,分别为侧棱,的中点，则与平面的位置关系为_ _ ，平面与平面的交线是_ _ _ _ _ _ .
【答案】平行；
【解析】由题易知,,所以,又 平面, 平面,所以 平面,因为,所以,,,四点共面，所以 为平面 与平面 的交线.
8．[2025·衡水模拟]如图，已知直线，为异面直线，，，为直线上三点，，，为直线上三点，，，，，分别为，，，，的中点.若 ，则_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】因为，分别是，的中点，
所以，
同理，，，
所以，.
又 的两边和 的两边的方向都相同，所以，
所以 .
9．（13分）如图，正三棱柱内接于圆柱.若，分别为，的中点.
（1） 求证：,,,四点共面；（6分）
（2） 若直线与直线交于点，求证：点在直线上.（7分）
【答案】
（1） 证明：连接（图略）,由于，分别为，的中点，所以，又，所以，
所以,,,四点共面.
（2） 由, 平面，得 平面，由, 平面，得 平面，又平面 平面，所以.
B 综合运用
10．如图，是正三棱锥且侧棱长为，，分别是，上的动点，的周长的最小值为，则侧棱，的夹角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】选.把正三棱锥沿 剪开，展开形成三个全等的等腰三角形，分别为，，，连接，交 于点，交 于点，则线段 的长就是 周长的最小值，，又，所以，所以 是等腰直角三角形， ，所以 ，
则侧棱，的夹角为 .
11．（多选）如图，在三棱柱中，，，，分别为，，，的中点，则下列说法正确的是（ ）
A. ，，，四点共面 B.
C. ，，三线不共点 D.
【答案】AB
【解析】选.对于，，如图所示，
连接，，因为 是 的中位线，所以，且.因为，所以四边形 是平行四边形，所以，所以，且，所以四边形 为梯形，
所以，，，四点共面，所以，正确；
对于，如图所示，延长，相交于点，因为， 平面，所以 平面.因为， 平面，所以 平面.又因为平面 平面，所以，所以，，三线共点，所以 不正确；
对于，因为，当 时，，又，，则，所以 不正确.
12．（多选）如图，在正方体中，，分别是棱,的中点，平面 平面，则下列结论中错误的是（ ）
A. 过点
B. 不一定过点
C. 的延长线与的延长线的交点不在上
D. 的延长线与的延长线的交点在上
【答案】BC
【解析】选.连接，，在正方体 中，取 的中点，连接，则,，所以四边形 是平行四边形，又 平面， 平面，所以，故 正确，错误；
如图，设 的延长线与 的延长线交于点，的延长线与 的延长线交于点，因为 平面，所以 平面，因为 平面，所以 平面，所以，因为 平面，所以 平面，因为 平面，所以 平面，所以，故 错误，正确.
13．（13分）在梯形中，，，分别为和的中点，，与相交于点.将平面沿翻折起来，使到的位置，，分别为和的中点.
求证：
（1） 四边形为平行四边形；（6分）
（2） .（7分）
【答案】
（1） 证明：因为在梯形 中，，，分别为，的中点，
所以 且，
又，，所以.
因为，分别为，的中点，
所以 且，所以 且，所以四边形 为平行四边形.
（2） 折叠前，则，，
折叠后，，
所以 与 的对应边平行且方向相同，所以.
14．（15分）如图，是棱长为2的正方体，为面对角线上的动点（不包括端点）， 平面交于点，于点.
（1） 试用反证法证明直线与是异面直线；（7分）
（2） 设，将长表示为的函数，并求此函数的值域.（8分）
【答案】
（1） 解：证明：假设直线 与 是共面直线，设直线 与 都在平面 上，则，，， .
因此，平面，平面 都与平面 有不共线的三个公共点，即平面 和平面 重合（都与平面 重合），
这与正方体的相邻两个面不重合矛盾，
假设不成立，
所以直线 与 是异面直线.
（2） 因为正方体 的棱长为2，所以，因为，
则，
得，，
由题易知，
得，
所以
，
当 时，有最小值为，
当 趋近于 时，趋近于2，当 趋近于0时，趋近于，所以函数的值域为，.
第3讲 空间直线、平面的平行
课标要求 考情分析
1.以立体几何的定义和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行、面面平行的有关性质与判定定理. 2.能运用定理和已获得的结论证明一些有关空间图形平行关系的简单命题. 命题形式 常以解答题第（1）问的形式出现，难度中档. 常考内容 直线、平面平行的判断和证明.
必备知识 自主排查
理一理
1．线面平行的判定定理和性质定理
类别 文字语言 图形语言 符号语言
判定定理 如果平面外一条直线与此平面内的①_ _ _ _ _ _ _ _ 平行,那么该直线与此平面平行
性质定理 一条直线与一个平面平行,如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与③_ _ 平行
【答案】一条直线； 交线； ；
2．面面平行的判定定理和性质定理
类别 文字语言 图形语言 符号语言
判定定理 如果一个平面内的两条⑤_ _ _ _ _ _ _ _ 与另一个平面平行,那么这两个平面平行
性质定理 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面⑥_ _ ,那么两条⑦_ _ 平行
【答案】相交直线； 相交； 交线
点拨 三种平行关系的转化
常用结论
1.平行关系中的三个重要结论
（1）垂直于同一条直线的两个平面平行,即若 , ,则 .
（2）垂直于同一个平面的两条直线平行,即若 , ,则.
（3）平行于同一个平面的两个平面平行,即若 , ,则 .
2.平行关系相关的性质
（1）夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等.
（2）两条直线被三个平行平面所截，截得的线段对应成比例.
（3）同一条直线与两个平行平面所成的角相等.
练一练
1．判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1） 若直线，直线 ，则 .（ ）
（2） 若直线平面 , ,则过点且平行于直线的直线有无数条.（ ）
（3） 如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行.（ ）
（4） 如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面.（ ）
【答案】（1） ×
（2） ×
（3） ×
（4） √
2．（必修第二册（1）改编）如果直线平面 ,那么直线与平面 内的（ ）
A. 一条直线不相交 B. 两条直线不相交
C. 无数条直线不相交 D. 任意一条直线都不相交
【答案】D
【解析】选.因为直线 平面 ,直线 与平面 无公共点,因此直线 和平面 内的任意一条直线都不相交.
3．（必修第二册P139T3改编）已知 ， 是两个平面，，是两条直线，下列四个命题中正确的是（ ）
A. 若， ，则
B. 若 ， ，则
C. 若 ， ，则
D. 若， ， ，则
【答案】C
【解析】选.若， ，则 或 ，故 不正确；若 ， ，则 或 与 异面，故 不正确；若 ，则 与 没有公共点，又因为 ，所以 与 没有公共点，所以 ，故 正确；若， ， ，则 或 与 相交，故 不正确.
4．（用结论）如图，平面平面 ，所在的平面与 ， 分别交于，，若，，，则_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】由面面平行的性质定理得，,所以，所以.
5．（必修第二册P138例3改编）如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形为截面，则四边形的形状为_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】平行四边形
【解析】因为平面 平面,又平面 平面,平面 平面,所以.同理可得，,所以四边形 是平行四边形.
核心考点 师生共研
考点一 直线与平面平行
角度1 直线与平面平行的判定
［例1］ 如图所示，正方形与正方形所在的平面相交于，在，上各有一点， ，且，求证：平面.
【证明】 方法一：如图1，作 交 于点，作 交 于点，连接.
因为正方形 和正方形 有公共边，所以，又，所以,又，所以,又，所以，所以四边形 为平行四边形，所以.又 平面， 平面，所以 平面.
方法二：如图2，连接 交 于点，连接.在正方形 中有.由题意知，，，
所以.
所以，又 平面， 平面，所以 平面.
方法三：如图3，在平面 内，过点 作 交 于点，连接,所以,又,,
所以,
所以,所以,
所以,又，所以,又 平面， 平面，
所以 平面.因为, 平面， 平面，所以 平面,又，, 平面，所以平面 平面，又 平面,所以 平面.
［感悟进阶］
证明线面平行的两种常用方法
(1)判定定理法：关键是在平面内找出(或作出)一条直线与已知直线平行，证明时注意用符号语言叙述过程；
(2)性质判定法：两平面平行时，其中一个平面内的任何直线都平行于另一个平面．
角度2 直线与平面平行的性质
［例2］ 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，,，为的中点，平面与棱相交于点.
求证：.
【证明】 因为 为 的中点，所以.在梯形 中，，所以四边形 为平行四边形，所以.又因为 平面， 平面，所以 平面.因为 平面，平面 平面，所以.
［感悟进阶］
线面平行性质的应用
证明线线平行，常常将线面平行转化为该线与过该线的一个平面和已知平面的交线平行.
注意 应用线面平行的判定定理和性质定理时，一定要注意定理成立的条件，通常应严格按照定理成立的条件规范书写步骤.
［对点训练］．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，是的中点，过，，三点的平面交于点.求证：
（1） 平面；
（2） 是的中点.
【答案】
（1） 证明：连接，设，连接，因为底面 是平行四边形，
所以 是 的中点，
又 是 的中点，
所以，
又 平面， 平面，
所以 平面.
（2） 因为底面 为平行四边形，所以，因为 平面， 平面，所以 平面.
因为平面 平面， 平面，所以，又 是 的中点，所以 是 的中点.
考点二 平面与平面平行
［例3］ 如图，在三棱柱中，，，分别为棱，，的中点.
（1） 求证：平面平面；
（2） 若平面,求证：为的中点.
【答案】
（1） 【证明】因为，分别为，的中点，
所以.
因为 平面， 平面，
所以 平面.
又，分别为，的中点，,
所以，所以四边形 为平行四边形，
所以.
因为 平面， 平面，
所以 平面，
又,, 平面，
所以平面 平面.
（2） 由题得平面 平面,又因为平面 平面，平面 平面，则，得，因为 为 的中点，所以 为 的中点.
［感悟进阶］
注意 利用面面平行的判定定理证明两平面平行，需要说明在一个平面内的两条直线是相交直线.
［对点训练］．如图，在六面体中，，四边形是平行四边形，.
（1） 证明：平面平面.
（2） 若是棱的中点，证明：.
【答案】
（1） 证明：因为四边形 是平行四边形，所以，而 平面， 平面，则 平面，
由， 平面， 平面，得 平面，
又，， 平面，所以平面 平面.
（2） 如图，延长 与 的延长线交于点，连接 并延长与 的延长线交于点.
由，，得，由，是棱 的中点，得，
因此点，重合，记为，显然平面 平面，平面 平面，由（1）知，平面 平面，所以.
考点三 平行关系的综合应用
［例4］ 如图，在四面体中，过棱上一点作平行于，的平面分别交四面体的棱，,于点，,.
（1） 求证：四边形为平行四边形;
（2） 若,分别在线段,上，，且,不重合，证明:平面.
【答案】
（1） 【证明】因为 平面，平面 平面, 平面,所以.同理，.
由基本事实4可得,同理可得,所以四边形 为平行四边形.
（2） 如图，在 上取点，使得.连接,，则，又 平面， 平面，所以 平面.
同理由,易证 平面，
又，, 平面，所以平面 平面.因为 平面，所以 平面.
［感悟进阶］
平行关系综合应用的解题方法
利用线面平行的判定和性质定理，可以实现与线线、面面平行的转化，尤其在截面图的画法中，常用来确定交线的位置．对于最值问题，常用观察特殊位置或函数思想来解决．
［对点训练］．如图所示，四边形为空间四边形的一个截面，若该截面为平行四边形.
（1） 求证：平面,平面;
（2） 若,,求四边形周长的取值范围.
【答案】
（1） 解：证明：因为四边形 为平行四边形，
所以.
因为 平面, 平面,
所以 平面.
又因为 平面,平面 平面,所以,
又因为 平面, 平面,所以 平面.
同理可得 平面.
（2） 设,
由（1）知,,所以,
则,
所以,因为四边形 为平行四边形，所以四边形 的周长.
又因为,所以,故四边形 周长的取值范围是.
培优点 空间几何体的截面问题
多面体中截面的作法:
（1）直接法:有两点在多面体的同一个面上，连接这两点即为多面体与截面的交线，找截面实际就是找交线的过程.
（2）延长线法:若直线相交，但在多面体中未体现，可以通过作延长线的方法找到交点，然后借助交点找到交线.
（3）平行线法:过直线与直线外一点作截面，若直线所在的平面与点所在的平面平行，可以通过过点找直线的平行线找到多面体与截面的交线.
［典例］ 在正四棱柱中，,，,分别是,的中点，则平面截该正四棱柱所得截面的周长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设直线 分别与，相交于点，，连接，，分别与，交于点，，连接，，故五边形 即为平面 截该正四棱柱所得截面.
因为，分别是，的中点，
故，
，故，
由勾股定理得，
，
同理可得，又，
故，
故平面截该正四棱柱所得截面的周长为.
［感悟进阶］
作截面应遵循如下三个原则:（1）在同一平面上的两点可引直线;（2）凡是相交的直线都要画出它们的交点;（3）凡是相交的平面都要画出它们的交线.
［对点训练］．如图，在正方体中，是的中点，平面 经过直线且与直线平行，若正方体的棱长为2，则平面 截正方体所得的多边形的面积为_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】如图，过点 作 交 于点，过点 作 的平行线，交 于点，
连接，则平面 即为符合条件的平面 ,由图可知，分别为，的中点，故，，且，设等腰梯形 的高为,则,所以梯形 的面积为.
课后达标 分级演练
A 基础达标
1．设，是空间中不同的直线， ， ， 是不同的平面，则下列说法正确的有（ ）
A. 若， ， ，则
B. 若 ， ， ，则
C. 若 ， ， ， ，则
D. 若 ，，，则
【答案】D
【解析】选.对于，， ， ，则 与 可能相交或平行，故 错误；对于， ， ， ，则 与 平行或异面，故 错误；对于， ， ， ， ，则 与 相交或平行，故 错误；对于，由面面平行的性质定理知 正确.
2．如果，，是不在同一平面内的三条线段，则经过它们中点的平面和直线的位置关系是（ ）
A. 平行 B. 相交
C. 在此平面内 D. 平行或相交
【答案】A
【解析】选.如图，把线段，，放在正方体内，设其中点分别为，，，所以， 平面， 平面，故 平面.
3．在空间四边形中，，，，分别是，，，上的点，当平面时，下列结论中正确的是（ ）
A. ，，，一定是各边的中点
B. ，一定是，的中点
C. ，且
D. ，且
【答案】D
【解析】选.因为在空间四边形 中，,,,分别是,,,上的点.平面， 平面,平面 平面,所以，同理.所以，且.故 正确，错误.只要满足上述对应比例即可，不一定是各边中点，故，错误.
4．已知在三棱柱中，,分别为,的中点，,分别为,的中点，则直线与直线、平面的位置关系分别为（ ）
A. 平行、平行 B. 异面、平行 C. 平行、相交 D. 异面、相交
【答案】B
【解析】选.由题意得， 平面, 平面,,所以由异面直线的定义得直线 与直线 是异面直线.取 的中点,连接,,如图，则,.
又 平面, 平面, 平面, 平面,所以 平面,平面.
因为,, 平面,所以平面 平面,因为 平面,所以 平面.
5．[2025·南昌模拟]（多选）在下列底面是平行四边形的四棱锥中，，，，，是四棱锥的顶点或棱的中点，则满足平面的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AB
【解析】选.对于，，如图1，图2，取 的中点，连接，，则，所以四边形 为平行四边形，所以，又 平面， 平面，所以 平面，故，符合题意；对于，如图3，连接，由，为所在棱的中点知，易证 平面.假设 平面，由，， 平面，可证平面 平面，又 平面，所以 平面，这与 平面 矛盾，所以假设不成立，即 与平面 不平行，故 不符合题意；
对于，如图4，连接，设，连接.若 平面，则由平面 平面，可证得.由 为 的中点知 为 的中位线，从而 为 的中点，实际上 的中点在底面平行四边形两条对角线的交点处，该交点显然不是图中点，故 不符合题意.
6．在三棱柱中，截面与平面交于直线,则直线与直线的位置关系为_ _ .
【答案】平行
【解析】在三棱柱 中，, 平面, 平面,所以 平面.又 平面,平面 平面,所以.
7．已知为所在平面外一点，平面平面，且 交线段，，于点，，，若，则_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】因为平面 平面，
所以，，，
所以，
又，
所以，
所以.
8．如图，在三棱台中，，，分别为，的中点，是上一点，且，设点是平面内一点，且平面，则点的位置是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
（写出一种即可）
【答案】线段上靠近点的三等分点（答案不唯一）
【解析】点 可以是线段 上靠近点 的三等分点.
证明如下：如图所示，连接，因为，，所以，
又，分别为，的中点，所以，所以，又 平面， 平面，所以 平面.
9．（13分）如图，在四棱柱中，点是线段上的一个动点，，分别是，的中点.
（1） 求证：平面;（6分）
（2） 设为棱的中点，求证：平面平面.（7分）
【答案】
（1） 证明：在四棱柱 中，连接，如图.
因为，分别是，的中点，所以.
又 平面, 平面,所以 平面.
（2） 因为 是 的中点，是 的中点，
所以.
又 平面, 平面，所以 平面.
由（1）知 平面，又，， 平面，所以平面 平面.
10．（15分）如图所示，在四棱锥中，平面，，是的中点.
（1） 求证：平面；（7分）
（2） 若是线段上一动点，则线段上是否存在点，使平面？若存在，求出点的位置，并证明；若不存在，请说明理由.（8分）
【答案】
（1） 解：证明：如图，取 的中点，连接，.因为 是 的中点，
所以 且.
又 平面， 平面，
且平面 平面，所以，
又，所以,
所以四边形 为平行四边形，故，
又 平面， 平面，所以 平面.
（2） 线段 上存在点 为 的中点，使得 平面，证明如下：
取线段 的中点，连接，，.
因为，分别为线段，的中点，
所以，因为 平面， 平面，所以 平面.
由（1）知 平面，又,， 平面，所以平面 平面.
又 是线段 上的动点， 平面，所以 平面，所以线段 上存在点 为 的中点，使得 平面.
B 综合运用
11．在三棱台中，点在上，且,点是内（含边界）的一个动点，且有平面平面,则动点的轨迹是（ ）
A. 三角形边界的一部分 B. 一个点
C. 线段的一部分 D. 圆的一部分
【答案】C
【解析】选.如图，过点 作 交 于点，连接,又, 平面, 平面,所以 平面,同理 平面,又,, 平面,所以平面 平面,所以 不与 重合，否则没有平面.
12．（多选）如图，在正方体中，，，分别是棱，，的中点，则（ ）
A. 平面 B. 平面
C. 点在平面内 D. 点在平面内
【答案】BD
【解析】选.连接，，在正方体 中，且，所以四边形 是平行四边形，
所以，又因为 平面， 平面，所以 平面，则点 不在平面 内，故 正确，错误；
由题意得，所以，
所以，，，四点共面，
即点 在平面 内，故 正确；
再连接，显然 与平面 相交，
所以 与平面 不平行，故 错误.
13．如图，已知圆锥的顶点为，为底面圆的直径，，为底面圆周上的点，并将三等分，过作平面 ，使平面 ，设平面 与交于点，则的值为_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】连接 交 于点，连接，，，,则平面 即为平面 .
因为 平面 ，平面 平面， 平面，所以.
因为 为底面圆的直径，点，将 三等分，
所以 ，，
所以 且，
所以.
又，所以，
所以.
第4讲 空间直线、平面的垂直
课标要求 考情分析
1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直、面面垂直的有关性质与判定定理. 2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形垂直关系的简单命题. 命题形式 常以解答题第（1）问的形式出现，难度中档. 常考内容 直线、平面垂直的判定及证明.
必备知识 自主排查
理一理
1．直线与平面垂直
（1）定义：如果直线与平面 内的①_ _ _ _ _ _ _ _ 直线都垂直，则直线与平面 互相垂直，记作 .直线叫做平面 的垂线，平面 叫做直线的垂面.
（2）判定定理与性质定理
类别 文字语言 图形语言 符号语言
判定定理 如果一条直线与一个平面内的两条②_ _ 直线垂直，那么该直线与此平面垂直
性质定理 垂直于同一个平面的两条直线③_ _
【答案】任意一条； 相交； 平行； ；
提醒 “任意一条直线”与“所有直线”是同义的，但与“无数条直线”不同，定义的实质是直线与平面内的所有直线都垂直.
2．平面与平面垂直
（1）定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是⑥_ _ _ _ _ _ _ _ ，就说这两个平面互相垂直.
（2）判定定理与性质定理
类别 文字语言 图形语言 符号语言
判定定理 如果一个平面过另一个平面的⑦_ _ ,那么这两个平面垂直
性质定理 两个平面垂直,如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的⑧_ _ ，那么这条直线与另一个平面垂直
【答案】直二面角； 垂线； 交线
常用结论
1.若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面.
2.一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这一条直线与另一个平面也垂直.
3.两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面.
练一练
1．判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1） 直线与平面 内的无数条直线都垂直，则 .（ ）
（2） 垂直于同一个平面的两平面平行.（ ）
（3） 若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面.（ ）
（4） 若平面 内的一条直线垂直于平面 内的无数条直线，则 .（ ）
【答案】（1） ×
（2） ×
（3） ×
（4） ×
2．空间中直线和三角形的两边，同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是（ ）
A. 平行 B. 垂直 C. 相交 D. 不确定
【答案】B
【解析】选.因为三角形的两边，有交点，且直线 和，同时垂直，所以该直线垂直于 所在平面，故该直线 与 垂直.
3．（必修第二册P162习题8.6T2改编）已知平面 平面 ，点 ，则过点且垂直于平面 的直线（ ）
A. 只有一条，不一定在平面 内 B. 有无数条，不一定在平面 内
C. 只有一条，一定在平面 内 D. 有无数条，一定在平面 内
【答案】C
【解析】选.根据面面垂直的性质定理可知，当平面 平面 时，过平面 内一点且垂直于平面 的直线，在平面 内只有一条.
4．（多选）已知 ， 为两个不同的平面，，为两条不同的直线，下列结论正确的为（ ）
A. 若， ，则 B. 若 ， ，则
C. 若 ， ，则 D. 若 ， ，则
【答案】ABD
【解析】选.对于，若 ，则取 内任意两条相交直线，，使得，，又，则，，由线面垂直的判定定理得 ，故 正确；对于，一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，则也垂直于另一个平面，故 正确；对于，若 ， ，则 或 ，故 错误；对于，由平面与平面垂直的判定定理知，正确.
5．（必修第二册P152T4改编）过所在平面 外一点，作 ，垂足为，连接，，.若，则点是的心.（填“内”“外”“重”或“垂”）
【答案】外
【解析】因为 ，，， ，所以，，，即 ，因为，所以，所以，所以点 是 的外心.
核心考点 师生共研
考点一 直线与平面垂直
［例1］ 已知是所在平面外一点，且，为斜边的中点.
（1） 求证: 平面;
（2） 若,求证: 平面.
【答案】
（1） 【证明】如图所示，取 的中点，连接，.在 中，因为，分别为，的中点，所以，所以.
因为，是 的中点，
所以.又,
SE， 平面，所以 平面.
又 平面，所以.在 中,,为 的中点,所以.又,， 平面，
所以 平面.
（2） 由于,且 是 的中点,则.
由（1）可知, 平面,
又 平面,所以.又,, 平面，所以 平面.
［感悟进阶］
证明线面垂直的步骤
［对点训练］．如图，在四棱锥中，四边形是矩形， 平面，，是的中点，，分别在，上，且，.
证明：.
证明：因为 平面， 平面，所以，又，所以.
因为，是 的中点，所以.
又，， 平面，所以 平面.
因为，，所以.
又因为，，， 平面，所以 平面，所以.
考点二 平面与平面垂直
［例2］ 如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面 平面，，，为的中点.求证：
（1） ；
（2） 平面 平面.
【答案】（1） 【证明】因为，为 的中点，所以，因为底面 为矩形，所以.所以.
（2） 因为底面 为矩形，所以.
又因为平面 平面，平面 平面， 平面，
所以 平面.
又 平面，所以.
又因为，且，， 平面，所以 平面.
又 平面，所以平面 平面.
［感悟进阶］
证明面面垂直的两种方法
定义法 利用面面垂直的定义，即判定两平面所成的二面角为直二面角，将证明面面垂直问题转化为证明二面角的平面角为直角的问题
定理法 利用面面垂直的判定定理，即证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线，把面面垂直问题转化成线面垂直问题加以解决
［对点训练］
1．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，， ，，，为等边三角形，平面 平面.
证明：.
证明：取 的中点，连接（图略），因为， ，，，所以四边形 为正方形，为等腰直角三角形，则，.
因为平面 平面，平面 平面, 平面，所以 平面.又 平面，所以.
2．[2025·厦门模拟]如图，在三棱柱中，侧面是边长为2的菱形，，，为的中点，.
证明：平面 平面.
证明：连接，（图略），在菱形 中，，，故 为等边三角形，又 为 的中点，故，且，又，故.
在 中，由，，，得，故，又,, 平面，故 平面，又 平面，故平面 平面.
考点三 平行、垂直关系的综合应用
［例3］ [2025·成都模拟]如图，在五面体中，，，，，，.
（1） 证明：平面；
（2） 若点，分别为，的中点，证明：平面 平面.
【答案】（1） 【证明】因为, 平面, 平面,所以 平面,又因为 平面，且平面 平面,所以,又 平面, 平面,所以 平面.
（2） 因为,，所以 为等边三角形，所以,又,所以,又，所以在 中，由余弦定理，得,解得 或（舍去）.
因为,所以,又,且,, 平面，所以 平面,因为 平面,所以，因为,，所以 为等边三角形，又 为 中点，所以.
由 为梯形 的中位线，可得,且,所以,所以四边形 为平行四边形，所以,所以，易知,,, 平面,所以 平面,又 平面,所以平面 平面.
［感悟进阶］
立体几何中线线、线面、面面的平行、垂直关系的两种转化
［对点训练］．如图，在四棱锥中，底面为菱形，，分别为，的中点.
（1） 证明：平面；
（2） 若平面 平面， ，求证：.
【答案】
（1） 证明：取 的中点，连接，，因为 为 的中点，所以，，又底面 为菱形，
F为 的中点，所以，，所以，，所以四边形 为平行四边形，所以，因为 平面， 平面，所以 平面.
（2） 连接，因为底面 为菱形， ，所以 ，
所以 为等边三角形，因为 为 的中点，所以，
因为，所以，
因为平面 平面，平面 平面， 平面，所以 平面，因为 平面，
所以.
课后达标 分级演练
A 基础达标
1．已知 , 是两个不同的平面，直线 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】选.根据面面垂直的判定定理，可知若 ， ，则 ，充分性成立；若 ， ，则 与 的位置关系不确定，必要性不成立.所以直线 ，则“ ”是“ ”的充分不必要条件.
2．[2024·上海春季高考]空间中有两个不同的平面 ， 和两条不同的直线,,则下列说法中正确的是（ ）
A. 若 ， , ,则
B. 若 ， ,,则
C. 若 ， , ,则
D. 若 ， ,,则
【答案】A
【解析】选.若 ， ，则 或 ,又 ,所以,故 正确；若 ， ，则 或 ,又,则 ， 或 与 相交，故 错误；若 ， ，则 或 ，又 ，因此 和 的位置关系可能为平行、相交或异面，故 错误；若 ， ,,则 或 ，故 错误.
3．在空间四边形中，若，，那么有（ ）
A. 平面 平面 B. 平面 平面
C. 平面 平面 D. 平面 平面
【答案】D
【解析】选.因为，，，, 平面，所以 平面.又因为 平面，所以平面 平面.
4．[2025·安徽联考]在正方体中，点在线段上，点为线段的中点，记平面 平面,则下列结论一定正确的是（ ）
A. 平面 B. 平面
C. 平面 D. 平面
【答案】D
【解析】选.由题意得，， 平面， 平面，所以 平面，又平面 平面,所以,由正方体的性质易得 平面，所以 平面.
5．（多选）如图所示，是半圆的直径，垂直于半圆所在的平面，点是半圆周上不同于，的任意一点，，分别为，的中点，则下列结论不正确的是（ ）
A. B. 平面 平面
C. D. 平面
【答案】AD
【解析】选.因为，分别为，的中点，所以.
如果，则可得,而 与 相交，所以 与 不平行，故 不正确；由题意得，.
因为 平面, 平面，所以，又,, 平面，所以 平面，又 平面，所以平面 平面，故 正确；
因为，,所以,故 正确；
若 平面，又 平面，则，而这与 与 相交矛盾，故 不正确.
6．如图，在正方体中，与垂直的平面是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】平面
【解析】连接，（图略），因为，，，， 平面，所以 平面.
7．如图，在三棱锥中，平面 平面，若，则的形状为_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】直角三角形
【解析】因为平面 平面，平面 平面，， 平面，所以 平面，又 平面，所以，所以 为直角三角形.
8．已知，，，为空间四点，在中，，，等边三角形以为轴运动，则当平面 平面时，_ _ _ _ .
【答案】2
【解析】取 的中点为，连接，（图略）.
由题意知，当平面 平面 时，平面 平面， 平面，则 平面.
因为 平面，所以.
由已知可得，，所以在 中，.
9．（13分）如图，在四棱锥中，底面为正方形， 平面，，为棱的中点.证明：
（1） 平面；（6分）
（2） 平面 平面.（7分）
【答案】
（1） 证明：因为 平面， 平面，所以，
在正方形 中，，
又因为， 平面，，
所以 平面，又因为 平面，所以，因为，且 为 的中点，所以.
又， 平面，，
所以 平面.
（2） 因为 平面， 平面,所以，又四边形 为正方形，所以,又， 平面，，所以 平面，又因为 平面,
所以平面 平面.
B 综合运用
10．在中， ，， ， 平面，，是边上的一动点，则的最小值为（ ）
A. B. 7 C. D.
【答案】A
【解析】选.如图所示，因为 平面， 平面,所以，则 是直角三角形，故，所以当 时，最小，此时 也最小.由条件知，， ,则，故 的最小值为，又，则 的最小值为.
11．如图，在直三棱柱中，，,是的中点，点在上，记,若 平面,则实数 的值为（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】D
【解析】选.由题意可得,,,, 平面,所以 平面,又 平面，所以，作 交 于点（如图），连接,,此时 平面，在矩形 中,,所以四边形 是正方形，所以，所以,又 为 的中点，所以 为 的中点，所以，因为，所以.
12．（多选）在某次数学探究活动中，小明先将一副三角板按照图1的方式进行拼接，然后他又将三角板折起，使得二面角为直二面角，得到图2所示的四面体.小明对四面体中的直线、平面的位置关系作出了如下的判断，其中判断正确的是（ ）
A. 平面 B. 平面
C. 平面 平面 D. 平面 平面
【答案】ABC
【解析】选.对于，由题意知，平面 平面，又因为平面 平面，，且 平面，所以 平面，所以 正确；
对于，由 平面，且 平面，可得，又，,, 平面，所以 平面，所以 正确；
对于，因为 平面， 平面，所以平面 平面，所以 正确；
对于，因为平面 平面，假设平面 平面，因为平面 平面，所以 平面，又因为 平面，所以，因为 与 不垂直，则与假设矛盾，所以平面 和平面 不垂直，所以 不正确.
13．（15分）在矩形中，，是的中点，沿将折起，得到如图所示的四棱锥.
（1） 若平面 平面，求四棱锥的体积；（7分）
（2） 若，求证：平面 平面.（8分）
【答案】
（1） 解：如图所示，取 的中点，连接，由题意知，，所以，又平面 平面，平面 平面， 平面，所以 平面，即 为四棱锥 的高.在等腰直角三角形 中，，所以，而直角梯形 的面积，所以四棱锥 的体积.
（2） 证明：如图，取 的中点，连接，，则，因为，所以，又，， 平面，所以 平面，因为 平面，所以，由（1）知，，又， 平面，，且，所以 与 相交，所以 平面，因为 平面，所以平面 平面.
14．（15分）如图，在三棱柱中，侧棱 底面，为棱的中点，，，.
（1） 求证：平面；（4分）
（2） 求证： 平面；（4分）
（3） 在棱上是否存在点，使得平面 平面？如果存在，求出此时的值并证明；如果不存在，请说明理由.（7分）
【答案】
（1） 解：证明：如图，连接，交 于点，连接，
因为在 中，，分别为，的中点，
所以，又因为 平面， 平面，
所以 平面.
（2） 证明：因为侧棱 底面， 平面，所以，又因为 为棱 的中点，，所以.因为，， 平面，所以 平面，又 平面，所以.易知，又，所以在 和 中，，所以，所以 ，所以.
因为，， 平面，所以 平面.
（3） 存在，当点 为 的中点，即 时，平面 平面.
证明如下：取 的中点，的中点，连接，，，.
因为，分别为，的中点，
所以，且.
又因为 为 的中点，所以，
且，所以四边形 为平行四边形，所以，由（2）知 平面，所以 平面.
又因为 平面，所以平面 平面.
培优课 几何法求空间角与距离
类型一 几何法求空间角
1.异面直线所成的角
（1）定义：设,是两条异面直线,经过空间任一点分别作直线,,把与所成的锐角（或直角）叫做异面直线与所成的角（或夹角）.
（2）取值范围：，.
2.直线和平面所成的角
（1）定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角.一条直线垂直于平面，则它们所成的角是；一条直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是0.
（2）取值范围：，.
3.二面角
（1）定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.
（2）二面角的平面角
若有, , ,,,则二面角 的平面角是.
（3）二面角的平面角 的取值范围：.
角度1 线线角
［例1］ [2025·东北三校联合模拟]如图，四边形是正方形， 平面，且，是线段的中点，则异面直线与所成角的正切值为_ _ _ _ .
【答案】
【解析】如图，取 的中点，连接，，则，又 为线段 的中点，所以 且，则异面直线 与 所成的角即直线 与 所成的角，所以异面直线 与 所成的角为 或其补角.
因为 平面，所以 平面，又 平面，所以，在 中，，在 中，，故异面直线 与 所成角的正切值为.
角度2 线面角
［例2］ 在三棱柱中，各棱长都相等，侧棱垂直于底面，点是与的交点，则与平面所成角的正弦值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】如图,取 的中点，连接，，依题意三棱柱 为正三棱柱，设棱长为2，则，，因为，分别是 和 的中点，
所以,所以 平面，
又 平面，所以，
所以.
因为，，，， 平面，所以 平面，
所以 是 与平面 所成的角，所以，所以 与平面 所成角的正弦值是.
角度3 二面角
［例3］ 已知圆锥的顶点为，底面圆心为，，底面半径为2，，是底面圆周上两点，且，则二面角的大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】取 的中点，连接，，
因为，所以，
因为，所以，
所以 是二面角 的平面角.
因为 平面， 平面，
所以，
因为，，
所以,
因为，所以，所以，
所以.
所以二面角 的大小为.
［感悟进阶］
几何法求空间角主要分为三个步骤：①作(找)角；②证明这个角就是要求的角；③计算．其中作(找)角是关键，对于异面直线所成的角，一般是通过平移一条直线直至与另一条直线相交，从而得到所求角；对于直线与平面所成的角，一般是在直线上找一点，作平面的垂线，连接斜足与垂足得到直线在平面上的射影，直线与它在该平面上的射影所成的角就是所求角；对于平面与平面所成的角(二面角)，一般可通过定义法、垂面法、垂线法等得到．
［对点训练］
1．如图，圆柱的轴截面为正方形，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】选.如图，过点 作圆柱的母线交下底面于点,连接,易知 为 的中点，设正方形 的边长为2，则，,所以.连接,则.因为,所以异面直线 与 所成的角即为（或其补角）.在 中，由余弦定理的推论得，，所以异面直线 与 所成角的余弦值为.
2．在四面体中，已知为等边三角形，为等腰直角三角形，斜边，，则二面角的大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】选.如图，取 的中点，连接，，因为 为等边三角形，是以 为斜边的等腰直角三角形，所以，，故 即为二面角 的平面角.因为，所以，，在 中，由余弦定理的推论得，，所以，即二面角 的大小为.
3．在长方体中，已知与平面和平面所成的角均为 ，则（ ）
A.
B. 与平面所成的角为
C.
D. 与平面所成的角为
【答案】D
【解析】选.如图，连接，易知 是直线 与平面 所成的角，所以 ，在 中，设，则，.易知 是直线 与平面 所成的角，所以 ，在 中，易得，，所以在 中，，所以 错误；易知 是直线 与平面 所成的角，在 中，，所以 ，所以 错误；在 中，，又，所以 错误；易知 是直线 与平面 所成的角，在 中，，所以 ，所以 正确.
类型二 几何法求空间距离
［例4］
（1） 如图，在正三棱柱中，若，则点到直线的距离为（ ）
第（1）题图
A. B. C. D.
（2） 已知圆柱的高和底面半径均为4，为上底面圆周的直径，点是上底面圆周上的一点且，是圆柱的一条母线，则点到平面的距离为（ ）
第（2）题图
A. 4 B. C. 3 D.
【答案】（1） D
（2） D
【解析】
（1） 如图，连接，因为，，所以，，，设 的中点为，连接，则.设点 到直线 的距离为，故,即，解得.
（2） 由题可得，因为，所以，因为 平面，且，所以.因为，所以，所以，设点 到平面 的距离为，则,解得.
［感悟进阶］
(1)求点线距一般要作出这个“距离”，然后利用直角三角形求解，或利用等面积法求解．
(2)求点面距时，若能够确定过点与平面垂直的直线，即作出这个“距离”，可根据条件求解；若不易作出点面距，可借助等体积法求解．
［对点训练］．如图，在底面是直角梯形的四棱锥中，侧棱 底面， ，，，则到平面的距离为_ _ _ _ .
【答案】
【解析】因为， 平面， 平面，所以 平面，所以 到平面 的距离等于点 到平面 的距离.因为侧棱 底面， 平面，所以，因为 ，即，又，， 平面，所以 平面，又 平面，所以，因为，，所以.设点 到平面 的距离为，连接（图略），则由 得，即，解得，所以 到平面 的距离为.
课后达标 分级演练
A 基础达标
1．已知过平面 外一动点的斜线与平面 所成角为,并且斜线交平面 于定点，若动点与平面 的距离为1，则斜线段在平面 上的射影所形成的图形的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】选.如图，过点 作平面 的垂线，垂足为，连接，所以线段 为斜线段 在平面 上的射影，为斜线 与平面 所成的角，则,又,所以，故射影形成的图形为半径为 的圆面，其面积为 .
2．我国古代数学名著《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.在如图所示的“堑堵”中，，则二面角的正切值为（ ）
A. 1 B. 2 C. D.
【答案】D
【解析】选.由 知，，如图，取 的中点，连接，，由题意得，即为二面角 的平面角，
设，
则,所以.
3．在四棱锥中， 底面,底面为正方形，,,则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】选.由题意，将四棱锥 补形成长方体,连接，（图略），则,所以 即为异面直线 与 所成的角.因为,,底面 为正方形，所以,，在 中，由余弦定理的推论可得.
4．在长方体中，，，，则点到直线的距离为（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】B
【解析】选.如图，连接，由长方体的性质易知，且，则，设点 到直线 的距离为,则，即，解得.
5．在《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”.在如图所示的阳马中，侧棱 底面，且，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】选.如图，在正方形 中，连接 交 于点，则 ，连接 。因为 平面，平面 ，所以 ，而，，平面 ，所以 平面 ，于是 是直线 与平面 所成的角。因为 ，易知 ，所以 ，易知 ，所以
，即直线 与平面 所成角的正弦值为。
6．（多选）如图所示，在棱长为1的正方体中，为的中点，则下列结论正确的是（ ）
A. 平面
B. 直线与平面所成的角为
C. 二面角的正切值为
D. 点到平面的距离为
【答案】ABC
【解析】选.连接，，（图略），由正方体的性质可得 平面， 平面，故，又易知 平面， 平面，故，又，且， 平面，故 平面，故 正确；
设正方体的棱长为1，直线 与平面 所成的角为 ，则，易知 平面，则点 到平面 的距离为，故，所以，故 正确；
连接（图略），则 为二面角 的平面角，则，故 正确；
设点 到平面 的距离为，因为 且 为等边三角形，所以，解得，故 错误.
7．在矩形中，，， 平面，，那么二面角的大小为_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】作 交 于点，因为 平面， 平面，所以.
因为，， 平面，所以 平面，
又 平面，所以，
所以 即为二面角 的平面角.
因为，
所以，
故二面角 的大小为 .
8．如图所示，是的直径，垂直于所在的平面，为圆周上一点，,，则点到平面的距离为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】由题可得 平面，因为 平面，所以，又由 是 的直径，为圆周上一点，可得，又，， 平面，所以 平面，所以 的长度即为点 到平面 的距离，在 中，,，可得.
9．如图，在四面体中，，，分别为，的中点，且异面直线与所成的角为，则_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】2或
【解析】取线段 的中点，连接，，
由题意知，，且，，
所以异面直线 与 所成的角为 或其补角.
因为异面直线 与 所成的角为，
则 或.
当 时，则 是边长为2的等边三角形，此时，；
当 时，由余弦定理可得
.
综上所述，或.
10．（13分）如图，在四棱锥中，底面为正方形，边长为4，为的中点， 平面.
（1） 若为等边三角形，求四棱锥的体积；（6分）
（2） 若的中点为，与平面所成的角为 ，求与所成角的正切值.（7分）
【答案】
（1） 解：因为正方形 的边长为4，且 为等边三角形，为 的中点，
所以,又 平面，所以四棱锥 的体积.
（2） 如图，连接，因为，所以 即为 与 所成的角.
因为 平面，，， 平面，所以，，，又 与平面 所成的角为 ，即 ，所以，所以.又，，， 平面，所以 平面，又 平面，所以，所以，所以 与 所成角的正切值为.
B 综合运用
11．已知 ，为平面外一点，，点到两边，的距离均为，那么点到平面的距离为_ _ _ _ .
【答案】
【解析】如图，过点 作 平面 于点，则 为点 到平面 的距离.再过点 作 于点，于点，易知 平面， 平面，连接，，则，，所以，所以,，所以 为 的平分线，即 .在 中，，，所以，所以，所以.
12．（15分）如图，在三棱锥中，，，为的中点.
（1） 证明： 平面；（7分）
（2） 若点在棱上，且与平面所成角的正切值为，求二面角的平面角的余弦值.（8分）
【答案】
（1） 解：证明：如图，连接.
因为，，
所以，
即 是直角三角形，
又 为 的中点，所以，
又因为，
所以，，
所以 ，

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